6.2 Tarcie

Tarcie statyczne i kinetyczne

Skrzynia o masie 20 kg spoczywa na podłodze, co pokazano na Ilustracji 6.13. Współczynnik tarcia statycznego między skrzynią i podłogą wynosi 0,700, a współczynnik tarcia kinetycznego jest równy 0,600. Do skrzyni przyłożona jest pozioma siła $\overrightarrow{P}$. Znajdź siłę tarcia, gdy (a) $P=20\mathrm{N}$, (b) $P=30\mathrm{N}$, (c) $P=120\mathrm{N}$, i (d) $P=180\mathrm{N}$.

Strategia rozwiązania

Rozkład sił działających na skrzynię jest przedstawiony na Ilustracji 6.13(b). Stosujemy drugą zasadę dynamiki Newtona do sił działających w kierunku poziomym i pionowym, pamiętając o uwzględnieniu siły tarcia w kierunku przeciwnym do ruchu skrzyni.

Rozwiązanie

Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że

Symbol $T$ użyty w równaniu oznacza ogólnie siłę tarcia, dopóki nie uda nam się konkretnie określić, czy na skrzynię działa tarcie statyczne czy kinetyczne. Ciężar skrzyni wynosi

który co do wartości jest równy $R$. Maksymalna siła tarcia statycznego wynosi zatem $0\mathrm{,}700\cdot 196\mathrm{N}=137\mathrm{N}$. Tak długo dopóki $\overrightarrow{P}$ jest mniejsze od 137 N, siła tarcia statycznego utrzymuje skrzynię w bezruchu i $T_{\text{s}}=P$. Stąd (a) $T_{\text{s}}=20\mathrm{N}$, (b) $T_{\text{s}}=30\mathrm{N}$, i (c) $T_{\text{s}}=120\mathrm{N}$.

(d) Jeśli $\overrightarrow{P}=180\mathrm{N}$, to oznacza, że przyłożona siła jest większa od maksymalnej wartości siły tarcia statycznego (137 N), dzięki czemu skrzynia jest w stanie się poruszyć. Gdy już zostanie ona wprawiona w ruch, zaczyna działać tarcie kinetyczne:

a przyspieszenie wynosi:

Znaczenie

Ten przykład ilustruje, jak analizować tarcie w zadaniach z dynamiki. Zauważ, że tarcie statyczne ma wartość taką jak przyłożona siła, aż do momentu osiągnięcia maksymalnej wartości tarcia statycznego. Dopóki przyłożona siła nie jest równa sile tarcia statycznego, nie może wystąpić żaden ruch, ale gdy już ruch się rozpocznie, zacznie działać siła tarcia kinetycznego, która jest mniejsza od siły tarcia statycznego.

Narciarz zjeżdżający ze zbocza

Narciarz o masie 62 kg zjeżdża po ośnieżonym zboczu w dół ze stałą prędkością. Znajdź współczynnik tarcia kinetycznego narciarza na śniegu, jeśli wiadomo, że siła tarcia wynosi 45,0 N.

Strategia rozwiązania

Wartość siły tarcia kinetycznego wyliczona na podstawie danych z zadania wynosi 45,0 N. Tarcie kinetyczne jest powiązane z siłą normalną $R$ za pomocą zależności $T_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}R$. Stąd, jeśli znajdziemy wartość siły normalnej, będziemy w stanie obliczyć wartość współczynnika tarcia kinetycznego. Siła normalna jest zawsze prostopadła do powierzchni. Skoro w płaszczyźnie prostopadłej do powierzchni narciarz nie wykonuje ruchu, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona siła normalna jest równoważona przez składową ciężaru narciarza prostopadłą do zbocza. Spójrz na Ilustrację 6.14, który powiela rysunek przedstawiony w rozdziale Zasady dynamiki Newtona.

Mamy

Podstawiając to do równania na tarcie kinetyczne, otrzymujemy zależność

z której z kolei można wyliczyć współczynnik tarcia kinetycznego ${\mu }_{\text{k}}$.

Rozwiązanie

Wyprowadzenie ${\mu }_{\text{k}}$ z powyższej zależności daje ostateczny wzór:

Po podstawieniu wartości liczbowych danych w zadaniu otrzymujemy:

Znaczenie

Uzyskany wynik jest nieco mniejszy niż współczynnik tarcia wymieniony w Tabeli 6.1 dla nawoskowanego drewna na śniegu, jednakże wartość ta jest jak najbardziej akceptowalna, ponieważ wartości współczynników tarcia mogą się od siebie znacznie różnić. W sytuacjach takich jak ta, gdzie obiekt o masie $m$ zjeżdża w dół po zboczu o kącie nachylenia $\theta$ do poziomu, tarcie jest wyrażone jako $T_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}mg\cos \theta$. W takich warunkach wszystkie ciała zjeżdżają w dół ze stałym przyspieszeniem.

Przesuwające się ciężarki

Dwa ciężarki przedstawione na Ilustracji 6.17 są połączone nieważką struną przerzuconą przez nieważki bloczek, który może poruszać się bez tarcia. Kiedy ciężarek na spodzie, mający masę 4,00 kg, jest ciągnięty w lewo ze stałą prędkością $\overrightarrow{P}$ ciężarek na górze, mający masę 2,00 kg przesuwa się w prawo. Oblicz, jaką siłą trzeba działać, aby przesuwać ciężarki ze stałą prędkością. Załóż, że współczynnik tarcia kinetycznego między wszystkimi powierzchniami wynosi 0,400.

Strategia rozwiązania

Rozważamy bilans sił działających na każdy z ciężarków z osobna. Górny klocek jest wystawiony na działanie siły kontaktowej wywieranej przez dolny bloczek. Na siłę tę składają się: siła normalna $R_1$ i siła tarcia $\mathrm{-0,400}{R}_1$. Pozostałe siły działające na górny ciężarek to siła napięcia struny $T$ oraz siła ciężkości ciężarka równa 19,6 N. Dolny ciężarek podlega z kolei działaniu sił kontaktowych ze strony górnego ciężarka oraz ze strony podłogi. Na pierwszą siłę kontaktową składają się $\text{−}{R}_1$ i $\mathrm{0,400}{R}_1$, które są po prostu siłami reakcji na siły kontaktowe, jakie dolny klocek wywiera na górny. Na siłę kontaktową ze strony podłogi składają się $R_2$ i $\mathrm{0,400}{R}_2$. Pozostałe siły działające na ten ciężarek to $-P$, siła naciągu struny $N$ oraz ciężar drugiego klocka równy –39,2 N.

Rozwiązanie

Ponieważ górny blok przemieszcza się poziomo w prawo ze stałą prędkością, a w pionie nie porusza się wcale, to jego przyspieszenie wynosi zero zarówno w kierunku poziomym, jak i pionowym. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika:

Rozwiązujemy układ równań z dwoma niewiadomymi pamiętając, że $Q_1=\mathrm{19,6}\text{N}$. W rezultacie otrzymujemy następujące wartości szukane: $R_1=\mathrm{19,6}\text{N}$ i $N=0\mathrm{,}40R_1=7\mathrm{,}84\mathrm{N}$. Dolny ciężarek również nie przyspiesza, więc po zastosowaniu drugiej zasady dynamiki Newtona otrzymujemy następujące równania:

Wartości $R_1$ i $N^{}$ wyliczone zostały z pierwszych dwóch zależności, zaś z danych zadania wynika, że $Q_2=\mathrm{19,6}\text{N}$. Gdy wartości te podstawimy do prezentowanych równań, możemy wyliczyć wielkości szukane, czyli $R_2$ i $P^{}$. Wynoszą one odpowiednio:

Znaczenie

Właściwy wybór kierunku, w którym należy narysować siłę tarcia, jest zazwyczaj dość problematyczny. Zwróć uwagę, że każda siła tarcia zaznaczona na Ilustracji 6.17 działa w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu odpowiadającego jej klocka.

Skrzynia na przyspieszającym samochodzie

Skrzynia o masie 50 kg leży na naczepie samochodu ciężarowego, jak to zostało przedstawione na Ilustracji 6.18. Współczynniki tarcia między powierzchniami wynoszą odpowiednio ${\mu }_{\text{k}}=\mathrm{0,300}$ i ${\mu }_{\text{s}}=\mathrm{0,400}.$ Znajdź siłę tarcia między skrzynią a podłogą naczepy, jeśli auto jedzie ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem wynoszącym odpowiednio (a) $2\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$ lub (b) $5\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$.

Strategia rozwiązania

Na kratę działają: siła ciężkości, siła normalna oraz siła tarcia o naczepę auta. Zaczynamy od przyjęcia założenia, że skrzynia nie ślizga się po powierzchni naczepy. W tym przypadku na skrzynię działa siła tarcia statycznego $T_{\text{s}}$. Ponadto przyspieszenie skrzyni i auta są równe co do wartości.

Rozwiązanie

1. Zastosujmy drugą zasadę dynamiki Newtona, rozpisując bilans sił działających wzdłuż kierunków wyznaczonych przez przyjęty układ współrzędnych:
   $$\begin{array}{rlrl}\sum F_x& =m{a}_x& \sum F_y& =m{a}_y\\ f_{\text{s}}& =50\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 2\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2& R-4\mathrm{,}9\cdot {10}^2\mathrm{N}& =50\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2\\ f_{\text{s}}& =1\mathrm{,}00\cdot {10}^2\mathrm{N}& R& =4\mathrm{,}90\cdot {10}^2\mathrm{N}.\end{array}$$
   
   Sprawdźmy teraz, czy nasze założenie o braku poślizgu skrzyni było słuszne. Maksymalna wartość siły tarcia statycznego wynosi
   
   $${\mu }_{\text{s}}R=0\mathrm{,}400\cdot 4\mathrm{,}90\cdot {10}^2\mathrm{N}=196\text{N,}$$
   
   podczas gdy rzeczywista wartość tarcia statycznego, która działa, gdy auto jedzie z przyspieszeniem $\mathrm{2,00}{\text{m/s}}^2$ wynosi zaledwie $1\mathrm{,}00\cdot {10}^2\mathrm{N}$. W związku z tym założenie, że skrzynia nie będzie się ślizgać, było słuszne.
2. Jeśli skrzynia ma pozostać w statycznym kontakcie z autem, gdy jedzie ono z przyspieszeniem $5\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$, siła tarcia statycznego musi wynosić
   
   $$T_{\text{s}}=m{a}_x=50\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 5\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2=250\mathrm{N}.$$
   
   Jako że wartość ta przewyższa wartość 196 N, którą wyliczyliśmy wcześniej, skrzynia zacznie się ześlizgiwać. Wówczas działająca siła tarcia kinetycznego wynosi:
   
   $$T_{\text{k}}=\mu R=0\mathrm{,}300\cdot 4\mathrm{,}90\cdot {10}^2\mathrm{N}=147\mathrm{N}.$$
   
   Wypadkowe przyspieszenie skrzyni w płaszczyźnie poziomej względem układu związanego z ziemią można wyliczyć z zależności
   $$\begin{array}{rl}\sum F_x& =m{a}_x\\ 147\mathrm{N}& =50\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot a_x\\ a_x& =2\mathrm{,}94\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}.\end{array}$$

Znaczenie

W układzie odniesienia związanym z ziemią przyspieszenie auta wynosi $\mathrm{5,0}{\text{m/s}}^2$, zaś przyspieszenie skrzyni jest równe $\mathrm{2,94}{\text{m/s}}^2$. Stąd skrzynia przesuwa się do tyłu w stosunku do naczepy ciężarówki z przyspieszeniem $2\mathrm{,}94\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2-5\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2=-2\mathrm{,}06\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$.

Snowboarding

Wcześniej rozwiązywaliśmy zadanie, w którym analizowaliśmy ruch narciarza zjeżdżającego ze stoku ze stałą prędkością, aby obliczyć współczynnik tarcia kinetycznego. Teraz zróbmy podobną analizę, aby obliczyć przyspieszenie. Snowboardzista przedstawiony na Ilustracji 6.19 zjeżdża ze stoku nachylonego pod kątem $\theta ={13}^{\circ }$ do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy deską i śniegiem jest równy ${\mu }_{\text{k}}=0\mathrm{,}20$. Jakie jest przyspieszenie snowboardzisty?

Strategia rozwiązania

Na snowboardzistę działają siły: ciężkości oraz siła kontaktowa ze zboczem, na którą z kolei składają się siła normalna prostopadła do zbocza oraz siła tarcia kinetycznego zwrócona równolegle do zbocza. Ponieważ sportowiec porusza się wzdłuż zbocza, to najwygodniej będzie wybrać układ współrzędnych tak, by oś $x$ była skierowana równolegle do zbocza, a oś $y$ prostopadle do zbocza. Na tym rysunku siła normalna i siła tarcia są skierowane wzdłuż odpowiednich osi układu współrzędnych, zaś siła ciężkości rozłożona jest na dwie składowe: $mg\sin \theta$ równoległą do zobacza oraz $mg\cos \theta$ prostopadłą do zbocza. Jedyne niezerowe przyspieszenie jest skierowane wzdłuż kierunku $x$ $(a_y=0)$.

Rozwiązanie

Zastosujmy teraz drugą zasadę dynamiki Newtona do przypadku snowboardzisty:

Z drugiego równania $R=mg\cos \theta$. Po podstawieniu tej zależności do pierwszego równania otrzymujemy:

Znaczenie

Z równania tego wynika, że jeśli $\theta$ jest wystarczająco małe lub ${\mu }_{\text{k}}$ jest wystarczająco duże, to przyspieszenie $a_x$ jest ujemne, co oznacza, że snowboardzista zwalnia.