William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

4.1 Przemieszczenie i prędkość

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

definiować wektor położenia w problemach fizycznych na płaszczyźnie i w przestrzeni;
obliczać wektor przemieszczenia w dwóch lub trzech wymiarach;
obliczać wektor prędkości, znając wektor położenia w funkcji czasu;
obliczać średnią prędkość w problemach wielowymiarowych.

Pojęcia przemieszczenia i prędkości w przypadku dwu- i trójwymiarowym są bezpośrednimi rozszerzeniami definicji jednowymiarowych. Są to jednak wielkości wektorowe, więc operacje na nich muszą podlegać zasadom rachunku wektorowego, a nie zwykłej algebrze.

Wektor przemieszczenia

Do opisu ruchu w dwóch i trzech wymiarach musimy wprowadzić układ współrzędnych i konwencję dla osi układu. Do definicji położenia cząstki w punkcie $P (x, y, z)$ w przestrzeni trójwymiarowej najczęściej używamy zmiennych układu kartezjańskiego $x$ , $y$ oraz $z$ . Dla cząstki w ruchu zmienne $x$ , $y$ oraz $z$ są funkcjami czasu ( $t$ ):

x = x (t), y = y (t), z = z (t) .

4.1

Wektor położenia (ang. position vector) punktu $P$ względem początku układu współrzędnych nazwiemy $\vec{r} (t)$ . Wektor ten nazywamy także wektorem wodzącym punktu $P$ , który jest zaczepiony w początku układu współrzędnych i ma koniec w punkcie $P$ . W zapisie z użyciem wersorów osi wprowadzonym w podrozdziale Układy współrzędnych i składowe wektora, wektor $\vec{r} (t)$ zapiszemy jako

\vec{r} (t) = x (t) \hat{i} + y (t) \hat{j} + z (t) \hat{k} .

4.2

Ilustracja 4.2 prezentuje układ współrzędnych z zaznaczonym wektorem wodzącym punktu $P$ , gdzie cząstka znajduje się w danej chwili czasu $t$ . Zwróć uwagę na orientację osi $x$ , $y$ i $z$ . Układ współrzędnych o takiej orientacji osi nazywamy prawoskrętnym (Układy współrzędnych i składowe wektora) i będzie on używany w całym rozdziale.

An x y z coordinate system is shown, with positive x out of the page, positive y to the right, and positive z up. A point P, with coordinates x of t, y of t, and z of t is shown. All of P’s coordinates are positive. The vector r of t from the origin to P is also shown as a purple arrow. The coordinates x of t, y of t and z of t are shown as dashed lines. X of t is a segment in the x y plane, parallel to the x axis, y of t is a segment in the x y plane, parallel to the y axis, and z of t is a segment parallel to the z axis. — Ilustracja 4.2 Układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej oraz cząstka umieszczona w punkcie $P (x (t), y (t), z (t))$ .

Przy użyciu naszej definicji położenia cząstki w przestrzeni trójwymiarowej możemy zdefiniować trójwymiarowe przemieszczenie. Ilustracja 4.3 prezentuje cząstkę znajdującą się w czasie $t_{1}$ w punkcie $P_{1}$ o wektorze położenia $\vec{r} (t_{1})$ . W późniejszej chwili $t_{2}$ , cząstka znajduje się w punkcie $P_{2}$ o wektorze położenia $\vec{r} (t_{2})$ . Wektor przemieszczenia (ang. displacement vector) $Δ \vec{r}$ znajdziemy odejmując $\vec{r} (t_{1})$ od $\vec{r} (t_{2})$ :

Δ \vec{r} = \vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1}) .

4.3

Dodawanie wektorów jest omawiane w rozdziale Wektory. Zwróćmy uwagę, że jest to ta sama operacja, którą wykonywaliśmy w jednym wymiarze, jednak teraz wektory są zdefiniowane w przestrzeni trójwymiarowej.

An x y z coordinate system is shown, with positive x out of the page, positive y to the right, and positive z up. Two points, P 1 and P 2 are shown. The vector r of t 1 from the origin to P 1 and the vector r of t 2 from the origin to P 2 are shown as purple arrows. The vector delta r is shown as a purple arrow whose tail is at P 1 and head at P 2. — Ilustracja 4.3 Przemieszczenie $Δ \vec{r} = \vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1})$ jest wektorem skierowanym od $P_{1}$ do $P_{2}$ .

Następujące przykłady ilustrują pojęcie przemieszczenia w dwóch lub trzech wymiarach.

Przykład 4.1

Satelita na orbicie okołobiegunowej

Satelita znajduje się na wysokości 400 km na orbicie okołobiegunowej Ziemi, co oznacza, że w swoim ruchu przechodzi nad biegunem północnym i południowym. Jakie są wartość i kierunek wektora przemieszczenia od punktu dokładnie nad biegunem północnym do punktu o szerokości geograficznej 45° S?

Strategia

Zróbmy rysunek ilustrujący graficznie rozwiązanie problemu. To pomoże nam lepiej zrozumieć pojęcie przemieszczenia. Następnie użyjmy wektorów jednostkowych do określenia przemieszczenia.

Rozwiązanie

Ilustracja 4.4 pokazuje powierzchnię Ziemi oraz okrąg reprezentujący orbitę satelity. Mimo że satelity poruszają się w przestrzeni trójwymiarowej, ich trajektorie są okręgami, które możemy narysować na płaszczyźnie. Wektory położenia zaczepiamy w środku Ziemi, który przyjmujemy za początek naszego układu współrzędnych, przy czym oś

y

wybieramy w kierunku bieguna północnego, a oś

x

– prostopadle do niej w płaszczyźnie równika. Wektor pomiędzy końcami wektorów położenia jest przemieszczeniem satelity. Przyjmijmy za promień Ziemi wartość 6370 km. Długość wektorów położenia satelity jest więc równa

6770 km

.

An x y coordinate system, centered on the earth, is shown. Positive x is to the east and positive y to the north. A blue circle larger than and concentric with the earth is shown. Vector r of t 1 is an orange arrow from the origin to the location where the blue circle crosses the y axis (90 degrees counter clockwise from the positive x axis.) Vector r of t 2 is an orange arrow from the origin to the location on the blue circle at minus 45 degrees. Delta r vector is shown as a purple arrow pointing down and to the right, starting at the head of vector r of t 1 and ending at the head of vector r of t 2. — Ilustracja 4.4 Dwa wektory położenia są zaczepione w środku Ziemi, który przyjmujemy za początek układu współrzędnych na płaszczyźnie z osią $y$ zwróconą na północ oraz osią $x$ zwróconą na wschód. Wektor pomiędzy nimi jest wektorem przemieszczenia.

W notacji z użyciem wektorów jednostkowych wektory położenia wyrażamy jako

\begin{matrix} \vec{r} (t_{1}) = 6770 km \cdot \hat{j}, \\ \vec{r} (t_{2}) = 6770 km \cdot cos (-45 °) \cdot \hat{i} + 6770 km \cdot sin (-45 °) \cdot \hat{j} . \end{matrix}

Obliczając sinus i cosinus kąta 45°, otrzymujemy

\begin{matrix} \vec{r} (t_{1}) = 6770 km \cdot \hat{j}, \\ \vec{r} (t_{2}) = 4787 km \cdot \hat{i} - 4787 km \cdot \hat{j} . \end{matrix}

Możemy teraz znaleźć wektor $Δ \vec{r}$ przemieszczenia satelity:

Δ \vec{r} = \vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1}) = 4787 km \cdot \hat{i} - 11 557 km \cdot \hat{j} .

Wartość przemieszczenia jest długością wektora $|Δ \vec{r}| = \sqrt{{(4787 km)}^{2} + {(- 11 557 km)}^{2}} = 12 509 km$ Kąt pomiędzy przemieszczeniem a osią $x$ jest równy $θ = arc tg (\frac{- 11 557 km}{4787 km}) = - 67,5 °$ .

Znaczenie

Zinterpretujmy teraz nasz wynik, rysując wektor przemieszczenia w przyjętym układzie współrzędnych. Do tego celu musimy znać składowe wektora przemieszczenia, ich długości i kąt pomiędzy nim a wybraną osią – w tym przypadku osią

x

(Ilustracja 4.5).

An x y coordinate system is shown. Positive x is to the east and positive y to the north. Vector delta r sub x points east and has magnitude 4797 kilometers. Vector delta r sub y points south and has magnitude 11,557 kilometers. Vector delta r points to the southeast, starting at the tail of delta r sub x and ending at the head of delta r sub y and has magnitude 12,509 kilometers. — Ilustracja 4.5 Wektor przemieszczenia wraz z wektorami składowymi, ich długością i kątem.

Zauważmy, że w tym przykładzie satelita, aby dostać się z pozycji początkowej do końcowej, poruszał się po zakrzywionym torze wzdłuż kołowej orbity. 4 786 km w dodatnim kierunku osi $x$ , a następnie 11 557 km w ujemnym kierunku osi $y$ . Taki tor ruchu miałby jednak większą długość niż wektor przemieszczenia. W istocie, wektor przemieszczenia wyznacza najkrótszą możliwą trajektorię między dwoma punktami w przestrzeni jedno-, dwu- czy trójwymiarowej.

W wielu problemach fizycznych mamy do czynienia z serią przemieszczeń, takich jak wskazane wyżej. Całkowite przemieszczenie jest w takim przypadku sumą wszystkich pojedynczych przemieszczeń, jednak musimy pamiętać, że dodajemy wektory. Zilustrujmy ten problem na przykładzie zagadnienia ruchów Browna.

Przykład 4.2

Ruchy Browna

Ruchy Browna (ang. Brownian motion) to chaotyczny ruch drobin np. zawieszonych w cieczy, wywołany zderzeniami z molekułami cieczy. Jest to ruch w trzech wymiarach. Wyrażone w mikrometrach przemieszczenia pojedynczej drobiny między kolejnymi zderzeniami, mogą być następujące (Ilustracja 4.6):

\begin{matrix} Δ {\vec{r}}_{1} = 2 µm \cdot \hat{i} + 1 µm \cdot \hat{j} + 2 µm \cdot \hat{k}, \\ Δ {\vec{r}}_{2} = -2 µm \cdot \hat{i} - 1 µm \cdot \hat{j} + 3 µm \cdot \hat{k}, \\ Δ {\vec{r}}_{3} = 4 µm \cdot \hat{i} - 2 µm \cdot \hat{j} + 1 µm \cdot \hat{k}, \\ Δ {\vec{r}}_{4} = -2 µm \cdot \hat{i} + 2 µm \cdot \hat{j} + 3 µm \cdot \hat{k} . \end{matrix}

Jakie jest całkowite przemieszczenie drobiny względem początku układu współrzędnych?

An x y z coordinate system with distances measured in micrometers and ranging from -10 to +10 micrometers is shown. The displacements delta r sub 1 equals 2 I hat plus j hat plus 2 k hat, delta r sub 2 equals -1 I hat plus 3 k hat, and delta r sub 3 equals -3 I hat plus j hat plus 2 k hat are shown as blue line segments. Vector r 1 hat starts at the origin. Each subsequent displacement starts where the previous one ends. Vector delta r total is shown as a red line starting at the origin and ending at the end of vector delta r 4. Delta r total equals 2 I hat plus 0 y hat plus 9 k hat. — Ilustracja 4.6 Przypadkowe przemieszczenia składają się na trajektorię pojedynczej drobiny wykonującej ruchy Browna. Całkowite przemieszczenie jest zaznaczone na czerwono.

Rozwiązanie

Sumujemy poszczególne przemieszczenia jak wektory:

\begin{aligned} Δ {\vec{r}}_{całk} & = \sum_{i = 1}^{4} Δ {\vec{r}}_{i} = Δ {\vec{r}}_{1} + Δ {\vec{r}}_{2} + Δ {\vec{r}}_{3} + Δ {\vec{r}}_{4} \\ = (2,0 - 2,0 + 4,0 - 2,0) \hat{i} + (1,0 - 1,0 - 2,0 + 2,0) \hat{j} + (2,0 + 3,0 + 1,0 + 3,0) \hat{k} \\ = (2,0 \hat{i} + 9,0 \hat{k}) μ m . \end{aligned}

Pełne rozwiązanie otrzymamy, podając jeszcze długość i kierunek wektora całkowitego przemieszczenia:

\begin{align} \abs{\prefop{\Delta} \vec r _{\text{całk}}} &= \sqrt{(\SI{2,0}{\micro\metre})^2 + (\SI{0,0}{\micro\metre})^2 + (\SI{9,0}{\micro\metre})^2} = \SI{9,2}{\micro\metre} \text{,} \\ \theta &= \arctg (\frac92) = \ang{77} \text{,} \end{align}

gdzie kąt definiujemy względem osi $x$ na płaszczyźnie $x z$ .

Znaczenie

Z rysunku oraz z obliczeń możemy wnioskować, że długość wektora całkowitego przemieszczenia jest mniejsza niż suma długości poszczególnych przemieszczeń.

Wektor prędkości

W poprzednim rozdziale podaliśmy definicję prędkości chwilowej jako pochodną położenia po czasie. Tak samo znajdziemy prędkość w dwóch i trzech wymiarach, ale użyjemy wektora położenia. Wektor prędkości (ang. velocity vector) chwilowej jest zdefiniowany jako

\vec{v} (t) = lim_{Δ t → 0} \frac{\vec{r} (t + Δ t) - \vec{r} (t)}{Δ t} = \frac{d \vec{r}}{d t} .

4.4

Zastanówmy się teraz nad wzajemną orientacją wektorów położenia i prędkości. Na Ilustracji 4.7 przedstawiamy graficznie wektory $\vec{r} (t)$ i $\vec{r} (t + Δ t)$ , które określają położenie cząstki poruszającej się wzdłuż toru oznaczonego szarą linią. W miarę jak $Δ t$ zdąża do zera, wektor prędkości, zdefiniowany przy pomocy Równania 4.4, staje się styczny do toru ruchu cząstki w danej chwili $t$ .

Vectors r of t and r of t plus delta t are shown as red arrows in x y coordinate system. Both vectors start at the origin. Vector delta r points from the head of vector r of t to the head of vector r of t plus delta t. — Ilustracja 4.7 Cząstka porusza się po torze danym szarą linią. W granicy $Δ t$ zdążającego do zera wektor prędkości staje się styczny do toru.

Równanie 4.4 możemy też zapisać dla każdej składowej wektora $\vec{v} (t)$ osobno. Ponieważ

\vec{r} (t) = x (t) \hat{i} + y (t) \hat{j} + z (t) \hat{k},

możemy zapisać

\vec{v} (t) = v_{x} (t) \hat{i} + v_{y} (t) \hat{j} + v_{z} (t) \hat{k},

4.5

gdzie

v_{x} = \frac{d x (t)}{d t}, v_{y} = \frac{d y (t)}{d t}, v_{z} = \frac{d z (t)}{d t} .

4.6

Jeśli interesuje nas tylko średnia prędkość, możemy zapisać odpowiednik wektorowy dla dwóch i trzech wymiarów prędkości średniej w jednym wymiarze:

{\vec{v}}_{śr} = \frac{\vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1})}{t_{2} - t_{1}} .

4.7

Przykład 4.3

Obliczanie wektora prędkości

Położenie cząstki dane jest wektorem

\vec{r} (t) = 2,0 t^{2} \hat{i} + (2,0 + 3,0 t) \hat{j} + 5,0 t \hat{k} m

.

Jaki jest wektor prędkości chwilowej i szybkość cząstki w chwili $t = 2,0 s$ ?
Jaka jest średnia prędkość między 1. a 3. sekundą?

Rozwiązanie

Jeśli skorzystamy z Równania 4.5 oraz Równania 4.6 i obliczymy pochodną położenia po czasie, otrzymamy:
$\vec{v} (t) = \frac{d \vec{r} (t)}{d t} = 4,0 t \hat{i} + 3,0 \hat{j} + 5,0 \hat{k} \frac{m}{s}$

$\vec{v} (2,0 s) = \frac{d \vec{r} (t)}{d t} = 8,0 \hat{i} + 3,0 \hat{j} + 5,0 \hat{k} \frac{m}{s}$
Szybkość
$| \vec{v} (2,0 s) | = \sqrt{8^{2} + 3^{2} + 5^{2}} = 9,9 \frac{m}{s}$
Na podstawie Równania 4.7
$\begin{aligned} {\vec{v}}_{śr} & = \frac{\vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1})}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\vec{r} (3,0 s) - \vec{r} (1,0 s)}{3,0 s - 1,0 s} = \frac{(18 \hat{i} + 11 \hat{j} + 15 \hat{k}) m - (2 \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k}) m}{2,0 s} \\ = \frac{(16 \hat{i} + 6 \hat{j} + 10 \hat{k}) m}{2,0 s} = 8,0 \hat{j} + 3,0 \hat{j} + 5,0 \hat{k} \frac{m}{s} . \end{aligned}$

Znaczenie

Zauważmy, że prędkość średnia między 1. a 3. sekundą ruchu i prędkość chwilowa w

t = 2,0 s

są takie same, co w tym przypadku jest konsekwencją liniowej zależności prędkości od czasu. Nie jest to jednak zasadą i w ogólnym przypadku prędkość chwilowa i prędkość średnia się różnią.

OstrzeżenieZwróć uwagę na różnicę pojęć: prędkość chwilowa, prędkość średnia, szybkość i szybkość średnia. Szybkość jest wartością (długością wektora) prędkości chwilowej, ale szybkość średnia nie jest długością prędkości średniej. Szybkość średnia jest zdefiniowana jako stosunek drogi do czasu, w którym tę drogę cząstka pokonała i w przypadku dwu- lub trójwymiarowym ma inną wartość niż prędkość średnia. Jedynie w przypadku jednowymiarowym, gdy długość przemieszczenia może być równa drodze cząstki, taka równość może zachodzić. Na długość wektora prędkości średniej mówimy po prostu wartość prędkości średniej.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.1

Położenie cząstki jest następującą funkcją czasu $\vec{r} (t) = 3,0 t^{3} \hat{i} + 4,0 \hat{j}$ . (a) Jaka jest prędkość chwilowa cząstki w chwili $t = 3 s$ ? (b) Czy prędkość średnia pomiędzy 2. a 4. sekundą ruchu jest równa prędkości chwilowej w $t = 3 s$ ? Dlaczego?

Niezależność ruchu w kierunkach prostopadłych

Gdy spojrzymy na definicje wektorów położenia i prędkości w przypadku trójwymiarowym (Równanie 4.2 i Równanie 4.5), to zauważymy, że składowe tych wektorów są osobnymi i niezależnymi od siebie funkcjami czasu. Ruch cząstki w kierunku osi $x$ nie ma wpływu na ruch wzdłuż osi $y$ i $z$ , podobnie jest dla dwóch pozostałych współrzędnych. Wobec tego możemy rozdzielić ruch cząstki w dwóch lub trzech wymiarach na niezależne od siebie ruchy prostoliniowe wzdłuż prostopadłych osi układu współrzędnych, w którym ruch ten opisujemy.

W celu przedstawienia tej obserwacji w kontekście przemieszczenia, rozważmy spacer kobiety od punktu $A$ do punktu $B$ w mieście zabudowanym kwadratowymi blokami. Kobieta, wyruszywszy z punktu $A$ , może maszerować na wschód, minąć kilka bloków, następnie kierując się na północ, dotrzeć do punktu $B$ , znów przechodząc obok kilku budynków. Jak daleko dotrze na wschód zależy tylko od jej ruchu w kierunku wschodnim. Podobnie na dystans pokonany na północ (niezależny kierunek) wpływa jedynie jej ruch w kierunku północnym.

Niezależność ruchu

W opisie kinematycznym ruchu składowe poziome i pionowe ruchu możemy traktować niezależnie. W wielu przypadkach ruch w kierunku poziomym nie wpływa na ruch w kierunku pionowym i odwrotnie.

Zilustrujmy niezależność ruchu pionowego i poziomego, patrząc na przykładowy ruch dwóch piłek golfowych. Jedna z nich jest puszczona swobodnie (bez prędkości początkowej) z pewnej wysokości. Druga jest rzucona poziomo z tej samej wysokości i porusza się po zakrzywionym torze. Obserwacji ruchu piłek podczas spadania dokonujemy z użyciem lampy stroboskopowej, co daje nam możliwość notowania położenia piłek w tych samych chwilach czasu ze stałym krokiem czasowym (Ilustracja 4.8).

Two identical balls are illustrated at 5 locations at equal time intervals. The balls start at the same vertical position. Green arrows represent the horizontal velocities and purple arrows represent the vertical velocities at each position. The ball on the right has an initial horizontal velocity whereas the ball on the left has no horizontal velocity. The horizontal motion is constant horizontal velocity at all times for both balls. The vertical motion is constant vertical acceleration. Each ball’s vertical velocity is increasing in magnitude and pointing down. At each instant in time, both balls have identical vertical positions and vertical velocities. — Ilustracja 4.8 Schemat ruchu dwóch identycznych piłek, z których jedna spada swobodnie, a druga ma poziomą prędkość początkową. Sekwencję kolejnych położeń zanotowano ze stałym krokiem czasowym. Strzałki reprezentują wektory prędkości poziomej i pionowej w danym położeniu, a ich długości odpowiadają zmianom wartości prędkości w czasie. Piłka po prawej ma początkową prędkość poziomą, natomiast piłka po lewej nie ma prędkości początkowej. Pomimo różnicy w wartościach prędkości poziomych, pionowe składowe prędkości i położeń są takie same dla obu piłek, co świadczy o niezależności ruchu piłek w kierunkach poziomym i pionowym.

Zadziwiające jest, że przy każdym błysku lampy stroboskopowej składowe pionowe położenia obu piłek są takie same. To podobieństwo sugeruje, że ruch pionowy jest niezależny od tego, czy piłki poruszają się w poziomie (zakładając brak oporów powietrza, ruch spadającego obiektu zachodzi jedynie pod wpływem siły grawitacji, a żadna siła pozioma nie występuje). Szczegółowa analiza ruchu piłki w rzucie poziomym pokazuje, że pomiędzy kolejnymi błyskami lampy przedmiot pokonuje tę samą drogę. Tak się dzieje, ponieważ na piłkę nie działa żadna dodatkowa siła w kierunku poziomym. To oznacza, że prędkość pozioma jest stała w czasie i nie zależy ani od ruchu pionowego, ani od siły grawitacji (która też jest pionowa). Zwróćmy uwagę, że ten przypadek jest prawdziwy w idealnych warunkach. W rzeczywistym świecie opór powietrza wpływa na ruch piłki w obu kierunkach.

Dwuwymiarowy ruch po zakrzywionym torze piłki rzuconej poziomo składa się z dwóch niezależnych jednowymiarowych ruchów (poziomego i pionowego). Kluczowym elementem analizy takiego ruchu jest to, aby rozdzielić go na ruchy względem prostopadłych kierunków. Innymi słowy, ruch dwuwymiarowy możemy traktować jak złożenie dwóch niezależnych ruchów prostoliniowych, wzdłuż prostopadłych kierunków. Taki rozdział jest możliwy dzięki temu, że składowe (położenia i prędkości) są od siebie niezależne.