Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

11.1 Toczenie się ciał

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 111.1 Toczenie się ciał

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać zjawisko toczenia się ciał bez poślizgu;
  • wyjaśniać, jak w przypadku ruchu tocznego bez poślizgu zmienne liniowe związane są ze zmiennymi kątowymi;
  • znajdować przyspieszenia liniowe i kątowe w ruchu tocznym bez poślizgu;
  • obliczać statyczną siłę tarcia związaną z toczeniem się bez poślizgu;
  • analizować ruch toczny ciał, używając zasady zachowania energii.

Toczenie się lub ruch toczny ciał (ang. rolling motion) to ruch, który jest złożeniem ruchu obrotowego i postępowego ciał i obserwujemy go w wielu codziennych sytuacjach. Wystarczy pomyśleć o kołach samochodu poruszającego się po autostradzie, kołach startującego lub lądującego samolotu na pasie startowym lub obracających się łopat turbiny wiatrowej. Do precyzyjnego opisu ruchu toczenia się ciała niezbędne jest dogłębne zrozumienie pojęcia siły i momentu siły.

Przy analizowaniu w tym rozdziale ruchu tocznego wokół stałej osi obrotu powołujemy się na Ilustrację 10.20, rozdział Obroty wokół stałej osi, gdzie można znaleźć wyrażenia opisujące moment bezwładności wybranych, powszechnie występujących, obiektów geometrycznych. Podrozdział ten może się również okazać przydatny do wykonywania obliczeń parametrów różnych ruchów ciał, którym towarzyszy ruch obrotowy.

Toczenie bez poślizgu

Ludzie obserwowali toczenie się ciał bez poślizgu od czasu wynalezienia koła. Spójrzmy na przykład na wzajemne oddziaływanie opon samochodu i nawierzchni drogi. Jeśli kierowca podczas ruszania maksymalnie naciśnie pedał gazu, tak że opony obracają się, ale samochód nie porusza się do przodu, mamy do czynienia z tarciem kinetycznym pomiędzy oponami kół a powierzchnią drogi. Jeśli jednak kierowca będzie naciskał pedał gazu powoli, to spowoduje, że samochód ruszy do przodu, a opony kół będą toczyły się bez poślizgu. Wielu ludzi dziwi, że w rzeczywistości dolna część koła znajduje się w spoczynku w stosunku do podłoża, co oznacza, że tarcie między oponami a nawierzchnią drogi musi być tarciem statycznym. Na Ilustracji 11.2, rower wraz z rowerzystką jadącą w pozycji pionowej porusza się. Opony mają kontakt z nawierzchnią drogi, a nawet jeśli podczas toczenia część będąca w kontakcie, odkształca się nieznacznie, to nie dochodzi do poślizgu i opony przez pewien czas pozostają w stanie spoczynku w stosunku do powierzchni drogi. Aby tak było, tarcie między oponą i nawierzchnią drogi musi być tarciem statycznym.

Ilustracja (a) jest fotografią osoby jadącej na rowerze. Kamera podąża za rowerem, więc obraz roweru i rowerzystki jest ostry. Tło jest rozmyte z powodu ruchu roweru. Ilustracja (b) to zdjęcie koła rowerowego toczącego się po powierzchni wykonane kamerą stacjonarną względem powierzchni ziemi. Koło i szprychy są rozmyte na górze, ale wyraźne od spodu.
Ilustracja 11.2 (a) Rower porusza się do przodu, a jego opony się nie ślizgają. Najniższe fragmenty opon mają kontakt z nawierzchnią drogi, a nawet jeśli podczas toczenia ich części odkształcają się nieznacznie, to nie dochodzi do poślizgu i dolne fragmenty opon przez jakiś czas są w stanie spoczynku w stosunku do powierzchni drogi. (b) Zdjęcie pokazuje, że górna część toczącego się koła jest rozmyta w czasie ruchu (zobacz obraz szprych), a dolna jest w stanie spoczynku. (Źródło (a) modyfikacja pracy Nelsona Lourenço; źródło (b) modyfikacja pracy Colin Rose)

Przystępując do analizy ruchu tocznego bez poślizgu, wprowadzimy najpierw związki między wielkościami liniowymi prędkości i przyspieszenia środka masy koła jak również zmiennymi kątowymi, które opisują ruch obrotowy koła. Sytuację tę przedstawiono na Ilustracji 11.3.

