William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

różnic między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi;
matematycznego opisu drugiej zasady dynamiki Newtona;
wyjaśniać relacje między przyspieszeniem, siłą wypadkową i masą.

Druga zasada dynamiki Newtona (drugie prawo Newtona, ang. Newton's second law of motion) jest bardzo ściśle powiązana z pierwszą i podaje matematyczny opis związków przyczynowo-skutkowych między siłą a zmianami ruchu. Daje zatem możliwość ilościowego opisu sytuacji fizycznych i używana jest do obliczeń w sytuacjach, w których w układzie przyłożone są różne siły. Zanim zapiszemy drugie prawo Newtona w formie prostego równania matematycznego, pozwalającego na dokładne powiązanie siły i przyspieszenia ciała, musimy przypomnieć sobie pewne zagadnienia, o których wspominaliśmy wcześniej.

Siła a przyspieszenie

Na początku należy sobie uświadomić, co rozumiemy poprzez pojęcie zmiany ruchu. Otóż zmiana ruchu oznacza zmianę prędkości ciała. Zmiana prędkości świadczy o tym, że w układzie istnieje pewne przyspieszenie. Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że zewnętrzna siła wypadkowa powoduje zmiany ruchu ciał. Zatem niezerowa siła wypadkowa jest przyczyną występowania w układzie przyspieszenia.

Zdefiniowaliśmy już siłę zewnętrzną w podrozdziale Pojęcie siły jako siłę działającą na obiekt lub układ, której źródło znajduje się poza obiektem. Przeanalizujmy to zagadnienie nieco dokładniej. Intuicyjnie odgadujemy, że słowo zewnętrzna oznacza, iż działa ona spoza układu. Na przykład na Ilustracji 5.10(a) analizowany układ to samochód z kierowcą siedzącym w środku. Dwie siły wywierane na samochód przez dwóch studentów na rysunku to właśnie siły zewnętrzne. Z kolei siły wewnętrzne to głównie siły oddziaływania pomiędzy elementami układu. I tak na przykład siła, którą kierowca działa na kierownicę samochodu, to siła wewnętrzna. Jedynie siły zewnętrzne wpływają na ruch samochodu, zgodnie z pierwszym prawem Newtona. (Wewnętrzne siły kompensują się, co zostanie dokładniej wyjaśnione w następnym rozdziale). Dlatego koniecznie jest określenie pewnych granic układu, zanim przystąpimy do analizowania, które siły są zewnętrzne. Często okazuje się to bardzo proste, lecz w niektórych układach fizycznych bywa to nieco trudniejsze. Pojęcie układu i określenie jego granic jest fundamentalne z punktu widzenia wielu dziedzin fizyki, podobnie jak prawidłowe stosowanie praw Newtona.

Rysunek a przedstawia sytuację, w której dwoje ludzie pcha samochód działając na niego siłami odpowiednio F1 I F2 w prawo. Przyspieszenie a ma ten sam kierunek i zwrot, co siły przez nich wywierane na samochód. Siła tarcia T narysowana została przy kole samochodu i posiada zwrot przeciwny niż siły wywierane przez ludzi na auto. Skierowane w kierunku pionowym do góry siła reakcji N i siła ciężkości Q skierowana do dołu mają swój punkt przyłożenia przy powierzchni ziemi. Na rysunku b pokazano z kolei wektory wszystkich sił działających w układzie wraz z zaznaczoną siłą wypadkową Fwyp. Na tym samym rysunku sporządzono również diagram sił działających na samochód. Rysunek c ukazuje natomiast sytuację, w której samochód jest holowany przez samochód pomocy drogowej. Wówczas, siła reakcji N, siła ciężkości Q pozostają takie same jak na rysunku a. F hol natomiast jest siłą ciągnącą samochód, lecz jej wartość jest większa niż suma wektorów F1 i F2, pochodzących od dwóch osób na rysunku a. Dlatego też przyspieszenie a’ (rys b) ma większą wartość niż przyspieszenie a (rys a). Wszystkie siły działające na samochód zostały pokazane w formie diagramu sił działających na holowany samochód.

Ilustracja 5.10 Gdy na dany obiekt o określonej masie działają różne siły, skutkiem jest różne co do wartości jego przyspieszenie. (a) Dwóch studentów pcha samochód. Wszystkie siły zewnętrzne działające na samochód pokazano na rysunku. (b) Siły działające na samochód (na rysunku jako punkt materialny) pokazano w formie diagramu rozkładu sił, w celu ułatwienia analizy sytuacji. (c) Wóz holowniczy może zadziałać na samochód znacznie większą siłą zewnętrzną niż dwoje ludzi, nawet dorosłych. Wówczas wartość wektora przyspieszenia samochodu jest większa.

W tej sytuacji widać, że różne siły działające na tę samą masę $m$ skutkują występowaniem przyspieszenia o różnej wartości, zależnej od wielkości przyłożonej siły. Na Ilustracji 5.10(a) dwóch studentów pcha samochód, podczas gdy kierowca samochodu znajduje się w środku. Strzałki na rysunku reprezentują wszystkie siły zewnętrzne działające w układzie zawierającym samochód i kierowcę. Siłę ciężkości $\vec{Q}$ układu samochód-kierowca oraz siłę reakcji od podłoża $\vec{R}$ pokazano również na rysunku. Siły te się równoważą – układ nie porusza się z przyspieszeniem w kierunku pionowym. Wektor siły tarcia $\vec{T}$ odzwierciedla zjawisko tarcia między kołami samochodu a jezdnią i skierowany jest w lewo, przeciwnie do kierunku ruchu (zjawisko tarcia omówimy nieco szerzej w kolejnym rozdziale). Na Ilustracji 5.10(b) siły te zostały do siebie dodane i rezultatem tego jest siła wypadkowa ${\vec{F}}_{wyp}$ . Diagram wszystkich sił działających na samochód wraz z kierowcą pokazano na tym samym rysunku. Punkt, do którego przyłożono siły, reprezentuje środek masy układu samochód-kierowca. Ponieważ obie siły skierowane są w prawo, wektory narysowano jako współliniowe. Z kolei na Ilustracji 5.10(c) widać znacznie większą siłę wypadkową, ponieważ samochód ciągnięty jest przez wóz holowniczy, a nie przez ludzi. Skutkuje to większym przyspieszeniem układu samochodu wraz z kierowcą ( $a'>a$ ).

Stwierdzenie, że wektor przyspieszenia posiada wartość proporcjonalną do przyłożonej siły wypadkowej oraz ten sam kierunek co siła, wydaje się bardzo rozsądne. To założenie zostało już wielokrotnie potwierdzone eksperymentalnie i pokazane m.in. w przykładzie na Ilustracji 5.10. Aby móc sformułować matematyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona, zapiszmy relację między przyspieszeniem $\vec{a}$ a siłą wypadkową ${\vec{F}}_{wyp}$ . Widać, że zależność ta jest proporcjonalna:

\vec{a} \propto {\vec{F}}_{wyp},

gdzie symbol $\propto$ oznacza proporcjonalność. Nawiązując do omówionej wcześniej definicji siły wypadkowej jako sumy wektorowej wszystkich sił działających na obiekt, często oznaczanej jako $\sum \vec{F}$ , możemy stwierdzić, że przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do zewnętrznej siły wypadkowej. Gdy obierzemy już układ, który chcemy przeanalizować, należy zidentyfikować wszystkie siły zewnętrzne, pomijając siły wewnętrzne działające w układzie. Jest to znaczne uproszczenie, pozwalające na pominięcie sił wewnętrznych działających między obiektami, jak i w samych obiektach, takich jak siły mięśni czy niezliczone siły oddziaływania międzycząsteczkowego. Właśnie to uproszczenie umożliwia rozwiązywanie problemów fizycznych z zakresu dynamiki nawet dla złożonych wewnętrznie układów.

Przyspieszenie ciała jest także odwrotnie proporcjonalne do jego masy. Im większa masa danego ciała (i co za tym idzie, jego bezwładność), tym mniejsze przyspieszenie ciało zyskuje na skutek działania siły zewnętrznej. Pokazano to na rysunku Ilustracji 5.11. Określona siła wypadkowa działająca na piłkę do koszykówki skutkuje znacznie większym przyspieszeniem, niż gdyby tę samą siłę przyłożyć do znacznie cięższego samochodu osobowego. Omawianą proporcjonalność zapisać możemy jako

a \propto \frac{1}{m},

gdzie $m$ to masa obiektu, natomiast $a$ oznacza wartość jego przyspieszenia. Doświadczenia fizyczne pokazały, że przyspieszenie ciała jest odwrotnie proporcjonalne do jego masy, a wprost proporcjonalnie do siły wypadkowej.

Na rysunku a przedstawiono osobę działającą siłą F na piłkę do koszykówki o masie m1. Piłka porusza się wówczas z przyspieszeniem a1 skierowanym w prawo. Rysunek b z kolei przedstawia osobę działającą tą samą siłą na samochód osobowy o masie m2. Jak widać, przyspieszenie samochodu a2 jest znacznie mniejsze niż przyspieszenie piłki a1. Rysunek c pokazuje rozkład sił działających na obydwa układy. Siła F zarówno na jednym jak i drugim rysunku ma ten sam kierunek i długość. Diagramy ukazujące rozkład sił są więc identyczne.

Ilustracja 5.11 Ta sama siła działa na ciała o różnych masach, nadając im różne przyspieszenia. (a) Koszykarz uderza piłkę do koszykówki (zaniedbano efekt siły ciężkości działającej na piłkę). (b) Ten sam człowiek działa na samochód osobowy identyczną siłą jak w przypadku piłki do koszykówki, czego skutkiem jest dużo mniejsze przyspieszenie samochodu, niż to miało miejsce w przypadku piłki. (c) Rozkład sił jest identyczny w obydwu przypadkach. Wykonanie szeregu diagramów sił działających na ciała w podrozdziale Rozkład sił działających na ciało pozwoli ci uzyskać doświadczenie w rozwiązywaniu wielu problemów fizycznych.

Wiadomo, że przyspieszenie ciała zależy jedynie od siły wypadkowej działającej na ciało oraz masy ciała. Zestawiając pokazane powyżej proporcjonalności, możemy sformułować matematyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona.

Druga zasada dynamiki Newtona

Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej, ma również ten sam kierunek co siła, natomiast jest odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. Możemy to zapisać w formie równania:

\vec{a} = \frac{{\vec{F}}_{wyp}}{m},

gdzie $\vec{a}$ to przyspieszenie ciała, ${\vec{F}}_{wyp}$ oznacza siłę wypadkową, natomiast $m$ to masa ciała. Często równanie to zapisuje się w nieco innej postaci

{\vec{F}}_{wyp} = \sum \vec{F} = m \vec{a},

5.3

jednakże pierwsze z tych równań pozwala lepiej zrozumieć drugie prawo Newtona. Gdy rozpatrujemy jedynie wartości wektorów przyspieszenia i siły wypadkowej, powyższe równanie można przedstawić w prostszej formie:

F_{wyp} = m a .

5.4

Druga zasada dynamiki Newtona określa prostą zależność przyczynowo-skutkową między trzema wielkościami, która nie sprowadzają się do ich definicji. Drugie prawo Newtona zostało bardzo dobrze zweryfikowane eksperymentalnie. Schemat rozkładu sił działających na ciało, omówiony w rozdziale Rozkład sił działających na ciało jest podstawą poprawnego sformułowania drugiego prawa Newtona dla danego zagadnienia.

Przykład 5.2

Jakie przyspieszenie może nadać człowiek kosiarce?

Załóżmy, że siła wypadkowa (siła, z którą pchana jest kosiarka, minus siła tarcia) wywierana na kosiarkę wynosi 51 N, a jej kierunek jest równoległy do podłoża (Ilustracja 5.12). Masa kosiarki wynosi 24 kg. Jakie przyspieszenie uzyskała kosiarka?

Rysunek a przedstawia człowieka używającego kosiarki do trawników. Siła F wyp przyłożona jest do kosiarki i działa w prawo. Rysunek b z kolei ukazuje F wyp wzdłuż dodaniej półosi x.

Ilustracja 5.12 (a) Siła wypadkowa działająca na kosiarkę skierowana jest w prawą stronę i wynosi 51 N. Jak bardzo kosiarka przyspiesza? (b) Rozkład sił działających na kosiarkę.

Strategia rozwiązania

Zauważmy, że powyższy problem dotyczy tylko ruchu kosiarki w kierunku poziomym. Znana jest całkowita siła wypadkowa, reprezentowana przez pojedynczy wektor, jednakże możemy przejść do zapisu skalarnego i wówczas zastosować drugie prawo Newtona w postaci skalarnej. Dana jest:

F_{wyp}

oraz masa

m

, więc przyspieszenie ciała można obliczyć bezpośrednio z równania:

F_{wyp} = m a .

Rozwiązanie

Wartość przyspieszenia

a

wynosi

a = F_{wyp} / m

. Wstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy:

a = \frac{51 N}{24 kg} .

Zastępujemy jednostkę 1 N jednostką kilograma pomnożonego przez metr na sekundę kwadrat:

a = \frac{51 kg \cdot {m/s}^{2}}{24 kg} = 2,1 {m/s}^{2} .

Znaczenie

Kierunek przyspieszenia jest taki sam, jak kierunek siły, która jest równoległa do podłoża. Jest to wynikiem wektorowej zależności wyrażonej w drugim prawie Newtona: wektor siły wypadkowej jest wielokrotnością wektora przyspieszenia. W analizowanym przykładzie z kosiarką nie podano wielu informacji na temat sił zewnętrznych działających w układzie. Jednakże spróbujmy co nieco o nich powiedzieć. Na przykład siła wywierana przez osobę naciskającą na kosiarkę musi być większa niż siła tarcia skierowana przeciwnie do kierunku ruchu, ponieważ wiemy, że kosiarka poruszała się do przodu. Jeżeli chodzi o siły pionowe, muszą się one równoważyć, ponieważ przyspieszenie nie występuje w kierunku pionowym (kosiarka porusza się jedynie w kierunku poziomym). Znaleziona wartość przyspieszenia jest rozsądnie mała, lecz odpowiada sytuacji, w której jakaś osoba pcha po trawniku kosiarkę. Wysiłek nie potrwa długo, ponieważ osoba pchająca kosiarkę szybko osiągnie prędkość maksymalną.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.3

Na początku XX wieku transatlantyk Titanic był jednym z największych na świecie statków pasażerskich. Miał masę równą $6,0 \cdot 10^{7} kg$ . Gdyby na statek zadziałano ogromną, wynoszącą 6 MN siłą $(6,0 \cdot 10^{6} N)$ , to jakie przyspieszenie osiągnąłby Titanic?

W poprzednim przykładzie z kosiarką założyliśmy jedynie działanie na kosiarkę poziomo skierowanej siły wypadkowej. Jednakże, w rzeczywistości na kosiarkę działa znacznie więcej sił. Siła ciężkości $\vec{Q}$ (omówiona szerzej w podrozdziale Masa i ciężar) ciągnie kosiarkę w dół, w stronę jądra Ziemi; takie oddziaływanie powoduje powstanie siły kontaktowej z podłożem. Wówczas Ziemia działa na kosiarkę siłą reakcji, skierowaną ku górze: $\vec{R}$ , którą zdefiniowaliśmy w podrozdziale Rodzaje sił. Siły te równoważą się, zatem ciało nie podlega pionowemu przyspieszeniu. W następnym przykładzie pokażemy obie te siły. Natomiast teraz, nadal przy użyciu drugiego prawa Newtona, przeanalizuj przykład wielu sił działających na kosiarkę.

Przykład 5.3

Która siła jest większa?

Samochód przedstawiony na Ilustracji 5.13 porusza się ze stałą prędkością. Która siła jest większa: $\vec{T}$ czy ${\vec{F}}_{oporu}$ ? Wyjaśnij dlaczego.
Ten sam samochód porusza się z pewnym przyspieszeniem w prawo. Która siła jest większa: $\vec{T}$ czy ${\vec{F}}_{oporu}$ ? Wyjaśnij dlaczego.

Rysunek a pokazuje samochód wyścigowy poruszający się w prawo z prędkością 10 metrów na sekundę. F subsript napęd to siła ciągu silnika i działa w prawo, natomiast T oznacza siłę tarcia i działa w lewo, przeciwnie do ruchu samochodu. Na rysunku b pokazano ten sam samochód, lecz tym razem poruszający się w prawo ze stałym przyspieszeniem wynoszącym 10 metrów na sekundę kwadrat. Siły omówione a propos poprzedniego rysunku są w tym przypadku takie same.

Ilustracja 5.13 Na rysunku (a) pokazano samochód poruszający się ze stałą prędkością, natomiast na rysunku (b) ten sam samochód poruszający się ze stałym przyspieszeniem w prawo. Jak przedstawiają się siły działające na samochód w obydwu przypadkach? (A) Jakie informacje dotyczące wartości wektorów siły tarcia i siły oporu daje nam to, że samochód porusza się ze stałą prędkością? (B) Jakie informacje dotyczące wartości wektorów siły tarcia i siły oporu daje nam to, że samochód porusza się ze stałym przyspieszeniem?

Strategia rozwiązania

Musimy rozpatrzyć zarówno pierwsze, jak i drugie prawo Newtona do rozwiązania tego problemu. Trzeba zdecydować, które prawo znajduje zastosowanie w każdym z tych dwóch przypadków. To pozwoli nam dobrze prześledzić relacje między działającymi w układzie siłami.

Rozwiązanie

Wartości obydwu sił są równe. Według pierwszej zasady dynamiki, gdy działająca na ciało siła wypadkowa wynosi zero, prędkość ciała jest stała.
W tym przypadku wartość siły tarcia $\vec{T}$ musi być większa niż siły oporu ${\vec{F}}_{oporu}$ . Jak głosi drugie prawo Newtona, niezerowa siła wypadkowa jest konieczna do występowania przyspieszenia ciała.

Znaczenie

Powyższe pytania mogą wydawać się trywialne, lecz udzielane na nie odpowiedzi niestety często są nieprawidłowe. Aby samochód lub jakikolwiek inny obiekt mógł się poruszać, musi podlegać przyspieszeniu od stanu spoczynku do określonej prędkości. Wymaga to, aby wartość siły tarcia kół o asfalt była większa niż siła oporu. Jednak, gdy samochód porusza się ze stałą prędkością, siła wypadkowa na niego działająca musi wynosić zero. W przeciwnym razie samochód dozna przyspieszenia (zwiększy swoją szybkość). Aby dobrze rozwiązywać problemy związane z dynamiką, warto najpierw sprawdzić czy ciało porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub nie porusza się wcale. Wtedy, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona, siły działające na ciało się równoważą.

Przykład 5.4

Jak ciąg rakietowy przyspiesza sanie rakietowe?

Przed lotami załogowymi w przestrzeni kosmicznej do testowania samolotów, sprzętu rakietowego i różnych efektów fizjologicznych występujących u ludzi przy poruszaniu się z bardzo dużymi prędkościami, używano sań rakietowych. Składały się one z platformy zamontowanej na jednej lub dwóch szynach i napędzanej kilkoma silnikami rakietowymi.

Oblicz siłę ciągu każdej z czterech dysz silnika rakietowego (tzw. odrzutu, ang. thrust) $F$ , pokazanego na Ilustracji 5.14. Początkowe przyspieszenie komory rakietowej wynosi $49 {m/s}^{2}$ , jej masa to 2100 kg, a siła tarcia w układzie wynosi 650 N.

Rysunek a pokazuje rakietę podążającą w prawo. Zawiera ona cztery dysze odrzutowe, z której każda posiada siłę odrzutu o tej samej wartości i kierunku. Siła tarcia skierowana jest w lewo. Siła reakcji od podłoża R skierowana jest w górę natomiast siła ciężkości Q w dół, siły te są oczywiście zrównoważone. Przyspieszenie rakiety a skierowane jest w prawo. Wszystkie siły działąjące na rakietę przedstawiono na diagramie zawierającym rozkład sił.

Ilustracja 5.14 Komora rakiety doznaje siły odrzutu pochodzącej od dysz, skierowanej w prawo. Każda z dysz rakietowych wytwarza identyczną siłę ciągu F’. Zaniedbano wszystkie siły oddziaływania między komorą rakiety a osobą się w niej znajdującą. Strzałkę reprezentującą siłę tarcia

(\vec{T})

narysowano większą niż przyjęta skala.

Strategia rozwiązania

Mimo iż w analizowanym układzie siły działają zarówno w kierunku pionowym, jak i poziomym, przyjmujemy, że siły pionowe się równoważą z powodu braku pionowego przyspieszenia. W układzie istotne są więc jedynie siły poziome i wówczas problem sprowadzony jest do jednego wymiaru. Kierunki sił oznaczone są znakami plus lub minus, przyjmując prawy kierunek jako dodatni. Zapoznaj się z diagramem zawierającym rozkład sił działających na rakietę Ilustracja 5.14).

Rozwiązanie

W momencie gdy znamy masę obiektu, jego przyspieszenie, siły go napędzające oraz siłę tarcia, możliwe jest rozwiązanie tego zagadnienia poprzez wykorzystanie drugie prawa Newtona. Zgodnie z naszą definicją siła i przyspieszenie skierowane są w prawo, dlatego też musimy rozważyć jedynie wartości tych wielkości. Zacznijmy od podstawowego równania:

F_{wyp} = m a,

gdzie $F_{wyp}$ to wartości siły całkowitej działającej w kierunku poziomym. Na podstawie rysunku możemy wywnioskować, że siły pochodzące od dysz rakietowych przyjmiemy ze znakiem plus, natomiast siłę tarcia ze znakiem minus. Siła wypadkowa wówczas wynosi

F_{wyp} = 4 F^{'} - T .

Wykorzystujemy drugie prawo Newtona

F_{wyp} = m a = 4 F^{'} - T .

Po prostych przekształceniach otrzymujemy wyrażenie na całkowitą siłę odrzutu pochodzącą od dysz $4 F^{'}$

4 F^{'} = m a + T .

Wstawiając znane wartości sił i przyspieszenia podanych w treści zadania, otrzymujemy:

4 F^{'} = m a + T = (2 100 kg) (49 {m/s}^{2}) + 650 N .

Wynika z tego, że całkowita siła odrzutu silnika wynosi

4 F^{'} = 1,0 \cdot 10^{5} N,

a cząstkowa siła odrzutu każdej z dysz to wówczas:

F^{'} = \frac{1,0 \cdot 10^{5} N}{4} = 2,5 \cdot 10^{4} N .

Znaczenie

Bardzo wysoki wynik otrzymanej siły odrzutu rakiety może wydać się zaskakujący. Eksperymenty z udziałem ludzi i rakiet odrzutowych były przeprowadzone już na początku lat sześćdziesiątych, aby przetestować granice ludzkiej wytrzymałości w ekstremalnych warunkach. Tego typu układy projektowano w celu ochrony pilotów katapultujących się z myśliwców odrzutowych. Uzyskano prędkości nawet dochodzące do 1000 km/h, przyspieszenie układu wynosiło prawie 45

g

(

g

oznacza tutaj przyspieszenie grawitacyjne, wynoszące

9,81 {m/s}^{2}

). Przyspieszenie będące 45-krotną wielokrotnością

g

to

45 \cdot 9,8 {m/s}^{2},

co w przybliżeniu wynosi

440 {m/s}^{2}

). Obecnie nie wykonuje się prób z udziałem ludzi, jednak warto powiedzieć, że maksymalna prędkość osiągnięta sanie rakietowe to prawie 10 000 km/h!

W tym przykładzie, podobnie jak w poprzednim, analizowany układ jest stosunkowo prosty. W dalszych przykładach zauważymy, że dobre zdefiniowanie analizowanego układu i jego wybór ma kluczowe znaczenie w rozwiązaniu problemu. Czasem problem nie jest wcale oczywisty.

Drugie prawo Newtona jest czymś więcej niż tylko definicją; ukazuje fundamentalny związek między przyspieszeniem, siłą i masą obiektu. Prawo to może nam pomóc podejmować pewne decyzje. Każda z wielkości fizycznych pojawiających się w tym prawie może być zdefiniowana niezależnie, więc drugie prawo Newtona wyjaśnia nam prawdy podstawowe i uniwersalne o funkcjonowaniu natury.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.4

Samochód sportowy o masie 550 kg zderzył się z ciężarówką o masie 2200 kg. Podczas kolizji siła wypadkowa działająca na każdy z pojazdów jest w zasadzie siłą pochodzącą od drugiego pojazdu. Jeżeli wartość przyspieszenia ciężarówki wynosi $10 {m/s}^{2}$ , jakie przyspieszenie osiągnął samochód sportowy?

Wektorowa forma drugiego prawa Newtona

Omówiliśmy drugą zasadę dynamiki Newtona i sformułowaliśmy ją w formie wektorowego Równania 5.3. To równanie wektorowe może być zapisane również w postaci trzech równań składowych:

\sum {\vec{F}}_{x} = m {\vec{a}}_{x}, \sum {\vec{F}}_{y} = m {\vec{a}}_{y}, oraz \sum {\vec{F}}_{z} = m {\vec{a}}_{z} .

5.5

Drugie prawo Newtona opisuje, w jaki sposób ciało odpowiada mechanicznie na środowisko je otaczające. Wpływ środowiska zewnętrznego to nic innego jak siła wypadkowa ${\vec{F}}_{wyp}$ , odpowiedzią ciała jest przyspieszenie $\vec{a}$ , przy czym odpowiedź ta jest odwrotnie proporcjonalna do masy $m$ . W ogólności im większa jest masa ciała, tym jego odpowiedź na siłę zewnętrzną jest mniejsza. Dlatego też masa ciała jest miarą jego bezwładności co pokazaliśmy w podrozdziale Pierwsza zasada dynamiki Newtona.

Przykład 5.5

Siła i piłka nożna

Piłkarz kopnął przez boisko piłkę o masie 400 g. Nadał piłce wówczas przyspieszenie

\vec{a} = (3,00 \hat{i} + 7,0 \hat{j}) {m/s}^{2}

. Znajdź:

siłę działającą na piłkę;
wartość i kierunek tej siły.

Strategia rozwiązania

Przyspieszenie zapisano w notacji wersorowej, gdzie wersory jednostkowe

\hat{i}

oraz

\hat{j}

definiują kierunek działania składowych przyspieszenia odpowiednio w kierunkach

x

i

y

.

Rozwiązanie

Zastosujmy drugie prawo Newtona:
${\vec{F}}_{wyp} = m \vec{a} = (0,400 kg) [(3,00 \hat{i} + 7,00 \hat{j}) {m/s}^{2}] = (1,20 \hat{i} + 2,80 \hat{j}) N .$
Wartość i kierunek siły wypadkowej $F_{wyp}$ :
$\begin{align} F_{\text{wyp}} &= \sqrt{(\SI{1,20}{\newton})^2 + (\SI{2,80}{\newton})^2} = \SI{3,05}{\newton} \text{,} \\ \theta &= \arctg (\frac{2,80}{1,20}) = \ang{66,8} \text{.} \end{align}$

Znaczenie

Musimy pamiętać, że druga zasada dynamiki Newtona jest opisywana równaniem wektorowym. W przypadku (a) mnożymy wektor przez skalar, aby określić wypadkową siłę w postaci wektorowej. Zapis wektorowy siły wypadkowej daje nam jej zwartą reprezentację, jednakże nie mówi nam nic o jej wartości czy kierunku. W punkcie (b) z kolei określiliśmy faktyczną wartość działającej siły oraz kierunek, w którym działa.

Przykład 5.6

Masa samochodu

Znajdź masę samochodu, jeśli działająca na niego siła wypadkowa o wartości

600,0 \hat{j} N

powoduje przyspieszenie samochodu

0,2 \hat{j} {m/s}^{2}

.

Strategia rozwiązania

Z matematycznego punktu widzenia nie istnieje działanie dzielenia wektorów, dlatego też

m = {\vec{F}}_{wyp} / \vec{a}

jest działaniem nieprawidłowym. Jednakże masa

m

jest skalarem, więc możemy zastosować skalarną postać drugiego prawa Newtona:

m = F_{wyp} / a

.

Rozwiązanie

Zastosujmy relację

m = F_{wyp} / a

, wstawiając odpowiednio długości wektorów przyspieszenia i siły wypadkowej:

F_{wyp} = 600,0 N

i

a = 0,2 {m/s}^{2} .

Zatem:

m = \frac{F_{wyp}}{a} = \frac{600,0 N}{0,2 {m/s}^{2}} = 3 000 kg .

Znaczenie

Zarówno siła, jak i przyspieszenie były dane w formie wektorów, zapisanych za pomocą wersorów jednostkowych

\hat{i}

i

\hat{j}

, lecz zauważmy, że szukana masa jest wielkością skalarną, dlatego też nie zapisano jej z użyciem wersorów

\hat{i}

oraz

\hat{j}

.

Przykład 5.7

Wiele sił działających na cząstkę

Cząstka o masie

m = 4,0 kg

poddana jest działaniu czterech sił o wartościach bezwzględnych odpowiednio

F_{1} = 10,0 N, F_{2} = 40,0 N, F_{3} = 5,0 N, F_{4} = 2,0 N

. Siły te działają w kierunkach przedstawionych na diagramie z Ilustracji 5.15. Jakie przyspieszenie ma analizowana cząstka?

Cząstkę o masie m umieszczono w układzie współrzędnych xy. Siła F1 skierowana jest w prawo pod kątem 30 stopni do dodatniej półosi x, siła F2 skierowana jest w dół, wzdłuż osi y, siła F3 z kolei działa w lewo natomiast F4 do góry.

Ilustracja 5.15 Cztery siły, zdefiniowane w układzie współrzędnych xy działają na cząstkę o masie 4 kg.

Strategia rozwiązania

Ponieważ układ jest dwuwymiarowy, należy narysować rozkład sił działających na cząstkę, uwzględniając rozkład sił na składowe. Po pierwsze siłę

{\vec{F}}_{1}

należy rozłożyć na składowe wzdłuż osi

x

i

y

. Wówczas możemy zastosować drugie prawo Newtona osobno dla każdego z dwóch wyróżnionych kierunków.

Rozwiązanie

Rysujemy diagram sił, przedstawiony na Ilustracji 5.15. Następnie możemy zastosować drugie prawo Newtona. Rozpatrujemy wektory składowe sił osobno w kierunku

x

:

\begin{matrix} \sum F_{x} = m a_{x}, \\ F_{1⁣ x} - F_{3⁣ x} = m a_{x}, \\ F_{1} cos 30 ° - F_{3⁣ x} = m a_{x}, \\ 10,00 N \cdot cos 30 ° - 5,0 N = 4,0 kg \cdot a_{x}, \\ a_{x} = 0,92 m / s^{2}, \end{matrix}

i w kierunku $y$ :

\begin{matrix} \sum F_{y} = m a_{y}, \\ F_{1⁣ y} + F_{4⁣ y} - F_{2⁣ y} = m a_{y}, \\ F_{1} sin 30 ° + F_{4⁣ y} - F_{2⁣ y} = m a_{y}, \\ 10,00 N \cdot sin 30 ° + 2,0 N - 40,0 N = 4,0 kg \cdot a_{y}, \\ a_{y} = - 8,3 m / s^{2} . \end{matrix}

Wynika z tego, że przyspieszenie cząstki wynosi:

$\vec{a} = (0,92 \hat{i} - 8,3 \hat{j}) {m/s}^{2},$

jest ono zatem wektorem o długości $8,4 {m/s}^{2}$ skierowanym pod kątem $276^{\circ}$ do dodatniej półosi $x$ .

Znaczenie

Można znaleźć liczne przykłady w życiu codziennym, kiedy mamy do czynienia z trzema lub więcej siłami działającymi na pojedynczy obiekt. Tak jest w przypadku mocujących na moście Golden Gate lub piłkarza, który jest popychany i blokowany przez trzech obrońców. Widzimy, że rozwiązanie tego przykładu stanowi jedynie rozszerzenie tych zagadnień, które już rozpatrywaliśmy.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.5

Na samochód osobowy działają siły zgodnie z poniższym rysunkiem. Masa samochodu wynosi 1000 kg. Pada deszcz, więc jezdnia jest bardzo śliska. Wówczas siłę tarcia możemy zaniedbać. (a) Jaka jest siła wypadkowa działająca na samochód? (b) Znajdź również przyspieszenie samochodu.

Pokazany jest widok samochodu z góry. Dwa wektory siły wychodzą ze środka samochodu i skierowane są w górę i na zewnątrz. Siła o wartości 450 N tworzy kąt 30 stopni z linią prostą ruchu samochodu, skierowaną w prawo. Inna siła o wartości 360 N tworzy kąt 10 stopni z linią prostą ruchu samochodu, skierowaną w lewo.

Drugie prawo Newtona a pęd ciała

Newton sformułował swoje prawo również w odniesieniu do pędu ciała: „Szybkość zmian pędu ciała równa jest sile na nie działającej”. (Szybkość zmian rozumiana jest jako pochodna po czasie). Możemy to sformułowanie zapisać w formie równania:

{\vec{F}}_{wyp} = \frac{d \vec{p}}{d t} .

5.6

Oznacza to, że druga zasada dynamiki Newtona odnosi się do podstawowej kwestii ruchu: co powoduje zmianę ruchu obiektu? Pęd ciała został opisany przez Newtona jako pewien „parametr ilościowy ruchu”, czyli relacja łącząca prędkość obiektu i jego masę.

Na użytek tego rozważania możemy zdefiniować pęd $\vec{p}$ ciała jako iloczyn jego masy $m$ i prędkości $\vec{v}$ :

\vec{p} = m \vec{v} .

5.7

Ponieważ prędkość ciała jest wielkością wektorową, pęd również nią jest.

Przykładowo, pociąg poruszający się z prędkością 10 m/s ma większy pęd niż wówczas, gdyby poruszał się z prędkością 2 m/s.

Podstawiając definicję pędu do Równania 5.6, opisującego siłę w zależności od pędu, otrzymujemy:

{\vec{F}}_{wyp} = \frac{d \vec{p}}{d t} = \frac{d (m \vec{v})}{d t},

gdzie $m$ to stała (masa), więc możemy zapisać powyższe równanie nieco inaczej:

{\vec{F}}_{wyp} = m \frac{d (\vec{v})}{d t} = m \vec{a} .

Widzimy, że drugie prawo Newtona zapisane w funkcji pędu ciała, po odpowiednich przekształceniach matematycznych redukuje się do formy pokazanej wcześniej w niniejszym podrozdziale.

Materiały pomocnicze

Przeanalizuj przykłady pokazane w aplikacji siły w działaniu, zobacz, co się dzieje gdy ciągnięty jest wózek albo gdy pchana jest lodówka, skrzynia lub człowiek. Stwórz w aplikacji przykładana siła model sił w układzie i przeanalizuj, jak zachowują się obiekty. Zbadaj również sytuację w przypadku ciała na równi pochyłej i zobacz, jak to wpływa na ich ruch.

5.3 Druga zasada dynamiki Newtona

Siła a przyspieszenie

Jakie przyspieszenie może nadać człowiek kosiarce?

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Która siła jest większa?

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Jak ciąg rakietowy przyspiesza sanie rakietowe?

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Wektorowa forma drugiego prawa Newtona

Siła i piłka nożna

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Masa samochodu

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Wiele sił działających na cząstkę

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Drugie prawo Newtona a pęd ciała