Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

6.4 Siła oporu i prędkość graniczna

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 16.4 Siła oporu i prędkość graniczna
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać siłę oporu za pomocą odpowiednich wyrażeń matematycznych;
  • opisywać przykłady zastosowania siły oporu;
  • definiować prędkość graniczną;
  • obliczać prędkość graniczną ciała o znanej masie.

Innym przykładem interesującej siły, którą spotykamy w życiu codziennym, jest siła oporu wywierana na ciała poruszające się w płynie (czyli cieczy lub gazie). Na przykład czujesz działanie siły oporu, kiedy przesuwasz otwartą dłoń pod wodą. Podobny efekt odczuwasz, gdy próbujesz przesunąć otwartą dłoń w trakcie silnego wiatru. Im szybciej poruszasz ręką, tym trudniej jest wykonać ten ruch. Poczujesz mniejszą siłę oporu, jeśli obrócisz dłoń „na płasko”, tzn. tak, aby jak najmniejsza powierzchnia dłoni musiała przechodzić przez ośrodek (wodę, powietrze). Zmniejszysz wówczas powierzchnię zwróconą w kierunku ruchu.

Siły oporu

Podobnie jak tarcie, siła oporu (ang. drag force) zawsze przeciwstawia się ruchowi ciała. Jednakże w przeciwieństwie do tarcia siła oporu jest proporcjonalna do pewnej funkcji prędkości ciała w danym płynie. Funkcja ta jest skomplikowana i zależy od kształtu obiektu, jego wielkości, prędkości i płynu, w jakim obiekt się znajduje. Dla większości dużych obiektów, takich jak rowerzyści czy samochody, które nie poruszają się zbyt wolno, wartość siły oporu F op F op jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała. Zależność tą można zapisać matematycznie jako F op v 2 F op v 2 . Jeśli uwzględnimy również inne czynniki, to pełne wyrażenie przyjmie postać:

F op = 1 2 C ρ S v 2 , F op = 1 2 C ρ S v 2 ,
6.5

gdzie C C współczynnikiem oporu ośrodka, S S jest polem przekroju poprzecznego ciała (polem przekroju prostopadłego do kierunku wektora prędkości ciała), zaś ρ ρ jest gęstością ośrodka (płynu). (Przypomnijmy, że gęstość jest ilorazem masy przez objętość.) Równanie to może również zostać zapisane w uogólnionej formie jako F op = b v 2 , F op = b v 2 , gdzie b b jest stałą równą 0,5 C ρ S . 0,5 C ρ S . Warto zwrócić uwagę, że wykładnik potęgi prędkości jest równy 2 wówczas, gdy zakładamy ruch ciała z dużą prędkością. Natomiast, jak to zostanie wykazane w rozdziale Mechanika płynów, dla małych cząstek poruszających się wolno w płynie wykładnik potęgi prędkości jest równy 1.

Siła oporu

Siła oporu F op F op jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała. Matematycznie można to zapisać następująco:

F op = 1 2 C ρ S v 2 , F op = 1 2 C ρ S v 2 ,

gdzie C C jest współczynnikiem oporu, S S jest przekrojem poprzecznym ciała, zaś ρ ρ jest gęstością cieczy.

Sportowcy oraz projektanci pojazdów wyścigowych dążą do tego, żeby zmniejszyć siłę oporu i w konsekwencji skrócić czas potrzebny na przejechanie okrążenia w wyścigu (Rysunek 6.29). W tym celu nadają swoim pojazdom aerodynamiczne (opływowe) kształty, które pomagają zredukować siłę oporu, a tym samym zmniejszyć zużycie paliwa w pojeździe.

Zdjęcie przedstawia sanie bobslejowe.
Rysunek 6.29 Posiadanie aerodynamicznego kształtu jest kluczowym zagadnieniem dla wielu pojazdów: od samochodów wyścigowych po sanie bobslejowe, gdyż pomaga osiągnąć najwyższe prędkości. Na przykład bobsleje zazwyczaj mają kształt pocisku ze zwężającymi się statecznikami. (Źródło: “U.S. Army”/Wikimedia Commons)

Wartość współczynnika oporu C C jest wyznaczana empirycznie, zazwyczaj przy użyciu tunelu aerodynamicznego (Rysunek 6.30).

