Rozdział 5

$14\text{N}$, kąt ${56}^{\circ }$ mierzony względem dodatniej półosi $x$

1. W kierunku pionowym działają dwie siły: siła ciężkości skierowana do dołu oraz siła oporu aerodynamicznego powietrza skierowana w górę.
2. Żadna z nich nie jest większa od pozostałych. Siły te równoważą się, mają zatem tę samą wartość.

$\mathrm{0,1}{\text{m/s}}^2$

$40{\text{m/s}}^2$

1. Siła wypadkowa wynosi $\left(\mathrm{159,0}\hat{i}+\mathrm{770,0}\hat{j}\right)\text{N}$;
2. przyspieszenie samochodu to $\left(\mathrm{0,1590}\hat{i}+\mathrm{0,7700}\hat{j}\right){\text{m/s}}^2$.

$a=\mathrm{2,78}{\text{m/s}}^2$

1. $\mathrm{3,0}{\text{m/s}}^2$;
2. 18 N

1. $\mathrm{1,7}{\text{m/s}}^2;$
2. $\mathrm{1,3}{\text{m/s}}^2$

$\mathrm{6,0}\cdot {10}^2$ N

Siła ma określony kierunek i wartość.

Prędkość babeczek przed czynnością hamowania była taka sama, jak prędkość samochodu. Babeczki traktujemy jako osobne ciało poruszające się. Gdy samochód gwałtownie zahamował, babeczki nadal poruszały się do przodu, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona.

Nie. Gdyby siła wypadkowa działająca na ciało wynosiła w tym punkcie zero, to chwilowo wynosząca zero prędkość ciała nie zmieniłaby się. Jest to nieprawda, ponieważ nie obserwujemy sytuacji, w której po osiągnięciu maksymalnej wysokości ciało „zawisa” w powietrzu.

Astronauta w kosmosie pozostaje w stanie nieważkości, ponieważ w jego pobliżu nie znajduje się żadne większe ciało (planeta bądź gwiazda) będące źródłem pola grawitacyjnego. Jego masa wynosi 70 kg niezależnie od miejsca, w którym się znajduje.

Siła, którą działasz na kule ziemską (siła kontaktowa równa twojemu ciężarowi), jest bardzo mała. Masa Ziemi jest nieporównywalnie większa niż twoja. Dlatego też przyspieszenie kuli Ziemskiej w wyniku działania twojego ciężaru jest bardzo małe. Aby to zrozumieć, zastosuj drugie prawo Newtona w celu obliczenia przyspieszenia kuli ziemskiej, zakładając, że twój ciężar wynosi 600 N, a masa Ziemi to $\mathrm{6,00}\cdot {10}^{24}\text{kg}$.

1. Akcja: Ziemia wywiera siłę na Księżyc, reakcja: Księżyc odpowiada siłą reakcji, „popychając” Ziemię;
2. akcja: chłopiec działa siłą na piłkę, reakcja: piłka wywiera siłę reakcji na stopę;
3. akcja: rakieta wypuszcza gaz z dysz rakietowych; reakcja: gaz działa siłą reakcji, co powoduje ruch rakiety do przodu, w przeciwną stronę;
4. samochód działa siłą wsteczną na podłoże, reakcja: podłoże działa siłą reakcji skierowaną w drugą stronę, powodując ruch samochodu do przodu;
5. akcja: skoczek działa na podłoże siłą skierowaną w dół, reakcja: podłoże popycha do góry człowieka, powodując jego ruch w górę;
6. pistolet wypycha pocisk z lufy, reakcja: pocisk, działając siłą reakcji na lufę, powoduje ruch lufy do tyłu.

1. Strzelba (utrzymywana przez nią łuska naboju) wywiera ogromną siłę na kulę, aby ją wyrzucić na zewnątrz. Reakcją na tę siłę jest siła, którą kula wywiera na strzelbę (łuskę) w przeciwnym kierunku.
2. W strzelbie otwartej po jednej stronie, łuska nie jest zatrzymywana, a zatem, gdy kula zostanie popchnięta do przodu, łuska jest poddana działaniu siły reakcji, która prowadzi do wyrzucenia jej z drugiego końca lufy. Nie można więc stać za bezodrzutową strzelbą.

1. Tak, siła może być skierowana w lewo. Wówczas cząstka dozna opóźnienia i będzie stopniowo spowalniać swój ruch.
2. Tak, siła może być skierowana w dół. Przykładem jest ciężar cząstki. Mimo tego, cząstka może poruszać się w prawo.

