Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać równania na siłę dośrodkową;
  • stosować drugą zasadę dynamiki Newtona do wyprowadzania wyrażania na siłę dośrodkową;
  • stosować wiedzę na temat ruchu obrotowego w zadaniach z dynamiki.

W rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach analizowaliśmy podstawy ruchu po okręgu. Ciało poruszające się po torze kołowym, jak na przykład samochody wyścigowe przedstawione na początku tego rozdziału, musi posiadać przyspieszenie, ponieważ ciągle zmienia się kierunek wektora jego prędkości. Wykazaliśmy, że przyspieszenie skierowane do środka okręgu, zwane przyspieszeniem dośrodkowym, jest wyrażone wzorem:

a d = v 2 r a d = v 2 r

gdzie v v oznacza prędkość ciała skierowaną stycznie w punkcie do toru ruchu ciała. Jeśli znamy prędkość kątową ciała ω ω, możemy wykorzystać następującą zależność:

a d = r ω 2 . a d = r ω 2 .

Przyspieszenie kątowe opisuje szybkość, z jaką ciało pokonuje zakręt, wyrażoną w rad/s. Przyspieszenie, o którym była mowa, działa wzdłuż promienia krzywizny toru i nazywane jest również przyspieszeniem normalnym lub radialnym.

Przyspieszenie powstaje zawsze na skutek działania jakiejś siły. Przyspieszenie dośrodkowe może zostać wywołane przez dowolną siłę lub układ sił działających na ciało. Przykładami mogą być siła naciągu liny wahadła, siła grawitacji wywierana przez Ziemię na Księżyc, tarcie między łyżworolkami a podłożem, siła wywierana na samochód na zakręcie, czy też siła wywierana na obiekty w wirówce. Każda siła wypadkowa wywołująca jednostajny ruch po okręgu nazywana jest siłą dośrodkową (ang. centripetal force). Jest ona zawsze skierowana wzdłuż promienia krzywizny toru, podobnie jak przyspieszenie dośrodkowe. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona siła jest iloczynem masy i przyspieszenia: F wyp = m a F wyp = m a . W jednostajnym ruchu po okręgu przyspieszenie jest równe przyspieszeniu dośrodkowemu: a = a d a = a d . Stąd wartość siły dośrodkowej F d F d wynosi:

F d = m a d . F d = m a d .

Podstawiając wyrażenie na przyspieszenie dośrodkowe a d a d ( a d = v 2 / r ; a d = r ω 2 ) ( a d = v 2 /r; a d =r ω 2 ), otrzymujemy dwa równania na siłę dośrodkową F d F d pokazujące jej zależność od masy, prędkości, prędkości kątowej i promienia krzywizny:

F d = m v 2 r ; F d = m r ω 2 . F d = m v 2 r ; F d = m r ω 2 .
6.3

Oba równania wyrażają to samo, więc możemy je stosować zamiennie. Siła dośrodkowa F d F d jest zawsze prostopadła do toru i skierowana jest do środka jego krzywizny, ponieważ a d a d jest prostopadłe do prędkości i skierowane do środka krzywizny toru. Zwróć uwagę, że jeśli przekształcisz pierwsze wyrażenie tak, aby obliczyć r r, otrzymasz:

r = m v 2 F d . r = m v 2 F d .

Oznacza to, że w przypadku danej masy i prędkości duża siła dośrodkowa powoduje mały promień krzywizny, jak to zostało przedstawione na Rysunku 6.20.

Na rysunku przedstawiono dwa półokręgi będące fragmentem toru ruchu punktu materialnego. Półokrąg po lewej ma promień r, który jest większy od promienia r' w półokręgu przedstawionym po prawej stronie. W obu przypadkach ruch odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Promień krzywizny r jest przedstawiony jako strzałka z początkiem w środku półokręgu i z końcem w miejscu położenia punktu materialnego. Wektor siły dośrodkowej F sub d przyłożony jest do punktu materialnego, skierowany wzdłuż, ale przeciwnie do promienia. Wektor prędkości v jest styczny do toru i tym samym prostopadły do siły dośrodkowej. W obu przypadkach wektor prędkości jest taki sam, natomiast promień krzywizny r' jest mniejszy od r. Mniejszy promień krzywizny jest związany z większą siłą dośrodkową. Ponadto na rysunku zaznaczono, że wektor siły dośrodkowej F sub d jest równoległy do wektora przyspieszenia dośrodkowego a sub d.
Rysunek 6.20 Siła dośrodkowa jest prostopadła do wektora prędkości i wywołuje jednostajny ruch po okręgu. Im większa jest siła dośrodkowa F d F d , tym mniejszy jest promień krzywizny r r toru, zaś gdy siła dośrodkowa F d F d jest mniejsza, to promień krzywizny r r jest większy (przy założeniu tej samej prędkości v v ).

Przykład 6.15

Jaki powinien być współczynnik tarcia, aby bezpiecznie pokonać zakręt?

(a) Oblicz siłę dośrodkową wywieraną na auto o masie 900,0 kg, które pokonuje zakręt o promieniu krzywizny 500,0 m z prędkością 25,00 m/s. (b) Zakładając, że zakręt jest płaski, oblicz minimalny współczynnik tarcia statycznego pomiędzy oponami i drogą, aby auto nie wpadło w poślizg (Rysunek 6.21).
Na rysunku pokazano samochód, odjeżdżający od obserwatora i skręcający w lewo na płaskiej powierzchni. Zaznaczono następujące siły: ciężar skierowany pionowo w dół, siłę normalną pionowo w górę oraz tarcie równe F sub d razy mu sub s skierowaną poziomo w lewo. Siły R i Q są przyłożone do środka masy auta, zaś siła tarcia jest przyłożona w miejscu styku opon z podłożem. Przedstawiono również rozkład sił działających na auto, gdzie wszystkie te siły przyłożone są do tego samego punktu.
Rysunek 6.21 Samochód odjeżdża od obserwatora i skręca w lewo na płaskiej powierzchni. Siła dośrodkowa powodująca zakrzywienie toru powstaje na skutek działania siły tarcia pomiędzy oponami i podłożem. Aby auto nie wypadło z drogi, potrzebny jest odpowiednio duży współczynnik tarcia. Wówczas samochód będzie poruszał się po torze kołowym o założonym promieniu krzywizny.

Strategia rozwiązania

  1. Wiemy, że F d = m v 2 / r F d =m v 2 /r. Zatem
    F d = m v 2 r = 900 , 0 k g ( 25 , 00 m / s ) 2 500 , 0 m = 1125 N . F d = m v 2 r = 900 , 0 k g ( 25 , 00 m / s ) 2 500 , 0 m =1125 N .
  2. Rysunek 6.21 pokazuje siły działające na samochód na płaskim zakręcie. Tarcie skierowane w lewo chroni auto przed poślizgiem, a ponieważ tarcie jest jedyną siłą działającą w płaszczyźnie poziomej, to tarcie w tym przypadku jest równe sile dośrodkowej. Wiemy, że maksymalna siła tarcia statycznego (przy której koła się obracają, a nie ślizgają) jest równa μ s R μ s R, gdzie μ s μ s jest współczynnikiem tarcia statycznego, a R R jest siłą normalną. Siła normalna co do wartości jest równa ciężarowi samochodu na płaszczyźnie poziomej, więc R = m g R=mg. Zatem siła dośrodkowa w tym przypadku jest równa
    F d = T = μ s R = μ s m g . F d = T = μ s R = μ s m g .

    Otrzymaliśmy w ten sposób zależność pomiędzy siłą dośrodkową i współczynnikiem tarcia. Korzystając z zależności
    F d = m v 2 r , F d = m v 2 r ,

    otrzymujemy
    m v 2 r = μ s m g . m v 2 r = μ s m g .

    Przekształcając to równanie tak, aby obliczyć μ s μ s , dochodzimy do zależności
    μ s = v 2 r g . μ s = v 2 r g .

    Podstawiając wielkości dane w treści zadania, obliczamy wartość współczynnika tarcia statycznego
    μ s = ( 25 , 00 m / s ) 2 500 , 0 m 9 , 80 m / s 2 = 0 , 13. μ s = ( 25 , 00 m / s ) 2 500 , 0 m 9 , 80 m / s 2 =0,13.

Znaczenie

Współczynnik tarcia obliczony w zadaniu jest dużo mniejszy od wartości zazwyczaj wymienianych jako współczynnik tarcia między oponą a asfaltem. Jeśli współczynnik ten byłby większy niż 0,13, to samochód nadal pokonywałby zakręt, ponieważ tarcie statyczne jest siłą zdolną przyjmować wartości mniejsze lub równe μ s R μ s R. Większy współczynnik tarcia pozwoliłby również na pokonanie zakrętu z większą prędkością, zaś gdyby współczynnik ten był mniejszy, to bezpieczna prędkość byłaby niższa niż 25 m/s. Zwróć uwagę, że współczynnik tarcia nie zależy od masy, co oznacza, że pokonanie zakrętu bez poślizgu na płaskiej powierzchni nie będzie zależne od tego, jak ciężkie jest auto. Nieco inaczej sytuacja wygląda w przypadku, gdy zakręt jest nachylony a nie płaski. Wówczas siła normalna będzie mniejsza. Dokładniej opiszemy to w następnym przykładzie.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.9

Samochód poruszający się z prędkością 96,8 km/h pokonuje zakręt o promieniu krzywizny 182,9 m na płaskiej, polnej drodze. Ile musi wynosić współczynnik tarcia, aby samochód nie wpadł w poślizg i nie wypadł z drogi?

Profilowany zakręt

Rozważmy teraz ruch po wyprofilowanym (pochylonym) zakręcie (ang. banked curve), gdzie nachylenie drogi pomaga nam ten zakręt pokonać (Rysunek 6.22). Im większy jest kąt pochylenia drogi θ θ, tym szybciej możesz przejechać przez zakręt. Tory wyścigowe dla rowerów, jak również dla samochodów, często mają stromo pochylone zakręty. Idealnie wyprofilowany zakręt to taki, który mógłbyś przejechać z daną prędkością bez udziału tarcia pomiędzy oponami a podłożem. Wyprowadźmy zatem wzór na kąt pochylenia drogi θ θ w przypadku takiego idealnie wyprofilowanego zakrętu.

Na rysunku przedstawiono auto na pochyłym zakręcie, które oddala się od obserwatora i skręca w lewo. Zaznaczony jest kąt theta względem pionu oraz narysowany rozkład sił działających na samochód. Występują następujące siły: ciężar Q skierowany pionowo w dół oraz siła normalna R skierowana pod kątem theta do pionu. Ponadto zaznaczono pionową i poziomą składową siły R. Przedstawione są również zależności: R razy cos theta równa się Q oraz R razy sin theta równa się sile dośrodkowej oraz jednocześnie jest równe sile wypadkowej.
Rysunek 6.22 Auto na pochyłym zakręcie oddala się od obserwatora i skręca w lewo.

Dla idealnie nachylonego zakrętu (ang. ideal banking) wypadkowa sił zewnętrznych jest równa sile dośrodkowej (bez udziału tarcia). Składowe siły normalnej R R w kierunku poziomym i pionowym muszą być równe odpowiednio sile dośrodkowej i ciężarowi samochodu. W sytuacji, w której siły nie są równoległe, najlepiej jest rozważyć składowe wzdłuż prostopadłych osi – w tym przypadku w kierunku pionowym i poziomym.

Rysunek 6.22 przedstawia rozkład sił działających na samochód na gładkim, pochyłym zakręcie. Jeśli kąt θ θ jest optymalny, to wypadkowa sił zewnętrznych jest równa sile dośrodkowej. Na samochód działają dwie siły zewnętrzne: ciężar Q Q oraz siła normalna prostopadła do drogi R R . (Gładka powierzchnia może wywierać jedynie siłę prostopadłą do powierzchni - czyli siłę normalną). Suma tych dwóch sił daje siłę wypadkową, która skierowana jest poziomo do środka krzywizny zakrętu i ma wartość m v 2 / r m v 2 /r. Ponieważ siła ta jest pozioma, używamy układu współrzędnych z pionowymi i poziomymi osiami. Tylko siła normalna ma składową poziomą, więc pełni ona rolę siły dośrodkowej:

R sin θ = m v 2 r . R sin θ = m v 2 r .

Skoro samochód nie odrywa się od powierzchni drogi, to wypadkowa sił działających w pionie musi być równa zero. Oznacza to, że pionowe siły bądź ich składowe muszą być równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane. Z Rysunku 6.22 wynika, że jedynymi siłami działającymi w pionie są: składowa pionowa siły normalnej R cos θ Rcosθ oraz siła ciężkości. Muszą być one równe co do wartości, zatem

N cos θ = m g . N cos θ = m g .

Teraz możemy powiązać te dwa równania, aby wyznaczyć R R i otrzymać wyrażenie na θ θ. Przekształćmy drugie równanie do postaci R = m g / cos θ R=mg/cosθ i podstawmy do pierwszego równania. Wówczas otrzymamy:

m g sin θ cos θ = m v 2 r m g tg θ = m v 2 r tg θ = v 2 r g . m g sin θ cos θ = m v 2 r m g tg θ = m v 2 r tg θ = v 2 r g .

Za pomocą funkcji odwrotnej do tangensa (arcus tangens) wyznaczamy wyrażenie na wartość kąta w postaci:

θ = arctg ( v 2 r g ) . θ = arctg ( v 2 r g ) .
6.4

Wyrażenie to pomaga zrozumieć, jaki jest związek pomiędzy θ θ i v v oraz r r. Duża wartość kąta θ θ występuje dla dużych prędkości v v i małego promienia krzywizny r r. Oznacza to, że drogi muszą być stromo nachylone, aby można było ostre zakręty pokonywać z dużą prędkością. Dodatkowo pomocne okazuje się tarcie, które pozwala pokonywać zakręt z większą prędkością niż w przypadku gładkiej powierzchni drogi. Zwróć uwagę, że θ θ nie zależy od masy pojazdu.

Przykład 6.16

Jaka jest idealna szybkość, aby pokonać stromo nachylony, wąski zakręt?

Zakręty na torach wyścigowych są często bardzo stromo pochylone. Taka geometria zakrętu w połączeniu z tarciem kół o asfalt oraz odpowiednio stabilną konstrukcją samochodu pozwala pokonywać zakręty z bardzo dużą prędkością. Dla zobrazowania tej zależności oblicz prędkość, z jaką można przejechać gładki zakręt o promieniu krzywizny 100,0 m nachylony pod kątem 31 31 .

Strategia rozwiązania

Zauważmy, że wszystkie wielkości potrzebne do obliczenia kąta nachylenia idealnie wyprofilowanego zakrętu są dane. W związku z tym wystarczy, że przekształcimy to równanie tak, aby otrzymać z niego zależność na szukaną prędkość.

Rozwiązanie

Zaczynając od
tg θ = v 2 r g , tg θ = v 2 r g ,

po przekształceniu otrzymujemy równanie

v = r g tg θ . v = r g tg θ .

Wiedząc, że tg 31 = 0 , 609 tg 31 =0,609, otrzymujemy następującą wartość liczbową:

v = 100 , 0 m 9 , 80 m s 2 0 , 609 = 24 , 4 m s . v= 100 , 0 m 9 , 80 m s 2 0 , 609 =24,4 m s .

Znaczenie

Wartość ta odpowiada prędkości 165 km/h, z jaką można pokonywać raczej stromo nachylone i ostre zakręty. Uwzględnienie dodatkowo tarcia opon o podłoże pozwala znacząco zwiększyć dopuszczalną prędkość.

Samoloty również przechylają się, gdy wykonują zakręt. Siła nośna działa pod kątem prostym do powierzchni skrzydeł. Gdy samolot przechyla się, uzyskuje większą siłę nośną niż wymagana na tej wysokości. Pionowa składowa siły nośnej równoważy ciężar samolotu, zaś pozioma składowa jest przyczyną jego przyspieszenia dośrodkowego. Kąt przechylenia jest oznaczony na Rysunku 6.23 za pomocą symbolu θ θ. Analiza sił przebiega tu w sposób analogiczny jak w zadaniu z samochodem pokonującym stromy zakręt.

Rysunek przedstawia samolot lecący w kierunku obserwatora, nachylony zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara pod kątem theta względem pionu. Do samolotu przyłożone są siły: ciężar Q skierowany pionowo w dół oraz siła nośna L skierowana prostopadle do skrzydeł, pod kątem theta do pionu. Składowa pozioma siły nośnej L jest oznaczona jako L sub pozioma i skierowana w prawo.
Rysunek 6.23 Podczas wykonywania zakrętu składowa pozioma siły nośnej nie jest zrównoważona żadną inną siłą i staje się przyczyną przyspieszenia dośrodkowego. Z kolei składowa pionowa równoważy ciężar samolotu. Kąt przechylenia samolotu jest oznaczony jako θ θ . Porównaj graficzny rozkład sił działających na samolot z rozkładem sił przedstawionych na Rysunku 6.22.