Rysunek a przedstawia swobodny diagram koła, w tym miejscu, w którym działają siły. Pokazano cztery siły: M g jest siłą skierowaną ku dołowi, działającą na środek koła. N jest siłą skierowaną do góry, działającą na spód koła. F to siła na prawo, działająca na środek koła, a f-sub jest siłą na lewą stronę, działającą na spód koła. Siła nacisku jest mniejsza lub równa mi razy N. Rysunek b przedstawia ilustrację walcowania kół bez poślizgu na poziomej powierzchni. Punkt P jest punktem styku między spodem koła a powierzchnią. Koło obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyspieszenie po prawej stronie pod C M i prędkość z prawej strony podpunktu V M. Stosunki omega są takie, jak podgrupa C M nad R, a alfa jest pod C C nad R. Pokazany jest układ współrzędnych z dodatnim x na prawo i dodatnim y do góry. Rysunek c pokazuje koło w środku ramy masowej. Punkt P ma wektor prędkości w kierunku ujemnym względem środka masy koła. Wektor ten pokazany jest na rysunku i oznaczony jako minus R omega i hat. Jest styczny do koła na dole i wskazuje w lewo. Pokazane są dodatkowe wektory w różnych miejscach na obręczy koła, wszystkie styczne do koła i skierowane w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
Ilustracja 11.3 (a) Koło jest ciągnięte po poziomej powierzchni przez siłę F F . Siła tarcia statycznego T s T s , przy czym T s μ s N T s μ s N , jest wystarczająco duża, aby uchronić je przed poślizgiem. (b) Pokazano wektory prędkości liniowej i przyspieszenia środka masy oraz odpowiednie wyrażenia dla prędkości i przyspieszenia kątowego. Punkt P P jest w stanie spoczynku w stosunku do powierzchni. (c) Punkt P P ma prędkość liniową R ω i ^ R ω i ^ względem środka masy (ŚM) koła.

Na Ilustracji 11.3(a) pokazano wektory sił zapobiegające poślizgowi koła. Na Ilustracji 11.3(b), punkt P P, który dotyka powierzchni, pozostaje w stosunku do niej w spoczynku. Punkt P P ma prędkość R ω i ^ Rω i ^ względem środka masy,
R R oznacza tu promień koła, ω ω jest prędkością kątową obrotu koła wokół własnej osi, zaś i ^ i ^ jest wektorem jednostkowym. Ponieważ koło toczy się bez poślizgu, prędkość punktu P P względem powierzchni jest równa sumie jego prędkości względem środka masy i prędkość środka masy względem powierzchni:

v P = R ω i ^ + v ŚM i ^ . v P =Rω i ^ + v ŚM i ^ .

Ponieważ prędkość P P względem powierzchni jest równa zero, v P = 0 v P = 0 , oznacza to, że

v ŚM = R ω . v ŚM = R ω .
11.1

Tak więc prędkość środka masy koła jest równa iloczynowi jego prędkości kątowej wokół osi i jego promienia. Powyższe równanie pokazuje związek zmiennej liniowej (prędkości) po lewej stronie równania ze zmienną kątową (prędkością kątową) po prawej stronie równania. Podobny związek występuje w przypadku przyspieszenia liniowego.

Jeśli zróżniczkujemy lewą stronę Równania 11.1, uzyskamy wyrażenie na liniowe przyspieszanie środka masy.
R R po prawej stronie równania jest stałą, a ponieważ ε = d ω / d t ε= d ω / d totrzymujemy

a ŚM = R ε . a ŚM =Rε.
11.2

Ponadto, odwołując się do Ilustracji 11.4, można wyznaczyć odległość przebytą przez środek masy koła poprzez zmienną kątową związaną z ruchem tocznym koła. Zauważmy, że zewnętrzna powierzchnia koła od punktu A A do punktu B B dokładnie odwzorowuje na ziemi długość, która jest równa odległości przebytej przez środek masy d ŚM d ŚM . Z rysunku wynika też, że długość odcinka, który koło odwzorowuje na podłożu, jest długością łuku R θ Rθ. Z porównania tych dwóch długości otrzymujemy:

d ŚM = R θ . d ŚM = R θ .
11.3
Koło o promieniu R toczy się po poziomej powierzchni w prawo z prędkością v sub C M. Przedstawiono dwa położenia koła. W pierwszym położeniu punkt A znajduje się na dole koła i jest w kontakcie z powierzchnią, a punkt B jest na górze. Długość łuku od A do B wzdłuż obwodu koła jest opisana jako R theta. W drugim położeniu punkt B jest na dole koła, w kontakcie z powierzchnią, punkt A jest na górze. Odległość pozioma między punktami kontaktu koła z powierzchnią w obu położeniach wynosi d sub C M. Długość łuku AB jest teraz po drugiej stronie koła.
Ilustracja 11.4 Gdy walec toczy się po powierzchni, to długość łuku R θ R θ od punktu A A do punktu B B jest odwzorowana na powierzchni będąc równa odległości d ŚM d ŚM , którą przebywa środek masy.

Przykład 11.1

Staczanie się z równi pochyłej

Walec stacza się bez poślizgu z równi pochyłej, bez prędkości początkowej. Masa walca wynosi m m, a jego promień r r.
  1. Jakie jest jego przyspieszenie?
  2. Jaki warunek musi spełniać współczynnik tarcia statycznego μ s μ s , aby zapobiec poślizgowi walca?

Strategia rozwiązania

Narysujmy diagram sił (działających na walec) i wybierzmy układ współrzędnych. Niech oś OX będzie równoległa do powierzchni równi i zwrócona w dół równi, zaś oś OY prostopadła do powierzchni równi i zwrócona w górę. Scharakteryzujmy siły działające na walec. Są to: siła normalna (siła reakcji podłoża (na siłę nacisku)), siła grawitacji i siła tarcia statycznego. Zapiszmy drugą zasadę dynamiki (drugie prawo Newtona) ruchu postępowego w kierunkach x x i y y oraz drugą zasadę dynamiki (drugie prawo Newtona) dla ruchu obrotowego. Na podstawie zapisanych równań obliczymy przyspieszenie i siłę tarcia.

Rozwiązanie

  1. Szkic sytuacyjny i diagram sił pokazane są na Ilustracji 11.5, na którym zaznaczono siłę normalną, składowe siły ciężkości (ciężaru) oraz statyczną siłę tarcia. Rola siły tarcia (w stosunku do jej maksymalnej możliwej wartości) ogranicza się do zapewnienia toczenia się walca bez poślizgu. Innymi słowy, ponieważ nie dochodzi do poślizgu, wartość siły tarcia jest mniejsza lub równa μ s N μ s N. Zapisując drugą zasadę dynamiki dla kierunków x x i y y, otrzymujemy

    F x = m ( a ŚM ) x , F y = m ( a ŚM ) y . F x =m ( a ŚM ) x , F y =m ( a ŚM ) y .
    Schemat walca toczącego się bez poślizgu po pochylonej płaszczyźnie i swobodnego schematu cylindra. Ilustracja po lewej stronie pokazuje nachyloną płaszczyznę, która sprawia, że kąt theta jest poziomy. Pokazuje się, że cylinder znajduje się w spoczynku na górze, a następnie przemieszcza się wzdłuż pochylni, gdy jest niższy. Po prawej stronie znajduje się schemat swobodnego ciała. Układ współrzędnych x y jest przechylony tak, że dodatni kierunek x jest równoległy do nachylonej płaszczyzny i skierowany ku jej spodowi, a dodatni kierunek y jest na zewnątrz, prostopadły do płaszczyzny. Pokazano cztery siły. N j z daszkiem działa w centrum cylindra i wskazuje dodatni kierunek y. M g sine theta i z daszkiem działa w środku cylindra i wskazuje w kierunku dodatnim x. Minus m g cosinus theta j z daszkiem działa w środku cylindra i wskazuje w kierunku ujemnym y. Minus f sub s i z daszkiem działa w punkcie styku i wskazuje w kierunku ujemnym x.
    Ilustracja 11.5 Walec staczający się z równi pochyłej (lewy rysunek), diagram sił działających na walec (prawy rysunek).

    Podstawiając odpowiednio wartości sił z diagramu sił, otrzymujemy

    m g sin θ T s = m ( a ŚM ) x , N m g cos θ = 0 , T s μ s N . m g sin θ T s = m ( a ŚM ) x , N m g cos θ = 0 , T s μ s N .
    11.4

    Z powyższych równań możemy obliczyć liniowe przyspieszenie środka masy:

    ( a ŚM ) x = g ( sin θ μ s cos θ ) . ( a ŚM ) x =g ( sin θ μ s cos θ ) .
    11.5

    Ponieważ w powyższym równaniu nie znamy siły tarcia, to w celu znalezienia przyspieszenia liniowego potrzebne jest nam drugie równanie, w którym wyrazimy moment siły tarcia przez moment bezwładności. Zapiszmy drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego,

    M ŚM = I ŚM ε . M ŚM = I ŚM ε.

    W powyższym równaniu momenty sił obliczamy względem osi przechodzącej przez środek masy walca. Jedynym niezerowym momentem siły jest moment siły tarcia. Mamy zatem:

    r T s = I ŚM ε , r T s = I ŚM ε,

    gdzie, jak wiemy, przyspieszenie liniowe związane jest z przyspieszaniem kątowym zależnością

    ( a ŚM ) x = r ε . ( a ŚM ) x =rε.

    Powyższe równanie można rozwiązać, wyrażając a ŚM a ŚM , ε ε i T s T s jako funkcje momentu bezwładności. Walec porusza się jedynie wzdłuż osi x x, dlatego w celu uproszczenia zapisu możemy opuścić wskaźnik x x. Wyraźmy a ŚM a ŚM przez składową równoległą (do równi) siłę ciężkości i siłę tarcia, wykonując następujące podstawienia (wykorzystano Równanie 11.4 i Równanie 11.5):

    aŚM=gsinθTsm,Ts=IŚMεr=IŚMaŚMr2.aŚM=gsinθTsm,Ts=IŚMεr=IŚMaŚMr2. \begin{align} a_{\text{ŚM}} = g\sin \theta - \frac{T_{\text{s}}}{m} \text{,} \\ T_{\text{s}} = \frac{I_{\text{ŚM}} \epsilon}{r} = \frac{I_{\text{ŚM}} a_{\text{ŚM}}}{r^2} \text{.} \end{align}

    Stąd otrzymujemy:

    a ŚM = g sin θ I ŚM a ŚM m r 2 = m g sin θ m + I ŚM / r 2 . a ŚM =gsinθ I ŚM a ŚM m r 2 = m g sin θ m + I ŚM / r 2 .

    Zauważmy, że wynik ten jest niezależny od współczynnika tarcia μ s μ s . Ponieważ dla walca z Ilustracji 10.20 moment bezwładności I ŚM = m r 2 / 2 I ŚM =m r 2 / 2, uzyskujemy

    a ŚM = m g sin θ m + m r 2 / 2 r 2 = 2 3 g sin θ . a ŚM = m g sin θ m + m r 2 / 2 r 2 = 2 3 gsinθ.

    Otrzymujemy zatem:

    ε = a ŚM r = 2 3 r g sin θ . ε= a ŚM r = 2 3 r gsinθ.
  2. Ponieważ nie występuje poślizg, czyli T s μ s N T s μ s N, to wyrażenie na siłę tarcia ma postać:

    T s = I ŚM ε r = I ŚM a ŚM r 2 = I ŚM r 2 m g sin θ m + I ŚM / r 2 = m g I ŚM sin θ m r 2 + I ŚM . T s = I ŚM ε r = I ŚM a ŚM r 2 = I ŚM r 2 m g sin θ m + I ŚM / r 2 = m g I ŚM sin θ m r 2 + I ŚM .

    Podstawiając to wyrażenie w miejsce równania – warunku na brak poślizgu – a także zauważając, że siła normalna N = m g cos θ N = m g cos θ , otrzymujemy:

    m g I ŚM sin θ m r 2 + I ŚM μ s m g cos θ , m g I ŚM sin θ m r 2 + I ŚM μ s mgcosθ,

    lub

    μ s tg θ 1 + m r 2 / I ŚM . μ s tg θ 1 + m r 2 / I ŚM .

    Warunek ten dla pełnego walca przyjmuje postać

    μ s tg θ 1 + 2 m r 2 / m r 2 = 1 3 tg θ . μ s tg θ 1 + 2 m r 2 / m r 2 = 1 3 tgθ.

Znaczenie

  1. Przyspieszenie liniowe jest proporcjonalne do sin θ . sin θ . Zatem im większy jest kąt nachylenia, tym większe jest, jak można by się spodziewać, przyspieszenie liniowe. Przyspieszenie kątowe z kolei jest wprost proporcjonalne do sin θ sin θ i odwrotnie proporcjonalne do promienia r r walca. Tak więc im większy jest jego promień, tym mniejsze jest jego przyspieszenie kątowe.
  2. W przypadku, gdy nie występuje poślizg, współczynnik tarcia musi być większy niż lub równy tg ( θ ) / 3 tg ( θ ) / 3, a zatem im większy jest kąt nachylenia równi, tym większy musi być współczynnik tarcia, aby zapobiec poślizgowi walca.

Sprawdź, czy rozumiesz 11.1

Wydrążony (pusty w środku) walec (cylinder) stacza się ze zbocza o kącie nachylenia 60 60 . Współczynnik tarcia statycznego o powierzchnię jest równy μ s = 0,6 μ s =0,6.

  1. Czy cylinder stacza się bez poślizgu?
  2. Czy walec w tych warunkach też będzie się toczyć bez poślizgu?

Warto jeszcze raz powtórzyć równanie uzyskane w tym przykładzie dla przyspieszania toczącego się obiektu bez poślizgu:

a ŚM = m g sin θ m + I ŚM / r 2 . a ŚM = m g sin θ m + I ŚM / r 2 .
11.6

Jest to bardzo użyteczne równanie przy rozwiązywaniu zadań dotyczących toczenia się bez poślizgu. Należy zauważyć, że przyspieszenie to jest mniejsze niż przyspieszenie obiektu zsuwającego się bez obrotu po idealnie gładkiej powierzchni. Przyspieszenie będzie również różne dla dwóch staczających się bez poślizgu ciał z różnymi momentami bezwładności.

Toczenie się z poślizgiem

W przypadku ruchu tocznego z poślizgiem zamiast siły tarcia statycznego występuje siła tarcia kinetycznego, określona przez współczynnik tarcia μ k μ k . Sytuację taką przedstawiono na Ilustracji 11.6. W przypadku poślizgu v ŚM R ω 0 v ŚM R ω 0 , gdyż punkt P P na kole nie jest w stanie spoczynku względem powierzchni, oraz v P 0 v P 0 . Zatem ω v ŚM / R ω v ŚM /R i ε a ŚM / R ε a ŚM /R.

Rysunek a przedstawia dowolnie obrany schemat koła w tym miejscu, w którym działają siły. Pokazano cztery siły: M g jest siłą skierowaną ku dołowi, działającą na środek koła. N jest siłą skierowaną do góry, działającą na spód koła. F jest siłą na prawo, działającą na środek koła, a fpk jest siłą na lewą stronę, działającą na spód koła. Siła f sub k jest równa mu k n razy N. Rysunek b pokazuje obracanie się kół i ślizganie się na poziomej powierzchni. Koło obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyspieszenie po prawej stronie podrzędnej CM, a prędkość z prawej strony v pod V M omega nie jest równa v pod CM powyżej R, a alfa nie jest równa CM powyżej R. Pokazana jest współrzędna układu z dodatnim x na prawo i dodatnim y w górę.
Ilustracja 11.6 (a) Pomiędzy kołem a powierzchnią występuje tarcie, ponieważ koło się ślizga. (b) Proste związki między zmiennymi liniowych i kątowymi nie obowiązują dla zilustrowanego przypadku.

Przykład 11.2

Staczanie się po równi pochyłej z poślizgiem

Walec stacza się z równi pochyłej bez prędkości początkowej z poślizgiem (Ilustracja 11.7). Masa walca wynosi m m, a promień r r.
  1. Jakie jest jego przyspieszenie liniowe?
  2. Jakie jest jego przyspieszenie kątowe wokół osi przechodzącej przez środek masy?

Strategia rozwiązania

Wykonajmy rysunek wraz z diagramem działających sił. Jest on podobny do sytuacji bez poślizgu, z tą różnicą, że teraz siła tarcia jest siłą tarcia kinetycznego zamiast statycznego. Za pomocą drugiej zasady dynamiki (prawa Newtona) dla ruchu postępowego obliczymy przyspieszenie (liniowe) w kierunku osi x x. Za pomocą drugiej zasady dynamiki (prawa Newtona) dla ruchu obrotowego znajdziemy rozwiązanie dla przyspieszenia kątowego.

Rozwiązanie

Rysunek przedstawia walec staczający się po równi pochyłej bez prędkości początkowej, który doznaje poślizgu. Po lewej stronie zilustrowano sytuację nachylonej płaszczyzny, tworzącej z poziomem kąt theta. Pokazano, że cylinder znajduje się w spoczynku na górze, a następnie przemieszcza się wzdłuż pochylni, gdy jest niżej. Po prawej stronie znajduje się schemat ciała swobodnego. Układ współrzędnych xy jest przechylony tak, że dodatni kierunek x jest równoległy do płaszczyzny nachylonej i skierowany do jej spodu, a dodatni kierunek y jest na zewnątrz, prostopadły do płaszczyzny. Pokazano cztery siły. Nj z daszkiem działa w centrum cylindra i wskazuje dodatni kierunek y. M g sinus theta z daszkiem działa w środku cylindra i wskazuje w kierunku dodatnim x. Minus m g cosinus theta j z daszkiem działa w środku cylindra i wskazuje w kierunku ujemnym y. Minus f sub k i z daszkiem działa w punkcie styku i wskazuje w kierunku ujemnym x.
Ilustracja 11.7 Walec stacza się z równi bez prędkości początkowej i wpada w poślizg. Układ współrzędnych wybieramy w taki sposób, że oś x x jest równoległa do powierzchni równi i jest skierowana w dół równi, oś y y jest prostopadła do powierzchni równi i jest skierowaną w górę. Na rysunku pokazano diagram sił, a na nim siłę reakcji podłoża, siłę tarcia statycznego oraz składowe ciężaru m g m g .

Suma sił działających wzdłuż osi y y wynosi zero, więc siła tarcia jest teraz równa T k = μ k N = μ k m g cos θ T k = μ k N= μ k mgcosθ.

Druga zasada dynamiki dla kierunku x x daje:

F x = m a x , F x = m a x ,
mgsinθ-Tk=max,mgsinθ-Tk=max,
m g sin θ μ k m g cos θ = m ( a ŚM ) x , mgsinθ μ k mgcosθ=m ( a ŚM ) x ,

lub

( a ŚM ) x = g ( sin θ μ k cos θ ) . ( a ŚM ) x =g ( sin θ μ k cos θ ) .

Moment siły tarcia jest jedynym niezerowym momentem siły wokół osi przechodzącej przez środek masy, dlatego druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego daje:

M ŚM = I ŚM ε , M ŚM = I ŚM ε,
T k r = I ŚM ε = 1 2 m r 2 ε . T k r= I ŚM ε= 1 2 m r 2 ε.

Rozwiązując powyższy układ równań ze względu na ε ε, otrzymujemy:

ε = 2 T k m r = 2 μ k g cos θ r . ε= 2 T k m r = 2 μ k g cos θ r .

Znaczenie

Zapisujemy zależności przyspieszenia liniowego i kątowego od współczynnika tarcia kinetycznego. Przyspieszenie liniowe jest takie samo jak ciała ślizgającego się w dół równi pochyłej, na które działa siła tarcia kinetycznego. Przyspieszenie kątowe względem osi obrotu jest wprost proporcjonalne do siły tarcia, która z kolei zależy od kosinusa kąt nachylenia. Gdy kąt θ 90 θ 90 , siła ta dąży do zera, a tym samym przyspieszenie kątowe też dąży do zera.

Zachowanie energii mechanicznej podczas toczenia się

W poprzednim podrozdziale przedstawiliśmy energię kinetyczną ruchu obrotowego. Każdy toczący się obiekt posiada energię kinetyczną ruchu obrotowego, a także energię kinetyczną ruchu postępowego i ewentualnie energię potencjalną. Łącznie z grawitacyjną energią potencjalną całkowita energia mechaniczna toczącego się ciała wynosi:

E c = 1 2 m v ŚM 2 + 1 2 I ŚM ω 2 + m g h . E c = 1 2 m v ŚM 2 + 1 2 I ŚM ω 2 +mgh.

Przy braku sił niezachowawczych, które, jak wiadomo powodują rozpraszanie energii układu, całkowita energia mechaniczna toczącego się bez poślizgu ciała jest zachowana i jest stała podczas trwania całego ruchu. Przykładem, gdzie energia mechaniczna nie jest zachowana, jest toczący się obiekt. Mamy tu do czynienia również z tarciem, wynikającym z poślizgu. Zatem rozpraszana jest energia kinetyczna.

Można zapytać, dlaczego podczas toczenia się bez poślizgu ciało zachowuje energię mechaniczną, chociaż statyczna siła tarcia jest niezachowawcza? Odpowiedź można znaleźć, wracając do Ilustracji 11.3. Punkt P P w czasie kontaktu z powierzchnią znajduje się względem niej w spoczynku. Dlatego też jego nieskończenie małe przemieszczenie d r d r względem powierzchni jest równe zero, a stąd także praca siły tarcia jest równa zero. Możemy więc stosować zasadę zachowania energii podczas badania ruchu tocznego otrzymując przy tym ciekawe wyniki.

Przykład 11.3

Łazik Curiosity

Łazik Curiosity, pokazany na Ilustracji 11.8, wylądował na Marsie 6 sierpnia 2012 r. Koła łazika mają promień 25 cm. Załóżmy, że astronauci docierają na Marsa w roku 2050 i znajdują tam niepracujący łazik Curiosity na zboczu niecki. Podczas demontażu łazika przez astronautę przypadkowo odrywa się jedno z kół, które toczy się bez poślizgu w dół niecki 25 m poniżej. Jeżeli koło ma masę 5 kg, to jaka jest jego prędkość na dnie niecki?
Łazik Curiosity zbudowany przez NASA widoczny podczas testów w Jet Propulsion Laboratory.
Ilustracja 11.8 Łazik Curiosity w NASA Mars Science Laboratory podczas testów 3 czerwca 2011 roku. Fotografia z ośrodka Spacecraft Assembly Facility at NASA’s Jet Propulsion Laboratory w Pasadenie w Kalifornii. (Źródło: NASA / JPL-Caltech)

Strategia rozwiązania

Do analizy zadania zastosujemy zasadę zachowania energii mechanicznej. W górnej części zbocza koło znajduje się w spoczynku i ma tylko energię potencjalną (względem dna niecki). W dolnej części niecki koło ma energię kinetyczną ruchu obrotowego i postępowego, która, z zasady zachowania energii, musi być równa początkowej energii potencjalnej. Ponieważ koło toczy się bez poślizgu, użyjemy zależności v ŚM = r ω v ŚM = r ω , aby w wyrażającym zasadę zachowania energii powiązać zmienne translacyjne (ruchu postępowego) ze zmiennymi obrotowymi (kątowymi). Następnie obliczymy prędkość. Z Ilustracji 11.8 wynika, że dobrym przybliżeniem koła jest wydrążony walec (cylinder), dzięki czemu możemy korzystać ze wzoru na jego moment bezwładności w celu uproszczenia obliczeń.

Rozwiązanie

Energia w górnej części zbocza niecki jest równa energii na jej dole:
m g h = 1 2 m v ŚM 2 + 1 2 I ŚM ω 2 . mgh= 1 2 m v ŚM 2 + 1 2 I ŚM ω 2 .

Znane są wielkości I ŚM = m r 2 I ŚM =m r 2 , r = 0,25 m r=0,25 m i h = 25,0 m h=25,0 m .

Przepiszmy powyższe równanie zachowania energii, eliminując ω ω przy użyciu ω = v ŚM / r ω= v ŚM / r. Otrzymujemy:

m g h = 1 2 m v ŚM 2 + 1 2 m r 2 v ŚM 2 r 2 , mgh= 1 2 m v ŚM 2 + 1 2 m r 2 v ŚM 2 r 2 ,

lub

g h = 1 2 v ŚM 2 + 1 2 v ŚM 2 v ŚM = g h . gh= 1 2 v ŚM 2 + 1 2 v ŚM 2 v ŚM = g h .

Na Marsie przyspieszenie grawitacyjne wynosi 3,71 m / s 2 3,71 m / s 2 , co daje wartość prędkości u dołu zbocza równą

v ŚM = 3,71 m / s 2 25 m = 9,63 m / s . v ŚM = 3,71 m / s 2 25 m =9,63 m / s .

Znaczenie

Jest to dość dokładny wynik biorąc pod uwagę, że Mars ma bardzo rzadką atmosferę, a straty energii wynikające z oporu powietrza byłyby minimalne. Założono również, że teren jest gładki, więc koło nie napotykało kamieni i wybojów.

Ponadto w tym przypadku energia kinetyczna lub energia ruchu jest równo podzielona na ruch postępowy i obrotowy. Jeśli popatrzymy na momenty bezwładności obiektów o różnych kształtach na Ilustracji 10.20, widzimy, że cylinder (wydrążony walec) posiada największy możliwy moment bezwładności dla danego promienia i masy. Gdyby kształt kół łazika był bardziej zbliżony kształtem do walca, to wtedy wkład energii kinetycznej ruchu postępowego do całkowitej energii byłby większy niż wkład energii ruchu obrotowego. To dałoby kołu większą prędkość liniową. W ten sposób, walec szybciej osiągnie dno niecki niż wydrążony w środku cylinder.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.