To dwie siły: siła ciężkości książki oraz siła reakcji od podłoża (siła nacisku).

1. ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\left(\mathrm{5,0}\hat{i}+\mathrm{10,0}\hat{j}\right)\text{N}$;
2. wartość siły wypadkowej to $F_{\text{wyp}}=11\text{N}$, a jej kąt w stosunku do dodatniej półosi x to $\theta ={63}^{\circ }$.

1. Wektor siły wypadkowej to ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\left(\mathrm{660,0}\hat{i}+\mathrm{150,0}\hat{j}\right)\text{N}$;
2. wartość siły wypadkowej wynosi ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\mathrm{676,6}\text{N}$, a jej kąt względem liny Dawida to $\theta =12\mathrm{,}{8}^{\circ }$.

1. ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\left(\mathrm{95,0}\hat{i}+\mathrm{283,0}\hat{j}\right)\text{N}$;
2. wartość siły to 299 N, skierowana ${71}^{\circ }$ na północny-wschód;
3. ${\overrightarrow{F}}_{\text{DS}}=-\left(\mathrm{95,0}\hat{i}+\mathrm{283,0}\hat{j}\right)\text{N}$

Biegnąc od momentu spoczynku, podczas przyspieszania sprinter w końcu osiągnie prędkość $v=\mathrm{12,96}\text{m/s}$. Czas, w którym przyspieszał, znajdziemy z relacji: $x=\mathrm{20,00}\text{m}=0+\mathrm{0,5}a{t}_1^2$ lub inaczej $t_1=\mathrm{3,086}\text{s}$. W momencie, w którym zaczął utrzymywać stałą prędkość swojego ruchu, $x_2=v{t}_2$ lub inaczej $t_2=x_2\mathrm{/}v=\mathrm{80,00}\text{m}\mathrm{/}\mathrm{12,96}\text{m/s}=\mathrm{6,173}\text{s}$. Całkowity czas ruchu sprintera wynosi więc 9,259 s.

1. $m=\mathrm{56,0}\text{kg}$;
2. $a_{\text{zmierzone}}=a_{\text{astro}}+a_{\text{stat}}\mathrm{,}\text{gdzie}{a}_{\text{stat}}=\frac{m_{\text{astro}}{a}_{\text{astro}}}{m_{\text{stat}}}$;
3. Gdyby siła wywierana na astronautę mogłaby pochodzić z jakiegokolwiek innego źródła niż statek, nie doznawałby on odrzutu.

$F_{\text{wyp}}=\mathrm{4,12}\cdot {10}^5\text{N}$

$a=253{\text{m/s}}^2$

$F_{\text{wyp}}=F-T=ma\Rightarrow F=\mathrm{1,26}\cdot {10}^3\text{N}$

$$\begin{gathered} v^2=v_0^2+2ax\Rightarrow a=-\mathrm{7,80}{\text{m/s}}^2 \\ {F}_{\text{wyp}}=-\mathrm{7,80}\cdot {10}^3\text{N} \end{gathered}$$

1. ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=m\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\mathrm{9,0}\hat{i}{\text{m/s}}^2$;
2. Wartość przyspieszenia wynosi $\mathrm{9,0}{\text{m/s}}^2$, więc droga to $x=110\text{m}$.

$\left(\mathrm{1,6}\hat{i}-\mathrm{0,8}\hat{j}\right){\text{m/s}}^2$

1. $$\begin{gathered} Q_{\text{Księżyc}}=m{g}_{\text{Księżyc}} \\ m=150\text{kg} \\ {Q}_{\text{Ziemia}}=\mathrm{1,5}\cdot {10}^3\text{N} \end{gathered}$$
2. Masa astronauty w kombinezonie jest taka sama, niezależnie od tego, gdzie się znajduje, wynosi zawsze $150\text{kg}.$

1. $$\begin{gathered} F_h=\mathrm{3,68}\cdot {10}^3\text{oraz} \\ Q=\mathrm{7,35}\cdot {10}^2\text{N} \\ \frac{F_h}{Q}=\text{5 razy większe niż ciężar pasażera} \end{gathered}$$
2. $$\begin{gathered} F_{\text{wyp}}=3750\text{N} \\ \theta =11\mathrm{,}{3}^{\circ }\text{względem kierunku poziomego} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Q=\mathrm{19,6}\text{N} \\ {F}_{\text{wyp}}=\mathrm{5,40}\text{N} \\ {F}_{\text{wyp}}=ma\Rightarrow a=\mathrm{2,70}{\text{m/s}}^2 \end{gathered}$$

$\left(\mathrm{0,60}\hat{i}-\mathrm{8,4}\hat{j}\right){\text{m/s}}^2$

497 N

1. $F_{\text{wyp}}=\mathrm{2,64}\cdot {10}^7\text{N};$
2. Siła wywierana na pokład statku to również $\mathrm{2,64}\cdot {10}^7\text{N}$, skierowana jest przeciwnie do kierunku ruchu pocisku po wystrzale.

Siłę ciężkości podręcznika do historii, definiowaną jako jej oddziaływanie z polem grawitacyjnym Ziemi, zapiszmy jako ${\overrightarrow{F}}_{\text{ZH}}=-14\hat{j}\text{N}.$ Oprócz tego książka oddziałuje jedynie z podręcznikiem do fizyki. Ponieważ przyspieszenie książki do historii wynosi zero, siła wypadkowa na nią działająca również jest zerowa, co możemy zapisać jako: ${\overrightarrow{F}}_{\text{FH}}+{\overrightarrow{F}}_{\text{ZH}}=\overrightarrow{0}\mathrm{,}$ gdzie ${\overrightarrow{F}}_{\text{FH}}$ to siła wywierana przez podręcznik z fizyki na ten od historii. Dlatego też ${\overrightarrow{F}}_{\text{FH}}=-{\overrightarrow{F}}_{\text{ZH}}=-\left(-14\hat{j}\right)\text{N}=14\hat{j}\text{N}.$ Założyliśmy w zadaniu, że podręcznik do fizyki działa na podręcznik do historii siłą 14 N skierowaną w górę. Jeżeli chodzi o podręcznik do fizyki, działają na niego trzy siły: ${\overrightarrow{F}}_{\text{ZP}}$ pochodząca od oddziaływania grawitacyjnego, ${\overrightarrow{F}}_{\text{HF}}$ pochodząca od podręcznika do historii oraz ${\overrightarrow{F}}_{\text{SF}}$ jako siła reakcji od stołu. Gdy ciężar podręcznika do fizyki wynosi 18 N, wówczas siła ${\overrightarrow{F}}_{\text{EP}}=-18\hat{j}\text{N}.$ Na podstawie trzeciego prawa Newtona możemy zapisać, że ${\overrightarrow{F}}_{\text{HF}}=-{\overrightarrow{F}}_{\text{FH}}$, więc łatwo znaleźć siłę ${\overrightarrow{F}}_{\text{HF}}=-14\hat{j}\text{N}.$ Drugie prawo Newtona, zastosowane do obliczenia siły wypadkowej działającej na podręcznik do fizyki wygląda tak: $\sum \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}\mathrm{,}$ lub inaczej ${\overrightarrow{F}}_{\text{SF}}+{\overrightarrow{F}}_{\text{ZF}}+{\overrightarrow{F}}_{\text{HF}}=\overrightarrow{0}\mathrm{,}$ tak więc ${\overrightarrow{F}}_{\text{SF}}=-\left(-18\hat{j}\right)-\left(-14\hat{j}\right)=32\hat{j}\text{N}.$ Zatem na podstawie powyższych rozważań można powiedzieć, że stół wywiera siłę reakcji działającą na książkę do fizyki o wartości 32 N. Aby rozwiązać to zagadnienie, musieliśmy skorzystać zarówno z drugiego, jak i trzeciego prawa Newtona.

a. Rozkład sił działających na pierścień mocujący nogę to:

b. $N=mg\mathrm{,}F=2N\cos \theta =2mg\cos \theta$

1. $$\begin{gathered} F_{\text{wyp}}=Ma\mathrm{,}{F}_1=1350\text{N}\mathrm{,}{F}_2=1365\text{N} \\ 9\left(F_2-F_1\right)=9\left(m_1+m_2\right)a\mathrm{,}{m}_1=68\text{kg}\mathrm{,}{m}_2=73\text{kg} \\ a=\mathrm{0,11}{\text{m/s}}^2. \end{gathered}$$
   Wygra więc drużyna złożona z cięższych zawodników.
   
2. 
   $$\begin{gathered} N-9F_1=9m_{\perp }a\Rightarrow N=9m_{\perp }a+9F_1 \\ =\mathrm{1,2}\cdot {10}^4\text{N} \end{gathered}$$

1. $N=\mathrm{1,96}\cdot {10}^{-4}\text{N};$
   
2. $$\begin{gathered} N^{\prime }=\mathrm{4,71}\cdot {10}^{-4}\text{N} \\ \frac{N^{\prime }}{N}=\mathrm{2,40} \end{gathered}$$

1. patrz Przykład 5.13
2. 1,5 N
3. 15 N

1. 5,6 kg
2. 55 N
3. $N_2=\mathrm{60,0}\text{N}$
4. 

1. $\mathrm{4,9}{\text{m/s}}^2$, 17 N
2. 9,8 N

5,90 kg

1. $F_{\text{wyp}}=\frac{m\left(v^2-v_0^2\right)}{2x}$;
2. 2590 N

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\left(\mathrm{4,05}\hat{i}+\mathrm{12,0}\hat{j}\right)\text{N} \\ {\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=m\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\left(\mathrm{0,405}\hat{i}+\mathrm{1,20}\hat{j}\right){\text{m/s}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}={\overrightarrow{F}}_{\text{A}}+{\overrightarrow{F}}_{\text{B}} \\ {\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=A\hat{i}+\left(-\mathrm{1,41}A\hat{i}-\mathrm{1,41}A\hat{j}\right) \\ {\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=A\left(-\mathrm{0,41}\hat{i}-\mathrm{1,41}\hat{j}\right) \\ \theta ={254}^{\circ } \end{gathered}$$

Ciało o masie 1 kg poddano działaniu sił ${\overrightarrow{F}}_{\text{A}}$ , ${\overrightarrow{F}}_{\text{B}}$ , oraz $m\overrightarrow{g}$ . Jeżeli ciało porusza się w lewo z przyspieszeniem o wartości $\mathrm{0,20}{\text{m/s}}^2$ , jakie są wartości sił ${\overrightarrow{F}}_{\text{A}}$ i ${\overrightarrow{F}}_{\text{B}}$ ?

$F=2kmx$; Na początku oblicz pochodną prędkości, aby otrzymać przyspieszenie ciała $a=2kx$. Później przyspieszenie wstaw do wyrażenia opisującego drugie prawo Newtona: $F=ma=m\left(2kx\right)=2kmx$.

1. W przypadku pudełka A, $N_{\text{A}}=mg$, a w przypadku pudełka B $N_{\text{B}}=mg\cdot \cos \theta$;
2. b. $N_{\text{A}}>N_{\text{B}}$ ponieważ dla $\theta <{90}^{\circ }$ $\cos \theta <1$
3. $N_{\text{A}}>N_{\text{B}}$ gdy $\theta ={10}^{\circ }$

1. 8,66 N;
2. 0,433 m

0,40 lub inaczej 40%

16 N

1. 
2. Nie wszystkie siły powinny zostać naniesione na taki diagram; siła ${\overrightarrow{F}}_{\text{R}}$ nie została naniesiona, ponieważ jest wypadkową sił ${\overrightarrow{F}}_1$ i ${\overrightarrow{F}}_2$.

1. 14,1 m/s
2. 601 N

$\frac{F}{m}{t}^2$

936 N

$$ $\overrightarrow{a}=\left(-248\hat{i}-433\hat{j}\right){\text{m/s}}^2$

$\mathrm{0,548}{\text{m/s}}^2$

1. $N_1=\frac{2mg}{\sin \theta }$, $N_2=\frac{mg}{\sin \left(\text{arctg}\left(\frac{1}{2}\text{tg}\theta \right)\right)}$, $N_3=\frac{2mg}{\text{tg}\theta }$
2. $\varphi =\text{arctg}\left(\frac{1}{2}\text{tg}\theta \right)$
3. $2\mathrm{,}{56}^{\circ }$
4. $x=d\left(2\cos \theta +2\cos \left(\text{arctg}\left(\frac{1}{2}\text{tg}\theta \right)\right)+1\right)$

1. $\overrightarrow{a}=\left(\frac{\mathrm{5,00}}{m}\hat{i}+\frac{\mathrm{3,00}}{m}\hat{j}\right){\text{m/s}}^2$
2. 1,38 kg
3. 21,2 m/s
4. $\overrightarrow{v}=\left(\mathrm{18,1}\hat{i}+\mathrm{10,9}\hat{j}\right){\text{m/s}}^2$

1. $\left(\mathrm{0,900}\hat{i}+\mathrm{0,600}\hat{j}\right)\text{N}$
2. 1,08 N