5.4 Masa i ciężar ciała

Jednostka siły

Równanie $F_{\text{wyp}}=ma$ używane jest w celu definiowania siły wypadkowej w funkcji masy, położenia i czasu. Jak już wspomnieliśmy, jednostką siły w układzie SI jest niuton. Skoro $F_{\text{wyp}}=ma\mathrm{,}$ to

Ciężar ciała i siła grawitacji

Gdy upuszczamy jakiś przedmiot, opada on z pewnym przyspieszeniem w kierunku środka kuli ziemskiej. Drugie prawo Newtona mówi, że siła wypadkowa działająca na obiekt jest odpowiedzialna za jego przyspieszenie. Jeżeli siły oporu powietrza są zaniedbywalne, całkowita siła wypadkowa działająca na ciało to siła oddziaływania grawitacyjnego między obiektem a kulą ziemską, nazywana siłą ciężkości (lub inaczej ciężarem ciała) (ang. weight) $\overrightarrow{Q}$. Ciężar ciała jest wielkością wektorową, ponieważ posiada zdefiniowany kierunek; siła ta skierowana jest w dół, zgodnie z wektorem natężenia pola grawitacyjnego. Galileusz udowodnił, że przy braku sił oporu powietrza wszystkie ciała spadają swobodnie z tym samym przyspieszeniem, dziś oznaczanym symbolem $g$. Korzystając z teorii Galileusza oraz drugiego prawa Newtona, możemy wyprowadzić równanie na ciężar ciała.

Rozpatrzmy obiekt o masie $m$ opadający swobodnie w polu grawitacyjnym. Obiekt ten doświadcza jedynie obecności pionowej siły ciężkości (ciężaru) $\overrightarrow{Q}$. Druga zasada dynamiki Newtona mówi, że siła wypadkowa dana jest zależnością ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=m\overrightarrow{a}.$ Całkowite przyspieszenie ciała wywołane polem grawitacyjnym wynosi $\overrightarrow{g}$, czyli $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$. Wstawiając jedno do drugiego otrzymać możemy wyrażenie na ciężar ciała.

Skoro $g=\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2$ na powierzchni Ziemi, ciężar ciała o masie 1 kg wynosi 9,80 N:

Kiedy jedyną zewnętrzną siłą działającą na obiekt jest jego ciężar, mówimy, że ciało swobodnie spada (ang. free fall) w polu grawitacyjnym. Jednakże, gdy przedmioty spadają w polu ziemskim, nigdy nie jest to spadek swobodny, ponieważ zawsze istnieją pewne siły oporu ruchu, np. powietrza działającego na przedmiot.

Przyspieszenie grawitacyjne $g$ zależy nieznacznie od położenia nad powierzchnią Ziemi, więc siła ciężkości działająca na ciało zależy od jego położenia. Nie jest ona jedynie własnością danego ciała. Ciężar ciał zmienia się istotnie, gdy opuścimy Ziemię. Na przykład na Księżycu przyspieszenie grawitacyjne wynosi jedynie $\mathrm{1,7}{\text{m/s}}^2$. Obiekt o masie 1 kg doznaje na Ziemi działania siły ciężkości o wartości 9,8 N, natomiast na Księżycu jedynie 1,7 N.

Najogólniejszą definicją siły ciężkości, czyli ciężaru ciała, jest siła oddziaływania tego ciała z najbliższym i dużym obiektem, takim jak Ziemia, Księżyc czy Słońce. Jest to najczęściej używana definicja siły ciężkości w fizyce. Różni się ona znacząco od definicji ciężaru używanej przez NASA czy media publiczne. Gdy mówią oni o „stanie nieważkości” albo „mikrograwitacji”, odnoszą się do zjawiska, które my określamy jako spadek swobodny. Będziemy używać podanej wyżej definicji ciężaru jako siły $\overrightarrow{Q}$, będącej wynikiem oddziaływania kuli ziemskiej z masą $m$, i będziemy rozróżniać spadek swobodny i faktyczną nieważkość.

Pamiętaj, że masa i ciężar to dwie odrębne wielkości fizyczne, mimo że są sobie dość bliskie. Masa to pewna własność danego ciała, mówiąca o ilości materii w nim zawartej. Ilość materii zawartej w danym ciele określona jest przez liczbę tworzących je atomów i cząsteczek. Ponieważ ilość materii w danym ciele jest stała, w fizyce newtonowskiej masa jest parametrem stałym. Nie zmienia się więc reakcja ciała na przyłożoną siłę zewnętrzną. Natomiast ciężar zależy od przyspieszenia grawitacyjnego. Na przykład osoba znajdująca się w obniżeniu terenu, bliżej środka kuli ziemskiej, ma ciężar nieznacznie większy niż osoba ulokowana wysoko na wzniesieniu, mimo że mają taką samą masę.

To bardzo kuszące, aby utożsamić definicje ciężaru i masy obiektu, ponieważ badane ciało najczęściej znajduje się przy powierzchni Ziemi, gdzie ciężar obiektu zmienia się bardzo nieznacznie w zależności od jego lokalizacji. Ponadto, trudno jest policzyć ilość i zidentyfikować wszystkie atomy i molekuły w danym obiekcie, więc masa ciała rzadko jest określana jako miara liczby molekuł w ciele. Jeśli weźmiemy pod uwagę sytuację, w której $\overrightarrow{g}$ jest na Ziemi stałe, widzimy wówczas, że ciężar $\overrightarrow{Q}$ jest wprost proporcjonalny do masy $m$. Skoro $\overrightarrow{Q}=m\overrightarrow{g}\mathrm{,}$ oznacza to, że im bardziej masywny jest obiekt, tym większy jego ciężar. Masa obiektu jest operacyjnie definiowana poprzez porównanie ze wzorcem kilograma, tak jak omówione to zostało w rozdziale Jednostki i pomiary. Porównując obiekt znajdujący się na Ziemi i Księżycu, zauważymy znaczne różnice w jego ciężarze, ale nie w masie. Dla przykładu, na Ziemi obiekt o masie 5 kg ma ciężar 49 N, natomiast na Księżycu, gdzie $g$ wynosi $\mathrm{1,67}{\text{m/s}}^2$, ciężar ten to jedynie 8,4 N. Masa obiektu nie ulega zmianie i wynosi 5 kg zarówno na Księżycu, jak i na Ziemi.

Przykład 5.8

Porządkowanie pola uprawnego

Rolnik oczyszcza swoje pole uprawne z kamieni. Podnosi kamień o ciężarze 180 N. Jaką siłą musi zadziałać na kamień, jeśli przyspieszenie kamienia wynosi $\mathrm{1,5}{\text{m/s}}^2?$

Strategia rozwiązania

W treści zadania podano ciężar kamienia, dla którego musimy znaleźć siłę wypadkową. Musimy jednak znaleźć również masę kamienia, aby móc zastosować drugie prawo Newtona. Zatem konieczne jest skorzystanie z relacji: $Q=mg$ w celu znalezienia masy kamienia.

Rozwiązanie

Jak widać na poniższym rysunku, żadne siły nie działają w kierunku poziomym, więc możemy skoncentrować się jedynie na analizie sił pionowych. Kierunek przyspieszenia kamienia oznaczono z boku rysunku. Ma to na celu uzmysłowienie, że obiekt przyspiesza do góry (więc zwrot siły wypadkowej jest skierowany w górę).

$$\begin{array}{c}Q=mg\text{,}\\ m=\frac{Q}{g}=\frac{180\mathrm{N}}{\mathrm{9,8}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2}=18\mathrm{kg}\text{,}\\ \sum F=ma\text{,}\\ F-Q=ma\text{,}\\ F-180\mathrm{kg}=18\mathrm{kg}\cdot \mathrm{1,5}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\text{,}\\ F-180\mathrm{kg}=27\mathrm{N}\text{,}\\ F=207\mathrm{N}=210\mathrm{N}\text{(po zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących).}\end{array}$$

Znaczenie

Aby móc zastosować drugie prawo Newtona w celu rozwiązania zadania, czasami musimy użyć innych równanań, takich jak związek pomiędzy masą a ciężarem lub jedno z kinematycznych równań ruchu.