Rozdział 4

(a) Różniczkując położenie po czasie, otrzymujemy $\overrightarrow{v}(t)=\mathrm{9,0}{t}^2\hat{i}$ i $\overrightarrow{v}(\mathrm{3,0}\mathrm{s})=\mathrm{81,0}\hat{i}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$ (b) Ze względu na to, że zależność prędkości od czasu nie jest dana funkcją liniową, spodziewamy się, że prędkość średnia nie jest równa prędkości chwilowej. Aby to sprawdzić, obliczamy
${\overrightarrow{v}}_{\text{śr}}=\frac{\overrightarrow{r}(t_2)-\overrightarrow{r}(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\overrightarrow{r}(\mathrm{4,0}\mathrm{s})-\overrightarrow{r}(\mathrm{2,0}\mathrm{s})}{\mathrm{4,0}\mathrm{s}-\mathrm{2,0}\mathrm{s}}=\frac{(\mathrm{144,0}\hat{i}-\mathrm{36,0}\hat{i})\mathrm{m}}{\mathrm{2,0}\mathrm{s}}=\mathrm{54,0}\hat{i}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\mathrm{,}$
co jest różne od $\overrightarrow{v}(\mathrm{3,0}\mathrm{s})=\mathrm{81,0}\hat{i}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$.

Wektor przyspieszenia jest stały i nie zmienia się w czasie. Jeśli $a$, $b$ i $c$ są różne od zera, to wektor prędkości musi być funkcją liniową czasu. Znajdziemy go, całkując przyspieszenie $\overrightarrow{v}\left(t\right)=\int \overrightarrow{a}\text{dt}=\int (a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k})\text{d}t=(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k})t\text{m/s}$, ponieważ różniczkując prędkość, z powrotem otrzymamy $\overrightarrow{a}\left(t\right).$ Powinniśmy jeszcze uwzględnić stałą całkowania, która jednak nie wpływa na zależność od czasu. Gdyby któraś ze składowych wektora przyspieszenia była równa zero, odpowiednia składowa prędkości musiałaby być stała w czasie.

1. Jako początek układu współrzędnych wybierz szczyt klifu. Jest to najwygodniejszy wybór, mimo że zupełnie arbitralny. Zwyczajowo wybieramy położenie w $t$ = 0 jako początek układu.
2. Poprawnym równaniem jest $x=x_0+v_{x}t.$ Przyjmując $x_0=0\mathrm{,}$ równanie sprowadza się do $x=v_{x}t$.
3. Zestaw równań od Równania 4.16 do Równania 4.18 oraz Równanie 4.19 poprawnie opisuje ruch w pionie, ale przy $y_0=0$ oraz $v_{0y}=0$ równania te znacznie się upraszczają i przyjmują postać:
   $y=\frac{1}{2}\left(v_{0y}+v_y\right)t=\frac{1}{2}{v}_{y}t\mathrm{,}{v}_y=-gt\mathrm{,}y=-\frac{1}{2}g{t}^2\text{oraz}{v}_y^2=-2gy.$
4. Znajdziemy składowe wektora prędkości w momencie upadku, korzystając z poznanych równań kinematycznych. Podstawiając do równania $v_y^2=-2gy$ wartość -100,0 m w miejsce $y$, znajdziemy składową $y$ wektora prędkości końcowej $v_y=\mathrm{–44,3}\text{m/s}.$ Składowa $x$ jest niezmiennie równa $v_x=\mathrm{15,0}\text{m/s}\mathrm{,}$ zatem całkowita prędkość w chwili upadku ma wartość: $v$ = 46,8 m/s i kierunek $\theta$ = 71,3° w dół względem poziomu.

Piłka uderzona pod kątem 30°.

134,0 cm/s.

Ustalmy na początku oznaczenia indeksów: Ł = łódka, R = rzeka, B = brzeg rzeki. Wektorowe równanie prędkości: ${\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,B}}={\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,R}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{R,B}.}$ Wektory tworzą trójkąt prostokątny, jak na rysunku poniżej. Wyznaczamy ${\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,B}}$: $v_{\text{Ł,B}}=\sqrt{v_{\text{Ł,R}}^2+v_{\text{R,B}}^2}=\sqrt{4\mathrm{,}{5}^2+3\mathrm{,}{0}^2}=\mathrm{5,4}\text{m/s}$, $\theta =\text{arctg}\left(\frac{\mathrm{3,0}}{\mathrm{4,5}}\right)=33\mathrm{,}{7}^{\circ }.$

Linia prosta.

Nachylenie musi być równe zero, bo wektor prędkości jest styczny do wykresu położenia od czasu.

Nie. Ruchy w kierunkach prostopadłych są od siebie niezależne.

1. Nie;
2. najmniejsza w wierzchołku, a największa na początku oraz w momencie upadku;
3. nie, prędkość jest wektorem, który w trakcie ruchu zmienia kierunek i zwrot;
4. tak, w chwili upadku.

Obie monety upadną na podłogę w tym samym czasie.

Tak.

Jeżeli chce dokładnie podać piłkę do kolegi z drużyny, musi skupić wzrok na ruchu układu odniesienia, w którym porusza się kolega.

$\overrightarrow{r}=\mathrm{1,0}\hat{i}-\mathrm{4,0}\hat{j}+\mathrm{6,0}\hat{k}$

${\overrightarrow{r}}_2=(-\mathrm{6,0}\hat{i}+\mathrm{0,0}\hat{j})\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\text{Δ}{\overrightarrow{r}}_{\text{całk}}=\mathrm{472,0}\text{m}\widehat{i}+\mathrm{80,3}\text{m}\widehat{j}$

$\text{Suma przemieszczeń cząstkowych}=-\mathrm{6,4}\hat{i}\mathrm{k}\mathrm{m}+\mathrm{9,4}\hat{j}\mathrm{k}\mathrm{m}$

a. $\overrightarrow{v}(t)=\mathrm{8,0}t\hat{i}+\mathrm{6,0}{t}^2\hat{k}\mathrm{,}\overrightarrow{v}(0)=0\mathrm{,}\overrightarrow{v}(\mathrm{1,0})=\mathrm{8,0}\hat{i}+\mathrm{6,0}\hat{k}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$,
b. ${\overrightarrow{v}}_{\text{śr}}=\mathrm{4,0}\hat{i}+\mathrm{3,0}\hat{k}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$.

$\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}_1=\mathrm{20,00}\hat{j}\mathrm{m}\mathrm{,}\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}_2=(2\cdot {10}^4\mathrm{m})(\hat{i}\cos {30}^{\circ }+\hat{j}\sin {30}^{\circ })$
$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\mathrm{1,732}\cdot {10}^4\hat{i}\mathrm{m}+\mathrm{1,002}\cdot {10}^4\hat{j}\mathrm{m}$

1. $\overrightarrow{v}\left(t\right)=\left(\mathrm{4,0}t\hat{i}+\mathrm{3,0}t\hat{j}\right)\text{m/s}\mathrm{,}\overrightarrow{r}\left(t\right)=\left(\mathrm{2,0}{t}^2\hat{i}+\frac{3}{2}{t}^2\hat{j}\right)\text{m};$
2. $x\left(t\right)={\mathrm{2,00}}^t\text{m}\mathrm{,}y\left(t\right)=\frac{3}{2}{t}^2\text{m}\mathrm{,}{t}^2=\frac{x}{2}\Rightarrow y=\frac{3}{4}x.$
   

1. $\overrightarrow{v}\left(t\right)=\left(\mathrm{6,0}t\hat{i}-\mathrm{21,0}{t}^2\hat{j}+\mathrm{10,0}{t}^{-3}\hat{k}\right)\text{m/s}$,
2. $\overrightarrow{a}\left(t\right)=\left(\mathrm{6,0}\hat{i}-\mathrm{42,0}t\hat{j}–\mathrm{30,0}{t}^{-4}\hat{k}\right){\text{m/s}}^2$,
3. $\overrightarrow{v}\left(\mathrm{2,0}\text{s}\right)=\left(\mathrm{12,0}\hat{i}-\mathrm{84,0}\hat{j}+\mathrm{1,25}\hat{k}\right)\text{m/s}$,
4. $\overrightarrow{v}\left(\mathrm{1,0}\text{s}\right)=\left(\mathrm{6,0}\hat{i}-\mathrm{21,0}\hat{j}+\mathrm{10,0}\hat{k}\right)\text{m/s}\mathrm{,}|\overrightarrow{v}\left(\mathrm{1,0}\text{s}\right)|=\mathrm{24,0}\text{m/s}$,
   $\overrightarrow{v}\left(\mathrm{3,0}\text{s}\right)=\left(\mathrm{18,0}\hat{i}-\mathrm{189,0}\hat{j}+\mathrm{0,4}\hat{k}\right)\text{m/s}\mathrm{,}|\overrightarrow{v}\left(\mathrm{3,0}\text{s}\right)|=\mathrm{189,9}\text{m/s}$,
5. ${\overrightarrow{v}}_{\text{śr}}=\left(\mathrm{9,0}\hat{i}-\mathrm{49,0}\hat{j}+\mathrm{3,8}\hat{k}\right)\text{m/s}.$

1. $\overrightarrow{v}\left(t\right)=-\sin \left(\mathrm{1,0}t\right)\hat{i}+\cos \left(\mathrm{1,0}t\right)\hat{j}+\hat{k}\mathrm{,}$
2. $\overrightarrow{a}\left(t\right)=-\cos \left(\mathrm{1,0}t\right)\hat{i}-\sin \left(\mathrm{1,0}t\right)\hat{j}$.

1. $t=\mathrm{0,55}\text{s}$,
2. $x=110\text{m}$.

1. $t=\mathrm{0,24}\text{s}\mathrm{,}d=\mathrm{0,28}\text{m}$,
2. Celują wyżej.

1. $t=\mathrm{12,8}\text{s}\mathrm{,}x=5618\text{m}$;
2. $v_y=\mathrm{125,6}\text{m/s}\mathrm{,}{v}_x=\mathrm{438,9}\text{m/s}\mathrm{,}|\overrightarrow{v}|=\mathrm{456,5}\text{m/s}$.

1. $v_y=v_{0y}-gt\mathrm{,}t=10\text{s}\mathrm{,}{v}_y=0\mathrm{,}{v}_{0y}=\mathrm{98,1}\text{m/s}\mathrm{,}{v}_0=\mathrm{196,2}\text{m/s}$;
2. $h=\mathrm{490,5}\text{m}$;
3. $v_{0x}=\mathrm{169,9}\text{m/s}\mathrm{,}x=3\mathrm{398,0}\text{m}$;
4. $x=2\mathrm{548,5}\text{m}\mathrm{,}y=\mathrm{367,9}\text{m}\mathrm{,}\overrightarrow{s}=\left(2549\hat{i}+\mathrm{367,9}\hat{j}\right)\text{m}$.

$-100\text{m}=\left(-\mathrm{2,0}\text{m/s}\right)t-\left(\mathrm{4,9}{\text{m/s}}^2\right)t^2\mathrm{,}t=\mathrm{4,3}\text{s}\mathrm{,}x=\mathrm{86,0}\text{m}.$

$R_K=48\text{m}$

1. $v_{0y}=24\text{m/s}\mathrm{,}{v}_y^2=v_{0y}^2-2gy\Rightarrow h=\mathrm{29,4}\text{m}$;
2. $t=\mathrm{2,45}\text{s}\mathrm{,}{v}_{0x}=18\text{m/s}\mathrm{,}x=\mathrm{44,1}\text{m}$;
3. $y=-100\text{m}\mathrm{,}{y}_0=0\mathrm{,}y-y_0=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\mathrm{,}-100=24t-\mathrm{4,9}{t}^2\Rightarrow t=\mathrm{7,58}\text{s}$;
4. $x=\mathrm{136,44}\text{m}$;
5. $t=\mathrm{2,0}\text{s}:y=\mathrm{28,4}\text{m}\mathrm{,}x=36\text{m}\mathrm{,}$
   $t=\mathrm{4,0}\text{s}:y=\mathrm{17,6}\text{m}\mathrm{,}x=72\text{m}\mathrm{,}$
   $t=\mathrm{6,0}\text{s}:y=-\mathrm{32,4}\text{m}\mathrm{,}x=108\text{m}$.

$v_{0y}=\mathrm{12,9}\text{m/s}\mathrm{,}y-y_0=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\mathrm{,}-20=\mathrm{12,9}t-\mathrm{4,9}{t}^2\Rightarrow t=\mathrm{3,7}\text{s}$
$v_{0x}=\mathrm{15,3}\text{m/s}\Rightarrow x=\mathrm{56,7}\text{m}.$
Piłka wyląduje 13,3 m za blisko.

a. $R_M=\mathrm{60,8}\text{m}$,
b. $R_K=\mathrm{137,8}\text{m}$

1. $v_y^2=v_{\mathrm{0y}}^2-2gy\Rightarrow y=42\text{cm}$;
2. $y=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{{\left(v_0\sin \theta \right)}^2}{2g}\Rightarrow \sin \theta =\mathrm{0,91}\Rightarrow \theta =65\mathrm{,}{5}^{\circ }$.

$R=\mathrm{18,5}\text{m}$

$y=\left(\text{tg}{\theta }_0\right)x=\left[\frac{g}{2{\left(v_0\cos {\theta }_0\right)}^2}\right]x^2\Rightarrow v_0=\mathrm{16,4}\text{m/s}$

$R=\frac{v_0^2\sin 2{\theta }_0}{g}\Rightarrow {\theta }_0=15\mathrm{,}{9}^{\circ }$

1. $T=2v_{0}sin\theta /g\Rightarrow \theta =arc sin\left[Tg/\left(2v_0\right)\right]$, wynika z tego, że kąt równy jest ${\theta }_1=\mathrm{25,8}°$ lub ${\theta }_2=\mathrm{64,2}°$.
2. Czas lotu piłki zależy od kąta początkowego $T=2v_{0}sin\theta /g$. Dla kąta ${\theta }_1$ czas lotu piłki wynosi $T_1=\mathrm{2,22}\mathrm{s}$, a dla kąta ${\theta }_2$ wynosi on $T_2=\mathrm{4,59}\mathrm{s}$. Bramkarz musi kopnąć piłkę pod kątem $\mathrm{64,2}°$. Pomocnik pokonuje 30 m w czasie 4,29 s i dobiegnie 0,3 s przed wylądowaniem piłki na ziemię.

$a_d=40\text{m/}{\text{s}}^2$

$a_d=\frac{v^2}{r}\Rightarrow v^2=r\cdot a_d=\mathrm{78,5}{\text{m}}^2\text{/}{\text{s}}^2\mathrm{,}v=\mathrm{8,86}\text{m/s}$
$T=\mathrm{5,67}\text{s}\mathrm{,}$ co odpowiada $\mathrm{0,176}\text{obr/s}=\mathrm{10,6}\text{obr/min}$

Średnia odległość Wenus od Słońca to 108,2 miliona km, a rok na Wenus trwa 0,6152 roku ziemskiego.
$r=\mathrm{1,082}\cdot {10}^{11}\text{m}\mathrm{,}T=\mathrm{1,94}\cdot {10}^7\text{s}$
$v=\mathrm{3,5}\cdot {10}^4\text{m/s}\mathrm{,}{a}_d=\mathrm{1,135}\cdot {10}^{-2}{\text{m/s}}^2$

$360\text{obr/min}=6\text{obr/s}$
$v=\mathrm{3,77}\text{m/s}$, $a_d=142{\text{m/s}}^2$

1. $O^{\prime }\left(t\right)=\left(\mathrm{4,0}\hat{i}+\mathrm{3,0}\hat{j}+\mathrm{5,0}\hat{k}\right)t\text{m}$,
2. ${\overrightarrow{r}}_{\text{P,S}}={\overrightarrow{r}}_{\text{P,S'}}+{\overrightarrow{r}}_{\text{S',S}}\mathrm{,}\overrightarrow{r}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}^{\prime }\left(t\right)+\left(\mathrm{4,0}\hat{i}+\mathrm{3,0}\hat{j}+\mathrm{5,0}\hat{k}\right)t\text{m}$,
3. $\overrightarrow{v}\left(t\right)={\overrightarrow{v}}^{\prime }\left(t\right)+\left(\mathrm{4,0}\hat{i}+\mathrm{3,0}\hat{j}+\mathrm{5,0}\hat{k}\right)\text{m/s}$,
4. Przyspieszenia są takie same.

${\overrightarrow{v}}_{\text{P,C}}=\left(\mathrm{2,0}\hat{i}+\mathrm{5,0}\hat{j}+\mathrm{4,0}\hat{k}\right)\text{m/s}$

1. W = wiatr, M = mewa, Z = ziemia
   Szybkość mewy względem wiatru: ${\overrightarrow{v}}_{\text{M,W}}=\mathrm{9,0}\text{m/s}$
   ${\overrightarrow{v}}_{\text{W,Z}}=?{\overrightarrow{v}}_{\text{M,Z}}=5\text{m/s}\mathrm{,}$ ${\overrightarrow{v}}_{\text{M,Z}}={\overrightarrow{v}}_{\text{M,W}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{W,Z}}\Rightarrow {\overrightarrow{v}}_{\text{W,Z}}={\overrightarrow{v}}_{\text{M,Z}}-{\overrightarrow{v}}_{\text{M,W}}$
   Zatem prędkość wiatru względem ziemi: $v_{\text{W,Z}}=-\mathrm{4,0}\text{m/s}$.
2. ${\overrightarrow{v}}_{\text{M,Z}}={\overrightarrow{v}}_{\text{M,W}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{W,Z}}\Rightarrow v_{\text{M,Z}}=-\mathrm{13,0}\text{m/s}$
   Czas lotu z powrotem: $\frac{-6000\text{m}}{-\mathrm{13,0}\text{m/s}}=7\text{min}42\text{s}$.

Za dodatni kierunek prędkości przyjmijmy kierunek prądu rzeki. B = brzeg, W = woda, Ł = łódka.

1. $|{\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,B}}|=11\text{km/h}$
   $t=\mathrm{8,2}\text{min}$;
2. $|{\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,B}}|=-5\text{km/h}$
   $t=18\text{min}$;
3. ${\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,B}}={\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,W}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{W,B}}\mathrm{,}$ $\theta ={22}^{\circ }$
   
4. $|{\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,B}}|=\mathrm{7,4}\text{km/h}\mathrm{,}t=\mathrm{6,5}\text{min}$;
5. $|{\overrightarrow{v}}_{\text{Ł,B}}|=\mathrm{8,54}\text{km/h}\mathrm{,}$ ale czas przepłynięcia na drugi brzeg zależy tylko od jednej składowej prędkości.
   
   
   $t=\mathrm{6,0}\text{min}$
   Dystans pokonany w dół rzeki = 0,3 km.

$|{\overrightarrow{v}}_{\text{W,C}}|=25\text{km/h}\mathrm{,}|{\overrightarrow{v}}_{\text{R,Z}}|=15\text{km/h}\mathrm{,}|{\overrightarrow{v}}_{\text{W,Z}}|=\mathrm{29,15}\text{km/h}\mathrm{,}{\overrightarrow{v}}_{\text{W,Z}}={\overrightarrow{v}}_{\text{W,R}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{R,Z}}$

Kąt pomiędzy ${\overrightarrow{v}}_{\text{W,R}}$ i ${\overrightarrow{v}}_{\text{W,Z}}$ wynosi ${31}^{\circ }\mathrm{,}$ zatem kierunek wiatru to ${14}^{\circ }$ na północ względem kierunku wschodniego.

$a_d=\mathrm{39,6}{\text{m/s}}^2$

$\mathrm{9,0}\text{km/h}=\mathrm{2,5}\text{m/s}\Rightarrow a_s=-\mathrm{2,5}{\text{m/s}}^2$
$\mathrm{60,0}\text{km/h}=\mathrm{16,7}\text{m/s}\Rightarrow a_d=\mathrm{1,86}{\text{m/s}}^2$
$a=\mathrm{3,1}{\text{m/s}}^2$

Odległość od osi obrotu do punktu na szerokości geograficznej $\lambda$ wynosi $R_Z\cos \lambda .$ Szybkość tego punktu to $\frac{2\pi r}{T}$. Przyspieszenie dośrodkowe $a_d=\frac{4{\pi }^2{R}_Z\cos \lambda }{T^2}$ dla $\lambda ={40}^{\circ }$ wynosi $a_d=\mathrm{0,26}\text{\%}g$.

$a_s=\mathrm{3,0}{\text{m/s}}^2$
$v\left(5\text{s}\right)=\mathrm{15,0}\text{m/s}\Rightarrow a_d=\mathrm{150,0}{\text{m/s}}^2$
$\theta =88\mathrm{,}{8}^{\circ }$ względem stycznej do okręgu, jaki zataczają końce łopat.
$|\overrightarrow{a}|=\mathrm{150,03}{\text{m/s}}^2$