6.4 Siła oporu i prędkość graniczna

Siły oporu

Podobnie jak tarcie, siła oporu (ang. drag force) zawsze przeciwstawia się ruchowi ciała. Jednakże w przeciwieństwie do tarcia siła oporu jest proporcjonalna do pewnej funkcji prędkości ciała w danym płynie. Funkcja ta jest skomplikowana i zależy od kształtu obiektu, jego wielkości, prędkości i płynu, w jakim obiekt się znajduje. Dla większości dużych obiektów, takich jak rowerzyści czy samochody, które nie poruszają się zbyt wolno, wartość siły oporu $F_{\text{op}}$ jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała. Zależność tą można zapisać matematycznie jako $F_{\text{op}}\propto v^2$. Jeśli uwzględnimy również inne czynniki, to pełne wyrażenie przyjmie postać:

gdzie $C$ współczynnikiem oporu ośrodka, $S$ jest polem przekroju poprzecznego ciała (polem przekroju prostopadłego do kierunku wektora prędkości ciała), zaś $\rho$ jest gęstością ośrodka (płynu). (Przypomnijmy, że gęstość jest ilorazem masy przez objętość.) Równanie to może również zostać zapisane w uogólnionej formie jako $F_{\text{op}}=b{v}^2\mathrm{,}$ gdzie $b$ jest stałą równą $\mathrm{0,5}C\rho S.$ Warto zwrócić uwagę, że wykładnik potęgi prędkości jest równy 2 wówczas, gdy zakładamy ruch ciała z dużą prędkością. Natomiast, jak to zostanie wykazane w rozdziale Mechanika płynów, dla małych cząstek poruszających się wolno w płynie wykładnik potęgi prędkości jest równy 1.

Sportowcy oraz projektanci pojazdów wyścigowych dążą do tego, żeby zmniejszyć siłę oporu i w konsekwencji skrócić czas potrzebny na przejechanie okrążenia w wyścigu (Ilustracja 6.29). W tym celu nadają swoim pojazdom aerodynamiczne (opływowe) kształty, które pomagają zredukować siłę oporu, a tym samym zmniejszyć zużycie paliwa w pojeździe.

Ilustracja 6.29 Posiadanie aerodynamicznego kształtu jest kluczowym zagadnieniem dla wielu pojazdów: od samochodów wyścigowych po sanie bobslejowe, gdyż pomaga osiągnąć najwyższe prędkości. Na przykład bobsleje zazwyczaj mają kształt pocisku ze zwężającymi się statecznikami. (Źródło: “U.S. Army”/Wikimedia Commons)

Wartość współczynnika oporu $C$ jest wyznaczana empirycznie, zazwyczaj przy użyciu tunelu aerodynamicznego (Ilustracja 6.30).

Ilustracja 6.30 Naukowcy NASA testują modele samolotów w tunelach aerodynamicznych. (Źródło: NASA/Ames)

Współczynnik oporu może się zmieniać wraz z prędkością, ale załóżmy tutaj, że jest stały. Tabela 6.2 prezentuje wartości przykładowych współczynników oporu dla wybranych obiektów. Zwróć uwagę, że jest to wielkość bezwymiarowa. Przy prędkościach autostradowych ponad 50% mocy samochodu jest zużywane do pokonywania oporu powietrza. Najbardziej oszczędna z punktu widzenia zużycia paliwa jest prędkość rzędu 70–80 km/h. Z tego powodu w latach 70-tych XX wieku podczas kryzysu paliwowego maksymalna prędkość na autostradach wynosiła 90 km/h.

W świecie sportu prowadzone są badania mające na celu zminimalizowanie oporu. Zmieniane są wymiary piłeczek do golfa, przeprojektowywane są ubrania dla sportowców. Rowerzyści, pływacy i niektórzy biegacze zakładają pełne kombinezony. Na olimpiadzie w Sydney w 2000 roku Australijka Cathy Freeman zdobyła złoty medal, biegając w kombinezonie na dystansie 400 m. Na olimpiadzie w Pekinie w 2008 roku wielu sportowców też używało takich kombinezonów. Mogą mieć one ogromne znaczenie dla bicia rekordów świata (Ilustracja 6.31). Wielu czołowych pływaków i rowerzystów goli włosy na ciele. Ta pozornie mała zmiana może dać różnicę milisekund, które wpłyną na zdobycie złota zamiast srebra.

