William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Rozdział 6

Sprawdź, czy rozumiesz

6.1

$F_{wag} = 645 N$

6.2

$a = 3,68 {m/s}^{2},$ $N = 18,4 N$

6.3

$T = \frac{2 m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g$ (Ten wynik można otrzymać, wstawiając wyrażenie na przyspieszenie z Ilustracji 6.7(a) do wyrażenia na siłę naciągu na Ilustracji 6.7(b).)

6.4

1,49 s

6.5

$49, 4^{\circ}$

6.6

128 m; nie

6.7

a. 4,9 N; b. 0,98 m/s²

6.8

$−0,23 {m/s}^{2}$ ; znak „minus” oznacza, że snowboardzista zwalnia.

6.9

0,40

6.10

34 m/s

6.11

0,27 kg/m

Pytania

1.

Waga łazienkowa, podobnie jak astronauci, znajduje się w stanie nieważkości, więc jej wskazania są równe 0. Nie ma żadnej różnicy między pozorną nieważkością występującą na orbicie a tą, która występuje podczas swobodnego spadku samolotu treningowego.

3.

Jeśli gwałtownie naciśniesz na pedał hamulca, koła samochodu zablokują się tak, że nie będą się już toczyć po podłożu. Występuje wówczas tarcie ślizgowe, a nagła zmiana (ze względu na większą siłę tarcia statycznego) powoduje szarpanie.

5.

5,00 N

7.

Siła dośrodkowa jest definiowana jako dowolna siła wypadkowa powodująca jednostajny ruch po torze kołowym. Siła dośrodkowa nie jest nowym rodzajem siły. Odnosi się ona do jakiejkolwiek siły, która utrzymuje ciało w ruchu po okręgu. Siła ta może być naprężeniem, grawitacją, tarciem, przyciąganiem elektrycznym, normalną siłą lub jakąkolwiek inną siłą. Jakakolwiek ich kombinacja może być źródłem siły dośrodkowej, na przykład siła dośrodkowa działająca na kulkę na nitce obracaną w płaszczyźnie pionowej w jej najwyższym położeniu jest wynikiem zarówno naciągu nici, jak i ciężaru.

9.

Kierowca, który „ścina” zakręt (tor 2) porusza się po torze o łagodniejszej krzywiźnie i większym promieniu. Jeśli kierowca zbyt szybko wejdzie w zakręt po torze nr 2, wyślizgnie się z toru. Kluczem jest utrzymanie maksymalnej wartości tarcia statycznego. Kierowca dąży do utrzymania maksymalnej prędkości i maksymalnego tarcia. Rozważmy równanie siły dośrodkowej: $F_{d} = m v^{2} / r$ gdzie $v$ jest szybkością a $r$ jest promieniem krzywizny toru. Zatem zwiększając promień krzywizny toru (zmniejszając $1 / r$ ) zmniejszamy siłę, jaką opony muszą wywierać na drogę. Oznacza to, że możemy zwiększyć prędkość $v$ . Patrząc na to z punktu widzenia kierowcy na torze 1 możemy to wyjaśnić w ten sposób: im ostrzejszy jest skręt, tym mniejsza jest krzywizna toru. Im mniejszy promień krzywizny, tym większa jest wymagana siła dośrodkowa. Jeśli siła dośrodkowa nie byłaby wywierana, to efektem byłby poślizg auta.

11.

Bęben wirówki wywiera siłę dośrodkową na ubrania (zawierające krople wody), aby utrzymać je w ruchu po okręgu. Gdy kropla wody trafi do jednego z otworów w bębnie, będzie poruszać się po torze stycznym do okręgu i zostanie wyrzucona poza bęben.

13.

Jeśli nie ma tarcia, to nie występuje siła dośrodkowa. Oznacza to, że pojemnik będzie poruszał się wzdłuż ścieżki stycznej do okręgu, czyli ścieżki $B$ . Ślad na kurzu będzie prosty. Jest to konsekwencja pierwszej zasady dynamiki Newtona.

15.

Aby utrzymać ruch po okręgu konieczne jest działanie siły dośrodkowej, którą zapewnia gwóźdź na środku. Trzecia zasada dynamiki Newtona wyjaśnia to zjawisko. Siłą sprawczą (akcji) jest siła wywierana na masę przez strunę. Siłą reakcji jest siła wywierana przez masę na strunę. To właśnie siła reakcji powoduje, że struna jest napięta.

17.

Ponieważ tarcie opon o podłoże wywołuje siłę dośrodkową, a tarcie jest bliskie 0, to gdy samochód wjeżdża w lód, będzie poruszał się linii prostej stycznej to toru. Jest to zgodne z pierwszą zasadą dynamiki Newtona. Powszechnym błędnym wyobrażeniem jest to, że samochód będzie podążał po torze zakrzywionym.

19.

Anna ma rację. Satelita wykonuje spadek swobodny do Ziemi, nawet jeśli grawitacja jest słabsza na wysokości satelity i $g$ nie jest równe $9,80 {m/s}^{2}$ . Spadek swobodny nie zależy od wartości przyspieszenia ziemskiego $g$ . Na przykład można doświadczyć spadku swobodnego również na Marsie, skacząc np. z Olympus Mons (najwyższy wulkan w Układzie Słonecznym).

21.

Zalety używania kombinezonu: (1) zmniejsza siłę oporu działającą na sportowca, dzięki czemu łatwiej jest mu się poruszać; (2) kombinezon jest ciasny, dzięki czemu zmniejsza pole przekroju poprzecznego sportowca (nawet mała zmiana może mieć istotny wpływ na uzyskany wynik w zawodach). Wady używania kombinezonu: (1) skoro kombinezon jest ciasny, to może wywoływać ucisk i utrudniać oddychanie; (2) utrudniona jest wymiana ciepła z otoczeniem, przez co przy długotrwałym stosowaniu, sportowiec może się przegrzać.

23.

Olej posiada mniejszą gęstość niż woda, więc będzie osiadał na powierzchni warstwy podczas opadów delikatnego deszczu. Tworzy to bardzo niebezpieczną powłokę o zmniejszonym współczynniku tarcia, przez co samochód może łatwiej wpaść w poślizg. Podczas intensywnego deszczu krople oleju zostają rozproszone, co nie wpływa tak istotnie na ruch samochodu.

Zadania

25.

a. 170 N; b. 170 N

27.

${\vec{F}}_{3} = \hat{i} \cdot (- 7 N) + \hat{j} \cdot 2 N + \hat{k} \cdot 4 N$

29.

376 N skierowana poziomo w górę (wzdłuż przerywanej linii na rysunku). Siła ta jest wykorzystywana do podnoszenia pięty.

31.

−68,5 N

33.

a. $7,70 {m/s}^{2}$ ; b. 4,33 s

35.

a. 46,4 m/s; b. $2, 40 \cdot 10^{3} m / s^{2}$ ; c. $5, 99 \cdot 10^{3} N$ ; stosunek równy 245

37.

a. $1, 87 \cdot 10^{4} N$ b. $1, 67 \cdot 10^{4} N$ c. $1, 56 \cdot 10^{4} N$ d. 19,4 m, 0 m/s

39.

a. 10 kg; b. 90 N; c. 98 N; d. 0

41.

a. $3,35 {m/s}^{2}$ ; b. 4,2 s

43.

a. $2,0 {m/s}^{2};$ b. 7,8 N; c. 2,0 m/s

45.

a. $0,933 {m/s}^{2}$ (ciężarek 1 porusza się ruchem przyspieszonym w górę, zaś ciężarek 2 opada w dół z tym samym przyspieszeniem); b. 21,5 N

47.

a. 10,0 N; b. 97,0 N

49.

a. $4,9 {m/s}^{2}$ ; b. Szafka się nie przesunie. c. Szafka się przesunie.

51.

a. 32,3 N, $35,2 °;$ b. 0; c. $0,301 {m/s}^{2}$ w kierunku działania siły $F_{wyp}$

53.

$\begin{matrix} wyp F_{y} & = & 0 \Rightarrow R = m g cos θ \\ wyp F_{x} & = & m a \\ a & = & g (sin θ - μ_{k} cos θ) \end{matrix}$

55.

a. $1,69 {m/s}^{2};$ b. ${5,71}^{\circ}$

57.

a. $10,8 {m/s}^{2};$ b. $7,85 {m/s}^{2};$ c. $2,00 {m/s}^{2}$

59.

a. $9,09 {m/s}^{2};$ b. $6,16 {m/s}^{2};$ c. $0,294 {m/s}^{2}$

61.

a. 272 N, 512 N; b. 0,268

63.

a. 46,5 N; b. $0,629 {m/s}^{2}$

65.

a. 483 N; b. 17,4 N; c. 2,24, 0,0807

67.

$4, 14^{\circ}$

69.

24,6 m;
$36,6 {m/s}^{2};$
3,73 raza większe od $g$

71.

a. 16,2 m/s; b. 0,234

73.

a. 179 N; b. 290 N; c. 8,3 m/s

75.

20,7 m/s

77.

21 m/s

79.

115 m/s lub 414 km/h

81.

$v_{gr} = 25 m/s; v_{2} = 9,9 m/s$

83.

${(\frac{110}{65})}^{2} = 2,86$ raza

85.

Prawo Stokesa ma następującą postać: $F_{s} = 6 π r η v .$ Przekształcając równanie tak, aby otrzymać lepkość uzyskamy: $η = F_{s} / (6 π r v)$ . Rachunek jednostek tego wyrażenia prowadzi do następującej zależności: $[η] = k g / (m \cdot s)$ .

87.

$0, 76 k g / (m \cdot s)$

89.

a. 0,049 kg/s; b. 0,57 m

91.

1860 N, 2,53;
Siła 1860 N to ok. 2 razy więcej niż spodziewamy się doświadczać w typowej windzie. Siła oddziaływania w typowej windzie jest obliczona przy założeniu, że w ciągu 2 s winda zdąży zwiększyć prędkość tylko do wartości 4,5 m/s.
Końcowa prędkość dana w zadaniu osiągana w ciągu 2 s jest ogromna (30,0 m/s to przecież 108 km/h!). Oznacza to, że przyspieszenie windy jest nieracjonalnie duże.

93.

189 N

95.

15 N

97.

12 N

Zadania dodatkowe

99.

$a_{x} = 0,40 {m/s}^{2}$ i $T = 11, 2 \cdot 10^{3} N$

101.

$m (6 p t + 2 q)$

103.

$\vec{v} (t) = (\frac{p t}{m} + \frac{n t^{2}}{2 m}) \hat{i} + (\frac{q t^{2}}{2}) \hat{j}$ i $\vec{r} (t) = (\frac{p t^{2}}{m} + \frac{n t^{3}}{6 m}) \hat{i} + (\frac{q t^{2}}{60 m}) \hat{j}$