William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona

25.

Dziewczyna o masie 30 kg buja się na huśtawce. Jest ona odchylana od pionu o $30^{\circ}$ i utrzymywana w pozycji nieruchomej dzięki poziomej sile $\vec{F}$ .

Oblicz siłę naciągu każdej z dwóch lin huśtawki.
Oblicz wartość siły $\vec{F}$ .

26.

Oblicz siłę naciągu każdego z trzech kabli, na których wisi sygnalizacja świetlna o ciężarze $2 \cdot 10^{2} N$ .

Rysunek przedstawia sygnalizację świetlną widzącą na kablu, który z kolei przyłączony jest do dwóch innych kabli. Na kabel przyłączony bezpośrednio do sygnalizacji działa siła naciągu T sub 3, zaś na pozostałe dwa kable przyłączone do niego działają odpowiednio siła naciągu T sub 1 (kabel skierowany w lewo pod kątem 41 stopni w stosunku do płaszczyzny poziomej) oraz siła naciągu T sub 2 (kabel skierowany w prawo pod kątem 63 stopnie w stosunku do płaszczyzny poziomej). Ciężar sygnalizacji świetlnej wynosi 200 N i jest skierowany pionowo w dół.

27.

Trzy siły działają na cząstkę materialną, która porusza się ze stałą prędkością $v = \hat{i} \cdot 3 m / s - \hat{j} \cdot 2 m / s$ . Dwie spośród tych sił to: ${\vec{F}}_{1} = \hat{i} \cdot 3 N + \hat{j} \cdot 5 N - \hat{k} \cdot 6 N$ i ${\vec{F}}_{2} = \hat{i} \cdot 4 N - \hat{j} \cdot 7 N + \hat{k} \cdot 2 N$ . Znajdź trzecią siłę.

28.

Pchła skacze, wywierając siłę $1, 2 \cdot 10^{- 5} N$ na ziemię. Wiatr wiejący równolegle do powierzchni ziemi wywiera na pchłę siłę $0, 5 \cdot 10^{- 6} N$ w momencie, gdy pchła jest jeszcze w kontakcie z ziemią. Znajdź kierunek i wartość przyspieszenia pchły, jeśli jej masa wynosi $6, 0 \cdot 10^{- 7} k g$ . Pamiętaj o działaniu siły grawitacji.

29.

Dwa mięśnie łydki naciągają w górę ścięgno Achillesa, jak to zostało przedstawione na rysunku. Są to tzw. mięśnie brzuchate łydki (głowa przyśrodkowa i boczna). Znajdź wartość i kierunek działania wypadkowej siły wywieranej na ścięgno Achillesa. Jaki rodzaj ruchu można wykonywać dzięki działaniu tej siły?

Na Rysunku przedstawiono ścięgno Achillesa, na które działają dwie siły wywierane przez mięśnie brzuchate łydki. F sub 1 równa 200 N jest skierowana w górę pod kątem 20 stopni w prawo od pionu, zaś siła F sub 2 o wartości 200 N jest skierowana w górę pod kątem 20 stopni w lewo od pionu.

30.

W trakcie pokazu cyrkowego dochodzi do nieszczęśliwego wypadku. Zrywa się trapez, na którym gimnastyczka o masie 76 kg wykonywała akrobacje. Drugi cyrkowiec próbuje uratować koleżankę, ciągnąc linę, której akrobatka się trzyma, jak to zostało przedstawione na rysunku. Oblicz siły naciągu liny, na której wisi kobieta, przy założeniu, że jest ona chwilowo nieruchoma. Wykonaj schemat rozkładu sił działających na akrobatkę.

Akrobatka zwisająca na linie jest wciągana w prawo przez innego cyrkowca. Jej ciężar jest przedstawiony w postaci wektora Q skierowanego pionowo w dół. Lina wywiera siłę naciągu T sub 1 w górę w lewo pod kątem 15 stopni względem kierunek pionowego. Z kolei drugi cyrkowiec ciągnie linę z siłą T sub 2 w prawo pod kątem 10 stopni względem poziomu.

31.

Delfin o masie 35 kg dogania innego delfina, zwalniając od prędkości 12,0 m/s do 7,5 m/s w ciągu 2,3 s. Jaka średnia siła musiała być wywierana na delfina, aby go spowolnić? (Siła ciężkości jest równoważona przez siłę wyporu wody.)

32.

W momencie startu biegu sprinter o masie ciała 70 kg wywiera na ziemię średnią siłę 650 N przez 0,8 s. (a) Jaką prędkość osiągnie? (b) Jak daleko dobiegnie?

33.

Rakieta ma masę $2, 00 \cdot 10^{6} k g$ w momencie startu, a jej silniki wywołują siłę ciągu równą $3, 50 \cdot 10^{7} N .$

Znajdź początkowe przyspieszenie rakiety, jeśli startuje ona w kierunku pionowym.
Ile czasu rakieta będzie przyspieszać do osiągnięcia prędkości $120 k m / h$ przy założeniu zachowania stałej masy i siły ciągu?

34.

Koszykarz skacze w górę po piłkę. W tym celu ugina kolana zniżając się o 0,300 m, po czym prostuje je, gwałtownie przyspieszając na tym odcinku drogi. Następnie odrywa się od podłogi z prędkością wystarczającą, by mógł się wznieść na wysokość 0,900 m nad ziemią.

Oblicz prędkość, z jaką koszykarz odrywa się od podłogi.
Oblicz przyspieszenie jakie posiada jego środek masy w trakcie prostowania kolan. Pamiętaj, że jego prędkość zwiększa się od wartości równej zero do tej, którą obliczysz w punkcie (a) na dystansie równym 0,300 m.
Zakładając, że koszykarz waży 110 kg, oblicz siłę, jaką wywiera on na ziemię w trakcie tego ruchu.

35.

Fajerwerk o masie 2,5 kg po wystrzale z moździerza osiąga wysokość 110 m.

Jeśli pominiemy wpływ oporu powietrza, to jaka jest prędkość fajerwerku w momencie opuszczania moździerza?
Moździerz ma postać rury o długości 0,450 m. Oblicz średnie przyspieszenie fajerwerku wewnątrz moździerza, jeśli jego prędkość zmienia się od zera do wartości obliczonej w punkcie (a).
Jaka średnia siła jest wywierana na fajerwerk wewnątrz moździerza? Wynik wyraź zarówno w niutonach, jak również w postaci stosunku tej siły do ciężaru fajerwerku.

36.

Ziemniak o masie 0,5 kg jest wystrzeliwany pod kątem $80^{\circ}$ względem poziomu z rury PCV służącej jako „działo ziemniaczane” i osiąga maksymalną wysokość równą 110,0 m.

Pomijając opór powietrza, oblicz prędkość ziemniaka w momencie opuszczania działa.
Działo ma postać rury o długości 0,450 m. Oblicz średnie przyspieszenie ziemniaka wewnątrz rury wiedząc, że jego prędkość zmienia się od zera do wartości wyliczonej w punkcie (a).
Jaka średnia siła jest wywierana na ziemniak wewnątrz działa? Wynik wyraź zarówno w niutonach, jak również w postaci stosunku tej siły do ciężaru ziemniaka.

37.

Winda pełna pasażerów ma masę $1, 70 \cdot 10^{3} k g$ .

Początkowo spoczywająca winda jedzie w górę z przyspieszeniem równym $1,20 {m/s}^{2}$ przez 1,50 s. Oblicz naciąg liny, na której umocowana jest winda.
Na dalszym etapie winda zaczyna poruszać się ruchem jednostajnym przez kolejne 8,50 s. Jaki jest wówczas naciąg liny utrzymującej windę?
Następnie winda zwalnia z opóźnieniem równym $0,600 {m/s}^{2}$ w czasie 3,00 s. Ile wynosi naciąg liny w trakcie hamowania?
Na jaką wysokość wzniosła się winda w trakcie całego ruchu i jaka jest jej prędkość końcowa?

38.

Piłka o masie 20,0 g wisi na strunie przymocowanej do dachu samochodu towarowego. Gdy samochód rusza, struna odchyla się o kąt $35^{\circ}$ względem pionu.

Ile wynosi przyspieszenie samochodu?
Ile wynosi siła naciągu struny?

39.

Plecak studenta wypełniony książkami zostaje zawieszony na dynamometrze przyczepionym do sufitu windy. Gdy winda porusza się w dół z przyspieszeniem $3,8 {m/s}^{2}$ , odczyt na dynamometrze wynosi 60 N.

Jaka jest masa plecaka?
Jaki będzie odczyt na dynamometrze, jeśli winda będzie hamować, jadąc w górę z opóźnieniem $3,8 {m/s}^{2}$ ?
Jaki będzie odczyt na dynamometrze, jeśli winda będzie poruszała się w górę ze stałą prędkością?
Jaki byłby odczyt na dynamometrze, jeśli zerwałaby się lina podtrzymująca windę, przez co winda zaczęłaby spadać swobodnie?

40.

Winda towarowa transportuje 10,0 kg gruzu ze szczytu budowanego drapacza chmur na poziom ziemi z przyspieszeniem $1,2 {m/s}^{2}$ . Oblicz wartość siły wywieranej przez gruz na podłogę windy.

41.

Wózek kolejki górskiej startuje ze szczytu toru o długości 30,0 m nachylonego pod kątem $20^{\circ}$ do poziomu. Tarcie pomijamy.

Ile wynosi przyspieszenie wózka?
Jak długo wózek będzie zjeżdżał do końca toru?

42.

Na rysunku poniżej przedstawiona jest, ta sama co w Przykładzie 6.5, spadkownica Atwooda. Zakładając, że linka jest nieważka i nierozciągliwa, zaś bloczek jest nieważki i nieruchomy,

znajdź wyrażenie na przyspieszenie ciężarków zawieszonych na lince,
znajdź wyrażenie na siłę naciągu linki
oblicz przyspieszenie i siłę naciągu linki, jeśli dane są masy ciężarków równe odpowiednio 2,00 kg i 4,00 kg.

Na rysunku widoczna jest spadkownica Atwooda w postaci bloczka, przez który przewieszona jest linka z przyczepionymi ciężarkami na obu końcach. Ciężarek o masie m sub 1 jest po lewej stronie, zaś ciężarek o masie m sub 2 jest po prawej stronie.

43.

Dwa ciężarki połączone są nieważką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek, tak jak to zostało przedstawione na rysunku. Masa ciężarka leżącego na poziomej powierzchni wynosi 4,0 kg, zaś masa ciężarka wiszącego na lince wynosi 1,0 kg.

Znajdź przyspieszenie układu.
Znajdź siłę naciągu nici.
Znajdź prędkość, z jaką ciężarek drugi uderzy w ziemię, jeśli rozpoczyna on swój ruch z wysokości 1,0 m nad podłożem.

Ciężarek o masie m sub 1 leży na poziomym stole. Jest on przyczepiony do cienkiej i nieważkiej nici przerzuconej przez bloczek umieszczony na krawędzi stołu. Za bloczkiem nić zwisa pionowo w dół, a na jej końcu umieszczony jest drugi ciężarek o masie m sub 2, który nie jest w kontakcie ze stołem. Ciężarek m sub 1 ma przyspieszenie a sub 1 skierowane poziomo w prawo, zaś ciężarek m sub 2 ma przyspieszenie m sub 2 skierowane pionowo w dół.

44.

Dwa wózki połączone są sznurkiem przerzuconym przez nieważki bloczek. Wózki mogą poruszać się bez tarcia. Oblicz przyspieszenie wózków i siłę naciągu sznurka.

Dwa wózki połączone są sznurkiem przerzuconym przez nieważki bloczek. Wózki znajdują się po przeciwnych stronach podwójnej równi pochyłej. Bloczek umieszczony jest na szczycie równi. Kąt nachylenia równi z lewej strony wynosi 37 stopni do płaszczyzny poziomej, zaś kąt nachylenia równi po prawej stronie wynosi 53 stopnie względem poziomu. Wózek po lewej stronie ma masę 10 kg, zaś wózek po prawej stronie ma masę 15 kg.

45.

Ciężarek o masie 2,00 kg i ciężarek o masie 4,00 kg są połączone za pomocą cienkiej linki przerzuconej przez nieważki bloczek znajdujący się na szczycie równi pochyłej o kącie nachylenia $40^{\circ}$ . Tarcie pomijamy.

Ile wynosi przyspieszenie każdego z ciężarków?
Ile wynosi siła naciągu linki?

Ciężarek 1 znajduje się na równi pochyłej o kącie nachylenia 40 stopni względem poziomu. Jest on połączony za pomocą cienkiej linki przerzuconej przez bloczek znajdujący się na szczycie równi z drugim ciężarkiem umocowanym na drugim końcu linki. Ciężarek 2 nie jest w kontakcie z równią.

6.2 Tarcie

46.

Podczas wykonywania remontu silnika fizyk musi wywrzeć siłę $3, 00 \cdot 10^{2} N$ , aby wstawić suchy stalowy tłok do stalowego cylindra. Jaka jest siła normalna pomiędzy tłokiem a cylindrem?
Jaką siłę musiałby wywrzeć fizyk, jeśli części silnika byłyby pokryte olejem?

47.

Jaka jest maksymalna siła tarcia w stawie kolanowym osoby, która podtrzymuje 66,0 kg swojej masy na tym kolanie?
Podczas intensywnych ćwiczeń możliwe jest wywieranie na stawy siły, która jest 10 razy większa niż podpierany ciężar. Jaka jest maksymalna siła tarcia w takich warunkach? Siły tarcia w stawach są stosunkowo małe we wszystkich okolicznościach, z wyjątkiem przypadków psucia się stawów, takich jak uszkodzenie ciała lub zapalenie stawów. Zwiększone siły tarcia mogą powodować dalsze dolegliwości i ból.

48.

Wyobraź sobie skrzynię drewnianą o masie 120 kg leżącą na drewnianej podłodze, gdzie współczynnik tarcia statycznego pomiędzy tymi drewnianymi powierzchniami wynosi 0,500.

Jaką maksymalną siłę jesteś w stanie wywrzeć poziomo na skrzynię bez przesuwania jej?
Jeśli nadal będziesz wywierać tę siłę na skrzynię nawet wówczas, gdy już zacznie się poruszać, to jakie będzie wówczas przyspieszenie skrzyni? Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,300.

49.

Jeśli połowa ciężaru auta dostawczego $1, 00 \cdot 10^{3} k g$ jest obsługiwana przez jego dwa koła napędowe, to jakie przyspieszenie byłoby w stanie to auto osiągnąć na suchym betonie?
Czy metalowa szafka leżąca na drewnianej naczepie samochodu przesuwa się, jeśli auto przyspiesza w tym tempie?
Rozważ ponownie oba przypadki zakładając, że auto ma napęd na cztery koła.

50.

Zaprzęg składający się z ośmiu psów ciągnie po mokrym śniegu sanie, których płozy pokryte są woskiem. Psy mają średnią masę 19,0 kg, a ładunek sanek z maszerem (osobą kierującą saniami) ma masę 210 kg.

Oblicz przyspieszenie psów od momentu wyruszenia, jeśli każdy pies wywiera na śnieg średnią siłę 185 N.
Oblicz siłę naciągu między psami a saniami.

51.

Rozważ przypadek łyżwiarki o wadze 65 kg popychanej przez dwie inne łyżwiarki.

Oblicz kierunek i wartość siły wypadkowej $F_{wyp}$ , która jest całkowitą siłą wywieraną przez pozostałe kobiety, zakładając, że wartości wywieranych sił $F_{1}$ i $F_{2}$ wynoszą odpowiednio 26,4 N i 18,6 N.
Jakie jest początkowe przyspieszenie łyżwiarki, jeśli najpierw stała ona w miejscu oraz ma na sobie łyżwy stalowe zwrócone w kierunku działania siły $F_{wyp} ?$
Jakie jest przyspieszenie, zakładając, że porusza się ona w kierunku działania siły $F_{wyp}$ ? (Pamiętaj, że tarcie zawsze działa w kierunku przeciwnym do ruchu lub próby ruchu między powierzchniami stykającymi się.)

(a)Widok z góry na sytuację, w której dwie łyżwiarki pchają trzecią łyżwiarkę. Jedna z nich pcha z siłą F sub 1 poziomo w prawo, druga z siłą F sub 2 pionowo w górę. Wynikiem graficznego dodawania wektorów jest trójkąt, w którym przyprostokątnymi są siły F sub 1 i F sub 2, zaś siła F sub wyp będąca wynikiem dodawania tworzy przeciwprostokątną w tym trójkącie. (b) Rozkład sił działających na łyżwiarkę zawiera tylko siły F sub 1 i F sub 2.

52.

Wykaż, że przyspieszenie ciała poruszającego się bez tarcia w dół równi pochyłej nachylonej pod kątem $θ$ do płaszczyzny poziomej jest równe $a = g sin θ$ . (Zauważ, że przyspieszenie jest niezależnie od masy ciała)

Rysunek prezentuje ciało o masie m poruszające się z przyspieszeniem a w dół równi pochyłej. Kąt nachylenia równi względem poziomu jest równy theta. Na ciało działają siły: reakcji względem podłoża i ciężaru. Przedstawiono również układ współrzędnych, gdzie x jest równoległe do równi, a y jest prostopadłe do powierzchni równi. Ciężar został rozłożony na dwie składowe: wzdłuż osi x i wzdłuż osi y.

53.

Wykaż, że przyspieszenie dowolnego ciała poruszającego się z tarciem $T_{k} = μ_{k} R$ w dół równi pochyłej wynosi $a = g (\sin θ - μ_{k} \cos θ)$ . Zwróć uwagę, że przyspieszenie jest niezależne od masy ciała i w sytuacji, gdy tarcie jest pomijalnie małe $(μ_{k} = 0)$ zależność ta sprowadza się do równania znalezionego w poprzednim zadaniu.

54.

Oblicz opóźnienie snowboardzisty wjeżdżającego na stok o kącie nachylenia $5^{\circ}$ , przyjmując współczynnik tarcia nawoskowanego drewna na mokrym śniegu. Wynik poprzedniego zadania może być przydatny, ale uważaj, aby wziąć pod uwagę fakt, że snowboardzista jedzie w górę.

55.

Maszyna w urzędzie pocztowym wysyła paczki na pochylnię, z której trafiają one wprost do pojazdów dostawczych.

Oblicz przyspieszenie pudła zjeżdżającego w dół po pochylni pod kątem $10^{\circ}$ do poziomu zakładając, że współczynnik tarcia z paczki na nawoskowanym drewnie jest równy 0,100.
Oblicz kąt nachylenia pochylni, przy którym pudło mogłoby zjeżdżać ze stałą prędkością. Pomiń wpływ oporu powietrza.

56.

Jeśli ciało ma spoczywać na równi pochyłej, nie zsuwając się, to tarcie musi być równe co do wartości składowej ciężaru równoległej do równi. Wymaga to coraz większego tarcia dla coraz bardziej stromych zboczy. Wykaż, że maksymalny kąt nachylenia zbocza względem poziomu, przy którym ciało nie zacznie się zsuwać wynosi $θ = arctg μ_{s}$ . Możesz wykorzystać zależności wyliczone w poprzednich zadaniach. Załóż, że przyspieszenie $a = 0$ oraz że tarcie statyczne osiągnęło wartość maksymalną.

Rysunek prezentuje ciało o masie m leżące na równi pochyłej. Kąt nachylenia równi względem poziomu jest równy theta. Na ciało działają składowa ciężaru równoległa do powierzchni równi (w dół) oraz siła tarcia, która jest przeciwnie skierowana.

57.

Oblicz maksymalne przyspieszenie auta, które zjeżdża swobodnie z górki o kącie nachylenia $6^{\circ}$ względem poziomu. Załóż, że ciężar auta jest równo rozłożony na cztery koła oraz że występuje tarcie statyczne, czyli opony nie ślizgają się podczas hamowania (pomijamy toczenie). Obliczenia poprowadź w następujących przypadkach:

Na suchym betonie.
Na mokrym betonie.
Na lodzie przy założeniu, że $μ_{s} = 0,100$ , czyli jest taki sam, jak dla butów na lodzie.

58.

Oblicz maksymalne przyspieszenie auta, które zjeżdża swobodnie z górki o kącie nachylenia $4^{\circ}$ względem poziomu. Załóż, że połowa ciężaru auta jest podpierana przez dwa koła napędowe oraz że występuje tarcie statyczne, czyli opony nie ślizgają się podczas hamowania (pomijamy toczenie). Obliczenia poprowadź w następujących przypadkach:

Na suchym betonie.
Na mokrym betonie.
Na lodzie przy założeniu, że $μ_{s} = 0,100$ , czyli jest taki sam jak dla butów na lodzie.

59.

Powtórz obliczenia z poprzedniego zadania dla samochodu z napędem na cztery koła.

60.

Mający dwa silniki pociąg towarowy o masie $8, 00 \cdot 10^{5} k g$ wiezie 45 samochodów o średniej masie $5, 50 \cdot 10^{5} k g$ .

Jaką siłę ciągu musi wywierać każdy z silników, aby pociąg mógł poruszać się z przyspieszeniem $5,00 \cdot 10^{–2} {m/s}^{2}$ jeśli siła tarcia wynosi $7,50 \cdot 10^{5} N$ . Zakładamy, że każdy z silników wywiera taką samą siłę. Wspomniana siła tarcia jest niewielka jak dla tak masywnego systemu, co sprawia, że pociągi są bardzo efektywnymi energetycznie systemami transportowymi.
Ile wynosi siła kontaktowa (naciągu) wywierana między 37 i 38 samochodem, zakładając, że każdy z samochodów ma taką samą masę oraz, że siłą tarcia jest równomiernie rozłożona między wszystkie auta i silniki?

61.

Rozważ przypadek alpinistki o wadze 52,0 kg, która wspina się po ścianie, jak przedstawiono na rysunku.

Znajdź siłę naciągu liny oraz siłę, jaką alpinistka musi za pomocą stóp wywierać na pionową ścianę, aby pozostać nieruchoma. Załóż, że siła jest wywierana równolegle do jej nóg oraz że siła wywierana przez jej ramiona jest pomijalnie mała.
Jaki jest minimalny współczynnik tarcia pomiędzy jej butami a ścianą?

Alpinistka zwisa na linie zapierając się nogami o skałę. Lina tworzy kąt 31 stopni z pionem. Nogi alpinistki są wyprostowane i tworzą kąt 15 stopni z poziomem. Siła naciągu nici N jest przyłożona do alpinistki i skierowana w górę wzdłuż liny. Siła F sub nóg jest przyłożona do skały i skierowana wzdłuż nóg alpinistki.

62.

Zawodnik startujący w zawodach zimowych pcha bryłę lodu o masie 45,0 kg przez zamarznięte jezioro, jak to zostało przedstawione na rysunku.

Oblicz minimalną siłę $F$ , jaką musi on wywierać na bryłę, aby ją ruszyć.
Jakie będzie przyspieszenie bryły, jeśli po ruszeniu jej zawodnik będzie nadal pchał ją z tą samą siłą?

Bryła lodu jest pchana z siłą F skierowaną pod kątem 25 stopni poniżej poziomu.

63.

Zawodnik z poprzedniego zadania ciągnie bryłę lodu za pomocą liny przerzuconej przez ramię jak na rysunku.

Oblicz minimalną siłę $F$ jaką musi on ciągnąć bryłę, aby ją ruszyć.
Jakie będzie przyspieszenie bryły, jeśli po ruszeniu zawodnik będzie nadal ciągnął ją z tą samą siłą?

Bryła lodu jest ciągnięta z siłą F skierowaną pod kątem 25 stopni powyżej poziomu.

64.

Na poczcie paczka w postaci pudła o masie 20 kg zjeżdża po pochylni nachylonej pod kątem $30^{\circ}$ do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego między pudłem i pochylnią wynosi 0,0300.

Oblicz przyspieszenie pudła.
Oblicz prędkość pudła na końcu pochylni, jeśli ma ona długość 2 m, a prędkość początkowa pudła wynosi 0.

6.3 Siła dośrodkowa

65.

Dziecko o masie 22 kg siedzi na karuzeli, która obraca się z prędkością 40 obr./min. Ile wynosi siła dośrodkowa wywierana na dziecko, jeśli siedzi ono w odległości 1,25 m od osi obrotu?
Ile wynosi siła dośrodkowa wywierana na dziecko, jeśli karuzela obraca się z prędkością 3 obr./min, a dziecko siedzi w odległości 8 m od osi obrotu?
Porównaj każdą z sił z ciężarem dziecka.

66.

Oblicz siłę dośrodkową na końcu łopatki (o długości 100 m) w turbinie wiatrowej. Prędkość obrotowa łopatki wynosi 0,5 obr./s, zaś masa jest równa 4 kg.

67.

Jaki jest idealny kąt nachylenia zakrętu na drodze szybkiego ruchu, którego promień krzywizny wynosi 1,2 km, a ograniczenie prędkości jest równe 105 km/h. Zakładamy, że wszystkie samochody jadą z taką właśnie prędkością.

68.

Z jaką prędkością powinno się pokonywać zakręt o promieniu krzywizny 100 m nachylony pod kątem $20, 0^{\circ}$ ?

69.

Jaki jest promień krzywizny zakrętu na torze bobslejowym nachylonego pod kątem $75, 0^{\circ}$ i pokonywanego z prędkością 30,0 m/s, zakładając, że jest on idealnie wyprofilowany?
Oblicz przyspieszenie dośrodkowe.
Czy Twoim zdaniem jest ono duże?

70.

Jazda na rowerze polega m.in. na pochyleniu się pod właściwym kątem przy pokonywaniu zakrętu, jak widać poniżej. By być stabilnym, siła wywierana przez ziemię musi leżeć na linii przechodzącej przez środek ciężkości. Siłę nacisku na koło rowerowe można rozłożyć na dwie prostopadłe składowe: tarcie równoległe do drogi (zapewnia siłę dośrodkową) i pionową siłę normalną (która musi równać się ciężarowi układu).

Wykaż, że $θ$ (zdefiniowane jak na rysunku) jest związane z prędkością $v$ i promieniem krzywizny $r$ zakrętu w ten sam sposób, jak to było wykazane dla idealnie wyprofilowanego zakrętu: $θ = {arctg}^{} (v^{2} / r g)$ .
Oblicz $θ$ podczas pokonywania zakrętu o promieniu krzywizny 30,0 m z prędkością 12,0 m/s.

Rysunek pokazuje mężczyznę, który jeździ na rowerze (widok z przodu). Rowerzysta i rower są nachylone w prawo pod kątem theta do pionu. Trzy wektory są przedstawione jako strzałki o ciągłych liniach: siła dośrodkowa F sub d, siła normalna R oraz siła ciężkości Q. Dodatkowo za pomocą linii przerywanej skierowanej pod kątem theta do pionu pokazano siłę wywieraną przez ziemię na koło rowerowe. Napisane jest, że siła ta jest sumą siły normalnej R i siły dośrodkowej F sub d.

71.

Jeśli auto pokonuje zakręt z prędkością mniejszą niż wskazana dla danej geometrii zakrętu, konieczne jest istnienie tarcia, aby uchronić auto przed ześlizgnięciem się do wewnętrznej części zakrętu (problem ten występuje np. na oblodzonych, krętych, górskich drogach).

Oblicz, jaką prędkość powinien mieć samochód, by bez problemu przejechać przez zakręt o promieniu krzywizny 100,0 m nachylony pod kątem $15^{\circ}$ .
Jaki jest minimalny współczynnik tarcia konieczny, by utrzymać auto na drodze, jeśli pokonuje ono ten sam zakręt z prędkością 20,0 km/h?

72.

Nowoczesne kolejki górskie mają pętle o kształcie jak na rysunku poniżej. Promień krzywizny pętli jest mniejszy na górze pętli niż na bokach, więc skierowane w dół przyspieszenie dośrodkowe na górze pętli będzie większe niż przyspieszenie ziemskie. Dzięki temu pasażerowie będą mocno wciskani w fotele w tym miejscu. Jaka jest prędkość kolejki górskiej na szczycie pętli, jeśli promień krzywizny wynosi 15,0 m, a skierowane w dół przyspieszenie dośrodkowe jest równe $1, 5 g$ ?

Ilustracja pętli kolejki górskiej. Promień krzywizny jest mniejszy na górze niż na bokach i na dole. Promień pętli przy szczycie jest oznaczony jako r sub minimum. Promień w najniższej części pętli jest oznaczony jako r sub maksimum. Tor znajduje się na wewnętrznej powierzchni pętli. Ruch jest wskazywany strzałkami, począwszy od poziomu gruntu po prawej stronie pętli, wchodząc wewnątrz pętli po lewej, następnie w dół po prawej stronie pętli i w końcu znów na poziom gruntu po lewej. Cztery miejsca na torze, A, B, C, D i B są oznaczone. Punkt A znajduje się na poziomie gruntu, na prawo od pętli, gdzie tor jest prosty i poziomy. Punkt B znajduje się na górze na lewo od pętli. Punkt C jest na górze po prawej stronie pętli, na tym samym poziomie co punkt B. Punkt D znajduje się na poziomie gruntu, na lewo od pętli, gdzie tor jest prosty i poziomy.

73.

Dziecko o masie 40,0 kg siedzi w wagoniku kolejki górskiej. Wagonik wjeżdża w górę pętli o promieniu 7,00 m. W punkcie A prędkość wagonika wynosi 10,0 m/s, zaś w punkcie B jest ona równa 10,5 m/s. Załóżmy, że dziecko nie trzyma się wagonika, ani nie zapięło pasów bezpieczeństwa.

Jaką siłę wywiera fotel w wagoniku na dziecko w punkcie A?
Jaką siłę wywiera fotel w wagoniku na dziecko w punkcie B?
Jaka minimalna prędkość jest potrzebna, aby utrzymać dziecko w wagoniku podczas przejeżdżania przez punkt A?

Ilustracja pętli kolejki górskiej z dzieckiem siedzącym w wagoniku zbliżającym się do pętli. Tor znajduje się na wewnętrznej powierzchni pętli. Dwie miejsca na pętli, A i B, są oznaczone. Punkt A znajduje się na szczycie pętli. Punkt B jest w dół i na lewo od A. Kąt między promieniami a punktami A i B wynosi trzydzieści stopni.

74.

W modelu Bohra dla atomu wodoru w stanie podstawowym elektron porusza się po orbicie kołowej wokół jądra. Promień orbity wynosi $5, 28 \cdot 10^{- 11} m$ , a prędkość elektronu jest równa $2, 18 \cdot 10^{6} m / s$ . Masa elektronu wynosi $9, 11 \cdot 10^{- 31} k g$ . Jaka siła działa na elektron?

75.

Tory kolejowe tworzą zakręt o promieniu krzywizny 500,0 m i są nachylone pod kątem $5, 0^{\circ}$ . Dla pociągów jadących z jaką prędkością zostały te tory zaprojektowane?

76.

Akcelerator cząstek w CERN-ie tworzy okrąg o obwodzie 7,0 km.

Ile wynosi przyspieszenie protonów $(m = 1, 67 \cdot 10^{- 27} k g)$ , które poruszają się w akceleratorze z prędkością stanowiącą $5 %$ wartości prędkości światła? (Prędkość światła wynosi $v = 3, 00 \cdot 10^{8} m / s$ .)
Jaka siła jest wywierana na protony?

77.

Auto przejeżdża przez płaski zakręt o promieniu 65 m. Jeśli współczynnik tarcia statycznego między drogą i kołami samochodu wynosi 0,70, to z jaką maksymalną prędkością może to auto pokonać zakręt, nie wpadając w poślizg?

78.

Pochylony zakręt na autostradzie jest wyprofilowany tak, aby móc go pokonać z prędkością 90,0 km/h. Promień krzywizny wynosi 310 m. Jaki jest kąt nachylenia zakrętu?

6.4 Siła oporu i prędkość graniczna

79.

Prędkość graniczna człowieka spadającego w powietrzu zależy od jego masy i pola przekroju poprzecznego podczas spadania. Oblicz prędkość graniczną spadochroniarza o masie 80 kg pikującego głową w dół, jeśli jego pole przekroju poprzecznego wynosi $0,140 m^{2}$ . Wynik wyraź zarówno w m/s jak i km/h.

80.

Dwóch skoczków spadochronowych – jeden o masie 60 kg i drugi o masie 90 kg wyskakują z samolotu na wysokości $6, 00 \cdot 10^{3} m$ . Obaj pikują głową w dół. Sam przyjmij założenia dotyczące pola ich przekrojów poprzecznych, a następnie oblicz prędkość graniczną każdego z nich. Ile czasu będzie spadał każdy z nich do momentu kontaktu z ziemią (przyjmując, że czas potrzebny na osiągnięcie prędkości granicznej jest stosunkowo krótki). Wartości liczbowe w zadaniu wyrażaj z dokładnością do trzech miejsc znaczących.

81.

Wiewiórka o masie 560 g i polu przekroju poprzecznego $930 {cm}^{2}$ spada z drzewa o wysokości 5,0 m na ziemię. Oblicz jej prędkość graniczną (przyjmij współczynnik oporu dla skoczka spadochronowego spadającego poziomo). Jeśli z takiej samej wysokości spadłby człowiek o masie 56 kg, to jaka byłaby jego prędkość przed zderzeniem z ziemią (zakładamy brak wpływu oporu powietrza na tak krótkim dystansie)?

82.

Aby utrzymać stałą prędkość, siła ciągu silnika musi równoważyć się oporu i siłę tarcia kół o podłoże (tarcie toczne). (a) Ile wynosi siła oporu działająca na Toyotę Camry odpowiednio przy prędkości 70 km/h i 100 km/h? Przyjmujemy, że pole przekroju poprzecznego jest równe $0,70 m^{2}$ ) (b) Ile wynosi siła oporu działająca na Hummera H2 poruszającego się z tymi samymi prędkościami, tzn. 70 km/h lub 100 km/h? Pole przekroju poprzecznego wynosi $2,44 m^{2}$ . Wartości liczbowe w zadaniu wyrażaj z dokładnością do trzech miejsc znaczących.

83.

Ile razy wzrośnie siła oporu działająca na samochód, jeśli zwiększy on prędkość od $65 k m / h$ do $110 k m / h$ ?

84.

Oblicz prędkość, jaką mogą osiągnąć sferyczne krople deszczu spadające z wysokości 5,00 km w dwóch przypadkach:

z pominięciem wpływu oporu powietrza,
z uwzględnieniem oporu powietrza. Przyjmij średnicę kropli równą $4 m m$ i gęstość równą $1 \cdot 10^{3} k g / m^{3}$ .

85.

Wychodząc z prawa Stokesa udowodnij, że jednostką lepkości jest $k g / (m \cdot s)$ .

86.

Oblicz prędkość graniczną, jaką osiągnie sferyczna bakteria o średnicy $2,00 μm$ opadająca w wodzie. Przyjmij gęstość bakterii równą $1, 10 \cdot 10^{3} k g / m^{3}$ .

87.

Prawo Stokesa opisuje proces sedymentacji cząstek w cieczy i można je wykorzystać do obliczania lepkości ośrodka. Cząsteczki w cieczy szybko osiągają prędkość graniczną. Można zatem obliczyć, ile czasu potrzeba, aby cząsteczki pokonały konkretną drogę, a następnie z prawa Stokesa obliczyć lepkość cieczy. Wyobraź sobie stalową kulkę z łożyska kulkowego (o gęstości $7, 8 \cdot 10^{3} k g / m^{3}$ i średnicy 3,0 mm) opadającą w oleju silnikowym. W ciągu 12 s pokonała ona dystans 0,60 m. Oblicz lepkość oleju.

88.

Załóżmy, że siła oporu tarcia działająca na spadochroniarza może być opisana za pomocą wzoru $T_{op} = - b v^{2}$ . Jeśli prędkość graniczna skoczka o masie 50,0 kg wynosi 60,0 m/s, to jaka jest wartość $b$ ?

89.

Mały diament o masie 10,0 g spada z ucha pływaczki i wpada do wody osiągając prędkość graniczną 2,0 m/s.

Zakładając, że siła oporu tarcia $T_{op} = - b v$ , ile wynosi $b$ ?
Jaką drogę zdąży przebyć diament, zanim osiągnie prędkość równą 90% swojej prędkości granicznej?

90.

Jaka jest prędkość końcowa samochodu początkowo jadącego z prędkością 50,0 km/h, który zwalnia z opóźnieniem $0,400 {m/s}^{2}$ przez 50 s? Załóż, że współczynnik tarcia jest równy 1,0.
Co jest nieracjonalnego w tym wyniku?
Która z przesłanek jest nieracjonalna lub które przesłanki są sprzeczne?

91.

Kobieta o masie 75 kg stoi na wadze łazienkowej w windzie, która przyspiesza od prędkości równej 0 m/s do 30,0 m/s w ciągu 2,00 s.

Oblicz, jakie jest wskazanie wagi i porównaj wynik z ciężarem kobiety.
Co jest nieracjonalnego w tym wyniku?
Która z przesłanek jest nieracjonalna lub które przesłanki są sprzeczne?

92.

Oblicz minimalny współczynnik tarcia potrzebny, aby auto mogło bezpiecznie pokonać płaski zakręt o promieniu krzywizny 50,0 m z prędkością 30,0 m/s.
Co jest nieracjonalnego w tym wyniku?
Która z przesłanek jest nieracjonalna lub które przesłanki są sprzeczne?

93.

Jeśli masa ciała przedstawionego na rysunku poniżej jest równa 5,50 kg, to ile wynosi naciąg struny 1?

Masa M jest zawieszona na sznurach 1 i 2. Sznur 1 przyczepiony jest do ściany w niśzym punkcie, na lewo od masy. Sznur tworzy kąt 40 stopni z poziomem. Sznur 2 jest przyczepiony do sufitu. Sznur 2 tworzy kąt 40 stopni z kierunkiem pionowym.

94.

Jeśli w układzie przedstawionym na rysunku $F = 60, 0 N$ oraz $M = 4, 00 k g$ , to ile wynosi przyspieszenie wiszącego ciała? Przyjmijmy, że wszystkie powierzchnie są gładkie.

Narysowane są dwa bloki. Ciężarek oznaczony jako 2 M leży na stole. Siła F działa na ciężarek 2 M z lewej strony i tworzy kąt 30 stopni z poziomem. Z prawej strony ciężarek jest połączony sznurem z bloczkiem, przez który przerzucona jest masa M, zwisająca swobodnie.

95.

Jeśli masa każdego z ciał przedstawionych na rysunku poniżej jest równa 6,0 kg, to ile wynosi naciąg struny łączącej te ciała? Wszystkie powierzchnie są gładkie, a bloczek nieważki i nieruchomy.

Narysowane są dwa ciężarki o masie M każdy. Ciężarek górny leży na powierzchni nachylonej w dół pod kątem 30 stopni względem poziomu. Z prawej strony ciężarek ten jest połączony sznurem przerzuconym przez bloczek z drugim ciężarkiem o masie M zwisającym swobodnie.

96.

Mała sonda kosmiczna jest uwalniana ze stacji kosmicznej. Masa sondy jest równa 20,0 kg i zawiera 90,0 kg paliwa. Startuje ona z dalekiej przestrzeni kosmicznej, z początku układu współrzędnych ulokowanego na stacji kosmicznej i spala paliwo w tempie 3,00 kg/s. Siła ciągu silnika jest stała i wynosi 120,0 N.

Znajdź wyrażenie na masę sondy w funkcji czasu pomiędzy 0 a 30 sekundą, zakładając, że silnik rozpoczyna spalanie paliwa w chwili t=0.
Jaka jest prędkość sondy po 15,0 sekundach?
Jakie jest położenie sondy po 15,0 sekundach, jeśli startowała ona z początku przyjętego układu współrzędnych?
Znajdź wyrażenie na położenie sondy w funkcji czasu dla t>30,0s.

97.

Wypełniony do połowy kosz na śmieci o masie 3,0 kg jest pchany pod górkę o nachyleniu 40,0° ze stałą prędkością pod wpływem siły równej 26 N skierowanej w górę, równolegle do zbocza. Na górce występuje tarcie. Jaka musiałaby być wartość siły skierowanej w górę, równolegle do zbocza, aby podczas zjeżdżania w dół kosz poruszał się ze stałą prędkością?

98.

Dziecko o masie 6,0 kg zjeżdża ze stałą prędkością ze zjeżdżalni o kącie nachylenia 35° przy działaniu siły 34 N skierowanej w górę, równolegle do powierzchni ślizgawki. Ile wynosi współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy dzieckiem a zjeżdżalnią?