Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • obliczać wektor przyspieszenia, znając zależność prędkości od czasu;
  • opisywać ruch cząstki poruszającej się w trzech wymiarach ze stałym przyspieszeniem;
  • wykorzystywać jednowymiarowe równania ruchu wzdłuż kierunków prostopadłych do opisu problemu dwu- lub trójwymiarowego ze stałym przyspieszeniem;
  • opisywać wektor przyspieszenia za pomocą wersorów osi w wybranym układzie odniesienia.

Przyspieszenie chwilowe

Oprócz znajomości przemieszczenia i prędkości ciała w ruchu często chcemy także wiedzieć, jaki jest wektor przyspieszenia (ang. acceleration vector) w dowolnym punkcie jego toru w danej chwili czasu. Taki wektor przyspieszenia nazwiemy przyspieszeniem chwilowym i obliczymy, co wiemy już z poprzedniego rozdziału, różniczkując po czasie. Jedyna różnica w przypadku ruchu na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest taka, że mamy teraz do czynienia z wielkościami wektorowymi. Różniczkując po czasie v ( t ) , v ( t ) , otrzymujemy:

a ( t ) = lim Δ t 0 v ( t + Δ t ) v ( t ) Δ t = d v ( t ) d t . a ( t ) = lim Δ t 0 v ( t + Δ t ) v ( t ) Δ t = d v ( t ) d t .
4.8

Wektor przyspieszenia w rozkładzie na składowe ma postać:

a ( t ) = d v x ( t ) d t i ^ + d v y ( t ) d t j ^ + d v z ( t ) d t k ^ . a ( t ) = d v x ( t ) d t i ^ + d v y ( t ) d t j ^ + d v z ( t ) d t k ^ .
4.9

Ponieważ prędkość jest pochodną położenia po czasie, możemy przyspieszenie zdefiniować jako drugą pochodną funkcji położenia od czasu:

a ( t ) = d 2 x ( t ) d t 2 i ^ + d 2 y ( t ) d t 2 j ^ + d 2 z ( t ) d t 2 k ^ . a ( t ) = d 2 x ( t ) d t 2 i ^ + d 2 y ( t ) d t 2 j ^ + d 2 z ( t ) d t 2 k ^ .
4.10

Przykład 4.4

Obliczanie wektora przyspieszenia

Cząstka ma prędkość v ( t ) = ( 5,0 t i ^ + t 2 j ^ 2,0 t 3 k ^ ) m/s . v ( t ) = ( 5,0 t i ^ + t 2 j ^ 2,0 t 3 k ^ ) m/s.
  1. Jaka jest zależność wektora przyspieszenia od czasu?
  2. Jaki jest wektor przyspieszenia w chwili t t = 2,0 s? Znajdź jego długość i kierunek w przestrzeni.

Rozwiązanie

(a) Aby znaleźć wektor przyspieszenia, obliczamy pierwszą pochodną prędkości po czasie. Różniczkujemy każdą składową wektora prędkości osobno:
a ( t ) = ( 5,0 i ^ + 2,0 t j ^ 6,0 t 2 k ^ ) m/s 2 . a ( t ) = ( 5,0 i ^ + 2,0 t j ^ 6,0 t 2 k ^ ) m/s 2 .

(b) Podstawiając do powyższego wzoru za czas, otrzymujemy a ( 2,0 s ) = ( 5,0 i ^ + 4,0 j ^ 24,0 k ^ ) m/s 2 a ( 2,0 s ) = ( 5,0 i ^ + 4,0 j ^ 24,0 k ^ ) m/s 2 , co daje nam orientację wektora w układzie wersorów osi. Wartość przyspieszenia w tej chwili wynosi | a ( 2,0 s ) | = 5 , 0 2 + 4 , 0 2 + ( 24,0 ) 2 = 24,8 m/s 2 . | a ( 2,0 s ) | = 5 , 0 2 + 4 , 0 2 + ( 24,0 ) 2 =24,8 m/s 2 .

Znaczenie

Jak pokazaliśmy, wektor przyspieszenia w tym przykładzie zależy od czasu, czyli przyspieszenie zmienia się w trakcie ruchu. Rozważmy teraz przypadek ruchu z innym wektorem prędkości.

Przykład 4.5

Obliczanie przyspieszenia cząstki

Ruch cząstki opisano wektorem położenia zależnym od czasu r ( t ) = [ ( 10 t t 2 ) i ^ + 5 t j ^ + 5 t k ^ ] m . r ( t ) =[ ( 10 t t 2 ) i ^ +5t j ^ +5t k ^ ]m.
  1. Jaki jest wektor prędkości cząstki?
  2. Jaki jest jej wektor przyspieszenia?
  3. Opisz ruch cząstki od chwili początkowej t t = 0 s.

Strategia rozwiązania

Już na podstawie analizy samej tylko zależności położenia od czasu możemy wyciągnąć interesujące wnioski o ruchu cząstki. Składowe y y i z z są liniowo zależne od czasu, zatem przyspieszenie w tych kierunkach będzie zero, gdy weźmiemy drugą pochodną po czasie. Zauważmy też, że składowa x x położenia zeruje się dla t t = 0 s i t t = 10 s.

Rozwiązanie

(a) Obliczając pierwszą pochodną położenia po czasie, otrzymujemy prędkość
v ( t ) = [ ( 10 2 t ) i ^ + 5 j ^ + 5 k ^ ] m/s . v ( t ) =[ ( 10 2 t ) i ^ +5 j ^ +5 k ^ ]m/s.

Wektor prędkości jest liniową funkcją czasu w kierunku x x oraz jest stały wzdłuż kierunków y y i z z.

(b) Różniczkując prędkość, znajdujemy przyspieszenie

a ( t ) = 2 i ^ m/s 2 . a ( t ) =2 i ^ m/s 2 .

Wektor przyspieszenia ma tylko składową x x, jest stały w czasie i skierowany przeciwnie do osi.

(c) Rysunek 4.9 prezentuje tor cząstki w kolejnych sekundach ruchu. Rozważmy najpierw ruch w płaszczyźnie y z yz. Położenie cząstki w tej płaszczyźnie zwiększa się w czasie jednostajnie ze stałą prędkością w kierunkach y y i z z. Inaczej jest w przypadku składowej x x położenia. W tym kierunku cząstka przemieszcza się w dodatnim kierunku osi x x aż do chwili t t = 5 s, kiedy zmienia kierunek ruchu na przeciwny do osi x x. Możemy to zauważyć, patrząc na wektor prędkości, którego składowa x x zmienia znak w tej chwili. Widzimy to również na podstawie postaci wektora przyspieszenia. Przyspieszenie jest ujemne, co oznacza, że cząstka jest opóźniana w kierunku dodatnim osi x x lub, równoważnie, przyspieszana w kierunku przeciwnym. Cząstka osiąga położenie 25 m, a następnie zawraca i zaczyna przyspieszać w kierunku przeciwnym do osi x x. Wraca do położenia 0 po czasie t t = 10 s.

Na rysunku widzimy układ współrzędnych xy. Zakres obu osi to -50 do 50 metrów. Dziesięć położeń cząstki zaznaczono czerwonymi kropkami, które zaczynają się w początku układu i układają na krzywej w górę (składowe y i z się zwiększają). Punkty: szósty i dziesiąty oznaczono jako t=6 s oraz t=10 s. Punkty czerwone są połączone przerywanymi liniami z punktami niebieskimi leżącymi na płaszczyźnie xy. Wszystkie punkty niebieskie leżą w pierwszej ćwiartce układu. Punkty niebieskie mają równe odległości wzdłuż osi y. Współrzędne x rosną od 0 do maksimum x-25 w t=5 s i potem maleją do x=0 w t=10 s.
Rysunek 4.9 Cząstka startuje z początku układu odniesienia x y z = 0 0 0 x y z = 0 0 0 , gdzie jej wektor położenia to r = 0. r = 0. Czerwonymi kropkami zaznaczono położenia w przestrzeni w kolejnych sekundach. Niebieskimi kropkami zaznaczono rzut toru na płaszczyznę x y x y . Wartości y y i z z rosną liniowo w czasie, natomiast x x osiąga maksimum równe 25 m w chwili t t = 5 s, po czym zaczyna maleć. W tym punkcie składowa x x wektora prędkości zmienia znak na ujemny. Po czasie t t = 10 s cząstka wraca do położenia x x = 0 m.

Znaczenie

Rysując tor cząstki na podstawie wartości liczbowych wynikających z równań kinematycznych w kolejnych chwilach czasu, możemy lepiej zrozumieć jej ruch w przestrzeni.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.2

Załóżmy, że znamy następującą postać wektora przyspieszenia a ( t ) = ( a i ^ + b j ^ + c k ^ ) m/s 2 , a ( t ) = ( a i ^ + b j ^ + c k ^ ) m/s 2 , gdzie a a, b b i c c są pewnymi stałymi. Co możemy powiedzieć o zależności wektora prędkości od czasu?

Stałe przyspieszenie

Ruch w wielu wymiarach ze stałym przyspieszeniem może być traktowany tak jak w poprzednim rozdziale o ruchu po linii prostej. Taki ruch nazwiemy jednostajnie zmiennym (przyspieszonym lub opóźnionym), gdyż przyspieszenie jest stałe. Pokazaliśmy już, że ruch w przestrzeni jest złożeniem trzech niezależnych ruchów w jednym wymiarze wzdłuż kierunków prostopadłych. Chcemy teraz otrzymać kinematyczne równania ruchu wzdłuż niezależnych kierunków. Dla uproszczenia rozważmy przypadek dwuwymiarowy – cząstki poruszającej się na płaszczyźnie x y xy (pomińmy składową z z). Wektor przyspieszenia jest więc równy

a = a x i ^ + a y j ^ , a = a x i ^ + a y j ^ ,

gdzie a x a x i a y a y są stałymi. Ruch wzdłuż każdej składowej może być opisany zestawem równań podobnych do Równania 3.10Równania 3.14 z poprzedniego rozdziału o ruchu po linii prostej. Zapiszmy tutaj tylko równania ruchu (na położenie i prędkość) w kierunku x x oraz y y. Podobny zestaw równań można zapisać dla ruchu wzdłuż kierunku z z:

xt=x0+vxt,xt=x0+vxt,
4.11
v x ( t ) = v 0 x + a x t v x ( t ) = v 0 x + a x t
4.12
x ( t ) = x 0 + v 0 x t + 1 2 a x t 2 x ( t ) = x 0 + v 0 x t+ 1 2 a x t 2
4.13
v x 2 ( t ) = v 0 x 2 + 2 a x ( x - x 0 ) v x 2 ( t ) = v 0 x 2 +2 a x ( x - x 0 )
4.14
yt=y0+vyt,yt=y0+vyt,
4.15
v y ( t ) = v 0 y + a y t v y ( t ) = v 0 y + a y t
4.16
y ( t ) = y 0 + v 0 y t + 1 2 a y t 2 y ( t ) = y 0 + v 0 y t+ 1 2 a y t 2
4.17
v y 2 ( t ) = v 0 y 2 + 2 a y ( y - y 0 ) . v y 2 ( t ) = v 0 y 2 +2 a y ( y - y 0 ) .
4.18

Oznaczyliśmy tutaj przez indeks dolny 0 początkowe położenie lub prędkość. Zestaw równań (od Równania 4.11 do Równania 4.18 można zastąpić równaniami wektorowymi (Równanie 4.2 i Równanie 4.5), aby otrzymać wektor położenia i wektor prędkości jako funkcje czasu (znowu pomijamy składową z z):

r ( t ) = x ( t ) i ^ + y ( t ) j ^ oraz v ( t ) = v x ( t ) i ^ + v y ( t ) j ^ . r ( t ) =x ( t ) i ^ +y ( t ) j ^ oraz v ( t ) = v x ( t ) i ^ + v y ( t ) j ^ .

Omówiony przykład ilustruje praktyczne wykorzystanie kinematycznych równań ruchu w dwóch wymiarach.

Przykład 4.6

Narciarka

Rysunek 4.10 prezentuje narciarkę, która w chwili t t = 0 rusza z przyspieszeniem 2,1 m/s 2 2,1 m/s 2 w dół stoku, którego nachylenie wynosi 15 ° 15 ° . Względem początku układu współrzędnych ustalonego przy górnej stacji wyciągu początkowe położenie i prędkość kobiety wynoszą
r ( 0 ) = ( 75,0 i ^ 50,0 j ^ ) m r ( 0 ) = ( 75,0 i ^ 50,0 j ^ ) m

oraz

v ( 0 ) = ( 4,1 i ^ 1,1 j ^ ) m/s . v ( 0 ) = ( 4,1 i ^ 1,1 j ^ ) m/s.
  1. Podaj zależność od czasu składowych x x i y y położenia i prędkości narciarki.
  2. Jakie są jej położenie i prędkość w chwili t t = 10,0 s?
Ilustracja narciarza wrysowanego w układ współrzędnych x,y. Narciarz jedzie po prostej o nachyleniu 15 stopni w dół względem osi x i ma przyspieszenie a = 2,1 metra na sekundę do kwadratu, w kierunku zgodnym z jego ruchem. przyspieszenie zaznaczono na rysunku fioletowym wektorem i podpisano.
Rysunek 4.10 Narciarka rusza z przyspieszeniem 2,1 m/s 2 2,1 m/s 2 w dół stoku o nachyleniu 15 ° 15 ° . Początek układu współrzędnych przyjmujemy przy górnej stacji wyciągu narciarskiego.