Ilustracja 6.31 Kombinezony pływackie, takie jak LZR Racer Suit, kiedy udostępniono je do sprzedaży w 2008 roku, miały wpływ na ustanawianie wielu rekordów świata. Gładsza powierzchnia zewnętrzna oraz ściśnięta sylwetka zapewniają siłę oporu mniejszą o co najmniej 10%. (Źródło: NASA/Kathy Barnstorff)

Prędkość graniczna

Ciekawe obserwacje związane z drugą zasadą dynamiki Newtona można poczynić, gdy rozważa się ruch ciał, na które działa siła oporu. Na przykład rozważ ruch spadochroniarza spadającego pod wpływem siły ciężkości. Działają na niego dwie siły: grawitacji i oporu (pomijając znikomą siłę wyporu). Skierowana pionowo w dół siła ciężkości pozostaje stała, niezależnie od prędkości ruchu skoczka. Jednakże wraz ze wzrostem prędkości spadochroniarza rośnie siła oporu tak długo, dopóki nie zrówna się ona co do wartości z jego ciężarem. Wówczas siła wypadkowa będzie równa 0. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona zerowa siła wypadkowa oznacza, że ruch spadochroniarza będzie jednostajny (nie występuje przyspieszenie). To z kolei oznacza, że skoczek osiągnął prędkość graniczną (ang. terminal speed) $(v_{\text{gr}})$. Jako że $F_{\text{op}}$ jest proporcjonalna do kwadratu prędkości, to cięższy spadochroniarz musi spadać szybciej, aby siła oporu $F_{\text{op}}$ zrównała się z ciężarem. Przeprowadźmy zatem przykładową analizę ilościową.

W momencie osiągnięcia prędkości granicznej

Zatem:

Wykorzystując wyrażenie na siłę oporu, otrzymujemy zależność:

Przekształcając to równanie tak, aby obliczyć prędkość graniczą, otrzymujemy wzór:

Przyjmijmy, że gęstość powietrza jest równa $\rho =\mathrm{1,21}{\text{kg/m}}^3.$ Spadochroniarz o masie 75 kg spadający głową w dół ma średni przekrój poprzeczny równy $S=\mathrm{0,18}{\text{m}}^2$, zaś współczynnik oporu jest równy $C=\mathrm{0,70}$. Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy prędkość graniczną spadku skoczka spadochronowego:

Oznacza to, że spadochroniarz o masie 75 kg pikujący głową w dół (minimalizujący powierzchnię, na którą działa siła oporu), osiąga prędkość graniczną równą ok. 350 km/h. W pozycji poziomej z rozpostartymi kończynami („na orła”) prędkość ta maleje do ok. 200 km/h, ponieważ większa jest powierzchnia działania siły oporu. Prędkość graniczna ponadto bardzo znacząco by zmalała, jeśli skoczek otworzyłby spadochron.

Analiza spadku obiektów o różnych rozmiarach pozwala zaobserwować kolejną zależność dla siły oporu powietrza. Jeśli spadniesz z gałęzi znajdującej się na wysokości 5 m nad powierzchnią ziemi najprawdopodobniej zrobisz sobie krzywdę (być może złamiesz kość). Jednak wiewiórka wykonuje takie spadki nieustannie – i nic jej się nie dzieje. Ty nie zdążysz osiągnąć prędkości granicznej na tak krótkim dystansie, podczas gdy wiewiórka da radę.

Ciekawy cytat na temat związku między rozmiarem ciała zwierzęcia a prędkością graniczną można znaleźć w eseju brytyjskiego biologa J. B. S. Haldane’a, zatytułowanym On Being the Right Size (pol. Mając odpowiedni rozmiar):

„Dla myszy i innych małych zwierząt [grawitacja] nie jest niebezpieczna. Możesz zrzucić myszkę w dół szybu kopalni o głębokości ok. 1000 m (1000 jardów), a ta po upadku dozna tylko lekkiego szoku i odejdzie, pod warunkiem, że ziemia będzie dość miękka. Szczur zginie, człowiek się połamie, koń zostanie rozsmarowany na ziemi. Opór stawiany przez powietrze podczas spadku jest proporcjonalny do powierzchni spadającego ciała. Podziel długość, szerokość i wysokość zwierzęcia na dziesięć. Wówczas jego ciężar zostanie pomniejszony 1000 razy, podczas gdy pole przekroju poprzecznego tylko 100 razy. Zatem opór spadania w przypadku małych zwierząt jest dziesięć razy większy niż siła napędowa spadku.”

Wykorzystywana przez nas wcześniej kwadratowa zależność siły oporu od prędkości nie sprawdza się, jeśli mamy do czynienia z obiektami bardzo małymi, poruszającymi się bardzo wolno lub jeśli ruch odbywa się w ośrodku gęstszym niż powietrze. Wówczas zauważymy, że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze (zależność liniowa). Zależność tę wyraża prawo Stokesa:

Dobry przykład stosowalności prawa Stokesa stanowi ruch mikroorganizmów, pyłków i kurzu. Ponieważ obiekty te są bardzo małe, widzimy, że poruszają się one bez niczyjej pomocy ze stałą (graniczną) prędkością. Prędkość graniczna dla bakterii o rozmiarze ok. $1\mu \mathrm{m}$ może wynosić ok. $2\mu \mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$. Aby poruszać się z większą prędkością wiele z bakterii używa wici, czyli organelli w kształcie małych ogonków napędzanych za pomocą małych „silniczków” wewnątrz komórki.

Osady jeziorne poruszają się z większą prędkością graniczną (równą ok. $5\mu \mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$), jednak dotarcie do dna po osadzeniu na powierzchni jeziora może w tym przypadku trwać kilka dni.

Jeśli porównamy zwierzęta lądowe z tymi, które żyją w wodzie, możemy zauważyć, jak bardzo siła oporu wpłynęła na ich rozwój ewolucyjny. Ryby, delfiny, nawet wieloryby mają opływowe kształty po to, by minimalizować działającą na nie siłę oporu. Ptaki, a szczególnie gatunki migrujące, które pokonują długie dystanse, również mają charakterystyczne, opływowe kształty, np. wydłużone szyje. Stada ptaków formują w locie figury na kształt ostrza (Ilustracja 6.32). U ludzi opływowy kształt prezentują np. plemniki, które muszą pokonywać dalekie odcinki drogi przy małym nakładzie energii.

Ilustracja 6.32 W trakcie długich lotów migracyjnych gęsi tworzą formacje w kształcie litery V. Kształt ten pomaga zmniejszyć opór powietrza i tym samym zredukować ilość energii zużywanej przez poszczególne ptaki. Ponadto kształt ten ułatwia komunikację między ptakami. (Źródło: “Julo”/Wikimedia Commons)

Analiza zależnych od prędkości sił oporu i tarcia

Kiedy ciało przesuwa się po powierzchni, siła tarcia jest w przybliżeniu stała i równa ${\mu }_{\text{k}}R$. Jednakże siła oporu działająca na ciało przesuwające się w cieczy lub gazie nie jest już tak prosta do opisania. W ogólności ta siła oporu będzie skomplikowaną funkcją prędkości ruchu ciała. Jednakże w uproszczonych sytuacjach, takich jak ruch ciała w cieczy po linii prostej z umiarkowaną prędkością, siła oporu może być przybliżona następującą zależnością:

gdzie $b$ jest stałą, której wartość zależy od kształtu i rozmiaru ciała oraz od właściwości cieczy, zaś $v$ jest prędkością ciała. Empiryczne przykłady, dla których równanie to jest słuszne, to np. ruch motorówki po wodzie czy powolny spadek małych obiektów w wodzie.

Rozważmy spadek obiektu w cieczy. Rozkład sił działających na to ciało wraz z zaznaczonym kierunkiem ruchu w dół jest przedstawiony na Ilustracji 6.33. Zastosowanie drugiej zasady dynamiki Newtona dla sił w kierunku pionowym (zakładamy, że siła wyporu jest znacznie mniejsza od siły grawitacji, dlatego możemy ją pominąć) prowadzi do równania różniczkowego:

gdzie $\mathrm{d}v\text{/}\mathrm{d}t$ jest przyspieszeniem ciała. Gdy $v$ rośnie, siła oporu $-bv$ również rośnie tak długo, aż zrównoważy się z $mg$. Wówczas nie będzie występowało przyspieszenie, a prędkość ruchu będzie stała i będzie to tzw. prędkość graniczna $v_{\text{gr}}.$ Zatem z poprzedniego równania otrzymujemy zależność:

więc

Ilustracja 6.33 Rozkład sił działających na ciało spadające w ośrodku stawiającym opór.

Możemy również wyprowadzić wzór prezentujący prędkość ruchu obiektu $v$ w dowolnej chwili czasu. W tym celu musimy scałkować przedstawione uprzednio równanie różniczkowe:

Przy założeniu warunków brzegowych takich, że $v=0$ w czasie $t=0$, możemy określić granice całkowania:

Po scałkowaniu otrzymujemy zależność:

gdzie $\tilde{v}$ i $\tilde{t}$ są nowymi zmiennymi całkowania. Podstawienie wartości do granic całkowania daje ostateczną zależność:

Z własności logarytmów wiemy, że $\ln A-\ln B=\ln (A\text{/}B)$, oraz że z równania $\ln (A\text{/}B)=x$ wynika zależność $e^x=A\text{/}B$. Po uwzględnieniu tych zależności równanie upraszcza się do postaci:

a po przekształceniu:

Zwróć uwagę, że gdy $t\text{→}\mathrm{\infty }$, $v\text{→}mg\text{/}b=v_{\text{gr}}$, czyli do prędkości granicznej.

Położenie ciała w dowolnej chwili czasu może zostać znalezione poprzez całkowanie wyrażenia na prędkość $v$. Pamiętając, że $v=\mathrm{d}y\text{/}\mathrm{d}t$, otrzymujemy:

Przyjmując $y=0$ w chwili czasu $t=0$, uzyskujemy zależność:

która po obliczeniu wartości całki sprowadza się do postaci: