William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym rozdziale nauczysz się:

charakteryzować siłę tarcia;
wymieniać różne rodzaje siły tarcia;
obliczać wartość tarcia statycznego i kinetycznego oraz stosować je w zadaniach z dynamiki.

Ciało w ruchu doświadcza działania oporu, ponieważ jest ono w kontakcie z otoczeniem. Opór ten nazywamy siłą tarcia. Tarcie utrudnia wzajemny ruch między stykającymi się ciałami, ale z drugiej strony pozwala nam się poruszać, co staje się oczywiste, jeśli zobaczymy, jak trudno jest nam chodzić po powierzchniach śliskich (np. po lodzie). Tarcie jest powszechnie występującą, ale złożoną siłą, a mechanizm jej działania nie jest do końca dobrze wyjaśniony. Można natomiast bez problemu określić warunki, przy których siła ta się pojawia.

Tarcie statyczne i kinetyczne

Podstawowa definicja tarcia (ang. friction) jest stosunkowo prosta.

Tarcie

Tarcie jest siłą, która przeciwdziała względnemu ruchowi między ciałami będącymi w kontakcie.

Istnieje kilka różnych postaci siły tarcia. Najprostsza forma to tzw. tarcie ślizgowe (tarcie suwne), które działa zawsze równolegle do powierzchni styku dwóch ciał i przeciwstawia się ruchowi względnemu lub próbie ruchu między tymi ciałami. Jeśli dwa ciała stykają się ze sobą i przesuwają względem siebie, to działa między nimi tzw. tarcie kinetyczne. Na przykład tarcie to spowalnia ruch krążka hokejowego na lodzie. Z kolei kiedy ciała pozostają względem siebie w spoczynku, to działa między nimi tarcie statyczne, które zazwyczaj co do wartości jest większe od tarcia kinetycznego.

Tarcie statyczne i kinetyczne

Jeśli dwa spoczywające ciała pozostają w kontakcie, to działa między nimi siła nazywana tarciem statycznym (ang. static friction). Jeśli dwa ciała pozostające w kontakcie przesuwają się względem siebie, to siła występująca między nimi nazywana jest tarciem kinetycznym (ang. kinetic friction).

Wyobraź sobie, że próbujesz przesunąć ciężką skrzynię po betonowej podłodze. Musisz pchać bardzo mocno, a i tak masz kłopot z ruszeniem skrzyni. Oznacza to, że próbie ruchu, który chcesz wykonać, przeciwstawia się tarcie statyczne. Jest ono równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane do siły, którą przykładasz do skrzyni. Gdy w końcu uda ci się pchnąć skrzynię wystarczająco mocno, wykona ona nagły ruch, po czym jest w stanie dalej się przesuwać pod wpływem siły, którą działasz. Wówczas zaczyna działać tarcie kinetyczne. Co ważne, łatwiej jest utrzymywać skrzynię w ruchu niż w ogóle ją ruszyć. Oznacza to, że siła tarcia kinetycznego jest mniejsza niż siła tarcia statycznego. Gdy dodatkowo obciążysz skrzynię, np. dokładając na jej szczycie dodatkowe pudło, musisz działać jeszcze większą siłą, by ruszyć skrzynię oraz potem, by utrzymać ją w ruchu. Z kolei gdybyś pokrył betonową podłogę olejem, przesuwanie skrzyni stałoby się dużo łatwiejsze, czego zapewne intuicyjnie się spodziewasz.

Ilustracja 6.10 przedstawia schematycznie, jaki jest mechanizm powstawania tarcia między dwoma obiektami. Zbliżenie na powierzchnie styku tych ciał wskazuje, że są one chropowate. W związku z tym, gdy pchasz jakiś obiekt (w tym przypadku skrzynię), musisz delikatnie go podnieść po to, by mijały się ze sobą tylko wierzchołki powierzchni trących, lub trąc niszczyć te wybrzuszenia powierzchni. Im twardsze są powierzchnie trące, tym większą siłę trzeba przyłożyć, żeby je ruszyć. Częściowo przyczyną występowania tarcia są siły adhezji między molekułami na powierzchni, co potwierdza zależność siły tarcia od rodzaju powierzchni trących. Na przykład buty podbite gumą ślizgają się mniej niż buty podbite skórą. Gdy ciała przesuwają się względem siebie, liczba punktów styku jest mniejsza niż w momencie, gdy są one w spoczynku. Gdy prędkość ruchu jest bardzo mała, siła tarcia między ciałami jest praktycznie niezależna od prędkości.

Na rysunku przedstawiono skrzynię leżącą na płaskiej powierzchni. Szara strzałka przyłożona do skrzyni i skierowana w prawo wskazuje kierunek ruchu lub próby ruchu skrzyni. Czerwona strzałka skierowana w lewo przyłożona jest do dolnej, lewej krawędzi skrzyni i skierowana wzdłuż powierzchni styku skrzyni i podłoża. Symbolizuje ona siłę tarcia T. Na obrazku przedstawiającym zbliżenie na powierzchnię styku skrzyni i podłoża widać, że stykające się powierzchnie są chropowate. Nierówności powierzchni powodują, że nie przylegają one do siebie idealnie. Kontakt między nimi jest tylko punktowy.