Zdjęcie przedstawia model samolotu w tunelu aerodynamicznym.
Rysunek 6.30 Naukowcy NASA testują modele samolotów w tunelach aerodynamicznych. (Źródło: NASA/Ames)

Współczynnik oporu może się zmieniać wraz z prędkością, ale załóżmy tutaj, że jest stały. Tabela 6.2 prezentuje wartości przykładowych współczynników oporu dla wybranych obiektów. Zwróć uwagę, że jest to wielkość bezwymiarowa. Przy prędkościach autostradowych ponad 50% mocy samochodu jest zużywane do pokonywania oporu powietrza. Najbardziej oszczędna z punktu widzenia zużycia paliwa jest prędkość rzędu 70–80 km/h. Z tego powodu w latach 70-tych XX wieku podczas kryzysu paliwowego maksymalna prędkość na autostradach wynosiła 90 km/h.

Obiekt C C
Płat aerodynamiczny 0,05
Toyota Camry 0,28
Ford Focus 0,32
Honda Civic 0,36
Ferrari Testarossa 0,37
Dodge Ram Pickup 0,43
Sfera 0,45
Hummer H2 SUV 0,64
Spadochroniarz (spadający stopami do dołu) 0,70
Rower 0,90
Spadochroniarz (spadający płasko poziomo) 1,0
Okrągły płaski talerz 1,12
Tabela 6.2 Typowe wartości współczynników oporu C C

W świecie sportu prowadzone są badania mające na celu zminimalizowanie oporu. Zmieniane są wymiary piłeczek do golfa, przeprojektowywane są ubrania dla sportowców. Rowerzyści, pływacy i niektórzy biegacze zakładają pełne kombinezony. Na olimpiadzie w Sydney w 2000 roku Australijka Cathy Freeman zdobyła złoty medal, biegając w kombinezonie na dystansie 400 m. Na olimpiadzie w Pekinie w 2008 roku wielu sportowców też używało takich kombinezonów (Speedo). Mogą mieć one ogromne znaczenie dla bicia rekordów świata (Rysunek 6.31). Wielu czołowych pływaków i rowerzystów goli włosy na ciele. Ta pozornie mała zmiana może dać różnicę milisekund, które wpłyną na zdobycie złota zamiast srebra.

Zdjęcie przedstawia pływaków w kombinezonach pływackich.
Rysunek 6.31 Kombinezony pływackie, takie jak LZR Racer Suit, kiedy udostępniono je do sprzedaży w 2008 roku, miały wpływ na ustanawianie wielu rekordów świata. Gładsza powierzchnia zewnętrzna oraz ściśnięta sylwetka zapewniają siłę oporu mniejszą o co najmniej 10%. (Źródło: NASA/Kathy Barnstorff)

Prędkość graniczna

Ciekawe obserwacje związane z drugą zasadą dynamiki Newtona można poczynić, gdy rozważa się ruch ciał, na które działa siła oporu. Na przykład rozważ ruch spadochroniarza spadającego pod wpływem siły ciężkości. Działają na niego dwie siły: grawitacji i oporu (pomijając znikomą siłę wyporu). Skierowana pionowo w dół siła ciężkości pozostaje stała, niezależnie od prędkości ruchu skoczka. Jednakże wraz ze wzrostem prędkości spadochroniarza rośnie siła oporu tak długo, dopóki nie zrówna się ona co do wartości z jego ciężarem. Wówczas siła wypadkowa będzie równa 0. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona zerowa siła wypadkowa oznacza, że ruch spadochroniarza będzie jednostajny (nie występuje przyspieszenie). To z kolei oznacza, że skoczek osiągnął prędkość graniczną (ang. terminal speed) ( v gr ) ( v gr ). Jako że F op F op jest proporcjonalna do kwadratu prędkości, to cięższy spadochroniarz musi spadać szybciej, aby siła oporu F op F op zrównała się z ciężarem. Przeprowadźmy zatem przykładową analizę ilościową.

W momencie osiągnięcia prędkości granicznej

F wyp = m g F op = m a = 0 . F wyp = m g F op = m a = 0 .

Zatem:

m g = F op . m g = F op .

Wykorzystując wyrażenie na siłę oporu, otrzymujemy zależność:

m g = 1 2 C ρ S v gr 2 . m g = 1 2 C ρ S v gr 2 .

Przekształcając to równanie tak, aby obliczyć prędkość graniczą, otrzymujemy wzór:

v gr = 2 m g ρ C S . v gr = 2 m g ρ C S .

Przyjmijmy, że gęstość powietrza jest równa ρ = 1,21 kg/m 3 . ρ = 1,21 kg/m 3 . Spadochroniarz o masie 75 kg spadający głową w dół ma średni przekrój poprzeczny równy S = 0,18 m 2 S = 0,18 m 2 , zaś współczynnik oporu jest równy C = 0,70 C = 0,70 . Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy prędkość graniczną spadku skoczka spadochronowego:

v gr = 2 75 k g 9 , 80 m / s 2 1 , 21 k g / m 2 0 , 70 0 , 18 m 2 = 98 m s = 350 k m h . v gr = 2 75 k g 9 , 80 m / s 2 1 , 21 k g / m 2 0 , 70 0 , 18 m 2 =98 m s =350 k m h .

Oznacza to, że spadochroniarz o masie 75 kg pikujący głową w dół (minimalizujący powierzchnię, na którą działa siła oporu), osiąga prędkość graniczną równą ok. 350 km/h. W pozycji poziomej z rozpostartymi kończynami („na orła”) prędkość ta maleje do ok. 200 km/h, ponieważ większa jest powierzchnia działania siły oporu. Prędkość graniczna ponadto bardzo znacząco by zmalała, jeśli skoczek otworzyłby spadochron.

Przykład 6.17

Prędkość graniczna spadochroniarza

Znajdź prędkość graniczną skoczka spadochronowego o masie 85 kg spadającego poziomo z rozpostartymi kończynami („na orła”).

Strategia rozwiązania

Przy prędkości granicznej F wyp = 0 F wyp =0. Zatem siła oporu działająca na skoczka musi być równa sile ciężkości. Podstawiając wzór na siłę oporu, otrzymujemy m g = ρ C S v 2 / 2 mg=ρCS v 2 /2.

Rozwiązanie

Prędkość graniczna v gr v gr może zostać zapisana w postaci:
v gr = 2 m g ρ C S = 2 85 k g 9 , 80 m / s 2 1 , 21 k g / m 2 1 , 0 0 , 70 m 2 = 44 m s . v gr = 2 m g ρ C S = 2 85 k g 9 , 80 m / s 2 1 , 21 k g / m 2 1 , 0 0 , 70 m 2 =44 m s .

Znaczenie

Wynik ten jest zgodny z wartością v gr v gr obliczoną wcześniej. Spadochroniarz o masie 75 kg pikujący głową w dół osiągnął prędkość graniczną v gr = 98 m / s v gr =98 m / s . Ważył mniej, ale miał mniejszy przekrój poprzeczny, więc działająca na niego siła oporu powietrza była mniejsza.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.10

Oblicz prędkość graniczną spadochroniarza o masie 50 kg spadającego w pozycji „na orła”.

Analiza spadku obiektów o różnych rozmiarach pozwala zaobserwować kolejną zależność dla siły oporu powietrza. Jeśli spadniesz z gałęzi znajdującej się na wysokości 5 m nad powierzchnią ziemi najprawdopodobniej zrobisz sobie krzywdę (być może złamiesz kość). Jednak wiewiórka wykonuje takie spadki nieustannie – i nic jej się nie dzieje. Ty nie zdążysz osiągnąć prędkości granicznej na tak krótkim dystansie, podczas gdy wiewiórka da radę.

Ciekawy cytat na temat związku między rozmiarem ciała zwierzęcia a prędkością graniczną można znaleźć w eseju brytyjskiego biologa J. B. S. Haldane’a, zatytułowanym On Being the Right Size (pol. Mając odpowiedni rozmiar):

„Dla myszy i innych małych zwierząt [grawitacja] nie jest niebezpieczna. Możesz zrzucić myszkę w dół szybu kopalni o głębokości ok. 1000 m (1000 jardów), a ta po upadku dozna tylko lekkiego szoku i odejdzie, pod warunkiem, że ziemia będzie dość miękka. Szczur zginie, człowiek się połamie, koń zostanie rozsmarowany na ziemi. Opór stawiany przez powietrze podczas spadku jest proporcjonalny do powierzchni spadającego ciała. Podziel długość, szerokość i wysokość zwierzęcia na dziesięć. Wówczas jego ciężar zostanie pomniejszony 1000 razy, podczas gdy pole przekroju poprzecznego tylko 100 razy. Zatem opór spadania w przypadku małych zwierząt jest dziesięć razy większy niż siła napędowa spadku.”

Wykorzystywana przez nas wcześniej kwadratowa zależność siły oporu od prędkości nie sprawdza się, jeśli mamy do czynienia z obiektami bardzo małymi, poruszającymi się bardzo wolno lub jeśli ruch odbywa się w ośrodku gęstszym niż powietrze. Wówczas zauważymy, że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze (zależność liniowa). Zależność tę wyraża prawo Stokesa:

Prawo Stokesa

Na ciało o symetrii kulistej spadające w danym ośrodku działa siła oporu równa:

F s = 6 π r η v , F s = 6 π r η v ,
6.6

gdzie r r jest promieniem kuli, η η jest lepkością ośrodka, zaś v v jest prędkością ruchu ciała.

Dobry przykład stosowalności prawa Stokesa stanowi ruch mikroorganizmów, pyłków i kurzu. Ponieważ obiekty te są bardzo małe, widzimy, że poruszają się one bez niczyjej pomocy ze stałą (graniczną) prędkością. Prędkość graniczna dla bakterii o rozmiarze ok. 1 μ m 1 μ m może wynosić ok. 2 μ m / s 2 μ m / s . Aby poruszać się z większą prędkością wiele z bakterii używa wici, czyli organelli w kształcie małych ogonków napędzanych za pomocą małych „silniczków” wewnątrz komórki.

Osady jeziorne poruszają się z większą prędkością graniczną (równą ok. 5 μ m / s 5 μ m / s ), jednak dotarcie do dna po osadzeniu na powierzchni jeziora może w tym przypadku trwać kilka dni.

Jeśli porównamy zwierzęta lądowe z tymi, które żyją w wodzie, możemy zauważyć, jak bardzo siła oporu wpłynęła na ich rozwój ewolucyjny. Ryby, delfiny, nawet wieloryby mają opływowe kształty po to, by minimalizować działającą na nie siłę oporu. Ptaki, a szczególnie gatunki migrujące, które pokonują długie dystanse, również mają charakterystyczne, opływowe kształty, np. wydłużone szyje. Stada ptaków formują w locie figury na kształt ostrza (Rysunek 6.32). U ludzi opływowy kształt prezentują np. plemniki, które muszą pokonywać dalekie odcinki drogi przy małym nakładzie energii.

Zdjęcie przedstawia gęsi tworzących formację w kształcie litery V.
Rysunek 6.32 W trakcie długich lotów migracyjnych gęsi tworzą formacje w kształcie litery V. Kształt ten pomaga zmniejszyć opór powietrza i tym samym zredukować ilość energii zużywanej przez poszczególne ptaki. Ponadto kształt ten ułatwia komunikację między ptakami. (Źródło: “Julo”/Wikimedia Commons)

Materiały pomocnicze

Obejrzyj film prezentujący obiekty znajdujące się w jednorodnym strumieniu powietrza wytworzonym przez wentylator. Oblicz liczbę Reynoldsa oraz współczynnik oporu.

Analiza zależnych od prędkości sił oporu i tarcia

Kiedy ciało przesuwa się po powierzchni, siła tarcia jest w przybliżeniu stała i równa μ k R μ k R. Jednakże siła oporu działająca na ciało przesuwające się w cieczy lub gazie nie jest już tak prosta do opisania. W ogólności ta siła oporu będzie skomplikowaną funkcją prędkości ruchu ciała. Jednakże w uproszczonych sytuacjach, takich jak ruch ciała w cieczy po linii prostej z umiarkowaną prędkością, siła oporu może być przybliżona następującą zależnością:

T op = b v , T op = b v ,

gdzie b b jest stałą, której wartość zależy od kształtu i rozmiaru ciała oraz od właściwości cieczy, zaś v v jest prędkością ciała. Empiryczne przykłady, dla których równanie to jest słuszne, to np. ruch motorówki po wodzie czy powolny spadek małych obiektów w wodzie.

Rozważmy spadek obiektu w cieczy. Rozkład sił działających na to ciało wraz z zaznaczonym kierunkiem ruchu w dół jest przedstawiony na Rysunku 6.33. Zastosowanie drugiej zasady dynamiki Newtona dla sił w kierunku pionowym (zakładamy, że siła wyporu jest znacznie mniejsza od siły grawitacji, dlatego możemy ją pominąć) prowadzi do równania różniczkowego:

m g b v = m d v d t , mgbv=m d v d t ,

gdzie d v / d t d v/ d t jest przyspieszeniem ciała. Gdy v v rośnie, siła oporu b v bv również rośnie tak długo, aż zrównoważy się z m g mg. Wówczas nie będzie występowało przyspieszenie, a prędkość ruchu będzie stała i będzie to tzw. prędkość graniczna v gr . v gr . Zatem z poprzedniego równania otrzymujemy zależność:

m g b v gr = 0 , m g b v gr = 0 ,

więc

v gr = m g b . v gr = m g b .
Przedstawiony jest rozkład sił działających na ciało spadające w ośrodku stawiającym opór. Pionowo w dół skierowany jest wektor m razy g, zaś pionowo w górę wektor b razy v. Wektor prędkości ruchu jest zwrócony pionowo w dół.
Rysunek 6.33 Rozkład sił działających na ciało spadające w ośrodku stawiającym opór.

Możemy również wyprowadzić wzór prezentujący prędkość ruchu obiektu v v w dowolnej chwili czasu. W tym celu musimy scałkować przedstawione uprzednio równanie różniczkowe:

d v g b v / m = d t . d v g b v / m = d t.

Przy założeniu warunków brzegowych takich, że v = 0 v=0 w czasie t = 0 t=0, możemy określić granice całkowania:

0 v d v ~ g b v ~ / m = 0 t d t ~ . 0 v d v ~ g b v ~ / m = 0 t d t ~ .

Po scałkowaniu otrzymujemy zależność:

m b ln ( g b m v ~ ) | 0 v = t ~ | 0 t , m b ln ( g b m v ~ ) | 0 v = t ~ | 0 t ,

gdzie v ~ v ~ i t ~ t ~ są nowymi zmiennymi całkowania. Podstawienie wartości do granic całkowania daje ostateczną zależność:

m b [ ln ( g b m v ) ln g ] = t . m b [ ln ( g b m v ) ln g ] =t.

Z własności logarytmów wiemy, że ln A ln B = ln ( A / B ) lnAlnB=ln(A/B), oraz że z równania ln ( A / B ) = x ln(A/B)=x wynika zależność e x = A / B e x =A/B. Po uwzględnieniu tych zależności równanie upraszcza się do postaci:

g ( b v / m ) g = e b t / m , g ( b v / m ) g = e b t / m ,

a po przekształceniu:

v = m g b ( 1 e b t / m ) . v = m g b ( 1 e b t / m ) .

Zwróć uwagę, że gdy t t, v m g / b = v gr vmg/b= v gr , czyli do prędkości granicznej.

Położenie ciała w dowolnej chwili czasu może zostać znalezione poprzez całkowanie wyrażenia na prędkość v v. Pamiętając, że v = d y / d t v= d y/ d t, otrzymujemy:

d y = m g b ( 1 e b t / m ) d t . d y= m g b ( 1 e b t / m ) d t.

Przyjmując y = 0 y=0 w chwili czasu t = 0 t=0, uzyskujemy zależność:

0 y d y ~ = m g b 0 t ( 1 e b t ~ / m ) d t ~ , 0 y d y ~ = m g b 0 t ( 1 e b t ~ / m ) d t ~ ,

która po obliczeniu wartości całki sprowadza się do postaci:

y = m g b t + m 2 g b 2 ( e b t / m 1 ) . y = m g b t + m 2 g b 2 ( e b t / m 1 ) .

Przykład 6.18

Wpływ siły oporu na ruch motorówki

Motorówka porusza się po jeziorze z prędkością v 0 v 0 , jednak jej silnik nagle przestaje pracować. W związku z tym motorówka stopniowo zwalnia pod wpływem siły oporu T op = b v . T op =bv.
  1. Znajdź wyrażenie opisujące prędkość i położenie łódki w funkcji czasu.
  2. Jeśli łódka zmniejsza prędkość od 4,0 m/s do 1,0 m/s w ciągu 10 s, to jak daleko zdąży ona popłynąć, zanim się zatrzyma?

Rozwiązanie

  1. Gdy silnik przestaje pracować, jedyną siłą działającą na motorówkę w kierunku poziomym jest T op = b v T op =bv, więc z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika zależność:
    m d v d t = b v , m d v d t =bv,

    którą po rozdzieleniu zmiennych możemy również zapisać jako
    d v v = b m d t . d v v = b m d t.

    Zakładając, że prędkość początkowa jest równa v 0 v 0 w czasie t t równym 0 oraz że prędkość po czasie t t jest równa v v, możemy scałkować to wyrażenie:
    0 v d v ~ v ~ = bm 0 t d t ~ . 0 v d v ~ v ~ = bm 0 t d t ~ .

    Zatem
    ln v v 0 = b m t . ln v v 0 = b m t .

    Skoro z zależności ln A = x lnA=x wynika e x = A e x =A, możemy napisać
    v = v 0 e b t / m . v = v 0 e b t / m .

    Podstawiając do wzoru definicję prędkości chwilowej, otrzymujemy
    d x d t = v 0 e b t / m , d x d t = v 0 e b t / m ,

    a po przekształceniu mamy:
    d x = v 0 e b t / m d t . d x= v 0 e b t / m d t.

    Zakładając położenie początkowe równe 0, możemy dokonać całkowania w następujących granicach:
    0 x d x ~ = v 0 0 t e b t ~ / m d t ~ , 0 x d x ~ = v 0 0 t e b t ~ / m d t ~ ,

    z czego wynika:
    x = m v 0 b e b t ~ / m | 0 t = m v 0 b ( 1 e b t / m ) . x= m v 0 b e b t ~ / m | 0 t = m v 0 b ( 1 e b t / m ) .

    Gdy czas rośnie, e b t / m 0 e b t / m 0, motorówka dąży do osiągnięcia swojego położenia końcowego:
    x max = m v 0 b . x max = m v 0 b .

    Mimo że z wyrażenia tego wynika, że łódka potrzebuje nieskończonego czasu do osiągnięcia położenia x max x max , to w praktyce zatrzymuje się ona po rozsądnym czasie. Na przykład dla t = 10 m / b t=10m/b, mamy
    v = v 0 e 10 4 , 5 10 5 v 0 , v= v 0 e 10 4,5 10 5 v 0 ,

    zaś położenie w tym przypadku jest równe
    x = x max ( 1 e 10 ) 0 , 99995 x max . x= x max ( 1 e 10 ) 0,99995 x max .

    Stąd wniosek, że prędkość i położenie faktycznie osiągnęły swoje wartości maksymalne.
  2. Przy prędkościach v 0 = 4,0 m/s v 0 = 4,0 m/s i v = 1 , 0 m / s v=1,0 m / s mamy 1 , 0 m / s = 4 , 0 m / s e ( b / m ) 10 s 1,0 m / s =4,0 m / s e ( b / m ) 10 s , więc
    ln 0 , 25 = ln 4 , 0 = b m 10 s ln0,25=ln4,0= b m 10 s

    i
    b m = 1 10 ln 4,0 s -1 = 0,14 s -1 . b m = 1 10 ln 4,0 s -1 = 0,14 s -1 .

    Teraz końcowe położenie motorówki, czyli takie, po którym łódź się zatrzyma, jest równe:
    x max = m v 0 b = 4,0 m/s 0,14 s −1 = 29 m . x max = m v 0 b = 4,0 m/s 0,14 s −1 = 29 m .

Znaczenie

W obu poprzednich przykładach określaliśmy wartości końcowe. Prędkość graniczna jest taka sama jak prędkość końcowa, która odpowiada prędkości spadającego obiektu po relatywnie długim czasie. Podobnie położenie końcowe odpowiada drodze, jaką pokona ciało po relatywnie długim czasie. Ze względu na charakterystykę zaniku eksponencjalnego czas potrzebny na osiągnięcie którejkolwiek z tych wartości w rzeczywistości nie jest bardzo długi (a na pewno nie jest nieskończony).

Sprawdź, czy rozumiesz 6.11

Załóżmy, że siła oporu powietrza działająca na spadochroniarza może być wyrażona równaniem T = b v 2 T = b v 2 . Jeśli graniczna wartość prędkości skoczka o masie 100 kg wynosi 60 m/s, to jaka jest wartość b?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.