William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

99.

Dwie barki są połączone za pomocą nieważkiej liny. Masa barki z przodu wynosi $2, 00 \cdot 10^{3} k g$ , zaś masa barki z tyłu jest równa $3, 00 \cdot 10^{3} k g$ . Holownik ciągnie barkę z przodu, używając poziomej siły równej $20, 0 \cdot 10^{3} N$ . Siły tarcia działające na barki wynoszą $8, 00 \cdot 10^{3} N$ i $10, 0 \cdot 10^{3} N$ , odpowiednio dla barki z przodu i z tyłu. Oblicz wypadkowe przyspieszenie barek oraz siłę naciągu łączącej je liny.

Rysunek przedstawia dwie barki połączone linę. Barka z prawej jest ciągnięta przez holownik, który działa na barki siłą skierowaną poziomo w prawo.

100.

Jeśli zamienilibyśmy miejscami barki z poprzedniego zadania, tzn. barka o masie $3, 00 \cdot 10^{3} k g$ byłaby ciągnięta za pomocą holownika z siłą $20, 0 \cdot 10^{3} N$ , to jakie byłoby przyspieszenie barek oraz siła naciągu łączącej je liny?

101.

Obiekt o masie $m$ porusza się wzdłuż osi $x$ . Zależność jego położenia od czasu opisuje wyrażenie $x (t) = p t^{3} + q t^{2}$ gdzie $p$ i $q$ są stałe. Znajdź siłę wypadkową działającą na ciało w dowolnej chwili czasu $t$ .

102.

Helikopter o masie $2, 35 \cdot 10^{4} k g$ znajduje się w położeniu opisanym wektorem $\vec{r} (t) = \hat{i} \cdot 0, 020 t^{3} + \hat{j} \cdot 2, 2 t - \hat{k} \cdot 0, 060 t^{2}$ . Znajdź wypadkową siłę działającą na helikopter po $t = 3, 0 s$ .

103.

Na początkowo stojący samochód elektryczny o masie $m$ w chwili $t = 0$ zaczyna działać siła zmienna w czasie $\vec{F} (t)$ . Składowe tej siły wynoszą $F_{x} (t) = p + n t$ i $F_{y} (t) = q t$ , gdzie $p$ , $q$ i $n$ są stałe. Znajdź położenie $\vec{r} (t)$ oraz prędkość $\vec{v} (t)$ jako funkcje zależne od czasu. Przyjmij początkowe położenie samochodu w początku układu współrzędnych.

104.

Cząstka o masie $m$ spoczywa w początku przyjętego układu współrzędnych. Cząstka jest w równowadze. W chwili $t = 0$ do cząstki zostaje przyłożona siła $\vec{F} (t)$ zmienna w czasie, której składowe wynoszą $F_{x} (t) = p t$ i $F_{y} (t) = n + q t$ , gdzie $p$ , $q$ i $n$ są stałe. Znajdź położenie $\vec{r} (t)$ i prędkość $\vec{v} (t)$ jako funkcje zależne od czasu.

105.

Ciało o masie 2,0 kg ma prędkość równą $\hat{i} \cdot 4, 0 m / s$ w czasie $t = 0$ . Na ciało zaczyna działać stała siła równa $\hat{i} \cdot 2, 0 N + \hat{j} \cdot 4, 0 N$ i działa nieprzerwanie przez 3,0 sekundy. Ile wynosi prędkość ciała po tym czasie?

106.

Ciało o masie 1,5 kg ma przyspieszenie równe $\hat{i} \cdot 4, 0 m / s^{2} + \hat{j} \cdot 3, 0 m / s^{2}$ . Działają na nie dwie siły. Jeśli jedna z tych sił jest równa $\hat{i} \cdot 2, 0 N + \hat{j} \cdot 1, 4 N$ , to ile wynosi druga siła?

107.

Pudło zostaje rzucone na taśmę transportową poruszającą się z prędkością $3, 4 m / s$ . Jeśli współczynnik tarcia pomiędzy pudłem i taśmą wynosi 0,27, to jak długo potrwa, zanim pudło przesunie się bez poślizgu?

108.

Na rysunku przedstawiono ciężarek o masie 10 kg, na który działa poziomo skierowana siła $\vec{F}$ o wartości 200,0 N. Współczynnik tarcia kinetycznego między powierzchniami będącymi w kontakcie wynosi 0,50. Znajdź przyspieszenie ciężarka.

Blok o masie 10.0 kilogramów został pchnięty wzdłuż nachylenia przez poziomą siłę F. Kąt nachylenia wynosi 30 stopni do poziomu a siła F jest skierowana w prawo.

109.

Dwa ciężarki (jeden o masie $m_{1} = 4, 0 k g$ , i drugi o masie $m_{2} = 8, 0 k g$ są połączone nicią przerzuconą przez nieważki bloczek umieszczony na szczycie równi pochyłej. Współczynnik tarcia pomiędzy ciężarkiem o masie $m_{1}$ i równią pochyłą wynosi $μ_{k} = 0, 40$ . Ile wynosi przyspieszenie układu?

Blok 1 spoczywa na wzniesieniu nachylonym do poziomu pod kątem 37 stopni. Blok jest przywiązany do sznurka, przerzuconego przez bloczek, na końcu którego znajduje się blok 2.

110.

Student usiłuje przesunąć małą lodówkę o masie 30,0 kg do swojego pokoju w akademiku. W chwili nieuwagi lodówka ześlizguje się ze stałą prędkością w dół po powierzchni nachylonej pod kątem $35^{\circ}$ do poziomu, podczas gdy student działa siłą równą 25 N skierowaną w górę równolegle do nachylenia powierzchni. Ile wynosi współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy lodówką i powierzchnią pochyłą?

111.

Skrzynia o masie $\SI{100}{\kilo\gram}$ leży na chropowatej powierzchni równi pochyłej nachylonej pod kątem $37^{\circ}$ do poziomu. Do skrzyni przymocowana jest nieważka lina, której drugi koniec sięga do szczytu równi. W pewnym momencie skrzynia zaczyna się ześlizgiwać w dół równi. Współczynnik tarcia kinetycznego stanowi 80% współczynnika tarcia statycznego.

Ile wynosi współczynnik tarcia statycznego?
Z jaką maksymalną siłą można ciągnąć linę, aby nie poruszyć skrzyni?
Jeśli przyłożymy choć odrobinę większą siłę, to skrzynia zacznie wjeżdżać w górę równi. Z jakim przyspieszeniem będzie się wówczas poruszać? Jaka musiałaby być siła naciągu liny, aby skrzynia poruszała się ze stałą prędkością?
Jeśli skrzynia zostanie bardzo delikatnie pchnięta i zacznie się zsuwać w dół równi, to jakie będzie jej przyspieszenie w tym kierunku?
Jaką siłą trzeba ciągnąć skrzynię w górę równi, aby nie zjechała w dół, gdy została delikatnie pchnięta?

112.

Samochód jedzie z dużą prędkością na autostradzie, gdy nagle kierowca gwałtownie hamuje. Koła zostają zablokowane (przestają się obracać), na skutek czego na jezdni pozostaje ślad hamowania o długości 32,0 m. Jeśli współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy oponami i drogą jest równy 0,550, a przyspieszenie było stałe w trakcie hamowania, to jak szybko poruszał się samochód, zanim koła zostały zablokowane na skutek hamowania?

113.

Skrzynia o masie 50 kg zsuwa się poziomo z naczepy samochodu ciężarowego jadącego z prędkością 100 km/h. Znajdź wartość współczynnika tarcia kinetycznego pomiędzy drogą i skrzynią, jeśli skrzynia po upadku na drogę sunie się jeszcze przez 50 m, po czym się zatrzymuje. Prędkość początkowa skrzyni jest taka sama jak prędkość ciężarówki, czyli 100 km/h.

Rysunek przedstawia samochód ciężarowy jadący w prawo z prędkością 100 km/h oraz skrzynię o masie 50 kg leżącą na ziemi za samochodem.

114.

Sanki o masie 15 kg są ciągnięte poziomo po pokrytej śniegiem powierzchni za pomocą siły przyłożonej do liny nachylonej pod kątem $30^{\circ}$ do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego sanek i śniegu wynosi 0,20.

Jeśli przyłożona siła ma wartość 33 N, to jakie jest przyspieszenie poziome sanek?
Ile musiałaby wynosić ta siła, aby sanki poruszały się ze stałą prędkością?

115.

Kulka o masie 30 g zawieszona na końcu struny wykonuje obroty w płaszczyźnie pionowej. Promień zataczanego okręgu wynosi 25,0 cm. Prędkość kulki jest równa 200,0 cm/s. Znajdź siłę naciągu struny:

w najwyższym położeniu,
w najniższym położeniu,
w odległości 12,5 cm od osi obrotu $(r = 12,5 cm) .$

116.

Kulka o masie 0,50 kg zaczyna poruszać się po okręgu w płaszczyźnie $x y$ . Jej położenie opisuje wektor $\vec{r} (t) = \hat{i} \cdot 4 \cos (3 t) + \hat{j} \cdot 4 \sin (3 t)$ gdzie $r$ jest wyrażone w metrach, a $t$ w sekundach.

Znajdź wyrażenia na prędkość i przyspieszenie kulki w funkcji czasu.
Wykaż, że wektor przyspieszenia w każdym momencie jest skierowany do środka okręgu (i tym samym reprezentuje przyspieszenie dośrodkowe).
Znajdź wyrażenie na siłę dośrodkową w funkcji czasu.

117.

Kaskader jeździ na rowerze po wewnętrznej stronie cylindra o promieniu 12 m. Współczynnik tarcia statycznego między oponami i ścianą wynosi 0,68. Znajdź najmniejszą wartość prędkości kaskadera konieczną, aby bezpiecznie wykonać pokaz kaskaderski.

118.

Kiedy ciało o masie 0,25 kg jest przyłączane do pionowej, nieważkiej sprężyny, ta rozciąga się o 5,0 cm względem statycznej długości (4,0 cm). Ciało i sprężyna są umieszczone na poziomej, gładkiej powierzchni i wprawione w ruch obrotowy względem osi obrotu znajdującej się na drugim końcu sprężyny. Prędkość obrotowa wynosi 2,0 obr./s. Jakie będzie teraz rozciągnięcie sprężyny?

119.

Wagony kolejowe muszą pokonać zakręt o promieniu krzywizny równym 500,0 m nachylony pod kątem $5^{\circ}$ . Dla pociągów jadących z jaką prędkością został ten zakręt zaprojektowany?

120.

Ciężarek wisi pionowo na lince przyczepionej do sufitu wagonu kolejowego. Wagon zaczyna poruszać się po torze krzywoliniowym o promieniu 300,0 m z prędkością 90,0 km/h. O jaki kąt względem położenia równowagi odchyli się ciężarek z linką?

121.

Samolot leci z prędkością 120 m/s i w celu wykonania skrętu pochyla się pod kątem $30^{\circ}$ . Jego masa wynosi $2, 50 \cdot 10^{3} k g .$

Ile wynosi siła nośna?
Jaki jest promień skrętu samolotu?

122.

Położenie cząstki jest dane za pomocą wyrażenia: $\vec{r} (t) = A (\hat{i} \cos ω t + \hat{j} \sin ω t)$ , gdzie $ω$ jest stałe. (a) Wykaż, że cząstka porusza się po okręgu o promieniu $A$ . (b) Oblicz $d \vec{r} / d t$ i wykaż, że szybkość cząstki jest stała i równa $A ω$ . (c) Określ $d^{2} \vec{r} / d t^{2}$ i wykaż, że przyspieszenie $a$ jest równe $A ω^{2}$ . (d) Oblicz siłę dośrodkową działającą na cząstkę. Wskazówka: W przykładach (b) i (c) pomocne będzie użycie zależności $(d / d t) \cos ω t = - ω \sin ω t$ i $(d / d t) \sin ω t = ω \cos ω t$ .

123.

Dwa ciężarki połączone struną są ciągnięte po poziomej powierzchni za pomocą siły przyłożonej do jednego z ciężarków, jak przedstawiono na rysunku poniżej. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy ciężarkami a powierzchnią jest równy 0,25. Jeśli każdy z ciężarków ma przyspieszenie $2,0 {m/s}^{2}$ skierowane w prawo, to ile wynosi wartość przyłożonej siły $F$ ?

Dwa ciężarki połączone struną są ciągnięte po poziomej powierzchni za pomocą siły przyłożonej do jednego z ciężarków, skierowanej pod kątem 60 stopni do poziomu.

124.

Rozważ sytuację przedstawioną na rysunku poniżej. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy powierzchnią i większym ciężarkiem jest równy 0,20, a współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy powierzchnią i mniejszym ciężarkiem wynosi 0,30. Jeśli siła $F = 10 N$ , a masa $M = 1, 0 k g$ , to ile wynosi siła naciągu struny łączącej ciężarki?

Dwa ciężarki połączone nicią znajdują się na gładkiej, poziomej powierzchni. Siła F jest przyłożona poziomo do jednego z ciężarków.

125.

Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy powierzchnią i ciężarkami na rysunku wynosi $μ_{k} .$ Jeśli masa $M = 1, 0 k g$ , znajdź przyspieszenie każdego z ciężarków.

Dwa ciężarki połączone nicią leżą na poziomej powierzchni. Na każdy z ciężarków działa siła tarcia, siła ciężkości i siła reakcji podłoża. Zewnętrzna siła F skierowana poziomo jest przyłożona do większego ciężarka.

126.

Dwa ciężarki położone jeden na drugim, jak przedstawiono na rysunku, spoczywają na gładkiej powierzchni. Pomiędzy ciężarkami działa tarcie (współczynnik tarcia równy $μ$ ). Do górnego ciężarka przyłożona jest zewnętrzna siła działająca pod kątem $θ$ do poziomu. Ile maksymalnie może wynosić siła $F$ , aby ciężarki mogły być pchane jednocześnie, a nie przesuwały się względem siebie?

Dwa ciężarki położone jeden na drugim spoczywają na gładkiej powierzchni. Pomiędzy ciężarkami działa tarcie (współczynnik tarcia równy μ. Do górnego ciężarka przyłożona jest zewnętrzna siła działająca pod kątem θ do poziomu.

127.

Pudło spoczywa na poziomej naczepie samochodu dostawczego. Współczynnik tarcia pomiędzy pudłem a naczepą jest równy 0,24. Jak daleko zdąży odjechać samochód w ciągu 3,0 s od momentu startu, jeśli porusza się ze stałym, poziomym przyspieszeniem, a skrzynia podczas tego ruchu się nie przesunie?

128.

Na rysunku przedstawiono podwójną równię pochyłą, na szczycie której umieszczono bloczek. Współczynnik tarcia na równi po lewej wynosi 0,30, zaś na równi po prawej 0,16. Oblicz przyspieszenie połączonych ze sobą wózków.

Na rysunku przedstawiono podwójną równię pochyłą, na szczycie której umieszczono bloczek. Przez bloczek przerzucona jest struna łączące dwa wózki umieszczona na jej końcach po przeciwnych stronach równi. Współczynnik tarcia na równi po lewej wynosi 0.30, zaś na równi po prawej 0.16.