William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

obliczać wektor przyspieszenia, znając zależność prędkości od czasu;
opisywać ruch cząstki poruszającej się w trzech wymiarach ze stałym przyspieszeniem;
wykorzystywać jednowymiarowe równania ruchu wzdłuż kierunków prostopadłych do opisu problemu dwu- lub trójwymiarowego ze stałym przyspieszeniem;
opisywać wektor przyspieszenia za pomocą wersorów osi w wybranym układzie odniesienia.

Przyspieszenie chwilowe

Oprócz znajomości przemieszczenia i prędkości ciała w ruchu często chcemy także wiedzieć, jaki jest wektor przyspieszenia (ang. acceleration vector) w dowolnym punkcie jego toru w danej chwili czasu. Taki wektor przyspieszenia nazwiemy przyspieszeniem chwilowym i obliczymy, co wiemy już z poprzedniego rozdziału, różniczkując po czasie. Jedyna różnica w przypadku ruchu na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest taka, że mamy teraz do czynienia z wielkościami wektorowymi. Różniczkując po czasie $\vec{v} (t),$ otrzymujemy:

\vec{a} (t) = lim_{Δ t → 0} \frac{\vec{v} (t + Δ t) - \vec{v} (t)}{Δ t} = \frac{d \vec{v} (t)}{d t} .

4.8

Wektor przyspieszenia w rozkładzie na składowe ma postać:

\vec{a} (t) = \frac{d v_{x} (t)}{d t} \hat{i} + \frac{d v_{y} (t)}{d t} \hat{j} + \frac{d v_{z} (t)}{d t} \hat{k} .

4.9

Ponieważ prędkość jest pochodną położenia po czasie, możemy przyspieszenie zdefiniować jako drugą pochodną funkcji położenia od czasu:

\vec{a} (t) = \frac{d^{2} x (t)}{d t^{2}} \hat{i} + \frac{d^{2} y (t)}{d t^{2}} \hat{j} + \frac{d^{2} z (t)}{d t^{2}} \hat{k} .

4.10

Przykład 4.4

Obliczanie wektora przyspieszenia

Cząstka ma prędkość

\vec{v} (t) = (5,0 t \hat{i} + t^{2} \hat{j} - 2,0 t^{3} \hat{k}) m/s .

Jaka jest zależność wektora przyspieszenia od czasu?
Jaki jest wektor przyspieszenia w chwili $t$ = 2,0 s? Znajdź jego długość i kierunek w przestrzeni.

Rozwiązanie

(a) Aby znaleźć wektor przyspieszenia, obliczamy pierwszą pochodną prędkości po czasie. Różniczkujemy każdą składową wektora prędkości osobno:

\vec{a} (t) = (5,0 \hat{i} + 2,0 t \hat{j} - 6,0 t^{2} \hat{k}) {m/s}^{2} .

(b) Podstawiając do powyższego wzoru za czas, otrzymujemy $\vec{a} (2,0 s) = (5,0 \hat{i} + 4,0 \hat{j} - 24,0 \hat{k}) {m/s}^{2}$ , co daje nam orientację wektora w układzie wersorów osi. Wartość przyspieszenia w tej chwili wynosi $| \vec{a} (2,0 s) | = \sqrt{5, 0^{2} + 4, 0^{2} + {(- 24,0)}^{2}} = 24,8 {m/s}^{2} .$

Znaczenie

Jak pokazaliśmy, wektor przyspieszenia w tym przykładzie zależy od czasu, czyli przyspieszenie zmienia się w trakcie ruchu. Rozważmy teraz przypadek ruchu z innym wektorem prędkości.

Przykład 4.5

Obliczanie przyspieszenia cząstki

Ruch cząstki opisano wektorem położenia zależnym od czasu

\vec{r} (t) = [(10 t - t^{2}) \hat{i} + 5 t \hat{j} + 5 t \hat{k}] m .

Jaki jest wektor prędkości cząstki?
Jaki jest jej wektor przyspieszenia?
Opisz ruch cząstki od chwili początkowej $t$ = 0 s.

Strategia rozwiązania

Już na podstawie analizy samej tylko zależności położenia od czasu możemy wyciągnąć interesujące wnioski o ruchu cząstki. Składowe

y

i

z

są liniowo zależne od czasu, zatem przyspieszenie w tych kierunkach będzie zero, gdy weźmiemy drugą pochodną po czasie. Zauważmy też, że składowa

x

położenia zeruje się dla

t

= 0 s i

t

= 10 s.

Rozwiązanie

(a) Obliczając pierwszą pochodną położenia po czasie, otrzymujemy prędkość

\vec{v} (t) = [(10 - 2 t) \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k}] m/s .

Wektor prędkości jest liniową funkcją czasu w kierunku $x$ oraz jest stały wzdłuż kierunków $y$ i $z$ .

(b) Różniczkując prędkość, znajdujemy przyspieszenie

\vec{a} (t) = - 2 \hat{i} {m/s}^{2} .

Wektor przyspieszenia ma tylko składową $x$ , jest stały w czasie i skierowany przeciwnie do osi.

(c) Ilustracja 4.9 prezentuje tor cząstki w kolejnych sekundach ruchu. Rozważmy najpierw ruch w płaszczyźnie $y z$ . Położenie cząstki w tej płaszczyźnie zwiększa się w czasie jednostajnie ze stałą prędkością w kierunkach $y$ i $z$ . Inaczej jest w przypadku składowej $x$ położenia. W tym kierunku cząstka przemieszcza się w dodatnim kierunku osi $x$ aż do chwili $t$ = 5 s, kiedy zmienia kierunek ruchu na przeciwny do osi $x$ . Możemy to zauważyć, patrząc na wektor prędkości, którego składowa $x$ zmienia znak w tej chwili. Widzimy to również na podstawie postaci wektora przyspieszenia. Przyspieszenie jest ujemne, co oznacza, że cząstka jest opóźniana w kierunku dodatnim osi $x$ lub, równoważnie, przyspieszana w kierunku przeciwnym. Cząstka osiąga położenie 25 m, a następnie zawraca i zaczyna przyspieszać w kierunku przeciwnym do osi $x$ . Wraca do położenia 0 po czasie $t$ = 10 s.

Na rysunku widzimy układ współrzędnych xy. Zakres obu osi to -50 do 50 metrów. Dziesięć położeń cząstki zaznaczono czerwonymi kropkami, które zaczynają się w początku układu i układają na krzywej w górę (składowe y i z się zwiększają). Punkty: szósty i dziesiąty oznaczono jako t=6 s oraz t=10 s. Punkty czerwone są połączone przerywanymi liniami z punktami niebieskimi leżącymi na płaszczyźnie xy. Wszystkie punkty niebieskie leżą w pierwszej ćwiartce układu. Punkty niebieskie mają równe odległości wzdłuż osi y. Współrzędne x rosną od 0 do maksimum x-25 w t=5 s i potem maleją do x=0 w t=10 s.

Ilustracja 4.9 Cząstka startuje z początku układu odniesienia

(x, y, z) = (0, 0, 0)

, gdzie jej wektor położenia to

\vec{r} = 0.

Czerwonymi kropkami zaznaczono położenia w przestrzeni w kolejnych sekundach. Niebieskimi kropkami zaznaczono rzut toru na płaszczyznę

x y

. Wartości

y

i

z

rosną liniowo w czasie, natomiast

x

osiąga maksimum równe 25 m w chwili

t

= 5 s, po czym zaczyna maleć. W tym punkcie składowa

x

wektora prędkości zmienia znak na ujemny. Po czasie

t

= 10 s cząstka wraca do położenia

x

= 0 m.

Znaczenie

Rysując tor cząstki na podstawie wartości liczbowych wynikających z równań kinematycznych w kolejnych chwilach czasu, możemy lepiej zrozumieć jej ruch w przestrzeni.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.2

Załóżmy, że znamy następującą postać wektora przyspieszenia $\vec{a} (t) = (a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}) {m/s}^{2},$ gdzie $a$ , $b$ i $c$ są pewnymi stałymi. Co możemy powiedzieć o zależności wektora prędkości od czasu?

Stałe przyspieszenie

Ruch w wielu wymiarach ze stałym przyspieszeniem może być traktowany tak jak w poprzednim rozdziale o ruchu po linii prostej. Taki ruch nazwiemy jednostajnie zmiennym (przyspieszonym lub opóźnionym), gdyż przyspieszenie jest stałe. Pokazaliśmy już, że ruch w przestrzeni jest złożeniem trzech niezależnych ruchów w jednym wymiarze wzdłuż kierunków prostopadłych. Chcemy teraz otrzymać kinematyczne równania ruchu wzdłuż niezależnych kierunków. Dla uproszczenia rozważmy przypadek dwuwymiarowy – cząstki poruszającej się na płaszczyźnie $x y$ (pomińmy składową $z$ ). Wektor przyspieszenia jest więc równy

\vec{a} = a_{x} \hat{i} + a_{y} \hat{j},

gdzie $a_{x}$ i $a_{y}$ są stałymi. Ruch wzdłuż każdej składowej może być opisany zestawem równań podobnych do Równania 3.10 – Równania 3.14 z poprzedniego rozdziału o ruchu po linii prostej. Zapiszmy tutaj tylko równania ruchu (na położenie i prędkość) w kierunku $x$ oraz $y$ . Podobny zestaw równań można zapisać dla ruchu wzdłuż kierunku $z$ :

x (t) = x_{0} + {\overline{v}}_{x} t,

4.11

v_{x} (t) = v_{0 x} + a_{x} t

4.12

x (t) = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

4.13

v_{x}^{2} (t) = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} (x - x_{0})

4.14

y (t) = y_{0} + {\overline{v}}_{y} t,

4.15

v_{y} (t) = v_{0 y} + a_{y} t

4.16

y (t) = y_{0} + v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4.17

v_{y}^{2} (t) = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} (y - y_{0}) .

4.18

Oznaczyliśmy tutaj przez indeks dolny 0 początkowe położenie lub prędkość. Zestaw równań (od Równania 4.11 do Równania 4.18 można zastąpić równaniami wektorowymi (Równanie 4.2 i Równanie 4.5), aby otrzymać wektor położenia i wektor prędkości jako funkcje czasu (znowu pomijamy składową $z$ ):

\vec{r} (t) = x (t) \hat{i} + y (t) \hat{j} oraz \vec{v} (t) = v_{x} (t) \hat{i} + v_{y} (t) \hat{j} .

Omówiony przykład ilustruje praktyczne wykorzystanie kinematycznych równań ruchu w dwóch wymiarach.

Przykład 4.6

Narciarka

Ilustracja 4.10 prezentuje narciarkę, która w chwili

t

= 0 rusza z przyspieszeniem

2,1 {m/s}^{2}

w dół stoku, którego nachylenie wynosi

15^{°}

. Względem początku układu współrzędnych ustalonego przy górnej stacji wyciągu początkowe położenie i prędkość kobiety wynoszą

\vec{r} (0) = (75,0 \hat{i} - 50,0 \hat{j}) m

oraz

\vec{v} (0) = (4,1 \hat{i} - 1,1 \hat{j}) m/s .

Podaj zależność od czasu składowych $x$ i $y$ położenia i prędkości narciarki.
Jakie są jej położenie i prędkość w chwili $t$ = 10,0 s?

Ilustracja narciarza wrysowanego w układ współrzędnych x,y. Narciarz jedzie po prostej o nachyleniu 15 stopni w dół względem osi x i ma przyspieszenie a = 2,1 metra na sekundę do kwadratu, w kierunku zgodnym z jego ruchem. przyspieszenie zaznaczono na rysunku fioletowym wektorem i podpisano.

Ilustracja 4.10 Narciarka rusza z przyspieszeniem

2,1 {m/s}^{2}

w dół stoku o nachyleniu

15^{°}

. Początek układu współrzędnych przyjmujemy przy górnej stacji wyciągu narciarskiego.

Strategia rozwiązania

Będziemy chcieli zapisać równania ruchu w kierunkach

x

oraz

y

, dlatego potrzebujemy znaleźć składowe wektora przyspieszenia, które wykorzystamy w równaniach ruchu. W tym celu rozłożymy wektor przyspieszenia na składowe w przyjętym na Ilustracji 4.10 układzie współrzędnych. Następnie wstawimy składowe przyspieszenia do równań ruchu dla dowolnej chwili

t

.

Rozwiązanie

(a) Przyjmijmy układ odniesienia z początkiem na szczycie wzniesienia oraz osią

y

skierowaną do góry i osią

x

skierowaną poziomo. Obserwując tor ruchu narciarki zauważamy, że składowa

x

przyspieszenia jest dodatnia, natomiast składowa

y

jest ujemna. Znając kąt nachylenia stoku, który wynosi

15^{°}

, obliczamy

a_{x} = 2,1 m / s^{2} \cdot cos 15 ° = 2,0 m / s^{2},

a_{y} = -2,1 m / s^{2} \cdot sin 15 ° = -0,54 m / s^{2} .

Jeśli wstawimy położenie początkowe i prędkość początkową do Równania 4.12 i Równania 4.13 dla ruchu wzdłuż osi $x$ , otrzymamy

x (t) = 75,0 m + 4,1 m / s \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 2,0 m / s^{2} \cdot t^{2},

v_{x} (t) = 4,1 m / s + 2,0 m / s^{2} \cdot t .

Dla kierunku $y$ mamy

y (t) = -50,0 m - 1,1 m / s \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-0,54 m / s^{2}) \cdot t^{2},

v_{y} (t) = - 1,1 m / s + (- 0,54 m / s^{2}) \cdot t .

(b) Skoro mamy ogólne równania ruchu dla dowolnej chwili czasu, możemy znaleźć wartości składowych $x$ i $y$ położenia i prędkości po czasie $t = 10,0 s$ :

x (10,0 s) = 75,0 m + 4,1 m / s^{2} \cdot 10,0 s + \frac{1}{2} \cdot 2,0 m / s^{2} \cdot {(10,0 s)}^{2} = 216,0 m,

v_{x} (10,0 s) = 4,1 m / s + 2,0 m / s^{2} \cdot 10,0 s = 24,1 m / s,

y (10,0 s) = - 50,0 m - 1,1 m / s \cdot 10,0 s + \frac{1}{2} \cdot (- 0,54 m / s^{2}) \cdot {(10,0 s)}^{2} = - 88,0 m,

v_{y} (10,0 s) = - 1,1 m / s - 0,54 m / s^{2} \cdot 10,0 s = - 6,5 m / s .

Podsumowując, wektory położenia i prędkości narciarki po czasie $t = 10,0 s$ są następujące:

\vec{r} (10,0 s) = (216,0 \hat{i} - 88,0 \hat{j}) m

\vec{v} (10,0 s) = (24,1 \hat{i} - 6,5 \hat{j}) m/s .

Wartość prędkości narciarki po 10,0 s ruchu wynosi 25 m/s, czyli 90 km/h.

Znaczenie

Dzięki równaniom kinematyki i znajomości warunków początkowych (położenie i prędkość początkową) oraz przyspieszenia ciała potrafimy znaleźć położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w dowolnej chwili czasu. Jest to bardzo przydatna umiejętność.

W postaci równań od Równania 4.8 do Równania 4.10 otrzymaliśmy pełen zestaw wyrażeń na położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w ruchu w dwóch lub trzech wymiarach. Jeżeli tory ruchu ciał wyglądałyby podobnie do torów samolotów „Orlika” z rysunku na początku rozdziału, to równania te byłyby dość skomplikowane. W następnych sekcjach omówimy dwa szczególne przypadki ruchów na płaszczyźnie i w przestrzeni, tzn. rzuty w ziemskim polu grawitacyjnym oraz ruch po okręgu.

Materiały pomocnicze

Na tej stronie internetowej Uniwersytetu Kolorado dzięki aplikacji internetowej możesz obserwować jak zmienia się ruch biedronki w zależności od zadanych parametrów położenia i prędkości początkowej oraz przyspieszenia.

4.2 Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe

Obliczanie wektora przyspieszenia

Rozwiązanie

Znaczenie

Obliczanie przyspieszenia cząstki

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Stałe przyspieszenie

Narciarka

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie