William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

5.7 Rozkłady sił działających na ciała

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać zasady rysowania diagramów sił działających na ciała;
tworzyć tego typu diagramy dla różnych sytuacji fizycznych.

Istotnym krokiem rozwiązania zagadnienia fizycznego z zakresu dynamiki jest rozpatrzenie wszystkich sił działających na analizowany element układu. W niniejszym podrozdziale zbadamy wiele sytuacji, aby nauczyć się, jak przeprowadzić taką analizę w sposób graficzny. Pamiętaj, że rysunek sił działających na ciało powinien uwzględniać jedynie siły zewnętrzne. Analizowane sytuacje mogą dotyczyć ciał spoczywających bądź poruszających się ruchem jednostajnym, gdzie stosujemy pierwsze prawo Newtona ( $F_{wyp} = 0$ ), lub ciał przyspieszających ( $F_{wyp} \neq 0$ ).

W podrozdziale Pojęcie siły sformułowaliśmy podstawowe zasady tworzenia diagramu ilustrującego rozkład siły działających na dane ciało. W tym podrozdziale omówimy to zagadnienie bardziej szczegółowo.

Strategia rozwiązywania zadań

Tworzenie diagramów sił działających na analizowany element układu

Zapoznaj się z kilkoma zasadami rysowania diagramów sił działających na ciało:

Narysuj analizowany przez ciebie obiekt (to może być bardzo schematyczny rysunek). Możesz zacząć od zakreślenia badanego obiektu (ciała), aby skupić uwagę na siłach działających na to ciało. Jeżeli traktujesz ciało jako punktowe (jego kształt i wielkość są nieistotne), to możesz zobrazować je jako punkt, zwykle wygodnie jest umieścić badane ciało w początku układu współrzędnych $x y$ .
Narysuj wszystkie działające na to ciało siły, uwzględniając ich wartość, kierunek i zwrot. Uwzględnij każdy typ sił, który analizowaliśmy w poprzednich podrozdziałach. Pamiętaj jednak, te siły, które ciało wywiera na swoje otoczenie, oraz siły wewnętrzne nie powinny zostać uwzględnione.
Nadaj teraz swojemu diagramowi bardziej szczegółową formę, rozkładając siły na składowe $x$ i $y$ (jest to bardzo przydatne przy rozwiązywania zagadnień z wykorzystaniem pierwszej i drugiej zasady dynamiki). Dokonując tego rozkładu przekreślaj wyjściową siłę wężykiem, aby pamiętać, że nie należy już jej brać pod uwagę (została w sposób całkowicie równoważny zastąpiona przez swoje składowe).
Jeżeli w układzie znajduje się więcej niż jedno ciało, narysuj diagram sił osobno dla każdego z nich w ten sam sposób.

Uwaga: Jeżeli układ ma pewne przyspieszenie, nie nanosimy go bezpośrednio na diagram sił działających na ciało. Możemy zaznaczyć je w formie wektora obok naszego rysunku. Warto użyć innego koloru, by zaznaczyć, że wektor przyspieszenia nie jest częścią rozkładu sił.

Zastosujmy to podejście do przykładu znajdującego się na rysunku Ilustracja 5.32(a), pokazującego sanie znajdujące się na płaszczyźnie. Na rysunku (b), pokazaliśmy rysunek rozkładu sił działających na sanie zarówno bez (b), jak i z rozłożeniem (c) siły P na składowe wzdłuż osi $x$ - i $y$ .

Rysunek a pokazuje sanie o masie 15 kg. Strzałką P oznaczono siłę ciągu sań, której wektor ma kierunek nachylony pod kątem 30 stopni do poziomu. Rysunek b i c pokazuje rozkład sił działających na sanie, z uwzględnieniem siły ciężkości Q zwróconej w dół, siły normalne N w górę oraz siły P. Rysunek c to ten sam diagram, lecz z naniesionymi składowymi wektora P wzdłuż osi x i y. — Ilustracja 5.32 (a) Poruszające się sanie; (b) rozkład sił działających na sanie; (c) ten sam rozkład uwzględniający rozłożoną na składowe siłę P.

Przykład 5.14

Klocki na równi pochyłej

Narysuj rozkład sił działających na ciała A i B na równi pochyłej, jak pokazano na Ilustracji 5.33.

Strategia rozwiązania

Zastosujmy do rozwiązania tego zagadnienia metodą opisaną wyżej.

Rozwiązanie

Na początku zaczniemy analizować jedynie obiekt A na Ilustracji 5.33(a). Klocek ten zaznaczono szarą obwódką i oznaczono jako A.

Rysunek a przedstawia dwa ciała spoczywające na równi pochyłej, z tym że ciało A spoczywa na ciele B. Rysunek pokazujący rozkład sił działających na ciała zawiera siłę naciągu (oznaczoną tym razem jako F) w górę równi równolegle do zbocza, siłę N subscript BA skierowaną w górę prostopadle do powierzchni równi, siłę tarcia T subscript BA skierowaną w dół równi, równolegle do jej zbocza oraz siłę ciężkości QA, skierowaną w dół, w stronę centrum kuli Ziemskiej. Rysunek b pokazuje rozkład sił działających na obiekt B. W tym przypadku, siłę N subscript B skierowaną w górę prostopadle do powierzchni równi, siłę tarcia T subscript BA oraz T subscript B, obydwie skierowane w górę równi, równolegle do jej zbocza, siłę N subscript AB skierowaną w dół w stronę równi, prostopadle do zbocza oraz siłę ciężkości QB, skierowaną w dół, w stronę centrum kuli Ziemskiej. — Ilustracja 5.33 (a) Rozkład sił działających na element A układu. (b) Diagram sił działających na obiekt B. Porównując oba rysunki widzimy, że siła tarcia skierowana jest na nich w przeciwne strony. Dzieje się tak, ponieważ ciało A doświadcza siły, która pcha je w prawo, przez co siła tarcia musi być zwrócona w lewą stronę. W przypadku ciała B, siła ta zwrócona jest odwrotnie. Siła tarcia zawsze ma zwrot przeciwny do kierunku ruchu.

Rozpatrzmy wszystkie siły działające na ciała na równi. Siła ciężkości działa na każde z nich i jest skierowana w dół, prostopadle do podstawy równi. Siła naciągu pochodząca od sznura, który wciąga w górę równi dwa klocki, zaznaczona została od obiektu w górę równi, równolegle do jej powierzchni. Klocek A posiada jedną powierzchnię styczną z klockiem B, dlatego też doświadcza działania siły prostopadłej do powierzchni styku. Źródłem tej siły jest obiekt B. Ponieważ obiekt B dąży do zsunięcia się z równi, obiekt A będzie się przemieszczał względem niego w górę. Siła tarcia $T_{BA}$ jest więc skierowana w dół.

Klocek B doświadcza działania dwóch sił nacisku. Jedna z nich pochodzi od kontaktu z równią pochyłą ( $R_{B}$ ), a druga z kontaktu z klockiem A ( $R_{AB}$ ). Działą też na niego siła tarcia $T_{B}$ skierowana w górę równi, równolegle do niej. Widoczna na rysunku siła tarcia $T_{AB}$ wynika z kontaktu dwóch klocków ze sobą. Zwrot tej siły jest taki sam, jak siły $T_{B}$ .

Znaczenie

Każdy z analizowanych obiektów w układzie został zakreślony na szaro. Gdy pierwszy raz podchodzisz do zagadnienia związanego z analizą rozkładu sił działających na ciała, zakreślanie kolejnych ciał może ci znacząco pomóc w odseparowaniu od siebie elementów układu. Dzięki temu zauważysz, które siły są rzeczywiście zewnętrzne i istotne, a które pochodzą z wewnątrz układu.

Przykład 5.15

Dwa złączone klocki

Przyłożono siłę do dwóch złączonych ze sobą klocków, jak pokazano na rysunku.

Strategia rozwiązania

Narysuj rozkład sił działających na każdy z klocków. Zastosuj trzecie prawo Newtona, aby zauważyć, co dzieje się na styku dwóch ciał.

Na rysunku pokazano dwa klocki stykające się ze sobą. Mniejszy klocek ma masę m1, natomiast drugi z nich, większy, masę m2. Przyłożono do układu siłę F skierowaną w prawo, równolegle do podłoża.

Rozwiązanie

Rysunek pokazuje rozkład sił działających na poszczególne klocki. Po lewej stronie rysunku znajduje się rozkład sił na masę m1. Widoczny jest wektor A 21 zwrócony w lewo oraz siłę F działającą w prawo. Obok znajduje się podobny diagram, lecz dla ciała większego o masie m2. Jedną z sił oznaczono jako A 12, i zwrócona jest ona w prawo. Na obydwóch rysunkach są również dwie strzałki w kierunku pionowym, zwrócone do siebie przeciwnie i mające równią długość..

Znaczenie

Siła

{\vec{A}}_{21}

to siła reakcji wywierana przez klocek 2 na 1. Z kolei siła

{\vec{A}}_{12}

to siła reakcji wywierana przez klocek 1 na 2.

Przykład 5.16

Klocek na stole

Na stole spoczywa klocek, jak na poniższym rysunku. Przez nieważki bloczek przerzucono nieważką nić, którą połączono klocek na stole z drugim klockiem, swobodnie wiszącym w powietrzu. Klocek drugi o masie

m_{2}

, na który działa siła ciężkości, powoduje występowanie w układzie przyspieszenia.

Strategia rozwiązania

Załóżmy, że nić jest nieważka i nierozciągliwa. Wówczas nie musimy traktować jej jako osobny obiekt w układzie. Narysujmy diagramy sił działających na dwa klocki.

Rysunek pokazuje klocek o masie m1 znajdujący się na poziomym stole. Klocek ten połączono z drugim klockiem o masie m2, który połączono z pierwszy za pomocą nieważkiej i nierozciągliwej nici, którą przerzucono przez bloczek. Klocek m2 wisi swobodnie w powietrzu.

Rozwiązanie

Rysunek a pokazuje klocek o masie m1. Strzałką m1g oznaczono siłę ciężkości tego klocka, i skierowano ją w dół. W górę działa siła normalna N. W prawą stronę klocka działa siła naciągu nici, tym razem oznaczona jako T. Rysunek b pokazuje rozkład sił, lecz tym razem dla klocka m2. Działają na niego dwie siły: m2g skierowana w dół oraz siła naciągu T, skierowana w górę.

Znaczenie

Każdy z klocków ma przyspieszenie odpowiednio

{\vec{a}}_{1}

i

{\vec{a}}_{2}

. Jako że nić jest nierozciągliwa, obydwa klocki mają to samo przyspieszenie,

{\vec{a}}_{1} = {\vec{a}}_{2}

. Zatem rozwiązując to zagadnienie, możemy przyspieszenie liniowe układu nazwać po prostu

\vec{a}

. Tworzymy dwa diagramy sił, osobno dla każdego z klocków. Umożliwi to znalezienie siły naciągu nici

N

poprzez rozwiązanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Ponieważ nić traktujemy jako nieważką, siła naciągu nici jest jednakowa na całej jej długości.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.10

(a) Narysuj wszystkie siły działające na obydwie masy pokazane na poniższym rysunku. (b) Wykonaj podobny rysunek, rozkładając siły ciężkości dwóch ciał na równi na wektory składowe. Użyj układów współrzędnych z osiami $x$ wzdłuż równi.

Dwa ciała połączono nieważką i nierozciągliwą nicią, którą przerzucono przez bloczek znajdujący się na szczycie równi. Każde z ciał spoczywa na jednej równi, które zostały ze sobą zetknięte. Ciało o masie m1 spoczywa na równi znajdującej się po lewej stronie, natomiast ciało m2 po prawej.

Materiały pomocnicze

Zapoznaj się z symulacją aby przeanalizować, jak siły zewnętrzne wpływają na ruch obiektów. Skorzystaj z rysunków zawierających rozkłady sił działających na te ciała. Możesz również narysować wykresy pokazujące zależności prędkości i przyspieszenia ciała. Wyjaśnij, jak te zależności są ze sobą powiązane.