Ilustracja 6.10 Siła tarcia

\vec{T}

zawsze przeciwstawia się ruchowi ciał lub próbie tego ruchu. Tarcie powstaje częściowo z powodu chropowatości powierzchni stykających się, jak to zostało przedstawione na powiększonym fragmencie rysunku. Aby obiekt się poruszył, musi delikatnie wznieść się, by wystające fragmenty powierzchni górnej mogły przesunąć się wzdłuż dolnej powierzchni. W związku z tym konieczne jest przyłożenie siły, aby wprawić ciało w ruch, a następnie ten ruch podtrzymać. Niektóre z wystających fragmentów powierzchni na skutek tarcia zostaną zniszczone. Jednakże zdecydowanie największy wpływ na zjawisko występowania tarcia mają siły oddziaływania międzycząsteczkowego pomiędzy trącymi o siebie ciałami, dlatego nawet idealnie gładkie powierzchnie nie są w stanie poruszać się względem siebie bez tarcia. W rzeczywistości idealnie gładkie, czyste, przylegające do siebie powierzchnie tworzą tzw. „zimny spaw”.

Wartość siły tarcia ma dwie formy: jedna dla ciał nieporuszających się (tarcie statyczne), a druga dla ciał będących względem siebie w ruchu (tarcie kinetyczne). Poniżej przedstawiono przybliżony empiryczny (eksperymentalnie określony) model. Należy podkreślić, że równania definiujące tarcie statyczne i kinetyczne nie są równaniami wektorowymi.

Wartość siły tarcia statycznego

Wartość siły tarcia statycznego $T_{s}$ oblicza się z zależności

T_{s} \leq μ_{s} R,

6.1

gdzie $μ_{s}$ nazywane jest współczynnikiem tarcia statycznego, zaś $R$ jest wartością normalnej siły reakcji.

Symbol $\leq$ (czytaj mniejsze lub równe), wskazuje, że tarcie statyczne może osiągnąć wartość maksymalną równą $μ_{S} R$ . Tarcie statyczne jest siłą powstającą w odpowiedzi na siłę przyłożoną z zewnątrz, a jej zwrot jest zawsze przeciwny do tej siły. Gdy wartość siły tarcia statycznego osiągnie wartość maksymalną równą przyłożonej sile $T_{s} (max)$ , ciało zacznie się poruszać. Zatem

T_{s} (max) = μ_{s} R .

Wartość tarcia kinetycznego

Wartość siły tarcia kinetycznego $T_{k}$ oblicza się z zależności

T_{k} = μ_{k} R,

6.2

gdzie $μ_{k}$ nazywamy współczynnikiem tarcia kinetycznego.

Przejście pomiędzy tarciem statycznym a kinetycznym zostało przedstawione na Ilustracji 6.11.

(a) Na rysunku przedstawiono klocek leżący na poziomej powierzchni. Sytuacja dotyczy sytuacji bezpośrednio przed rozpoczęciem ruchu. Przedstawiono następujące siły: R skierowaną pionowo w górę, Q skierowaną pionowo w dół, F skierowaną poziomo w prawo oraz T sub s skierowaną poziomo w lewo. Wektory F oraz T sub s mają tą samą długość. (b) Klocek porusza się po poziomej powierzchni w prawo. W rezultacie powstaje siła tarcia. Przedstawiono następujące siły: R skierowaną pionowo w górę, Q skierowaną pionowo w dół, F skierowaną poziomo w prawo oraz T sub k skierowaną poziomo w lewo. Wektory R i Q są tej samej długości, zaś wektor F jest większy of T sub k. (c) Przedstawiono wykres zależności siły tarcia T w funkcji wartości przyłożonej siły F. W pierwszym zakresie wartość siły tarcia wzrasta liniowo od 0 do wartości T sub s max. Funkcję tą można opisać jako f sub s równa F. Jest to tzw. zakres działania starcia statycznego. Dla siły F większej od tej równej T sub s max, wartości na wykresie nieznaczne spadają, po czym stabilizują się na mniej więcej ustalonym poziomie równym T sub k (wykres jest nieco zaszumiony). Jest to tzw. obszar występowania tarcia kinetycznego.

Ilustracja 6.11 (a) Siła tarcia

\vec{T}

między klockiem i chropowatą powierzchnią działa w kierunku przeciwnym do przyłożonej siły

\vec{F}

. Tarcie statyczne równoważy przyłożoną siłę. Jest to zgodne z zależnością przedstawioną po lewej stronie wykresu na rysunku (c). W pewnym momencie wartość siły przykładanej z zewnątrz przewyższa tarcie kinetyczne i klocek zaczyna się poruszać w prawo. To z kolei odpowiada prawej stronie wykresu na rysunku (c). (c) Wykres zależności siły tarcia od przyłożonej siły. Zauważ, że

T_{s} (max) > T_{k}

. To z kolei oznacza, że

μ_{s} > μ_{k}

.

Jak możesz zobaczyć w Tabeli 6.1, współczynniki tarcia kinetycznego są niższe od ich statycznych odpowiedników. Przybliżone wartości $μ$ są podawane z dokładnością nie większą niż do dwóch cyfr po przecinku, aby dać przybliżony obraz tarcia opisywanego przez poprzednie równania.

Przykładowy układ	Współczynnik tarcia statycznego $μ_{s}$	Współczynnik tarcia kinetycznego $μ_{k}$
Guma na suchym betonie	1,0	0,7
Guma na mokrym betonie	0,5-0,7	0,3-0,5
Drewno na drewnie	0,5	0,3
Woskowane drewno na mokrym śniegu	0,14	0,1
Metal na drewnie	0,5	0,3
Stal na stali (sucha)	0,6	0,3
Stal na stali (naoliwiona)	0,05	0,03
Stal na teflonie	0,04	0,04
Kość nasmarowana mazią stawową	0,016	0,015
Buty na drewnie	0,9	0,7
Buty na lodzie	0,1	0,05
Lód na lodzie	0,1	0,03
Stal na lodzie	0,4	0,02

Tabela 6.1 Przybliżone współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego

Równanie 6.1 i Równanie 6.2 wyrażają zależność siły tarcia od rodzaju materiału, z jakiego wykonane są powierzchnie trące oraz od siły normalnej. Kierunek siły tarcia jest zawsze przeciwny do kierunku ruchu, równoległy do płaszczyzny powierzchni trących i prostopadły do siły normalnej. Spróbujmy zatem rozwiązać taki przykład. Rozważmy skrzynię o masie 100 kg, którą pchamy siłą równoległą do podłogi. Siła normalna jest co do wartości równa sile ciężkości skrzyni:

Q = m g = 100 k g \cdot 9, 80 \frac{m}{s^{2}} = 980 N,

która jest prostopadła do podłogi. Jeśli współczynnik tarcia statycznego wynosi 0,45, to aby przesunąć skrzynię należy przyłożyć siłę o kierunku równoległym do podłogi o wartości większej niż

T_{s} (max) = μ_{s} R = 0, 45 \cdot 980 N = 440 N .

Gdy już rozpocznie się ruch, tarcie stanie się mniejsze. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi w tym przypadku 0,30, więc dla kontynuowania ruchu ze stałą prędkością wystarczy siła równa

T_{k} = μ_{k} R = 0, 30 \cdot 980 N = 290 N .

Jeśli podłoga była naoliwiona, oba współczynniki tarcia byłyby zauważalnie mniejsze. Stąd wniosek, że współczynnik tarcia jest wielkością zależną od rodzaju i pokrycia powierzchni trących. Jest to wielkość bezwymiarowa, której wartość mieści się zazwyczaj w przedziale od 0 do 1,0.

Wielu ludzi doświadczyło, jak ślisko jest, gdy chodzi się po lodzie. Tymczasem wiele części ciała, zwłaszcza stawów, ma znacznie mniejsze współczynniki tarcia – często trzy lub cztery razy mniejsze niż lód. Staw to miejsce styku dwóch kości, zwykle pokryte grubą warstwą tkanki łącznej (chrząstki). Staw kolanowy tworzą dalszy koniec kości udowej i bliższy koniec kości piszczelowej. Biodro jest stawem kulistym (na końcu kości udowej) i panewkowym (część miednicy). Końce kości w stawie są przykryte chrząstkami, co zapewnia gładką, niemal szklaną powierzchnię. Stawy wytwarzają też płyn (maź stawowa), który redukuje tarcie i zużycie. Zużyty lub uszkodzony staw może zostać wymieniony sztuczny staw (Ilustracja 6.12). Elementy zamienne mogą zostać wykonane z metalu, ceramiki lub plastików (polietylen) o bardzo niskim współczynniku tarcia.

Zdjęcie rentgenowskie sztucznego kolana.

Ilustracja 6.12 Wstawianie sztucznego stawu kolanowego jest procedurą stosowaną od ponad 20 lat. Na rysunku przedstawiono zdjęcia rentgenowskie sztucznego stawu kolanowego. (Żródło: Mike Baird)

Naturalne środki poślizgowe obejmują m.in. ślinę produkowaną w jamie ustnej w celu ułatwienia przełykania czy śliską maź wypełniającą np. opłucną czy osierdzie i umożliwiającą swobodny ruch narządów (serca w trakcie skurczu, płuc w trakcie oddychania, itp.). Szpitale i kliniki lekarskie często stosują sztuczne środki smarujące, takie jak żele, w celu zmniejszenia tarcia.

Podane wzory na tarcie statyczne i kinetyczne wynikają z praw empirycznych, które opisują zachowanie sił tarcia. Chociaż wzory te są bardzo użyteczne w praktyce, nie mają one statusu twierdzeń matematycznych, które reprezentują ogólne zasady (jak np. druga zasada dynamiki Newtona). W rzeczywistości są przypadki, dla których te równania nie są nawet dobrymi przybliżeniami. Na przykład żaden z przywołanych wzorów nie opisuje dobrze ruchu powierzchni nasmarowanych środkami poślizgowymi ani względnego ruchu powierzchni z dużą szybkością. Jednakże w tym podręczniku nie będziemy zajmować się tymi wyjątkami.

Przykład 6.10

Tarcie statyczne i kinetyczne

Skrzynia o masie 20 kg spoczywa na podłodze, co pokazano na Ilustracji 6.13. Współczynnik tarcia statycznego między skrzynią i podłogą wynosi 0,700, a współczynnik tarcia kinetycznego jest równy 0,600. Do skrzyni przyłożona jest pozioma siła

\vec{P}

. Znajdź siłę tarcia, gdy (a)

P = 20 N

, (b)

P = 30 N

, (c)

P = 120 N

, i (d)

P = 180 N

.

(a) Na rysunku przedstawiono mężczyznę pchającego skrzynię po poziomej podłodze z siłą P skierowaną poziomo w prawo. (b) Rozkład sił działających na skrzynię zawiera siłę P skierowaną poziomo w prawo, siłę T skierowaną poziomo w lewo, siłę Q skierowaną pionowo w dół i siłę R skierowaną pionowo w górę. Przyjęty układ współrzędnych pokazuje kierunek x poziomo w prawo, a kierunek y pionowo w górę.

Ilustracja 6.13 (a) Skrzynia jest pchana po poziomej powierzchni z siłą

\vec{P}

. (b) Rozkład sił działających na skrzynię. W tym przypadku

\vec{T}

może oznaczać tarcie statyczne albo kinetyczne.

Strategia rozwiązania

Rozkład sił działających na skrzynię jest przedstawiony na Ilustracji 6.13(b). Stosujemy drugą zasadę dynamiki Newtona do sił działających w kierunku poziomym i pionowym, pamiętając o uwzględnieniu siły tarcia w kierunku przeciwnym do ruchu skrzyni.

Rozwiązanie

Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że

\begin{matrix} \sum F_{x} = m a_{x} & \sum F_{y} = m a_{y} \\ P - T = m a_{x} & R - Q = 0 . \end{matrix}

Symbol $T$ użyty w równaniu oznacza ogólnie siłę tarcia, dopóki nie uda nam się konkretnie określić, czy na skrzynię działa tarcie statyczne czy kinetyczne. Ciężar skrzyni wynosi

Q = 20, 0 k g \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} = 196 N,

który co do wartości jest równy $R$ . Maksymalna siła tarcia statycznego wynosi zatem $0, 700 \cdot 196 N = 137 N$ . Tak długo dopóki $\vec{P}$ jest mniejsze od 137 N, siła tarcia statycznego utrzymuje skrzynię w bezruchu i $T_{s} = P$ . Stąd (a) $T_{s} = 20 N$ , (b) $T_{s} = 30 N$ , i (c) $T_{s} = 120 N$ .

(d) Jeśli $\vec{P} = 180 N$ , to oznacza, że przyłożona siła jest większa od maksymalnej wartości siły tarcia statycznego (137 N), dzięki czemu skrzynia jest w stanie się poruszyć. Gdy już zostanie ona wprawiona w ruch, zaczyna działać tarcie kinetyczne:

T_{k} = μ_{k} R = 0, 600 \cdot 196 N = 118 N,

a przyspieszenie wynosi:

a_{x} = \frac{P - T_{k}}{m} = \frac{180 N - 118 N}{20 k g} = 3, 10 \frac{m}{s^{2}} .

Znaczenie

Ten przykład ilustruje, jak analizować tarcie w zadaniach z dynamiki. Zauważ, że tarcie statyczne ma wartość taką jak przyłożona siła, aż do momentu osiągnięcia maksymalnej wartości tarcia statycznego. Dopóki przyłożona siła nie jest równa sile tarcia statycznego, nie może wystąpić żaden ruch, ale gdy już ruch się rozpocznie, zacznie działać siła tarcia kinetycznego, która jest mniejsza od siły tarcia statycznego.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.7

Ciężarek o masie 1,0 kg leży na poziomej powierzchni. Współczynniki tarcia między ciężarkiem i podłożem wynoszą odpowiednio $μ_{s} = 0,50$ i $μ_{k} = 0,40 .$

Ile wynosi minimalna pozioma siła niezbędna do przesunięcia ciężarka?
Ile będzie wynosić przyspieszenie ciężarka, gdy przyłożona zostanie ta siła?

Tarcie na równi pochyłej

Jedną z sytuacji, w której tarcie odgrywa istotną rolę, jest ruch ciała na zboczu. Czy rozpatrujemy przypadek skrzyni popchniętej na rampę stacji przeładunkowej czy deskorolkarza zjeżdżającego z górki, podstawowe zasady fizyki są takie same. Zawsze uogólniamy powierzchnię skośną i nazywamy ją równią pochyłą, zakładając jednocześnie, że powierzchnia jest płaska. Przyjrzyjmy się zatem zadaniu uwzględniającemu ruch z tarciem po równi pochyłej.

Przykład 6.11

Narciarz zjeżdżający ze zbocza

Narciarz o masie 62 kg zjeżdża po ośnieżonym zboczu w dół ze stałą prędkością. Znajdź współczynnik tarcia kinetycznego narciarza na śniegu, jeśli wiadomo, że siła tarcia wynosi 45,0 N.

Strategia rozwiązania

Wartość siły tarcia kinetycznego wyliczona na podstawie danych z zadania wynosi 45,0 N. Tarcie kinetyczne jest powiązane z siłą normalną

R

za pomocą zależności

T_{k} = μ_{k} R

. Stąd, jeśli znajdziemy wartość siły normalnej, będziemy w stanie obliczyć wartość współczynnika tarcia kinetycznego. Siła normalna jest zawsze prostopadła do powierzchni. Skoro w płaszczyźnie prostopadłej do powierzchni narciarz nie wykonuje ruchu, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona siła normalna jest równoważona przez składową ciężaru narciarza prostopadłą do zbocza. Spójrz na Ilustrację 6.14, który powiela rysunek przedstawiony w rozdziale Zasady dynamiki Newtona.

Na rysunku przedstawiono narciarza zjeżdżającego po stromym zboczu nachylonym do poziomu pod kątem 25 stopni. Narysowany jest również układ współrzędnych x-y, gdzie oś x jest równoległa do powierzchni zbocza i skierowana w górę zbocza, zaś oś y jest prostopadła do zbocza i skierowana w górę. Ciężar narciarza, oznaczony jako Q, jest skierowany pionowo w dół. Ciężar ten jest rozłożony na dwie składowe: Q sub y prostopadłą do powierzchni zbocza zwróconą w kierunku ujemnych wartości y oraz Q sub x równoległą do zbocza zwróconą w kierunku ujemnych wartości x. Siła normalna R również jest prostopadła dla zbocza, równa co do wartości, ale przeciwnie skierowana do Q sub y. Tarcie T oznaczone jest jako wektor skierowany w górę zbocza, przeciwnie do kierunku ruchu narciarza. Ponadto na rysunku przedstawiono rozkład sił działających na narciarza. Na obu diagramach wektor ciężaru Q jest wymazany, ponieważ zastępują go składowe w kierunkach x i y.

Ilustracja 6.14 Kierunek ruchu narciarza oraz kierunek działania siły tarcia są równoległe do płaszczyzny zbocza, więc najwygodniej jest wybrać układ współrzędnych, w którym jedna z osi jest równoległa do płaszczyzny zbocza, zaś druga jest do zbocza prostopadła (układ przedstawiony na lewo od narciarza). Siła normalna

\vec{R}

jest prostopadła do zbocza, a tarcie

\vec{T}

działa równolegle do zbocza. Ciężar narciarza

\vec{Q}

ma dwie składowe wzdłuż obu osi oznaczone jako

{\vec{Q}}_{y}

i

{\vec{Q}}_{x}

. Siła normalna

\vec{R}

jest równa co do wartości do składowej ciężaru

{\vec{Q}}_{y}

, więc w płaszczyźnie prostopadłej do zbocza narciarz jest nieruchomy. Z kolei tarcie

\vec{T}

jest mniejsze co do wartości od

{\vec{Q}}_{x}

, więc wzdłuż powierzchni zbocza ruch odbywa się z przyspieszeniem (wzdłuż osi

x

).

Mamy

R = Q_{y} = Q cos 25 ° = m g cos 25 ° .

Podstawiając to do równania na tarcie kinetyczne, otrzymujemy zależność

T_{k} = μ_{k} m g cos 25 °,

z której z kolei można wyliczyć współczynnik tarcia kinetycznego $μ_{k}$ .

Rozwiązanie

Wyprowadzenie

μ_{k}

z powyższej zależności daje ostateczny wzór:

μ_{k} = \frac{T_{k}}{R} = \frac{T_{k}}{Q cos 25 °} = \frac{T_{k}}{m g cos 25 °} .

Po podstawieniu wartości liczbowych danych w zadaniu otrzymujemy:

μ_{k} = \frac{45, 0 N}{62 k g \cdot 9, 80 m / s^{2} \cdot 0, 906} = 0, 082.

Znaczenie

Uzyskany wynik jest nieco mniejszy niż współczynnik tarcia wymieniony w Tabeli 6.1 dla nawoskowanego drewna na śniegu, jednakże wartość ta jest jak najbardziej akceptowalna, ponieważ wartości współczynników tarcia mogą się od siebie znacznie różnić. W sytuacjach takich jak ta, gdzie obiekt o masie

m

zjeżdża w dół po zboczu o kącie nachylenia

θ

do poziomu, tarcie jest wyrażone jako

T_{k} = μ_{k} m g \cos θ

. W takich warunkach wszystkie ciała zjeżdżają w dół ze stałym przyspieszeniem.

Ustaliliśmy już, że gdy obiekt spoczywa na poziomej powierzchni, siła normalna dla tego ciała co do wartości jest równa jego ciężarowi. Tarcie jest zawsze proporcjonalne do siły normalnej. Gdy ciało znajduje się na płaszczyźnie ukośnej, takiej jak równia pochyła, musimy znaleźć siłę prostopadłą do płaszczyzny ruchu, która jest składową siły ciężkości. Siła ta co do wartości jest wówczas równa sile normalnej.

Wyprowadzimy teraz użyteczny wzór do obliczania współczynnika tarcia na równi pochyłej. Zauważ, że zależność ta będzie prawdziwa tylko wówczas, gdy ciało będzie poruszało się w dół pochyłej powierzchni ze stałą prędkością.

Ciało zsuwa się z równi pochyłej ze stałą prędkością wówczas, gdy siła wypadkowa w płaszczyźnie ruchu wynosi zero. Wiedza ta będzie przydatna, aby obliczyć współczynnik tarcia między dwoma ciałami. Jak pokazano na Przykładzie 6.10, tarcie kinetyczne na zboczu wynosi $T_{k} = μ_{k} m g cos θ$ . Składowa ciężaru równoległa do płaszczyzny równi jest równa $m g sin θ$ (spójrz na rozkład sił działających na ciało przedstawiony na Ilustracji 6.14). Siły te działają w przeciwnych kierunkach, więc jeśli są one równe co do wartości, to przyspieszenie ciała jest równe zero. To oznacza, że:

μ_{k} m g cos θ = m g sin θ .

Przekształcając powyższe równanie tak, aby obliczyć $μ_{k}$ , otrzymujemy:

μ_{k} = \frac{m g sin θ}{m g cos θ} = tg θ .

Połóż monetę na książce i pochylaj ją tak długo, dopóki moneta nie zacznie zasuwać się z książki ze stałą prędkością. Być może trzeba będzie delikatnie postukać w książkę, aby moneta poruszyła się. Zmierz kąt jaki książka tworzyła z poziomem gdy moneta zaczęła się poruszać, a następnie oblicz $μ_{k}$ . Zwróć uwagę, że moneta nie zacznie się poruszać dopóki kąt nachylenia książki nie będzie większy niż $θ$ , ponieważ współczynnik tarcia statycznego jest większy niż współczynnik tarcia kinetycznego. Zastanów się, jak ten fakt wpływa na wyznaczaną eksperymentalnie wartość współczynnika tarcia kinetycznego $μ_{k}$ i trudności z jego dokładnym określeniem.

Tarcie w skali atomowej

Dotychczas analizowane zagadnienia opierały się na uproszczonej, makroskopowej naturze siły tarcia. Jednakże w ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat dokonano wielkich postępów w wyjaśnieniu natury siły tarcia w skali atomowej. Naukowcy odkryli, że atomowa natura tarcia wydaje się mieć kilka podstawowych cech. Te cechy nie tylko wyjaśniają niektóre z prostszych aspektów tarcia. Ich odkrycie stwarza również potencjał do konstruowania ośrodków prawie pozbawionych tarcia, co pomoże zaoszczędzić setki miliardów dolarów na energii zamienianej obecnie (niepotrzebnie) na ciepło.

Ilustracja 6.15 przedstawia makroskopowy charakter tarcia, które z kolei wyjaśniane będzie w oparciu o analizę mikroskopową (w małej skali). Stwierdziliśmy, że tarcie jest proporcjonalne do siły normalnej, a nie zależy od powierzchni styku dwóch ciał, co jest zagadnieniem nieco kontrowersyjnym. Gdy dwie szorstkie powierzchnie są w kontakcie, rzeczywisty obszar styku jest niewielką częścią całego obszaru, ponieważ stykają się tylko wysokie punkty. Gdy wywierana jest większa siła normalna, rzeczywista powierzchnia styku wzrasta, co z kolei prowadzi do wniosku, że wartość siły tarcia jest proporcjonalna do wielkości tej powierzchni.

Na rysunku przedstawiono dwie szorstkie, równoległe powierzchnie znajdujące się blisko siebie. Ponieważ powierzchnie są nieregularne, stykają się one tylko w pewnych miejscach, pozostawiając szczeliny między nimi. Na rysunku po lewej stronie siła normalna jest niewielka, dzięki czemu powierzchnie są nadal oddalone, a obszar kontaktu między dwiema powierzchniami jest znacznie mniejszy niż całkowita powierzchnia wspólna tych ciał. Na rysunku po prawej normalna siła jest duża, dzięki czemu obie powierzchnie są bardzo blisko siebie i obszar styku między dwiema powierzchniami wzrasta.

Ilustracja 6.15 W wyniku przyłożenia większej siły zewnętrznej wzrasta zarówno obszar rzeczywistego kontaktu między powierzchniami, jak i wartość siły tarcia.

Jednakże obserwacja w skali atomowej pozwala wyjaśnić znacznie więcej niż tylko proste cechy tarcia. Na przykład można w ten sposób analizować mechanizm powstawania ciepła. Innymi słowy, dlaczego powierzchnie stają się cieplejsze, gdy są potarte? Zasadniczo atomy są połączone ze sobą, tworząc sieci. Kiedy powierzchnie o siebie pocierają, atomy powierzchniowe przylegają do siebie i wywołują drgania sieci – tworząc fale dźwiękowe, które penetrują materiał. Fale dźwiękowe zanikają wraz z odległością, a ich energia jest przekształcana w ciepło. Ponadto między atomami i cząsteczkami na powierzchniach trących mogą zachodzić reakcje chemiczne związane z tzw. zużyciem ciernym. Ilustracja 6.16 pokazuje, jak końcówka sondy dotykającej badanego materiału (jak w mikroskopie sił atomowych) jest odkształcana na skutek tarcia w skali atomowej. Siła potrzebna do przeciągnięcia końcówki sondy po powierzchni materiału może być zmierzona. Jest ona związana z naprężeniem ścinającym, które jest szerzej omawiane w rozdziale Równowaga statyczna i sprężystość. Zróżnicowanie wartości naprężenia ścinającego jest ogromne (nawet rzędu $10^{12}$ ) i trudne do przewidzenia w sposób teoretyczny, ale to właśnie ono daje fundamentalne podstawy do zrozumienia zjawiska tarcia w dużej skali.

Rysunek przedstawia cząsteczkowy model sondy skanującej, która jest przeciągana po powierzchni materiału. Badane ciało jest przedstawione w postaci prostokątnej sieci małych kul, z których każda reprezentuje atom w materiale. Sonda również zbudowana z sieci małych, atomowych kul tworzących równoległe warstwy, ma formę odwróconej piramidy ze spłaszczonym wierzchołkiem. Piramida ta jest nieco zniekształcona na skutek tarcia. Na styku między sondą i badaną powierzchnią zachodzą oddziaływania atomowe i międzycząsteczkowe. Tarcie T działa równolegle do powierzchni i jest zwrócone przeciwnie do kierunku ruchu sondy.

Ilustracja 6.16 Końcówka sondy jest odkształcana na boki poprzez siłę tarcia, gdy sonda jest przeciągana po powierzchni. Pomiary siły różnią się w zależności od materiału, dając fundamentalny wgląd w atomową naturę tarcia.

Materiały pomocnicze

Obejrzyj symulację molekularnego modelu tarcia i opisz ruch cząsteczek w materii. Opis powinien zawierać wykresy wspomagające opis słowny. Jak temperatura wpływa na prezentowane zależności? Jakie są różnice i podobieństwa między ruchem cząstek w ciałach stałych, ciekłych i gazowych? Jak się ma wielkość i szybkość ruchu cząsteczek gazu do wielkości i szybkości otaczających nas przedmiotów?

Przykład 6.12

Przesuwające się ciężarki

Dwa ciężarki przedstawione na Ilustracji 6.17 są połączone nieważką struną przerzuconą przez nieważki bloczek, który może poruszać się bez tarcia. Kiedy ciężarek na spodzie, mający masę 4,00 kg, jest ciągnięty w lewo ze stałą prędkością

\vec{P}

ciężarek na górze, mający masę 2,00 kg przesuwa się w prawo. Oblicz, jaką siłą trzeba działać, aby przesuwać ciężarki ze stałą prędkością. Załóż, że współczynnik tarcia kinetycznego między wszystkimi powierzchniami wynosi 0,400.

Rysunek (a) prezentuje ciężarek o masie 4.0 kg leżący na poziomej powierzchni oraz leżący na nim kolejny ciężarek o masie 2.0 kg. Bloczek jest przyłączony poziomo do ściany po prawej stronie. Ciężarki są połączone za pomocą struny przerzuconej przez bloczek tak, że struna ma kierunek poziomy. Siła P ciągnie dolny ciężarek w lewo. Układ współrzędnych przedstawiony na rysunku dobrany jest tak, że oś x skierowana jest poziomo w prawo, a oś y pionowo w górę. Na Rysunku (b) przedstawiono rozkład sił działających na ciężarki. Na górny ciężarek działają siły mu razy R sub 1 w lewo, siła N skierowana w prawo, siła 19.6 N pionowo w dół oraz siła R sub 1 w górę. Na dolny ciężarek działa siła mu razy R sub 1 w prawo, mu razy R sub 2 w prawo, siła P w lewo, siła N w prawo, siła R sub 1 pionowo w dół, ciężar Q w dół i wektor R sub 2 w górę.

Ilustracja 6.17 (a) Każdy z dwóch ciężarków przemieszcza się ze stałą prędkością. (b) Rozkłady sił działających na ciężarki.

Strategia rozwiązania

Rozważamy bilans sił działających na każdy z ciężarków z osobna. Górny klocek jest wystawiony na działanie siły kontaktowej wywieranej przez dolny bloczek. Na siłę tę składają się: siła normalna

R_{1}

i siła tarcia

−0,400 R_{1}

. Pozostałe siły działające na górny ciężarek to siła napięcia struny

T

oraz siła ciężkości ciężarka równa 19,6 N. Dolny ciężarek podlega z kolei działaniu sił kontaktowych ze strony górnego ciężarka oraz ze strony podłogi. Na pierwszą siłę kontaktową składają się

− R_{1}

i

0,400 R_{1}

, które są po prostu siłami reakcji na siły kontaktowe, jakie dolny klocek wywiera na górny. Na siłę kontaktową ze strony podłogi składają się

R_{2}

i

0,400 R_{2}

. Pozostałe siły działające na ten ciężarek to

- P

, siła naciągu struny

N

oraz ciężar drugiego klocka równy –39,2 N.

Rozwiązanie

Ponieważ górny blok przemieszcza się poziomo w prawo ze stałą prędkością, a w pionie nie porusza się wcale, to jego przyspieszenie wynosi zero zarówno w kierunku poziomym, jak i pionowym. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika:

\begin{matrix} \sum F_{x} & = & m_{1} a_{x} & \sum F_{y} & = & m_{1} a_{y} \\ N - 0,400 R_{1} & = & 0 & R_{1} - Q_{1} & = & 0 . \end{matrix}

Rozwiązujemy układ równań z dwoma niewiadomymi pamiętając, że $Q_{1} = 19,6 N$ . W rezultacie otrzymujemy następujące wartości szukane: $R_{1} = 19,6 N$ i $N = 0, 40 R_{1} = 7, 84 N$ . Dolny ciężarek również nie przyspiesza, więc po zastosowaniu drugiej zasady dynamiki Newtona otrzymujemy następujące równania:

\begin{matrix} \sum F_{x} = m_{2} a_{x} & \sum F_{y} = m_{2} a_{y} \\ N - P + 0,400 R_{1} + 0,400 R_{2} = 0 & R_{2} - Q_{2} - R_{1} = 0 . \end{matrix}

Wartości $R_{1}$ i $N$ wyliczone zostały z pierwszych dwóch zależności, zaś z danych zadania wynika, że $Q_{2} = 19,6 N$ . Gdy wartości te podstawimy do prezentowanych równań, możemy wyliczyć wielkości szukane, czyli $R_{2}$ i $P$ . Wynoszą one odpowiednio:

N_{2} = 58, 8 N oraz P = 39, 2 N .

Znaczenie

Właściwy wybór kierunku, w którym należy narysować siłę tarcia, jest zazwyczaj dość problematyczny. Zwróć uwagę, że każda siła tarcia zaznaczona na Ilustracji 6.17 działa w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu odpowiadającego jej klocka.

Przykład 6.13

Skrzynia na przyspieszającym samochodzie

Skrzynia o masie 50 kg leży na naczepie samochodu ciężarowego, jak to zostało przedstawione na Ilustracji 6.18. Współczynniki tarcia między powierzchniami wynoszą odpowiednio

μ_{k} = 0,300

i

μ_{s} = 0,400 .

Znajdź siłę tarcia między skrzynią a podłogą naczepy, jeśli auto jedzie ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem wynoszącym odpowiednio (a)

2, 00 m / s^{2}

lub (b)

5, 00 m / s^{2}

.

Rysunek (a) przedstawia 50-kilogramową skrzynię leżącą na naczepie auta ciężarowego. Strzałka skierowana poziomo w prawo ilustruje przyspieszenie a. Układ współrzędnych obrany jest tak, że oś x skierowana jest poziomo w prawo, a oś y skierowana pionowo w górę. Na rysunku (b) widać rozkład sił działających na skrzynię. Zaznaczono następujące siły: 490 N pionowo w dół (ciężar skrzyni), wektor siły normalnej R pionowo w górę oraz wektor siły tarcia T skierowany poziomo w prawo.

Ilustracja 6.18 (a) Skrzynia leży na naczepie auta ciężarowego poruszającego się ruchem jednostajnie przyspieszonym. (b) Rozkład sił działających na skrzynię.

Strategia rozwiązania

Na kratę działają: siła ciężkości, siła normalna oraz siła tarcia o naczepę auta. Zaczynamy od przyjęcia założenia, że skrzynia nie ślizga się po powierzchni naczepy. W tym przypadku na skrzynię działa siła tarcia statycznego

T_{s}

. Ponadto przyspieszenie skrzyni i auta są równe co do wartości.

Rozwiązanie

Zastosujmy drugą zasadę dynamiki Newtona, rozpisując bilans sił działających wzdłuż kierunków wyznaczonych przez przyjęty układ współrzędnych:
$\begin{aligned} \sum F_{x} & = m a_{x} & \sum F_{y} & = m a_{y} \\ f_{s} & = 50, 0 k g \cdot 2, 00 m / s^{2} & R - 4, 9 \cdot 10^{2} N & = 50, 0 k g \cdot 0 m / s^{2} \\ f_{s} & = 1, 00 \cdot 10^{2} N & R & = 4, 90 \cdot 10^{2} N . \end{aligned}$

Sprawdźmy teraz, czy nasze założenie o braku poślizgu skrzyni było słuszne. Maksymalna wartość siły tarcia statycznego wynosi

$μ_{s} R = 0, 400 \cdot 4, 90 \cdot 10^{2} N = 196 N,$

podczas gdy rzeczywista wartość tarcia statycznego, która działa, gdy auto jedzie z przyspieszeniem $2,00 {m/s}^{2}$ wynosi zaledwie $1, 00 \cdot 10^{2} N$ . W związku z tym założenie, że skrzynia nie będzie się ślizgać, było słuszne.
Jeśli skrzynia ma pozostać w statycznym kontakcie z autem, gdy jedzie ono z przyspieszeniem $5, 0 m / s^{2}$ , siła tarcia statycznego musi wynosić

$T_{s} = m a_{x} = 50, 0 k g \cdot 5, 00 m / s^{2} = 250 N .$

Jako że wartość ta przewyższa wartość 196 N, którą wyliczyliśmy wcześniej, skrzynia zacznie się ześlizgiwać. Wówczas działająca siła tarcia kinetycznego wynosi:

$T_{k} = μ R = 0, 300 \cdot 4, 90 \cdot 10^{2} N = 147 N .$

Wypadkowe przyspieszenie skrzyni w płaszczyźnie poziomej względem układu związanego z ziemią można wyliczyć z zależności
$\begin{aligned} \sum F_{x} & = m a_{x} \\ 147 N & = 50, 0 k g \cdot a_{x} \\ a_{x} & = 2, 94 \frac{m}{s^{2}} . \end{aligned}$

Znaczenie

W układzie odniesienia związanym z ziemią przyspieszenie auta wynosi

5,0 {m/s}^{2}

, zaś przyspieszenie skrzyni jest równe

2,94 {m/s}^{2}

. Stąd skrzynia przesuwa się do tyłu w stosunku do naczepy ciężarówki z przyspieszeniem

2, 94 m / s^{2} - 5, 00 m / s^{2} = - 2, 06 m / s^{2}

.

Przykład 6.14

Snowboarding

Wcześniej rozwiązywaliśmy zadanie, w którym analizowaliśmy ruch narciarza zjeżdżającego ze stoku ze stałą prędkością, aby obliczyć współczynnik tarcia kinetycznego. Teraz zróbmy podobną analizę, aby obliczyć przyspieszenie. Snowboardzista przedstawiony na Ilustracji 6.19 zjeżdża ze stoku nachylonego pod kątem

θ = 13^{\circ}

do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy deską i śniegiem jest równy

μ_{k} = 0, 20

. Jakie jest przyspieszenie snowboardzisty?

Na Rysunku (a) przedstawiono snowboardzistę zjeżdżającego ze stoku pochylonego pod kątem 13 stopni do poziomu. Wzdłuż równi, w dół, skierowany jest wektor przyspieszenia a. Na Rysunku (b) widać diagram sił działających na snowboardzistę.Są to: siła mgcos(13) skierowana w dół prostopadle do zbocza, siła R skierowana w górę prostopadle do zbocza, siła mgsin(13) skierowana w dół równolegle do zbocza oraz mu sub k razy R skierowana w górę równolegle do zbocza.

Ilustracja 6.19 (a) Snowboardzista zjeżdża w dół ze zbocza nachylonego pod kątem

13^{\circ}

do poziomu. (b) Rozkład sił działających na snowboardzistę.

Strategia rozwiązania

Na snowboardzistę działają siły: ciężkości oraz siła kontaktowa ze zboczem, na którą z kolei składają się siła normalna prostopadła do zbocza oraz siła tarcia kinetycznego zwrócona równolegle do zbocza. Ponieważ sportowiec porusza się wzdłuż zbocza, to najwygodniej będzie wybrać układ współrzędnych tak, by oś

x

była skierowana równolegle do zbocza, a oś

y

prostopadle do zbocza. Na tym rysunku siła normalna i siła tarcia są skierowane wzdłuż odpowiednich osi układu współrzędnych, zaś siła ciężkości rozłożona jest na dwie składowe:

m g \sin θ

równoległą do zobacza oraz

m g \cos θ

prostopadłą do zbocza. Jedyne niezerowe przyspieszenie jest skierowane wzdłuż kierunku

x

(a_{y} = 0)

.

Rozwiązanie

Zastosujmy teraz drugą zasadę dynamiki Newtona do przypadku snowboardzisty:

\begin{aligned} \sum F_{x} & = m a_{x} & \sum F_{y} & = m a_{y} \\ m g \sin θ - μ_{k} R & = m a_{x} & R - m g \cos θ & = 0. \end{aligned}

Z drugiego równania $R = m g \cos θ$ . Po podstawieniu tej zależności do pierwszego równania otrzymujemy:

\begin{aligned} a_{x} & = g (\sin θ - μ_{k} \cos θ) \\ = g (\sin 13^{\circ} - 0, 20 \cos 13^{\circ}) = 0, 29 \frac{m}{s^{2}} . \end{aligned}

Znaczenie

Z równania tego wynika, że jeśli

θ

jest wystarczająco małe lub

μ_{k}

jest wystarczająco duże, to przyspieszenie

a_{x}

jest ujemne, co oznacza, że snowboardzista zwalnia.

Sprawdź, czy rozumiesz 6.8

Snowboardzista porusza się teraz w dół zbocza nachylonego pod kątem $10^{\circ}$ . Jakie jest przyspieszenie snowboardzisty?

6.2 Tarcie

Tarcie statyczne i kinetyczne

Tarcie statyczne i kinetyczne

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Tarcie na równi pochyłej

Narciarz zjeżdżający ze zbocza

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Tarcie w skali atomowej

Przesuwające się ciężarki

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Skrzynia na przyspieszającym samochodzie

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Snowboarding

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie