William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy

28.

Oblicz prędkość kątową Ziemi.

29.

Samochód wyścigowy przejechał jedno pełne okrążenie (400 m) toru wyścigowego w ciągu 45 sekund. Jaka jest wartość jego prędkości kątowej przy założeniu, że cały czas jechał z tą samą prędkością liniową, a tor ma kształt okręgu?

30.

Koło obraca się ze stałą prędkością obrotową $2, 0 \cdot 10^{3} o b r / m i n$ .

Jaka jest wartość jego prędkości kątowej?
Jaki kąt zakreśli dowolny punkt koła w ciągu dziesięciu sekund? Odpowiedź podaj w radianach i stopniach.

31.

Cząstka przebyła drogę 3,0 m po okręgu o promieniu 1,5 metra.

Jaki kąt zakreślił w tym czasie jej wektor położenia?
Jeżeli cząstka poruszała się ze stałą prędkością i przebyła tę drogę w ciągu 1,0 s, to jaka była jej prędkość kątowa?
Jaka jest wartość przyspieszenia tej cząstki?

32.

Płyta kompaktowa o średnicy 120 mm obraca się z częstotliwością 500 obr/min.

Jaka jest prędkość styczna punktów leżących na krawędzi płyty?
Jaka jest prędkość styczna punktów leżących w połowie promienia?

33.

Nieracjonalne wyniki. Śmigło samolotu wiruje z częstotliwością 10 obr/s, gdy pilot wyłącza silnik. Prędkość kątowa skrzydła maleje ze stałym przyspieszeniem $2, 0 r a d / s^{2}$ , aż do zatrzymania. Jaka będzie prędkość kątowa śmigła po 40 s? Czy otrzymany wynik jest rozsądny?

34.

Żyroskop zwalniał z przyspieszeniem $0, 700 r a d / s^{2}$ od początkowej prędkości kątowej 32 rad/s do chwili zatrzymania się. Jak długo to trwało?

35.

W czasie startu samolotu bezzałogowego jego śmigło przez 3 sekundy zwiększało swoją prędkość kątową, zgodnie ze wzorem $ω = (25, 0 t) r a d / s$ .

Jaka była chwilowa prędkość śmigła dla $t = 2, 0 s$ ?
Jaka jest wartość jego przyspieszenia kątowego?

36.

Położenie kątowe pręta zmienia się od chwili $t = 0$ zgodnie z wyrażeniem $20,0 t^{2}$ radianów. Na pręcie umieszczono dwa koraliki, tak jak widać na rysunku. Pierwszy z nich umieszczono w odległości 10 cm od osi obrotu, a drugi w odległości 20 cm.

Jaka jest wartość prędkości kątowej pręta w chwili $t = 5 s$ ?
Jaka jest wartość przyspieszenia kątowego pręta?
Jaka jest wartość prędkości stycznej każdego z koralików w chwili $t = 5 s$ ?
Jaka jest wartość przyspieszenia stycznego każdego z koralików w chwili $t = 5 s$ ?
Jaka jest wartość przyspieszenia dośrodkowego każdego z koralików w chwili $t = 5 s$ ?

Rysunek pręta obracającego się przeciwnie do kierunku obrotu wskazówek zegara. Pręt ma zaznaczone dwa punkty rotacji, jeden w odległości 10 cm od osi obrotu i drugi w odległości 20 cm od osi obrotu.

Ilustracja 10.41

10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym

37.

Koło obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym $5, 0 r a d / s^{2}$ . Startując od spoczynku obróciło się o 300 radianów.

Jaka jest jego końcowa prędkość obrotowa?
W jakim czasie przebyło drogę kątową 300 radianów?

38.

Obracające się ze stałym przyspieszeniem kątowym koło zamachowe obróciło się w ciągu 6 sekund o 300 radianów, osiągając w ten sposób prędkość kątową 100 rad/s.

Jaka była wartość jego prędkości kątowej przed upływem tych 6 s?
Jaka jest wartość jego przyspieszenia kątowego?

39.

Częstotliwość obracającego się ciała sztywnego w ciągu 120 s rośnie z 500 do 1500 obr/min.

Jaka jest wartość przyspieszenia kątowego tego ciała?
O jaki kąt obróciło się w ciągu tych 120 s?

40.

Koło zamachowe zwalnia z 600 do 400 obr/min, wykonując w tym czasie 40 obrotów.

Wyznacz jego przyspieszenie kątowe.
Ile obrotów wykona ono w czasie 120 sekund?

41.

Koło o średnicy jednego metra obraca się z przyspieszeniem kątowym $4 r a d / s^{2}$ .

Jaka jest prędkość kątowa koła po 10 sekundach, jeżeli prędkość początkowa wynosiła 2,0 rad/s.
O jaki kąt obróci się ono po 10 s?
Jaka jest prędkość styczna oraz przyspieszenie styczne punktów na obrzeżu koła po upływie owych 10 s?

42.

Koło o średnicy 50 cm obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym $5, 0 r a d / s^{2}$ wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek. Początkowo koło było w spoczynku.

Gdzie po 10 sekundach znajdzie się punkt koła, który początkowo był w jego najniższym punkcie?
Jaka jest w tym momencie wartość jego przyspieszenia liniowego?

43.

Pierścień o średnicy 10 cm obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym $1, 0 r a d / s^{2}$ . W chwili $t = 0$ jego prędkość kątowa wynosiła $2, 0 r a d / s$ .

Wyznacz prędkość kątową pierścienia w chwili $t = 5 s$ .
O jaki kąt obrócił się w tym czasie pierścień?
Jaka jest wartość przyspieszenia stycznego punktu pierścienia w chwili $t = 5 s$ ?

44.

Poniżej przedstawiona jest zależność prędkości obrotowej łopatek wentylatora poduszkowca od czasu. Jaki kąt zakreśliły łopatki w ciągu pierwszych 8 sekund? Sprawdź rozwiązanie używając równań kinematyki ruchu obrotowego.

Rysunek jest wykresem zależności prędkości kątowej w liczbie obrotów na minutę w zależności od czasu w sekundach. Prędkość kątowa wynosi zero gdy czas jest równy zero i rośnie liniowo wraz z czasem.

Ilustracja 10.42

45.

Do obu końców pręta o długości 20 cm przyczepiono koraliki. W chwili początkowej pręt się nie obracał. Jeżeli koraliki mają osiągnąć prędkość liniową 20 m/s w ciągu 7 sekund, to z jakim przyspieszeniem kątowym pręt powinien się poruszać?

10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym

46.

Trąba powietrzna ma średnicę 60,0 m, a prędkość wirującego powietrza ma wartość 500 km/h. Jaka jest prędkość obrotowa (częstotliwość obrotów) trąby powietrznej?

47.

Człowiek stoi na karuzeli obracającej się z prędkością kątową 2,5 rad/s. Jeżeli współczynnik tarcia statycznego między butami człowieka i karuzelą jest równy $μ_{S} = 0,5$ , to jak daleko od osi obrotu może on stać bez poślizgu?

48.

Ultrawirówka przyspiesza od spoczynku do 100 000 obrotów na minutę w ciągu 2,00 min.

Jakie jest średnie przyspieszenie kątowe w $r a d / s^{2}$ ?
Jakie jest przyspieszenie styczne w punkcie odległym o 9,50 cm od osi obrotu?
Jakie jest przyspieszenie dośrodkowe tego punktu w $m / s^{2}$ i w wielokrotności $g$ w momencie, gdy wirówka osiąga maksymalną prędkość obrotową?
Jaka jest całkowita droga przebyta przez punkt oddalony o 9,5 cm od osi obrotu ultrawirówki, licząc od początku ruchu do osiągnięcia przez ultrawirówkę maksymalnej prędkości?

49.

Turbina wiatrowa obracająca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością 0,5 obr/s zaczyna zwalniać i po 10 s zatrzymuje się. Łopatki turbiny mają długość 20 m.

Jakie jest przyspieszenie kątowe łopatek turbiny?
Jakie jest przyspieszenie dośrodkowe punktów na końcach łopatek w chwili rozpoczęcia spowalniania ( $t_{0} = 0 s$ )?
Jaka jest wartość i kierunek całkowitego przyspieszenia liniowego końcówki łopatek w chwili $t_{0} = 0 s$ ?

50.

Jaka jest wartość (a) prędkości kątowej oraz (b) prędkości liniowej punktu na powierzchni Ziemi, na $30^{\circ}$ szerokości geograficznej północnej. Promień Ziemi wynosi 6370 km. (c) Na jakiej szerokości geograficznej prędkość liniowa wynosi 10 m/s?

51.

Dziecko o masie 40 kg siedzi na skraju karuzeli w odległości 3,0 m od osi obrotu. Karuzela przyspiesza od spoczynku do 0,4 obr/s w ciągu 10 s. Jeśli współczynnik tarcia statycznego pomiędzy dzieckiem a powierzchnią karuzeli wynosi 0,6, to czy dziecko spadnie z karuzeli przed upływem 5 s od początku przyspieszania, czy nie?

52.

Koło rowerowe o promieniu 0,3 m obraca się osiągając częstotliwość 3 obr/s po upływie 5 s od rozpoczęcia obrotów. Jaka jest wartość i kierunek wektora całkowitego przyspieszenia punktu na krawędzi koła w chwili $t = 1, 0 s$ ?

53.

Prędkość kątowa koła zamachowego o promieniu 1,0 m zmienia się zgodnie z zależnością $ω (t) = 2,0 t$ . Narysuj, dla punktu położonego w odległości $r = 1, 0 m$ od osi obrotu, wykres $a_{d} (t)$ i $a_{t} (t)$ dla $t \in ⟨ 0 s; 3, 0 s ⟩$ . Przeanalizuj te wykresy, aby wyjaśnić, kiedy dla punktu koła oddalonego o 1,0 m od osi obrotu $a_{d} ≫ a_{s}$ oraz kiedy $a_{d} ≪ a_{s}$ .

10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

54.

Na rysunku przedstawiono układ trzech cząstek punktowych leżących w tej samej płaszczyźnie. Masa każdej cząstki wynosi 0,3 kg.

Wyznacz moment bezwładności układu względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez zaznaczony punkt.
Oblicz wartość energii kinetycznej ruchu obrotowego, jeżeli układ obraca się wokół zaznaczonej osi z częstotliwością 5 obr/s.

Rysunek przedstawia układ współrzędnych XYZ. Na osi x została umieszczona cząstka w odległości 20 cm od środka układu, na osi Y cząstka w odległości 60 centymetrów od środka, a na osi Z cząstka w odległości 40 centymetrów od środka.

55.

Wyznacz energię kinetyczną ruchu obrotowego Ziemi wokół jej osi obrotu.
Jaka jest wartość energii kinetycznej ruchu obrotowego Ziemi związana z jej ruchem wokół Słońca?

56.

Oblicz energię kinetyczną ruchu obrotowego 12-kilogramowego koła motocykla, jeżeli jego prędkość kątowa wynosi 120 rad/s. Promień wewnętrzny koła ma 0,2080 m, a zewnętrzny 0,330 m.

57.

W baseballu, miotacz wyrzuca piłkę wykonując m.in. obrót przedramieniem wokół stawu łokciowego. Jeżeli prędkość liniowa piłki względem stawu łokciowego wynosi 20 m/s, to jaka jest wartość energii kinetycznej ruchu obrotowego przedramienia? Odległość piłki od stawu biodrowego wynosi 0,480 m, a moment bezwładności przedramienia wynosi $0, 500 k g \cdot m^{2}$ .

58.

Samolot lecący poziomo z prędkością 40,0 m/s podchodzi do lądowania. W momencie, gdy znajduje się na wysokości 300 m, urywa się śmigło o masie 200 kg i momencie bezwładności $70, 0 k g \cdot m^{2}$ . W chwili oderwania się prędkość obrotowa śmigła wynosiła 20 obr/s. Zaniedbując opory powietrza wyznacz: (a) prędkość liniową, z jaką śmigło uderzy o ziemię, (b) prędkość obrotową śmigła w momencie uderzenia o ziemię.

59.

Jaka będzie w momencie zderzenia z ziemią prędkość obrotowa śmigła z poprzedniego zadania, jeżeli uwzględnimy, że opory powietrza w ciągu całego ruchu zmniejszyły jego energię kinetyczną ruchu obrotowego o 30%?

60.

Jaka jest energia kinetyczna ruchu obrotowego gwiazdy neutronowej o masie $2 \cdot 10^{30} k g$ , promieniu 10 km i okresie obrotu 0,02 s? Gwiazdę neutronową można uważać za jednorodną kulę.

61.

Szlifierka elektryczna składająca się z tarczy obrotowej o masie 0,7 kg i promieniu 10 cm obraca się z prędkością 15 obr/min. Przy szlifowaniu surowej ściany drewnianej jej prędkość obrotowa zmniejsza się o 20%.

Jaka jest końcowa energia kinetyczna ruchu obrotowego tarczy?
O ile zmniejszyła się energia kinetyczna jej ruchu obrotowego?

62.

Urządzenie składa się z tarczy o masie 2,0 kg i promieniu 50 cm, na której zamocowany jest pierścień o masie 1,0 kg oraz promieniu wewnętrznym 20 cm i zewnętrznym 30 cm (patrz poniżej). Urządzenie obraca się wokół osi przechodzącej przez środek tarczy i pierścienia, a prędkość kątowa wynosi 10 obr/s.

Jaki jest moment bezwładności urządzenia względem osi obrotu?
Jaka jest energia kinetyczna jego ruchu obrotowego?

10.5 Obliczanie momentu bezwładności

63.

Podczas kopnięcia piłki nożnej piłkarz obraca nogę w stawie biodrowym. Moment bezwładności nóg wynosi $3, 75 k g \cdot m^{2}$ , a energia kinetyczna ruchu obrotowego nogi to 175 J. (a) Jaka jest prędkość kątowa nogi? (b) Jaka jest prędkość końcówki buta zawodnika, jeśli jest ona w odległości 1,05 m od stawu biodrowego?

64.

Korzystając z twierdzenia Steinera wyznacz moment bezwładności pręta o masie $m$ względem osi przedstawionej na rysunku poniżej.

Rysunek przedstawia pręt, który obraca się wokół osi, która przechodzi przez niego w odległości 1/6 długości od jednego z końców i 5/6 długości od przeciwnego końca.

65.

Wyznacz moment bezwładności pręta z poprzedniego zadania przez bezpośrednie całkowanie.

66.

Jednorodny pręt o masie 1,0 kg i długości 2,0 m może obracać się swobodnie wokół jednego z jego końców (patrz poniższy rysunek). Jeśli pręt zostanie puszczony swobodnie po wcześniejszym odchyleniu go o kąt $60^{\circ}$ , liczony względem poziomu, to z jaką prędkością końcówka pręta przechodzi przez pozycję poziomą?

Rysunek pokazuje pręt, którego koniec jest wychylony pod kątem 60 stopni w stosunku do linii poziomej.

67.

Wahadło składa się z pręta o masie 2 kg i długości 1 m oraz jednorodnej kuli umieszczonej na jednym z jego końców. Kula ma masę 0,3 kg i promień 20 cm (patrz poniższy rysunek). Jeśli wahadło odchylono o kąt $30^{\circ}$ i puszczono swobodnie, to jaka jest prędkość kątowa pręta w najniższym punkcie?

Rysunek przedstawia wahadło składające się z pręta o masie 2 kg i długości 1 m z kulą na końcu o masie 0,3 kg i promieniu 20 cm. Wahadło puszczone swobodnie wychyla się o 30 stopni.

68.

Jednorodna kulka o promieniu 10 cm może swobodnie obracać się wokół osi zaznaczonej na rysunku poniżej. Kulkę pchnięto gwałtownie tak, że jej środek masy rozpoczął ruch od położenia pokazanego na poniższym rysunku, z prędkością 15 cm/s. Jaki maksymalny kąt tworzy średnica z pionem?

Rysunek z lewej pokazuje najpierw kulkę o promieniu 10 cm, która obraca się swobodnie wokół osi i która zostaje silnie pchnięta w jego środku masy. Rysunek z prawej jest wyobrażeniem tej samej kulki po pchnięciu. Kąt, jaki tworzy z pionową średnicą oznaczony jest jako theta.

10.6 Moment siły

69.

Dwa koła zamachowe o zaniedbywalnie małej masie i różnych promieniach są połączone ze sobą i obracają się wokół wspólnej osi (patrz poniżej). Do mniejszego koła zamachowego o promieniu 30 cm doczepiono sznurek, za pośrednictwem którego na koło działa siła 50 N. Jaką siłę naciągu należy przyłożyć do sznurka doczepionego do większego koła zamachowego o promieniu 50 cm, aby układ nie obracał się?

70.

Śrubę w samochodzie należy dokręcić używając momentu siły o wartości $62, 0 N \cdot m$ . Jeżeli mechanik używa klucza o długości 20 cm, to siłę o jakiej wartości musi on przyłożyć do końca klucza, aby prawidłowo dokręcić śrubę? Siła jest przykładana prostopadle do klucza.

71.

Podczas otwierania drzwi naciskasz na nie prostopadle siłą 55,0 N w odległości 0,850 m od zawiasów. Jaki jest moment tej siły liczony względem zawiasów?
Czy ma to znaczenie, jeśli naciskasz na tej samej wysokość co zawiasy? Jest tylko jedna para zawiasów.

72.

Podczas dokręcania śruby naciskasz prostopadle na klucz siłą 165 N, w odległości 0,140 m od środka śruby. Z jakim momentem siły, względem środka śruby, działasz na śrubę? Wynik podaj w niutonometrach.

73.

Jaka musi być wartość wiszącej masy, aby koło pasowe się nie obracało (patrz poniższy rysunek)? Masa ciała na równi wynosi 5,0 kg, a równia jest doskonale gładka. Promień wewnętrzny koła pasowego wynosi 20 cm, a zewnętrzny 30 cm.

Rysunek pokazuje krążek o masie 5 kg spoczywający na równi pochyłej pod katem 45 stopni, stanowiący przeciwwagę dla obiektu o nieznanej masie wiszącym w powietrzu.

74.

Proste wahadło składa się z paska o znikomo małej masie i długości 50 cm, zaczepionego na przegubie, a na drugim końcu doczepiono małe ciało o masie 1,0 kg. Jaki jest moment siły względem przegubu, gdy wahadło znajduje się pod kątem 40° względem pionu?

75.

Obliczyć wypadkowy moment sił przedstawionych na rysunku. Wyznacz go względem osi $z$ , która jest prostopadła do rysunku i wychodzi z niego w stronę widza. Wartości sił są następujące: $F_{1} = 3 N$ , $F_{2} = 2 N$ , $F_{3} = 3 N$ , $F_{4} = 1, 8 N$ .

Rysunek przedstawia układ współrzędnych XY. Zastosowana jest siła F1 od punktu który jet zlokalizowany na prostej ze środka początku układu skierowana w kierunku prawego górnego rogu. Punkt znajduje się 3 metry o od środka układu i siła F1 jest skierowana w stronę prawego dolnego narożnika. Siła F2 bierze swój początek od punktu położonego na osi Y, 2 metry powyżej środka układu. Siła F2 tworzy kąt 30 stopni z linią równoległa do osi X i jest skierowana w stronę lewego dolnego narożnika. Siła F3 zaczyna się od środka układu i skierowana jest ku lewemu dolnemu narożnikowi. Siła F4 zaczyna się w punkcie zlokalizowanym na osi X, 2 metry w prawo od środka układu. Siła F2 tworzy kąt 20 stopni z linią równoległą do osi Y axis i jest skierowana w stronę lewego dolnego narożnika.

76.

Huśtawka ma długość 10,0 m i jednorodnie rozłożoną masę 10,0 kg. Spoczywa ona pod kątem $30^{\circ}$ do podłoża (patrz poniższy rysunek). Trzpień obrotowy znajduje się w odległości 6,0 m. Wyznacz wartość siły, jaką należy przyłożyć prostopadle do huśtawki, do jej podniesionego końca, aby huśtawka zaczęła się obracać.

Rysunek przedstawia huśtawkę. Jeden z jej końców spoczywa na ziemi tworząc kąt 30 stopni z nią, drugi koniec wisi w powietrzu.

77.

Wahadło składa się z pręta o masie 1 kg i długości 1 m oraz przymocowanej do niego kuli o masie 0,5 kg i promieniu 30 cm. Jaki jest moment sił działających na wahadło, gdy jest ono odchylone o kąt 30° od pionu?

78.

Do podniesienia zwodzonego mostu potrzebny jest moment siły o wartości $5, 00 \cdot 10^{3} N \cdot m$ (patrz poniższy rysunek). Jakie naprężenie liny jest niezbędne do wytworzenia tego momentu? Czy łatwiej byłoby podnieść most, gdyby kąt $θ$ był większy czy mniejszy?

Rysunek przedstawia most zwodzony o długości 6 metrów. Działająca na niego siła utrzymuje most pod kątem 30 stopni.

79.

Na końcu poziomej belki o długości 3 m i masie 2,0 kg umieszczono klocek o masie 1,0 kg i szerokości 0,2 m (patrz poniższy rysunek). Jaki jest wypadkowy moment sił działających na deskę, liczony względem systemu podparcia deski?

Rysunek pokazuje poziomą belkę połączoną z murem. Belka ma długość 3 m i masę 2,0 kg. W dodatku, masa wielkości 1,0 kg i szerokości 0,2 m umiejscowiona została na końcu belki.

80.

Z jaką siłą należy działać na koniec pręta o długości 2,0 m, ułożonego wzdłuż osi $x$ , w celu wytworzenia momentu siły $8, 0 N \cdot m \cdot \hat{k}$ ? Moment siły liczymy względem drugiego końca.

81.

Wyznacz moment siły $\vec{F} = 5, 0 N \cdot \hat{i} - 2, 0 N \cdot \hat{j} + 1, 0 N \cdot \hat{k}$ względem początku układu współrzędnych, jeżeli siła działa w punkcie $\vec{r} = - 2, 0 m \cdot \hat{i} + 4, 0 m \cdot \hat{j}$ .

10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

82.

Kamień szlifierski (jednorodna tarcza) o masie 90,0 kg i promieniu 0,340 m obraca się z częstotliwością 90,0 obr/min. Naciskasz na niego stalowym kluczem z siłą 20,0 N skierowaną wzdłuż promienia. (a) Zakładając, że współczynnik tarcia kinetycznego między kluczem i tarczą kamienia wynosi 0,20, oblicz przyspieszenie kątowe kamienia szlifierskiego. (b) Ile obrotów zrobi kamień, zanim się zatrzyma?

83.

Załóżmy, że działasz siłą styczną o wartości 180 N na kamień szlifierski (jednorodna tarcza) o promieniu 0,280 m i masie 75,0 kg.

Jaki moment siły jest wywierany na kamień?
Jakie jest przyspieszenie kątowe, przyjmując, że siły tarcia są do zaniedbania?
Jakie jest przyspieszenie kątowe, jeśli siła tarcia wynosi 20,0 N i jest wywierana na kamień w odległości 1,50 cm od osi obrotu?

84.

Koło zamachowe ( $I = 50 k g \cdot m^{2}$ ) rozpoczynające ruch uzyskuje w ciągu 5 s prędkość kątową 200,0 rad/s, pod wpływem działania stałego momentu siły pochodzącego od silnika.

Jakie jest przyspieszenie kątowe koła zamachowego?
Jaka jest wielkość momentu siły?

85.

Do ciała sztywnego o momencie bezwładności $4, 0 k g \cdot m^{2}$ (liczonym względem osi obrotu) przyłożono określony moment siły. Jeżeli ciało zaczyna ruch od spoczynku i po 10 sekundach uzyskuje prędkość kątową 20 rad/s, to jaka jest wartość zastosowanego momentu siły?

86.

Moment obrotowy $50 N \cdot m$ działał na szlifierkę ( $I = 20, 0 k g \cdot m^{2}$ ) przez 20 s.

Jeśli ruch zaczyna się od spoczynku, jaka jest prędkość kątowa szlifierki po zaprzestaniu działania momentu siły?
O jaki kąt obróciło się koło szlifierki w czasie działania tego momentu siły?

87.

Koło zamachowe ( $I = 100, 0 k g \cdot m^{2}$ ) obracające się z częstotliwością 500,0 obr/min zatrzymuje się po upływie 2,0 min w wyniku działania sił tarcia. Jaka jest wartość momentu siły tarcia działającej na koło zamachowe?

88.

Jednorodną tarczę szlifierską o masie 50 kg i średnicy 1 m napędza silnik elektryczny. Tarcie jest zaniedbywalnie małe.

Jaki moment sił należy zastosować, aby nadać jej prędkość 120 obrotów na minutę w ciągu 20 obrotów. Początkowo tarcza nie obracała się.
Narzędzie, którego współczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię koła wynosi 0,6, jest przyciskane prostopadle do koła z siłą 40 N. Jaki moment siły trzeba zastosować, aby silnik utrzymywał stałą prędkość obrotową tarczy o poprzedniej wartości?

89.

Załóżmy, że w momencie swojego powstania Ziemia nie obracała się. Potem, w wyniku działania stałego momentu siły, po upływie 6 dni uzyskała prędkość obrotową 1 obr/dobę.

Jaka była wartość przyspieszenia kątowego w ciągu tych 6 dni?
Jaki moment siły działał w tym okresie na Ziemię?
Jaką wartość musiałaby mieć siła styczna przyłożona do Ziemi na jej równiku, aby wytworzyć ten moment?

90.

Do ściany przymocowane jest koło pasowe o momencie bezwładności $2, 0 k g \cdot m^{2}$ , tak jak to pokazano na poniższym rysunku. Lekkie sznurki, na końcach których zamocowano odważniki, owinięte są wokół dwóch obwodów koła pasowego. Jakie jest (a) przyspieszenie kątowe koła pasowego i (b) liniowe przyspieszenie ciężarków? Załóżmy, że znamy następujące dane: $r_{1} = 50 c m$ , $r_{2} = 20 c m$ , $m_{1} = 1, 0 k g$ , $m_{2} = 2, 0 k g$ .

Rysunek pokazuje krążek linowy umocowany na ścianie. Jasne linki są owinięte wokół dwóch obwodów krążka z obciążnikami. Mniejszy m1 jest przymocowany do obwodu zewnętrznego o promieniu r1. Większy o masie M2 jest przymocowany do obwodu wewnętrznego o promieniu r2.

91.

Klocek o masie 3 kg zsuwa się po nachylonej pod kątem $45^{\circ}$ równi (patrz rysunek). Klocek przymocowany jest za pomocą sznurka o znikomo małej masie do koła pasowego umieszczonego na szczycie równi. Koło ma masę 1 kg i promień 0.5 m. Współczynnik tarcia kinetycznego klocka o równię jest równy 0,4. Wyznacz przyspieszenie klocka.

Rysunek przedstawia klocek ześlizgujący się w dół po równi pochyłej o nachyleniu 45 stopni, umocowany do koła pasowego.

92.

Pokazany poniżej wózek porusza się po blacie stołu podczas opadania klocka. Jaka jest wartość przyspieszenia klocka? Zaniedbaj tarcie i przyjmij następujące dane: $m_{1} = 2, 0 k g$ , $m_{2} = 4, 0 k g$ , $I = 0, 4 k g \cdot m^{2}$ , $r = 20 c m$ .

Rysunek przedstawia wózek przesuwający się po blacie stołu. Po jednej stronie wózek o masie m2 przymocowany jest do krążka. Po drugiej stronie do krążka przymocowany jest ciężar o masie m1 ciągnięty na zewnątrz.

93.

Jednorodny pręt o masie $m$ i długości $L$ zawieszony jest poziomo na dwu sznurkach o nieznacznej masie, tak jak pokazano poniżej.

Jakie jest przyspieszenie liniowe wolnego końca pręta natychmiast po przecięciu sznurka?
Jakie jest przyspieszenie liniowe środkowego punktu pręta natychmiast po przecięciu sznurka?

Rysunek pokazuje pręt wiszący na pionowych dwóch sznurkach przymocowanych do jego końców. Jeden ze sznurków jest przecinany nożyczkami.

94.

Cienki drążek o masie 0,2 kg i długości 0,5 m przymocowany jest do obrzeża metalowego krążka o masie 2 kg i promieniu 0,3 m. Drążek może swobodnie obracać się wokół poziomej osi przechodzącej przez jego drugi koniec (patrz rysunek).

Jaka będzie prędkość środka krążka, gdy pręt, uwolniony z pozycji poziomej, osiągnie pozycję pionową?
Jakie jest przyspieszenie środka krążka w chwili uwolnienia krążka?
Jakie jest przyspieszenie środka krążka w chwili, gdy drążek przechodzi przez pozycję pionową?

Na rysunku A przedstawiono cienki pręt umocowany do obręczy metalowego dysku. Na rysunku B cienki pręt przymocowany do obręczy metalowego dysku obraca się wokół poziomej osi przechodzące przez drugi z jego końców.

10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

95.

Turbina wiatrowa obraca się z częstotliwością 20 obr/min. Jeśli jej moc wynosi 2,0 MW, to jaki jest generowany przez wiatr moment siły działający na turbinę?

96.

Gliniany walec o promieniu 20 cm znajdujący się na kole garncarskim obraca się ze stałą częstotliwością wynoszącą 10 obr/s. Garncarz przykłada rękami siłę 10 N do gliny. Współczynnik tarcia między jego dłonią a gliną wynosi 0,1. Jaką moc garncarz musi przyłożyć do koła, aby utrzymać jego stałą częstotliwość obrotów?

97.

Jednorodna, cylindryczna tarcza szlifierska ma masę 10 kg i promień 12 cm.

Jaka jest jej energia kinetyczna podczas szlifowania, gdy obraca się ona z częstotliwością $1, 5 \cdot 10^{3} o b r / m i n$ ?
Po wyłączeniu silnika napędzającego tarczę, do zewnętrznej krawędzi tarczy dociśnięto, prostopadle do kamienia, ostrze noża. Siła nacisku wynosiła 5,0 N, a współczynnik tarcia kinetycznego między tarczą a ostrzem wynosił 0,80. Stosując twierdzenie o pracy i energii wyznacz, ile obrotów wykona tarcza do zatrzymania się.

98.

Jednorodny krążek o masie 500 kg i promieniu 0,25 m jest zamontowany na łożysku mogącym obracać się bez tarcia, dzięki czemu może on obracać się swobodnie wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek (patrz rysunek). Sznurek owinięty wokół obręczy krążka jest ciągnięty z siłą 10 N.

Jaką pracę wykonała ta siła do chwili wykonania przez krążek 3 obrotów, jeśli zaczynał od spoczynku?
Wyznacz moment tej siły, a następnie oblicz pracę wykonaną przez ten moment siły do zakończenia 3 obrotów.
Jaka jest wartość prędkości kątowej w momencie zakończenia trzeciego obrotu?
Jak jest moc tej siły w tym momencie?

Rysunek pokazuje jednorodny dysk obracający się wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek. Jest też przewód owinięty na obręczy dysku popychany z siłą 10 N.

99.

W wyniku działania stałego momentu sił o wartości $2, 0 \cdot 10^{3} N \cdot m$ , śmigło przyspiesza od spoczynku do prędkości obrotowej 1000 obr/min w czasie 6 s.

Jaki jest moment bezwładności śmigła?
Jaka moc jest dostarczana do śmigła po upływie 3,0 s od rozpoczęcia obrotów?

100.

Kulę o masie 1,0 kg i promieniu 0,5 m przymocowano do jednego z końców pręta o znikomo małej masie i długości 3 m (patrz rysunek poniżej). Układ obraca się w próżni w płaszczyźnie poziomej, dookoła pionowej osi, z częstotliwością 400 obrotów na minutę. Następnie, po włączeniu nadmuchu powietrza, na wirujący początkowo z taką prędkością kątową układ zaczyna działać siła oporu powietrza o wartości 0,15 N. Siła działa na kulę w kierunku przeciwnym do kierunku jej ruchu. Jaka jest moc siły oporu powietrza po upływie 100,0 s licząc od momentu, w którym zaczęła ona działać?

Rysunek pokazuje kulę z doczepionym na końcu prętem. Pręt obraca się wokół osi, która znajduje się po przeciwnej stronie końca kuli.

101.

Jednorodny pręt o długości $L$ i masie $M$ jest trzymany pionowo, z jednym końcem spoczywającym na podłodze, jak pokazano poniżej. Kiedy pręt zostaje puszczony, obraca się wokół swojego dolnego końca, aż do uderzenia w podłogę. Zakładając, że dolny koniec pręta nie ślizga się, wyznacz liniową prędkość górnego końca, gdy uderza on w podłogę.

Na rysunku jednorodny pręt o długości L i masie M jest trzymany pionowo z końcem spoczywającym na podłodze. Gdy pręt jest uwolniony obraca wokół dolnego końca aż do uderzenia o podłogę.

102.

Sportowiec na siłowni działa na pedały roweru ze stałą siłą 50 N, aby utrzymać stałą częstotliwość obrotów koła równą 10 obr/s. Ramiona pedałów mają długość 30 cm. Jaką moc dostarcza rowerowi sportowiec?

103.

Klocek o masie 2 kg umieszczono na doskonale gładkiej powierzchni, nachylonej pod kątem $40^{\circ}$ do poziomu. Za pośrednictwem sznurka klocek połączony jest z krążkiem o masie 1 kg i promieniu 20 cm (patrz rysunek).

Wyznacz przyspieszenie klocka.
Wyznacz pracę wykonaną przez siłę ciążenia, aby przesunąć klocek o 50 cm.

Rysunek pokazuje 2 kg klocek na gładkiej powierzchni ustawionej pod kątem 40 stopni, który jest połączony za pomocą sznurka z krążkiem o masie 1 kg i promieniu 20 cm.

104.

Dwa małe ciała o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ przymocowane są na przeciwległych końcach cienkiego, sztywnego pręta o długości $L$ i masie $M$ . Pręt jest zamontowany tak, że może swobodnie obracać się w płaszczyźnie poziomej wokół osi pionowej (patrz rysunek poniżej). Jaka powinna być odległość $d$ osi obrotu od masy $m_{1}$ , aby praca potrzebna na wprowadzenie pręta w ruch obrotowy z prędkością kątową $ω$ była najmniejsza?

Rysunek przedstawia cienki pręt o długości L z masami m1 i m2 odpowiednio na swych przeciwległych końcach. Pręt obraca się wokół przechodzącej przez niego osi w odległości d od m1 i L-d od m2.