Strategia rozwiązania

Będziemy chcieli zapisać równania ruchu w kierunkach x x oraz y y, dlatego potrzebujemy znaleźć składowe wektora przyspieszenia, które wykorzystamy w równaniach ruchu. W tym celu rozłożymy wektor przyspieszenia na składowe w przyjętym na Rysunku 4.10 układzie współrzędnych. Następnie wstawimy składowe przyspieszenia do równań ruchu dla dowolnej chwili t t.

Rozwiązanie

(a) Przyjmijmy układ odniesienia z początkiem na szczycie wzniesienia oraz osią y y skierowaną do góry i osią x x skierowaną poziomo. Obserwując tor ruchu narciarki zauważamy, że składowa x x przyspieszenia jest dodatnia, natomiast składowa y y jest ujemna. Znając kąt nachylenia stoku, który wynosi 15 ° 15 ° , obliczamy
ax=2,1m/s2cos15°=2,0m/s2,ax=2,1m/s2cos15°=2,0m/s2,
ay=-2,1m/s2sin15°=-0,54m/s2.ay=-2,1m/s2sin15°=-0,54m/s2.

Jeśli wstawimy położenie początkowe i prędkość początkową do Równania 4.12 i Równania 4.13 dla ruchu wzdłuż osi x x, otrzymamy

xt=75,0m+4,1m/st+122,0m/s2t2,xt=75,0m+4,1m/st+122,0m/s2t2,
vxt=4,1m/s+2,0m/s2t.vxt=4,1m/s+2,0m/s2t.

Dla kierunku y y mamy

yt=-50,0m-1,1m/st+12-0,54m/s2t2,yt=-50,0m-1,1m/st+12-0,54m/s2t2,
vyt=-1,1m/s+-0,54m/s2t.vyt=-1,1m/s+-0,54m/s2t.

(b) Skoro mamy ogólne równania ruchu dla dowolnej chwili czasu, możemy znaleźć wartości składowych x x i y y położenia i prędkości po czasie t=10,0st=10,0s:

x10,0s=75,0m+4,1m/s210,0s+122,0m/s210,0s2=216,0m,x10,0s=75,0m+4,1m/s210,0s+122,0m/s210,0s2=216,0m,
vx10,0s=4,1m/s+2,0m/s210,0s=24,1m/s,vx10,0s=4,1m/s+2,0m/s210,0s=24,1m/s,
y10,0s=-50,0m-1,1m/s10,0s+12-0,54m/s210,0s2=-88,0m,y10,0s=-50,0m-1,1m/s10,0s+12-0,54m/s210,0s2=-88,0m,
vy10,0s=-1,1m/s-0,54m/s210,0s=-6,5m/s.vy10,0s=-1,1m/s-0,54m/s210,0s=-6,5m/s.

Podsumowując, wektory położenia i prędkości narciarki po czasie t=10,0st=10,0s są następujące:

r ( 10,0 s ) = ( 216,0 i ^ 88,0 j ^ ) m r ( 10,0 s ) = ( 216,0 i ^ 88,0 j ^ ) m
v ( 10,0 s ) = ( 24,1 i ^ 6,5 j ^ ) m/s . v ( 10,0 s ) = ( 24,1 i ^ 6,5 j ^ ) m/s.

Wartość prędkości narciarki po 10,0 s ruchu wynosi 25 m/s, czyli 90 km/h.

Znaczenie

Dzięki równaniom kinematyki i znajomości warunków początkowych (położenie i prędkość początkową) oraz przyspieszenia ciała potrafimy znaleźć położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w dowolnej chwili czasu. Jest to bardzo przydatna umiejętność.

W postaci równań od Równania 4.8 do Równania 4.10 otrzymaliśmy pełen zestaw wyrażeń na położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w ruchu w dwóch lub trzech wymiarach. Jeżeli tory ruchu ciał wyglądałyby podobnie do torów samolotów „Orlika” z rysunku na początku rozdziału, to równania te byłyby dość skomplikowane. W następnych sekcjach omówimy dwa szczególne przypadki ruchów na płaszczyźnie i w przestrzeni, tzn. rzuty w ziemskim polu grawitacyjnym oraz ruch po okręgu.

Materiały pomocnicze

Na tej stronie internetowej Uniwersytetu Kolorado dzięki aplikacji internetowej możesz obserwować jak zmienia się ruch biedronki w zależności od zadanych parametrów położenia i prędkości początkowej oraz przyspieszenia.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.