Materiały pomocnicze

Uruchom symulację i przyłącz się do biedronki, by wraz z nią odkrywać ruch po okręgu. Zakręć karuzelą, wybierając stałą prędkość kątową lub stałe przyspieszenie kątowe. Sprawdź, jak ruch obrotowy wpływa na położenie x y xy, prędkość i przyspieszenie biedronki, posługując się odpowiednimi wykresami i wektorami.

Materiały pomocnicze

Warunkiem istnienia ruchu po okręgu jest działanie tzw. siły dośrodkowej, która skierowana jest wzdłuż promienia, do wewnątrz toru kołowego. Uproszczony model karuzeli obrazuje tę siłę.

Siły bezwładności, układy nieinercjalne i siła Coriolisa

Co mają ze sobą wspólnego: start samolotu odrzutowego, pokonywanie zakrętu samochodem, jazda na karuzeli i ruch obrotowy cyklonu tropikalnego? W każdej sytuacji występują siły bezwładności, które wydają się wynikać z ruchu, ponieważ układ odniesienia obserwatora przyspiesza lub obraca się. Zapewne większość ludzi stwierdzi, że podczas startu samolotu pasażerowie są wciskani w fotel, ponieważ samolot przyspiesza wzdłuż pasa startowego. Z kolei fizyk patrzący na sytuację z zewnątrz stwierdzi, że pasażer pozostaje nieruchomy, podczas gdy fotel naciska na człowieka. Jeszcze powszechniej znane są doznania pojawiające się, kiedy kierowca samochodu wykonuje ostry zakręt – na przykład w prawo, jak to zostało przedstawione na Rysunku 6.24. Osoba kierująca czuje, jakby była wyrzucana w lewo względem samochodu i wciskana w drzwi auta. Jeśli na tylnym siedzeniu znajduje się jakiś przedmiot, np. piłka, to zacznie ona turlać się w lewo względem siedzenia. Z kolei fizyk obserwujący sytuację z zewnątrz stwierdziłby, że piłka porusza się po linii prostej, zaś to samochód porusza się w prawo.

Na rysunku przedstawiono widok z góry na samochód i kierowcę. Siła pozorna działająca na kierowcę, oznaczona jako F sub pozorna skierowana jest poziomo w lewo. Na rysunku b przedstawiony jest ten sam samochód z kierowcą, ale na samochód działa siła F sub rzeczywista skierowana poziomo w prawo. Na rysunku b kierująca autem jest przechylana w lewą stronę.
Rysunek 6.24 (a) Piłka turla się w lewo, kiedy kierowca wykonuje skręt w prawą stronę. Jest to siła inercjalna wynikająca z wybrania samochodu jako układu odniesienia. (b) W układzie odniesienia związanym z Ziemią, piłka porusza się po linii prostej, przestrzegając pierwszej zasady dynamiki Newtona, zaś samochód porusza się w prawo. Nie występuje siła działająca na piłkę skierowana w lewo w stosunku do Ziemi.

Możemy pogodzić te punkty widzenia, sprawdzając użyte układy odniesienia. Skupmy się na osobie w aucie. Pasażerowie instynktownie używają samochodu jako układu odniesienia, a fizycy chętniej będą odnosić się do Ziemi. Fizyk dokonuje takiego wyboru, ponieważ Ziemia jest niemal inercjalnym układem odniesienia, w którym wszystkie siły mają zidentyfikowane pochodzenie fizyczne. W takim układzie odniesienia zasady dynamiki Newtona przyjmują formę przedstawioną w rozdziale Zasady dynamiki Newtona. Samochód stanowi nieinercjalny układ odniesienia (ang. noninertial frame of reference), ponieważ porusza się on z niezerowym przyspieszeniem względem układu inercjalnego (Ziemi). Siła wyczuwana przez pasażerów i skierowana w lewo nazywana jest siłą bezwładności (ang. inertial force), nie mającą fizycznego pochodzenia (jest spowodowana bezwładnością pasażera, a nie fizyczną przyczyną, taką jak napięcie, tarcie lub grawitacja). Samochód, a także kierowca, faktycznie przyspieszają w prawo.

Fizyk wybiera dowolny układ odniesienia najbardziej dogodny dla analizowanej sytuacji. Może równie dobrze uwzględnić siły bezwładności i drugą zasadę dynamiki Newtona, jeśli takie podejście jest wygodniejsze, na przykład dla ciał fizycznych na karuzeli lub na obracającej się planecie. Nieinercjalne (przyspieszane) układy odniesienia stosuje się wówczas, gdy jest to użyteczne w odniesieniu do analizowanego zagadnienia. W dyskusji o ruchu astronauty w kosmosie, który przemieszcza się z prędkością zbliżoną do prędkości światła, należy rozważyć różne układy odniesienia, z czego zdasz sobie sprawę podczas rozważań na temat szczególnej teorii względności.

Wyobraźmy sobie jazdę na szybko obracającej się karuzeli (Rysunek 6.25). Wybieramy karuzelę jako układ odniesienia, ponieważ obraca się on razem z nami. W tym nieinercjalnym układzie odniesienia czujemy działanie siły bezwładności, która wyrzuca nas na zewnątrz. Jednak jest to wyłącznie siła pozorna. Potocznie nazywamy ją siłą odśrodkową (nie mylić z siłą dośrodkową). W układzie odniesienia związanym z Ziemią nie ma siły, która chciałaby cię wyrzucić na zewnątrz, gdyż siła odśrodkowa to twór czysto umowny. Owszem, musisz kurczowo trzymać się karuzeli, ale po to, by poruszać się po okręgu i nie wypaść z niego po linii prostej do przodu.

Na rysunku a przedstawiono widok z góry na karuzelę, w której siedzące na koniku dziecko porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową omega. Siła F sub pozorna jest równa sile dośrodkowej w punkcie styku masztu trzymającego konia i powierzchni karuzeli. Siła ta jest skierowana na zewnątrz wzdłuż promienia. Jest to przypadek układu odniesienia związanego z karuzelą. Na rysunku b widzimy inercjalny układ odniesienia. Karuzela porusza się z prędkością kątową omega w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, a dziecko na koniku ma to same położenie co na rysunku a. Siła wypadkowa jest równa sile dośrodkowej, która skierowana jest do środka koła wzdłuż promienia. Oprócz rzeczywistego położenia dziecka przedstawiono również dwa cienie. Jeden prezentuje położenie dziecka we wcześniejszej chwili czasu, zaś drugi wskazuje położenie jakie dziecko miałoby, gdyby siła wypadkowa wyniosła zero (poruszałoby się po linii prostej, a nie po okręgu).
Rysunek 6.25 (a) Dziecko na karuzeli czuje, jakby było z niej wyrzucane. Siła bezwładności jest czasami mylnie nazywana siłą odśrodkową w celu wyjaśnienia ruchu jeźdźca w obracającym się układzie odniesienia. (b) W inercjalnym układzie odniesienia, zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, bezwładność unosi jeźdźca po linii prostej stycznie do toru (cień jeźdźca pokazuje przypadek, gdy F wyp = 0 F wyp = 0 ). Siła F dośrodkowa F dośrodkowa jest niezbędna, aby zakrzywiać tor ruchu.

Ruch po okręgu oraz siły bezwładności skutecznie wykorzystuje się w wirówkach (Rysunek 6.26). Wirówka bardzo szybko obraca próbką w probówce. Z punktu widzenia obserwatora w obracającym się układzie odniesienia siła bezwładności wyrzuca cząstki na zewnątrz, przyspieszając ich osiadanie. Im większa jest prędkość kątowa, tym większa jest siła odśrodkowa. Jednakże tak naprawdę to bezwładność kieruje cząstki wzdłuż linii stycznej do okręgu, podczas gdy probówka jest kierowana po torze kołowym za pomocą siły dośrodkowej.

Ilustracja probówki w wirówce, poruszającej się w kółko zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową omega. Probówka jest przedstawiona w dwóch różnych pozycjach: na dole okręgu i około 45 stopni później. Jest zorientowana wzdłuż promienia z otwartym końcem bliżej osi obrotu. Analizowana zawartość znajduje się na dole probówki. Pokazane są następujące wektory: W dolnym położeniu przyspieszenie dośrodkowe a sub c jest skierowane radialnie do środka, prędkość v i siła bezwładności są ustawione poziomo w kierunku ruchu. Krótko później, gdy probówka przesuwa się w górę iw lewo, przyspieszenie dośrodkowe a sub c skierowane jest wzdłuż promienia do środka, siła bezwładności jest skierowana na lewo, a siła odśrodkowa wzdłuż promienia na zewnątrz. Napisane jest, że cząstka porusza się w lewą stronę, gdy probówka się podnosi, zatem ze względu na bezwładność porusza się w dół względem probówki.
Rysunek 6.26 Wirówki wykorzystują bezwładność do wykonywania swoich zadań. Cząsteczki w osadach płynnych osadzają się, ponieważ ich bezwładność unosi je na zewnątrz od osi obrotu. Duża prędkość kątowa wirówki przyspiesza sedymentację. Ostatecznie cząstki stykają się z ściankami rurki testowej, które następnie dostarczają siłę dośrodkową potrzebną do poruszania się po okręgu o stałym promieniu.

Zastanówmy się teraz, co się stanie, jeśli ciało się porusza w obracającym się układzie odniesienia. Na przykład jeśli puścisz piłkę bezpośrednio ze środka karuzeli, jak przedstawiono na Rysunku 6.27. Piłka porusza się po linii prostej w stosunku do Ziemi (zakładając pomijalne tarcie) i po torze zakrzywionym w prawo w stosunku do karuzeli. Osoba stojąca obok karuzeli widzi piłkę poruszającą się prosto, zaś pod nią kręcącą się karuzelę. W układzie odniesienia związanym z karuzelą wyjaśniamy zakrzywienie toru piłki w prawo, stosując siłę bezwładności zwaną siłą Coriolisa (ang. Coriolis force). Siła Coriolisa może być użyta w tym układzie odniesienia, aby wyjaśnić, dlaczego obiekty poruszają się po zakrzywionych torach i tym samym pozwala na stosowanie zasad dynamiki Newtona w nieinercjalnych układach odniesienia.

(a) Punkty A i B leżą na promieniu karuzeli. Punkt A jest bliżej środka niż B. Pokazanych jest też dwoje dzieci na koniach, ale na innych promieniach niż A i B. Karuzela jest obracana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową omega. Piłka przesuwa się z punktu A na zewnątrz. Tor ruchu względem Ziemi jest prosty. (b) Przedstawione są położenia początkowe A i B piłki oraz położenia w kolejnej chwili czasu (A i B prim). Tor ruchu względem karuzeli jest zakrzywiony.
Rysunek 6.27 Gdy spoglądamy z góry na ruch obrotowy karuzeli w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zauważamy, że piłka przesuwana prosto od środka w stronę krawędzi porusza się po torze zakrzywionym w prawo. Osoba przesuwa piłkę od punktu A do punktu B. Oba punkty obracają się do pozycji A' i B' w tym samym czasie, gdy piłka porusza się po zakrzywionym torze w obracającym się układzie odniesienia i po linii prostej w układzie odniesienia związanym z Ziemią.

Do tej pory uważaliśmy Ziemię za inercjalny układ odniesienia, nie troszcząc się wcale lub niewiele o skutki spowodowane jej obrotem. Istnieją jednak takie skutki i nie można ich pominąć - na przykład w stosunku do zjawisk pogodowych. Większość konsekwencji obrotu Ziemi może być jakościowo rozumiana przez analogię z karuzelą. Gdyby spojrzeć z góry na biegun północny, Ziemia obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, podobnie jak karuzela na Rysunku 6.27. Podobnie jak na karuzeli, każdy ruch na półkuli północnej Ziemi doświadcza działania siły Coriolisa na prawo. Odwrotnie dzieje się na półkuli południowej. Tam siła jest skierowana w lewo. Ponieważ prędkość kątowa Ziemi jest mała, siła Coriolisa jest znikoma, ale dla ruchów w dużej skali, takich jak wiatr, prądy powietrzne, ten efekt jest znaczący.

Siła Coriolisa powoduje, że huragany na półkuli północnej obracają się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, podczas gdy cyklony tropikalne na półkuli południowej obracają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. (Określenia huragan, tajfun i tropikalna burza to specyficzne dla regionu nazwy cyklonów, które są systemami burzowymi charakteryzującymi się ośrodkami niskiego ciśnienia, silnymi wiatrami i deszczami). Rysunek 6.28 pomaga wyjaśnić, jak się to odbywa. Powietrze płynie w kierunku dowolnego obszaru niskiego ciśnienia. Jako że tropikalne cyklony zawierają szczególnie niskie ciśnienia, wiatr dociera do ich środka lub do centrum systemu pogodowego o niskim ciśnieniu. Na półkuli północnej te wewnętrzne wiatry są odchylane w prawo, jak pokazano na rysunku, wytwarzając obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara na powierzchni dowolnych stref niskiego ciśnienia. Niskie ciśnienie na powierzchni wiąże się z unoszącym się powietrzem, co powoduje również chłodzenie i tworzenie się chmur. Sprawia to, że ​​charakterystyczne obrazy niskociśnieniowe są często dobrze widoczne z kosmosu. Z drugiej strony, cyrkulacja powietrza w strefach wysokiego ciśnienia jest zgodna z ruchem wskazówek zegara na półkuli południowej, ale jest mniej widoczna, ponieważ wysokie ciśnienie wiąże się z opadającym powietrzem, wywołując czyste, bezchmurne niebo.

(a) Zdjęcie satelitarne huraganu. Chmury tworzą spiralę obracającą się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. (b) Schemat przepływu powietrza związanego z huraganem. Ciśnienie jest niskie w środku. Proste, ciemnoniebieskie strzałki wskazują na środek ze wszystkich kierunków. Pokazano cztery takie strzałki: z północy, wschodu, południa i zachodu. Wiatr, reprezentowany przez jasno niebieskie strzałki, ma początki w tych samych miejscach co ciemne strzałki, ale odchyla się w prawo. (c) Ciśnienie jest niskie w środku. Ciemnoniebieski okrąg wskazuje obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Jasno niebieskie strzałki kierują się do środka ze wszystkich stron i odchylają w prawo, tak jak na rysunku (b). (d) Teraz ciśnienie jest wysokie w środku. Ciemnoniebieski krąg ponownie wskazuje kierunek ruchu wskazówek zegara, ale jasnoniebieskie strzałki zaczynające się w środku skierowane są na zewnątrz i odchylają się w prawo. (e) Zdjęcie satelitarne tropikalnego cyklonu. Chmury tworzą spiralę obracającą się zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.
Rysunek 6.28 (a) Obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara huraganu na półkuli północnej jest główną konsekwencją siły Coriolisa. (b) Bez siły Coriolisa powietrze wpłynęłoby prosto do strefy niskiego ciśnienia, jaka występuje w tropikalnych cyklonach. (c) Siła Coriolisa zakrzywia kierunek wiatru w prawo, powodując obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. (d) Wiatr wypływający ze strefy wysokiego ciśnienia jest również odchylany w prawo, powodując obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara. (e) Przeciwny kierunek obrotów jest wytwarzany przez siłę Coriolisa na półkuli południowej, co prowadzi do tropikalnych cyklonów. (rysunki a i e: zmodyfikowane na podstawie materiałów NASA).

Ruch obrotowy cyklonów tropikalnych i zakrzywiony tor ruchu piłki na karuzeli można wyjaśnić bezwładnością i obrotem układu, w którym te obiekty znajdują się pod spodem. Jeśli wykorzystywane są układy nieinercjalne, należy znaleźć siłę bezwładności, taką jak siła Coriolisa, aby wyjaśnić zakrzywiony tor ruchu. Nie ma żadnego możliwego do zidentyfikowania fizycznego źródła istnienia tych sił bezwładności. W inercjalnym układzie odniesienia bezwładność wyjaśnia tor ruchu, a żadna siła nie ma niezidentyfikowanego źródła. Każdy z tych poglądów pozwala opisać przyrodę, ale obserwacja prowadzona w inercjalnym układzie odniesienia jest najprostsza w tym sensie, że wszystkie siły mają swoje źródła i są łatwe do wyjaśnienia.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.