6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona

Różne siły naciągu pod różnymi kątami

Rozważmy sygnalizację świetlną o masie 15 kg umocowaną na dwóch kablach (patrz Ilustracja 6.3). Znajdź siłę naciągu każdego z kabli, zakładając, że są one nieważkie.

Strategia rozwiązania

Analizowanym układem jest sygnalizacja świetlna, dla której rozkład działających sił został przedstawiony na rysunku (patrz Ilustracja 6.3(c)). Wszystkie trzy działające siły nie są równoległe, więc trzeba je zrzutować na odpowiedni układ współrzędnych. Najbardziej wygodny układ współrzędnych będzie miał jedną oś poziomą, a drugą pionową. Rzuty poszczególnych sił na wskazany układ współrzędnych zostały przedstawione na rysunku (patrz Ilustracja 6.3(d)).W analizowanym zadaniu występują dwie wielkości szukane $(N_1\mathrm{,}{N}_2)$, więc konieczne jest sformułowanie dwóch układów równań. Równania te tworzymy w oparciu o drugą zasadę dynamiki Newtona wzdłuż poziomej oraz pionowej osi. Pamiętamy jednocześnie, że wypadkowa działających sił jest równa zero, ponieważ przyspieszenie jest równe zeru.

Rozwiązanie

Rozważmy siły działające w kierunku poziomym (lub osi $x$ ):

Z czego wynika:

To z kolei daje nam następującą zależność:

Zatem:

Zauważ, że $N_1$ i $N_2$ nie są równe, ponieważ są skierowane pod innymi kątami. Sensowne jest spostrzeżenie, że $N_2$ jest większa niż $N_1$ ponieważ jest skierowana bardziej poziomo niż $N_1$.

Teraz rozważmy siły działające w kierunku pionowym (osi $y$ ):

Stąd wynika, że:

To z kolei prowadzi do zależności:

W równaniu tym występują dwie niewiadome, ale podstawiając wyrażenie na $N_2$ zależne od $N_1$ (z analizy sił poziomych) upraszczamy to równanie do postaci równania z jedną niewiadomą:

co równa się

Rozwiązanie tego ostatniego równania daje nam wartość liczbową $N_1$ równą:

Na końcu znajdujemy wartość liczbową $N_2$ poprzez zastosowanie zależności między siłami $N_2=\mathrm{1,225}{N}_1$, co zostało wykazane wcześniej. Wówczas otrzymujemy wartość

Znaczenie

Obie siły naciągu byłyby większe, gdyby kable były bardziej poziome. Z kolei siły naciągu każdego z kabli byłyby sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdyby kąty po obu stronach były jednakowe (podobnie jak w przykładzie z linoskoczkiem analizowanym w rozdziale Zasady dynamiki Newtona.

Siła oporu działająca na barkę

Dwa holowniki pchają barkę w różnych kierunkach (Ilustracja 6.4). Pierwszy holownik wywiera siłę $2\mathrm{,}7\cdot {10}^5\mathrm{N}$ w kierunku $x$ a drugi holownik wywiera siłę $3\mathrm{,}6\cdot {10}^5\mathrm{N}$ w kierunku $y$. Masa barki wynosi $5\mathrm{,}0\cdot {10}^6\mathrm{k}\mathrm{g}$, a jej przyspieszenie jest równe $7\mathrm{,}5\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}\text{/}{\mathrm{s}}^2$ i skierowane jest jak przedstawiono na rysunku. Ile wynosi siła oporu wody działająca na barkę i utrudniająca jej ruch? (Zauważ, że siła oporu jest siłą wywieraną na ciała przez płyny takie jak powietrze lub woda. Siła oporu (ang. drag force) utrudnia ruch ciał. Ponieważ barka jest płaska z dołu, można założyć, że siła oporu działa w kierunku przeciwnym do ruchu barki.)

Strategia rozwiązania

Ilustracja 6.4(a) przedstawia kierunki i wartości występujących wektorów sił i przyspieszenia. Całkowita siła wywierana przez holowniki na barkę (${\overrightarrow{F}}_{12}$) wynosi:

Siła oporu wody ${\overrightarrow{F}}_{\text{op}}$ skierowana jest przeciwnie do kierunku ruchu barki, czyli działa ona w kierunku przeciwnym niż siła ${\overrightarrow{F}}_{12}$, przedstawiona na rozkładzie sił na Ilustracji 6.4(b). W tym zadaniu analizowanym układem jest barka, więc do niej przyłożone są wektory sił i przyspieszenia. W związku z tym, że działające siły są prostopadłe, osie $x$ i $y$ są tak samo skierowane jak siły ${\overrightarrow{F}}_1$ i ${\overrightarrow{F}}_2$. Analizowane zadanie staje się zagadnieniem jednowymiarowym wzdłuż kierunku działania siły, ponieważ siła oporu skierowana jest przeciwnie do kierunku działania siły ${\overrightarrow{F}}_{12}$. Następnie przyjmujemy odpowiednią strategię, aby znaleźć kierunek i wartość wypadkowej sił wywieranych przez holowniki (${\overrightarrow{F}}_{12}$) i zastosować drugą zasadę dynamiki Newtona do znalezienia siły oporu ${\overrightarrow{F}}_{\text{op}}$.

Rozwiązanie

Jako że siły $F_1$ i $F_2$ są prostopadłe, możemy znaleźć kierunek i wartość wypadkowej tych dwóch sił ${\overrightarrow{F}}_{12}$ bezpośrednio z zależności geometrycznych. Po pierwsze, w celu obliczenia wartości tej siły zastosujemy twierdzenie Pitagorasa:

Kąt natomiast jest równy:

Z pierwszej zasady dynamiki Newtona wiadomo, że kierunek tej siły jest taki sam jak kierunek działającego przyspieszenia. Wiemy również, że siła oporu ${\overrightarrow{F}}_{\text{op}}$ działa w przeciwnym kierunku niż ${\overrightarrow{F}}_{12}$, ponieważ zmniejsza ona przyspieszenie barki. W związku z tym wypadkowa sił zewnętrznych jest tak samo skierowana jak ${\overrightarrow{F}}_{12}$, ale jej wartość jest nieco mniejsza niż wartość siły ${\overrightarrow{F}}_{12}$. Jako że problem jest w zasadzie zagadnieniem jednowymiarowym, na podstawie diagramu rozkładu sił w układzie można napisać:

Jednakże z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że:

Stąd

Na tej podstawie można obliczyć wartość siły oporu wody $F_{\text{op}}$ działającej na barkę.

Po podstawieniu znanych wartości liczbowych otrzymujemy:

Z kolei kierunek siły oporu wody ${\overrightarrow{F}}_{\text{op}}$ został określony jako kierunek przeciwny do wypadkowej sił wywieranych na barkę przez holowniki ${\overrightarrow{F}}_{12}$ lub jako zwrócony pod kątem ${53}^{\circ }$ na południowy zachód.

Znaczenie

Wartości liczbowe otrzymane w tym zadaniu są rozsądne dla umiarkowanie dużej barki. Uzyskanie większych wartości przyspieszeń przy użyciu holowników jest szczególnie trudne, a ponadto zachowanie małych prędkości jest pożądane. Przy niskich prędkościach, dla dobrze zaprojektowanych kadłubów, siła oporu jest stosunkowo niska, co zgadza się z odpowiedzią z zadania, gdzie $F_{\text{op}}$ jest ponad 600 razy mniejsza od ciężaru barki.

Co tak naprawdę pokazuje waga łazienkowa umieszczona w windzie?

Ilustracja 6.5 przedstawa mężczyznę o masie 75 kg, stojącego na wadze łazienkowej umieszczonej w windzie. Oblicz, jakie będą wskazania wagi w następujących przypadkach:

1. gdy winda porusza się w górę z przyspieszeniem $\mathrm{1,20}{\text{m/s}}^2$
2. gdy winda porusza się w górę ze stałą prędkością równą 1 m/s.

Strategia rozwiązania

Waga w spoczynku będzie wskazywała ${\overrightarrow{F}}_{\text{cz}}$, czyli wartość siły wywieranej na wagę przez człowieka. Ilustracja 6.5(a) przedstawia liczne siły działające na windę, człowieka i wagę. Mimo że analizowane zagadnienie jest jednowymiarowe, to wygląda ono na dużo bardziej złożone niż w przypadku, gdy jako analizowany układ wybrano tylko człowieka (patrz Ilustracja 6.5(b)). Wówczas jedynymi siłami działającymi na człowieka są jego ciężar ${\overrightarrow{Q}}_{\text{cz}}$ oraz siła wywierana przez wagę ${\overrightarrow{F}}_{\text{wag}}$. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona siły ${\overrightarrow{F}}_{\text{cz}}$ i ${\overrightarrow{F}}_{\text{wag}}$ są zgodne co do wartości, ale przeciwnie skierowane. W związku z tym musimy znaleźć wartość $F_{\text{wag}}$ po to, by dowiedzieć się, ile wynosi wskazanie wagi. Jak zawsze, zastosujemy w tym celu drugą zasadę dynamiki Newtona:

Z rozkładu sił działających na ciało wynika, że ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}={\overrightarrow{F}}_{\text{wag}}+{\overrightarrow{Q}}_{\text{cz}}$, co po przejściu do zapisu skalarnego oznacza:

Po przekształceniu uzyskujemy równanie z jedną niewiadomą $F_{\mathrm{wag}}$:

a uwzględniając fakt, że $Q_{\text{cz}}=mg\mathrm{,}$ równanie upraszcza się do postaci:

Nie przyjmowaliśmy żadnych założeń dla przyspieszeń, więc uzyskane rozwiązanie powinno być uniwersalne. (Zauważ, że w tym zadaniu rozważamy przypadek, gdy winda porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym w górę. Gdyby poruszała się ruchem jednostajnie przyspieszonym w dół, zależność wynikająca z drugiej zasady dynamiki Newtona wyglądałaby następująco: $F_{\mathrm{wag}}-Q_{\mathrm{cz}}=\text{−}ma.$)

Rozwiązanie

1. Przyjmijmy, że $a=\mathrm{1,20}{\text{m/s}}^2$, więc
   
   $$F_{\text{wag}}=75\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 9\mathrm{,}80\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}+75\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 1\mathrm{,}20\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\mathrm{,}$$
   
   co daje
   
   $$F_{\text{wag}}=825\text{N}\text{.}$$
2. Teraz zastanówmy się, co się dzieje, gdy winda osiąga pewną ustaloną wartość prędkości skierowanej w górę? Czy wskazania wagi nadal będą większe niż ciężar człowieka? Otóż w każdym przypadku ruchu ze stałą prędkością, niezależnie, czy w górę, czy w dół, przyspieszenie jest równe zero, ponieważ $a=\mathrm{\Delta }v\text{/}\mathrm{\Delta }t$ i $\mathrm{\Delta }v=0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$. Zatem
   
   $$F_{\text{wag}}=ma+mg=0+mg$$
   
   lub
   
   $$F_{\text{wag}}=75\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 9\mathrm{,}80\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\mathrm{,}$$
   
   co z kolei daje wartość
   
   $$F_{\text{wag}}=735\text{N}\text{.}$$

Znaczenie

Odczyt na wadze (Ilustracja 6.5(a)) wynosi ok. 84 kg. Jaki byłby odczyt wagi, gdyby znajdowała się ona w nieruchomej windzie? Jako że przyspieszenie byłoby równe zero, siła wywierana przez wagę na człowieka byłaby równa ciężarowi człowieka:

Jeśli zatem odczyt wagi jest większy niż ciężar człowieka (wynoszący 735 N, czyli 75 kg) oznacza to, że waga „podnosi” człowieka z siłą większą niż jego ciężar, ponieważ działa na niego przyspieszenie. Zatem im większe jest przyspieszenie windy, tym większy odczyt wagi, co jest zgodne z odczuciami, jakich doznajemy porównując ruch w windach jadących z dużym lub z małym przyspieszeniem. Natomiast otrzymane w przypadku (b) wskazanie wagi wynoszące 735 N (75 kg) jest równe ciężarowi człowieka. Jest to przypadek ruchu windy ze stałą prędkością w górę, w dół lub windy nieruchomej.

Dwa ciała połączone nicią przerzuconą przez bloczek

Ilustracja 6.6 przedstawia ciężarek o masie $m_1$ spoczywający na gładkiej, poziomej powierzchni. Ciężarek ten połączony jest z drugim ciężarkiem o masie $m_2$ za pomocą cienkiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici przerzuconej przez nieważki, nieruchomy bloczek. Znajdź przyspieszenie ciężarków oraz siłę naciągu liny przy założeniu znanych wartości $m_1$, $m_2$ i $g$.

Strategia rozwiązania

Dla każdego klocka z osobna rysujemy rozkład działających sił (Ilustracja 6.6). Rozpatrujemy je oddzielnie. Zauważamy, że na klocek 1 działa siła ciężkości, siła reakcji podłoża i siła naciągu nici. Z kolei na klocek 2 wywierana jest siła ciężkości i siła naciągu nici. Równania sił wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona wyglądają następująco:

Dla klocka 1: $\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{Q}}_1+\overrightarrow{R}=m_1{\overrightarrow{a}}_1$

Dla klocka 2: $\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{Q}}_2=m_2{\overrightarrow{a}}_2$.

Zauważ, że siła naciągu nici $\overrightarrow{N}$ jest taka sama dla obu klocków. W związku z tym, że nić i bloczek są nieważkie oraz że bloczek nie wywołuje tarcia, siły naciągu są takie same na całej długości nitki. Możemy zatem rozpisać równania na poszczególne składowe dla każdego klocka. Wszystkie siły działają albo w kierunku pionowym, albo poziomym, więc najwygodniej będzie użyć tego samego układu współrzędnych dla obu klocków.

Rozwiązanie

Bilans sił działających wzdłuż poszczególnych kierunków wynika z równań wektorowych przedstawionych powyżej. Widzimy, że dla klocka 1 siły działające w kierunku pionowym są w równowadze (klocek nie porusza się w kierunku pionowym), więc je pomijamy i uwzględniamy tylko siły działające wzdłuż osi $x$. Z kolei na klocek 2 nie działają żadne siły w kierunku poziomym, więc jedynie siły działające wzdłuż osi $y$ są uwzględniane. W rezultacie otrzymujemy następujące zależności:

Gdy klocek 1 przesuwa się w prawo, klocek 2 przemieszcza się dokładnie o ten sam odcinek drogi w dół. Możemy zatem zapisać, że $a_{1x}=-a_{2y}$. Przyjmując jednakowe oznaczenie dla przyspieszeń każdego z klocków $a=a_{1x}=-a_{2y}$, otrzymujemy zależność:

oraz

Tworząc układ równań z dwóch powyższych zależności, jesteśmy w stanie wyprowadzić wyrażenia na dwie wielkości szukane: $a$ i $N$

oraz

Znaczenie

Zauważ, że siła naciągu nici jest mniejsza niż ciężar bloczka zwisającego na jej końcu. Często popełnianym błędem w tego typu zadaniach jest przyjmowanie następującej równowagi sił: $N=m_{2}g$. Z rozkładu sił działających na klocek 2 jasno wynika, że tego typu równanie jest niepoprawne, ponieważ klocek ten nie jest statyczny, lecz przyspiesza.

Spadkownica Atwooda

Jednym z klasycznych zagadnień mechaniki jest analiza ruchu tzw. spadkownicy Atwooda (ang. Atwood machine), która składa się z liny przerzuconej przez bloczek, na końcu której zawieszone są ciała o różnych masach. Rozważmy spadkownicę przedstawioną na Ilustracji 6.7. Przyjmijmy, że bloczek jest nieruchomy, a masy zawieszonych ciężarków wynoszą odpowiednio $m_1=\mathrm{2,00}\text{kg}$ i $m_2=4\mathrm{,}00\mathrm{k}\mathrm{g}.$

1. Jeśli swobodnie puścimy ciężarek o masie $m_2$, to jakie będzie jego przyspieszenie?
2. Jaki będzie naciąg liny?

Strategia rozwiązania

Dla każdego klocka z osobna trzeba narysować rozkłady sił, jak to zostało przedstawione powyżej. Następnie analizujemy każdy schemat, aby znaleźć wymagane wielkości szukane. Otrzymane bilanse sił dla każdego z klocków można ze sobą powiązać, tak jak to zostało przedstawione w poprzednim przykładzie. Jako że klocek 2 porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym w dół z przyspieszeniem $a_2$, to klocek 1 porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym w górę z przyspieszeniem $a_1$. Skoro przyspieszenia te są równe co do wartości, to możemy zapisać: $a=a_1=\text{−}{a}_2$.

Rozwiązanie

1. Ze schematów rozkładów sił wynikają następujące zależności:
   
   $$\begin{array}{cccc}\text{Dla}{m}_1\mathrm{:}{\displaystyle \sum F_y=}N-m_{1}g=m_{1}a.\hfill & & & \text{Dla}{m}_2\mathrm{:}{\displaystyle \sum F_y=}N-m_{2}g=\text{−}{m}_{2}a.\hfill \end{array}$$
   
   Znak minus ($-$) przed $m_{2}a$ wskazuje, że przy intuicyjnie przyjętym układzie współrzędnych, gdzie oś $y$ skierowana jest pionowo w górę, masa $m_2$ porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym w dół. Oba klocki poruszają się z jednakowym co do wartości przyspieszeniem, ale przeciwnie skierowanym. Po napisaniu układu równań i zauważeniu, że siły naciągu nici są takie same dla obu klocków, otrzymujemy następującą zależność:
   
   $$(m_2-m_1)g=(m_1+m_2)a.$$
   
   co po przekształceniu daje następujące wyrażenie na przyspieszenie $a$ :
   
   $$a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g=\frac{4\text{kg}-2\text{kg}}{4\text{kg}+2\text{kg}}(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2)=\mathrm{3,27}{\text{m/s}}^2.$$
2. Siłę naciągu nici można obliczyć korzystając z bilansu sił dla któregokolwiek z klocków. Wybierając bilans dla klocka 1 uzyskujemy następujące rozwiązanie:
   
   $$\begin{array}{c}N-m_{1}g=m_{1}a\hfill \\ N=m_1(g+a)=(2\text{kg})(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2+\mathrm{3,27}{\text{m/s}}^2)=\mathrm{26,1}\text{N}\text{.}\hfill \end{array}$$

Znaczenie

Wyrażenie na przyspieszenie $a$ w rozwiązaniu niniejszego przykładu może być rozumiane jako stosunek niezrównoważonej siły działającej na analizowany układ $(m_2-m_1)g$, do całkowitej masy tego układu $m_1+m_2$. Spadkownicy Atwooda można używać również do pomiaru lokalnej siły grawitacji, a konkretnie lokalnej wartości przyspieszenia ziemskiego.

Jak bardzo piłkarz musi się starać, aby osiągnąć maksymalną prędkość?

Piłkarz znajduje się w spoczynku, po czym zaczyna biec ruchem jednostajnie przyspieszonym, dzięki czemu osiąga prędkość 8,00 m/s w ciągu 2,50 s.

1. Jakie jest jego średnie przyspieszenie?
2. Jaką średnią siłę wywiera podłoże na piłkarza, jeśli osiąga on wyliczone przyspieszenie? Masa piłkarza wynosi 70 kg, a opór powietrza pomijamy.

Strategia rozwiązania

Zastosujmy strategię rozwiązania zadań przedstawioną w niniejszym rozdziale. Nie zawsze trzeba wykonać wszystkie kroki, które zostały zaproponowane w ogólnej metodologii. W niniejszym zadaniu po zidentyfikowaniu wielkości danych i szukanych rozwiązujemy zadanie w oparciu o drugą zasadę dynamiki Newtona, a następnie sprawdzamy, czy uzyskany wynik jest racjonalny.

Rozwiązanie

1. Mamy dane: prędkość początkową i końcową (odpowiednio 0 m/s i 8,00 m/s). W związku z tym różnica prędkości wynosi $\text{Δ}v=\mathrm{8,00}\text{m/s}$. Wiemy również, że czas ruchu wynosi $\text{Δ}t=\mathrm{2,50}\text{s}\text{.}$ Szukane jest natomiast przyspieszenie, które można obliczyć na podstawie definicji:
   
   $$a=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t}.$$
   
   Podstawiając dane z zadania, otrzymujemy
   
   $$a=\frac{8\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}}{2\mathrm{,}50\mathrm{s}}=3\mathrm{,}20\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}.$$
2. Następnie jesteśmy pytani o średnią siłę, jaką ziemia wywiera na piłkarza, pomagając mu uzyskać przyspieszenie. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona jest to siła reakcji do tej, którą piłkarz wywiera na ziemię. Pomijając opór powietrza siła ta będzie co do wartości równa wypadkowej sił zewnętrznych działających na sportowca. Znając masę i przyspieszenie piłkarza, możemy zapisać:
   
   $$F_{\text{wyp}}=ma.$$
   
   Po podstawieniu wartości liczbowych na $m$ i $a$ otrzymujemy
   
   $$F_{\text{wyp}}=70\mathrm{,}0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 3\mathrm{,}20\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=224\mathrm{N}.$$

Wartość ta jest racjonalna. Przyspieszenie to jest typowe dla sportowca w dobrej kondycji fizycznej. Siła natomiast odpowiada ciężarowi ciała o masie 22,7 kg, co również jest sensownym wynikiem.

Znaczenie

Przykład ten obrazuje, jak zastosować strategie rozwiązywania zadań do zagadnień wiążących w sobie różne działy fizyki. Najpierw trzeba określić, jakich zasad fizycznych dotyczy zadanie, a następnie zidentyfikować dane i szukane. W dalszej kolejności należy zastosować odpowiednie prawa (w tym przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona), aby rozwiązać zadanie. Na końcu należy przedyskutować, czy otrzymany wynik jest rozsądny. Takie systematyczne podejście do rozwiązywania problemów będzie przydatne nie tylko w fizyce, ale również w innych dziedzinach nauki, a nawet w codziennym życiu.

Jaka siła działa na model helikoptera?

Model helikoptera o masie 1,5 kg porusza się z prędkością $\hat{j}\cdot \mathrm{5,00}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$ w czasie $t=0.$ Porusza się on ze stałym przyspieszeniem przez 2 sekundy, po czym osiąga prędkość $\hat{i}\cdot 6\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}+\hat{j}\cdot 12\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$. Jaka jest wartość siły działającej na ten helikopter w trakcie opisywanego czasu?

Strategia rozwiązania

Obieramy układ współrzędnych, w którym oś $x$ (kierunek $\hat{i}$) jest zorientowana poziomo, zaś oś $y$ (kierunek $\hat{j}$) jest zorientowana pionowo. Wiemy, że $\mathrm{\Delta }t=2\mathrm{,}00\mathrm{s}$ oraz że zmiana prędkości wynosi $\hat{i}\cdot 6\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}+\hat{j}\cdot 12\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}-\hat{j}\cdot 5\mathrm{,}00\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$. Mając te dane jesteśmy w stanie obliczyć przyspieszenie z definicji, a następnie zastosować drugą zasadę dynamiki Newtona.

Rozwiązanie

Otrzymujemy następujące zależności na przyspieszenie i siłę:

Liczbowa wartość siły działającej na helikopter wynosi:

Znaczenie

Wielkości wektorowe dane w zadaniu zostały przedstawione w postaci typowego zapisu wektorowego, w którym używa się wektorów jednostkowych $\hat{i}-\hat{j}$, co oznacza, że w obliczeniach wykorzystany został rachunek wektorowy. Porównaj to rozwiązanie z rozwiązaniami podanymi w poprzednich przykładach.

Ciągnik bagażowy

Ilustracja 6.8(a) przedstawia ciągnik ciągnący wózki z bagażami na lotnisku. Masa ciągnika wynosi 650,0 kg, masa wózka A 250,0 kg, zaś masa wózka B 150,0 kg. Ciągnik rusza pod wpływem siły ciągu silnika, która działa przez 3,00 s.

1. Jeśli siła ciągu silnika jest funkcją zależną od czasu, przedstawioną równaniem $F=t\cdot 820\mathrm{,}0\mathrm{N}\text{/}\mathrm{s}$, to jaka będzie prędkość ciągnika po upływie 3,00 s?
2. Ile wynosi siła naciągu liny łączącej ciągnik z wózkiem A?

Strategia rozwiązania

Na rozkładzie sił działających na ciągnik przedstawiona jest siła ciągu silnika, która nadaje ciągnikowi przyspieszenie. Rozważamy tylko ruch w kierunku poziomym, ponieważ z bilansu sił w kierunku pionowym wynika, że siły te są w równowadze i nie trzeba ich brać pod uwagę. Z kolei w przykładzie (b) wykorzystujemy tylko rozkład sił dla samego ciągnika, ponieważ chcemy znaleźć siłę naciągu liny między ciągnikiem a wózkiem A, oznaczoną jako $\overrightarrow{N}$.

Rozwiązanie

1. ${\displaystyle \sum F_x}=m_{\text{układu}}{a}_x$ i ${\displaystyle \sum F_x}=\mathrm{820,0}t$, zatem
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \mathrm{820,0}t& =\hfill & (\mathrm{650,0}+\mathrm{250,0}+\mathrm{150,0})a\hfill \\ \hfill a& =\hfill & \mathrm{0,7809}t.\hfill \end{array}$$
   
   W związku z tym, że przyspieszenie jest funkcją zależną od czasu, prędkość można obliczyć, wychodząc z definicji przyspieszenia $a=\mathrm{d}v\text{/}\mathrm{d}t$ przy założeniu warunków początkowych $v_0=0$ w czasie $t=0.$ Po przekształceniu całkujemy obustronnie to wyrażenie w granicach od $t=0$ do $t=3\mathrm{s}$
2. $\mathrm{d}v=a\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{,}\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{d}v=\underset{0}{\overset{3}{\int }}a\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{3}{\int }}0\mathrm{,}7809t\mathrm{d}t\mathrm{,}v={\left[0\mathrm{,}3905t^2\right]}_0^3=3\mathrm{,}51\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$
3. Spójrz na rozkład sił działających na ciągnik, przedstawiony na Ilustracji 6.8(b). Rozpisz bilans działających sił:
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \sum F_x}& =\hfill & m_{\text{ciągnik}}{a}_x\hfill \\ \hfill \mathrm{820,0}t-N& =\hfill & m_{\text{ciągnik}}(\mathrm{0,7805})t\hfill \\ \hfill (\mathrm{820,0})(\mathrm{3,00})-N& =\hfill & (\mathrm{650,0})(\mathrm{0,7805})(\mathrm{3,00})\hfill \\ \hfill N& =\hfill & 938\text{N}.\hfill \end{array}$$

Znaczenie

W związku z tym, że siła jest zmienna w czasie, do rozwiązania tego zadania musimy użyć rachunku różniczkowo-całkowego. Zwróć uwagę, że w rozwiązaniu przykładu (a) pod uwagę brana jest masa całego układu (Ilustracja 6.8(a)), zaś w rozwiązaniu przykładu (b) wystarczy znajomość masy ciągnika (Ilustracja 6.8(b)), ponieważ to on bezpośrednio poddawany jest działaniu siły naciągu liny.

Ruch pocisku wystrzelonego pionowo w górę

Pocisk o masie 10 kg jest wystrzeliwany z moździerza, znajdującego się na powierzchni ziemi, pionowo w górę z prędkością początkową 50,0 m/s (spójrz na Ilustrację 6.9). Na jaką wysokość wzniesie się pocisk, jeśli opór powietrza wynosi $F_{\text{op}}=v^2\cdot 0\mathrm{,}01\mathrm{k}\mathrm{g}\text{/}\mathrm{m}$, gdzie $v$ jest szybkością pocisku w danej chwili?

Strategia rozwiązania

Siła działająca na pocisk moździerzowy może zostać obliczona na podstawie równania ruchu zawierającego zależność siły od przyspieszenia. Zależność przyspieszenia od położenia pocisku może zostać obliczona na podstawie równań kinematycznych.

Rozwiązanie

W chwili początkowej $y_0=0\mathrm{m}$ i $v_0=50\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$. Po osiągnięciu maksymalnej wysokości $y=h$, $v=0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$. Na rozkładzie sił działających na pocisk siła oporu powietrza $F_{\text{op}}$ jest skierowana w dół, ponieważ utrudnia ona ruch pocisku. W związku z tym możemy zapisać:

Wypadkowe przyspieszenie pocisku jest zmienne i zależy od $v$. Skoro $a=f(v)$, możemy uzależnić $a$ od $v$, korzystając z przekształceń przedstawionych powyżej:

Zamiast $\mathrm{d}s$ podstawiamy $\mathrm{d}y$, ponieważ rozważamy ruch w kierunku pionowym:

Następnie rozdzielamy zmienne ($v$ i $\mathrm{d}v$ przenosimy na jedną stronę równania, zaś $\mathrm{d}y$ na drugą stronę):

$\begin{array}{rl}\underset{0}{\overset{h}{\int }}\mathrm{d}y& =\underset{50}{\overset{0}{\int }}\frac{v\mathrm{d}v}{-0\mathrm{,}001v^2-9\mathrm{,}80}\\ & =-\underset{50}{\overset{0}{\int }}\frac{v\mathrm{d}v}{0\mathrm{,}001v^2+9\mathrm{,}80}=-5\cdot {10}^3\cdot {\left[\ln (0\mathrm{,}001v^2+9\mathrm{,}80)\right]}_{50}^0.\end{array}$

Stąd wynika, że $h=114\text{m}\text{.}$

Znaczenie

Zwróć uwagę, że skoro działająca siła nie jest stała, to również przyspieszenie w tym ruchu nie jest stałe, co wymusza konieczność zastosowania rachunku różniczkowo-całkowego. Co więcej, siła nie zależy od czasu $t$, ale od prędkości $v$, więc w celu rozwiązania zadania trzeba zastosować odpowiednie przekształcenia matematyczne. Uzyskane rozwiązanie wskazuje natomiast, że wysokość, na jaką wzniesie się pocisk, jest mniejsza niż w przypadku swobodnego ruchu w polu grawitacyjnym Ziemi, ponieważ działa siła oporu powietrza. Bardziej szczegółowe rozważania na temat sił oporu będziemy prowadzić w podrozdziale Siła oporu i prędkość graniczna.