William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Podsumowanie

5.1 Niezmienność praw fizyki

Fizyka relatywistyczna (teoria względności) opisuje, w jaki sposób obserwatorzy w dwóch różnych układach odniesienia widzą to samo zdarzenie.
Układ inercjalny jest układem odniesienia, w którym ciało będące w spoczynku pozostaje w spoczynku, a ciało w ruchu porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeżeli nie wpływa na nie żadna zewnętrzna siła.
Współczesna teoria względności jest podzielona na dwie części. Szczególna teoria względności opisuje układy poruszające się ruchem jednostajnym (nieprzyspieszonym), natomiast ogólna teoria względności bierze pod uwagę układy nieinercjalne i występowanie grawitacji. Postulaty fizyki relatywistycznej są potwierdzone doświadczalnie, a przy założeniu niskich prędkości i słabej grawitacji z dużą dokładnością odpowiadają przewidywaniom fizyki klasycznej (względność Galileusza).
Fizyka relatywistyczna jest oparta na dwóch postulatach Einsteina. Pierwszy z nich mówi o unifikacji praw fizyki we wszystkich układach inercjalnych. Drugi mówi, że niezależnie od układu odniesienia i kierunku światło porusza się z prędkością $c$ .
W 1887 roku Michelson i Morley udowodnili eksperymentalnie, że prędkość światła w próżni nie zależy od ruchu Ziemi wokół Słońca.

5.2 Względność jednoczesności zdarzeń

Dwa zdarzenia nazwiemy jednoczesnymi, jeżeli obserwator stwierdza, że wydarzyły się w tym samym momencie.
Dwa zdarzenia zachodzące w jakiejś odległości od siebie i zachodzące w tym samym czasie dla pewnego obserwatora w jednym układzie odniesienia nie muszą być jednoczesne w innym układzie odniesienia. Jednoczesność zdarzeń w szczególnej teorii względności nie jest bezwzględna.

5.3 Dylatacja czasu

Dylatacją czasu nazwiemy wydłużenie czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami, obserwowane z poruszającego się układu odniesienia w stosunku do układu spoczynkowego (układu, w którym oba zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu).
Obserwatorzy poruszający się względem siebie z prędkością $v$ nie rejestrują takiego samego upływu czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami. Czas własny $\prefop{\Delta} \tau$ to czas trwania zdarzenia mierzony przez obserwatora, w którego układzie odniesienia początek i koniec zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu. Czas $\prefop{\Delta} t$ mierzony przez obserwatora, względem którego przemieszcza się układ spoczynkowy zdarzeń z prędkością $v$ , jest powiązany z czasem własnym $\prefop{\Delta} \tau$ następującą zależnością
$\prefop{\Delta} t = \frac{\prefop{\Delta} \tau}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma \prefop{\Delta} \tau \text{,}$
gdzie $\gamma = 1/ \sqrt{1-v^2 / c^2}$ .
Pozorność paradoksu bliźniąt kryje się w jego błędnych założeniach. Jako że bliźniak astronauta porusza się ruchem przyspieszonym i opóźnionym, sytuacja bliźniąt nie jest symetryczna.
Dylatacja czasu zachodzi zawsze, ale przy małych prędkościach jej wpływ można pominąć.
Czas własny to najkrótszy odcinek czasu łączący dwa zdarzenia. Obserwator poruszający się względem zdarzenia zawsze zaobserwuje większy upływ czasu niż w przypadku czasu własnego.

5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności

Prędkość względna jest taka sama dla wszystkich obserwatorów.
Na zmierzoną odległość wpływa ruch obserwatora. Długość własna $L_0$ określa odległość między dwoma punktami mierzoną przez obserwatora będącego w spoczynku względem obu punktów.
Skrócenie długości to inaczej zmniejszenie obserwowanej długości $L$ zdarzenia w stosunku do jego długości własnej $L_0$ , gdy długość ta mierzona jest w układzie odniesienia poruszającym się z prędkością względną $v$ .
Długość własna jest największą możliwą odległością między dwoma punktami. Obserwator poruszający się względem zdarzenia zawsze zaobserwuje mniejszą odległość od długości własnej.

5.5 Transformacja Lorentza

Transformacja Galileusza opisuje, w jaki sposób z wykorzystaniem mechaniki klasycznej opisać współrzędne, prędkość i przyspieszenie mierzone w jednym układzie odniesienia, widziane przez obserwatora w innym układzie odniesienia. Długości pozostają niezmienione, a czas mierzony jest względem jednej uniwersalnej skali.
Zasady mechaniki Newtona zostają zachowane we wszystkich układach inercjalnych po zastosowaniu transformacji Galileusza: $x = x' + v t$ , $y = y'$ , $z = z'$ , $t = t'$ .
Pojęcia czasu i odległości są takie same we wszystkich układach inercjalnych zgodnie z transformacją Galileusza. Transformacja ta jednak nie jest zgodna z postulatami szczególnej teorii względności.
Poprawnym przekształceniem z punktu widzenia fizyki relatywistycznej jest transformacja Lorentza. Wzory opisujące ją otrzymujemy poprzez zapewnienie takiej samej formy rozchodzącemu się sferycznie sygnałowi świetlnemu w obu układach odniesienia.
$\begin{matrix} \text{Transformacja Lorentza} & \text{Obrót wokół osi } z \\ \text{(współrzędne } (x, t) \text{):} & \text{(współrzędne } (x, y) \text{):} \\ x' = \gamma x - \beta \gamma c t & x' = x \cos \theta + y \sin \theta \\ c t' = - \beta \gamma x + \gamma c t & y' = -x \sin \theta + y \cos \theta \end{matrix}$
Zjawiska relatywistyczne można wyjaśnić w odniesieniu do geometrycznych własności czterowymiarowej czasoprzestrzeni, w której transformacja Lorentza odpowiada obrotom osi. Z tą różnicą, że w przypadku transformacji Lorentza niezmiennikiem jest $\prefop{\Delta} s$ , a nie odległość $\prefop{\Delta} r$ , co więcej – transformacja Lorentza nie zachowuje skali osi ani ich prostopadłości względem siebie.
Analiza zjawisk relatywistycznych w odniesieniu do czasoprzestrzeni pozwala twierdzić, że zjawiska te są naturalnym następstwem istnienia czasoprzestrzeni, a nie konsekwencją skomplikowanych procesów fizycznych.

5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności

W klasycznym podejściu prędkości dodawane są jak zwyczajne liczby; w przypadku jednowymiarowego ruchu: $u = v + u'$ , gdzie $v$ jest prędkością względną między obserwatorami, $u$ to prędkość ciała w ruchu względem jednego z obserwatorów, a $u'$ odpowiada prędkości tego ciała względem drugiego obserwatora.
Dodawanie prędkości nie może dać wyniku większego od prędkości światła.
Relatywistyczne dodawanie prędkości opisuje prędkości bliskie prędkości światła.

5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera

Obserwator zauważa relatywistyczny efekt Dopplera dla fal elektromagnetycznych, jeżeli źródło tych fal przemieszcza się względem niego. Obserwowana długość fali może być dłuższa od rzeczywistej, gdy źródło oddala się od obserwatora (przesunięcie ku czerwieni) lub krótsza, gdy źródło przemieszcza się w stronę obserwatora (przesunięcie ku fioletowi). Przesunięcie opisywane jest wzorem
$\lambda_{\text{obs}} = \lambda_{\text{źr}} \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1- \frac{v}{c}}} \text{,}$
gdzie $\lambda_{\text{obs}}$ to długość fali obserwowanej, $\lambda_{\text{źr}}$ to długość fali źródła, a $v$ to prędkość źródła względem obserwatora.

5.8 Pęd relatywistyczny

Zasada zachowania pędu obowiązuje także w przypadku pędu relatywistycznego, gdy zewnętrzna siła wypadkowa jest równa zero. Pęd relatywistyczny danego ciała wyraża się wzorem $p = \gamma m u$ , gdzie $m$ to masa spoczynkowa, a $u$ to prędkość ciała względem obserwatora; czynnik relatywistyczny $\gamma = 1/ \sqrt{1 - u^2/c^2}$ .
Dla małych prędkości pęd relatywistyczny można uprościć do klasycznego.
Pęd relatywistyczny dąży do nieskończoności, gdy $u$ dąży do $c$ . Oznacza to, że ciało o niezerowej masie nie może osiągnąć prędkości światła.

5.9 Energia relatywistyczna

Zależność masy i energii w ujęciu relatywistycznym wyraża się wzorem na relatywistyczną energię kinetyczną $E_{\text{k rel}} = E - E_0 = \gamma m c^2 - mc^2 = (\gamma - 1) m c^2$ .
Ciało o masie $m$ i prędkości $u$ posiada energię kinetyczną $E_{\text{k rel}} = (\gamma - 1) m c^2$ , gdzie $\gamma = 1/\sqrt{1- u^2/c^2}$ .
Dla małych prędkości relatywistyczna energia kinetyczna przyjmuje formę klasycznej energii kinetycznej.
Żadne ciało o niezerowej masie nie może osiągnąć prędkości światła, ponieważ energia potrzebna do przyspieszenia go do takiej prędkości ma wartość nieskończoną.
Energia relatywistyczna jest zachowana, gdy weźmiemy pod uwagę, że masa może być zamieniona w energię.
Całkowita energia cząstki o masie $m$ poruszającej się z prędkością $u$ wynosi $E = \gamma m c^2$ , gdzie $\gamma = 1/\sqrt{1- u^2/c^2}$ .
Energia spoczynkowa ciała o masie $m$ wynosi $E_0 = mc^2$ , co oznacza, że masa jest pewną formą energii. Jeśli energia jest magazynowana w ciele, to masa tego ciała wzrasta. Masa może być zniszczona, aby uwolnić energię w niej związaną.
Zazwyczaj nie zauważamy wzrostu lub ubytku masy, bo zmiana ta jest bardzo mała nawet dla dużych zmian energii. Równanie $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ wiąże ze sobą całkowitą energię relatywistyczną $E$ i relatywistyczny pęd $p$ . Przy bardzo dużych prędkościach energię spoczynkową można pominąć, wówczas $E = pc$ .