Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • obliczać przyspieszenie dośrodkowe ciała w ruchu po okręgu;
  • korzystać z kinematycznych równań ruchu, aby znaleźć położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w ruchu po okręgu;
  • wyjaśniać różnice między przyspieszeniem dośrodkowym, a stycznym w ruchu niejednostajnym po okręgu;
  • obliczać przyspieszenie dośrodkowe, styczne oraz całkowite w ruchu niejednostajnym po okręgu.

Ruch jednostajny po okręgu jest szczególnym rodzajem ruchu, w którym ciało porusza się po torze o kształcie okręgu z prędkością o stałej wartości (stałą szybkością). Przykładowo, dowolny punkt śmigła samolotowego obracającego się ze stałą częstotliwością wykonuje ruch jednostajny po okręgu. Innymi obiektami obrazującymi ten ruch są wskazówki zegara – sekundowa, minutowa oraz godzinowa. Co ciekawe, ale nieoczywiste, każdy punkt w takim ruchu doznaje przyspieszenia, mimo że nazywamy go jednostajnym i prędkość ma stałą wartość. Aby to zrozumieć, musimy dokonać bardziej szczegółowej analizy wektorowej tego ruchu. W tym rozdziale zajmujemy się też ruchem zmiennym po okręgu (przyspieszonym lub opóźnionym), gdzie oprócz przyspieszenia wspomnianego powyżej, występuje także przyspieszenie związane ze zmianą szybkości w czasie.

Przyspieszenie dośrodkowe

W przypadku ruchu po linii prostej ciała poruszające się ze stałą szybkością muszą mieć zerowe przyspieszenie. Jednak w dwóch lub trzech wymiarach, nawet jeśli szybkość jest stała, ciało może mieć przyspieszenie, o ile porusza się po torze zakrzywionym, np. po okręgu. W takich przypadkach wektor prędkości się zmienia, tzn. d v / d t 0. d v /dt0. Zmienia się w czasie jego kierunek i zwrot, mimo że wartość pozostaje stała. Widzimy to na Ilustracji 4.18. Gdy ciało przemieszcza się wzdłuż okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (w lewo), to w czasie Δ t Δt wektor położenia zmienia się od r ( t ) r ( t ) do r ( t + Δ t ) . r ( t + Δ t ) . Wektor prędkości również zmienia się od v ( t ) v ( t ) do v ( t + Δ t ) , v ( t + Δ t ) , ale jego wartość jest stała i jest on przez cały czas styczny do toru. Zmienia się jedynie kierunek prędkości w przestrzeni. W ruchu po okręgu wektor prędkości v ( t ) v ( t ) jest prostopadły do wektora położenia r ( t ) , r ( t ) , jeśli za początek układu współrzędnych przyjmiemy środek okręgu. Skoro tak, to trójkąty zbudowane z wektorów: położenia oraz Δ r Δ r , a także prędkości i Δ v Δ v są podobne. Co więcej, ponieważ | r ( t ) | = | r ( t + Δ t ) | | r ( t ) | = | r ( t + Δ t ) | oraz | v ( t ) | = | v ( t + Δ t ) | | v ( t ) | = | v ( t + Δ t ) | , oba te trójkąty są równoramienne. Na podstawie tych własności możemy stwierdzić, że Δ v v = Δ r r Δ v v = Δ r r lub inaczej Δ v = v r Δ r . Δv= v r Δr.

Rysunek a przedstawia okrąg o środku w punkcie C. Widzimy dwa wektory wodzące r w funkcji t oraz r w funkcji t plus Delta t, kąt pomiędzy nimi to Delta theta, a wektor Delta r łączy końce dwóch wektorów wodzących (tworzą trójkąt równoramienny). Do końców wektorów wodzących zaczepione są wektory prędkości, styczne do okręgu i oba zwrócone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: wektor v od t jest zaczepiony w końcu wektora r od t, wektor v od t plus Delta t jest zaczepiony w końcu wektora r od t plus Delta t. Rysunek b przedstawia wektory prędkości z rysunku a, ale zaczepione we wspólnym początku i wektor Delta v skierowany od końca wektora v od t do końca wektora v od t plus Delta v. Kąt pomiędzy wektorami v jest także Delta theta.
Ilustracja 4.18 (a) Ruch cząstki po okręgu ze stałą szybkością, z zaznaczonymi wektorami położenia i prędkości w chwilach czasu t t i t + Δ t . t + Δ t . (b) Wektory prędkości budują trójkąt równoramienny. Oba zaznaczone na rysunku trójkąty są podobne. W granicy Δ t 0 Δ t 0 , wektor Δ v Δ v jest skierowany do środka okręgu.

Wartość przyspieszenia możemy znaleźć, korzystając z definicji

a = lim Δ t 0 ( Δ v Δ t ) = v r ( lim Δ t 0 Δ r Δ t ) = v 2 r . a= lim Δ t 0 ( Δ v Δ t ) = v r ( lim Δ t 0 Δ r Δ t ) = v 2 r .

Możemy też ustalić kierunek wektora przyspieszenia. Gdy Δ t Δt, a więc i Δ θ Δθ zmierzają do zera, wektor Δ v Δ v przyjmuje kierunek prostopadły do v . v . W granicy Δ t 0 , Δt0, Δ v Δ v staje się prostopadłe do v . v . Ze względu na to, że v v jest styczne do okręgu, przyspieszenie d v / d t d v /dt musi być skierowane do środka okręgu. Podsumowując, cząstka poruszająca się po okręgu ze stałą szybkością ma przyspieszenie o wartości:

a d = v 2 r , a d = v 2 r ,
4.28

a kierunek wektora przyspieszenia jest do środka okręgu (Ilustracja 4.19). To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym (ang. centripetal acceleration), dlatego użyliśmy indeksu dolnego „d”. Określenie dośrodkowe jednoznacznie sugeruje kierunek wektora przyspieszenia do środka okręgu.

Rysunek przedstawia okrąg i zaznaczony na fioletowo wektor a z indeksem dolnym d skierowanym od punktu na okręgu do środka okręgu wzdłuż promienia oraz z wektor v styczny do okręgu, zaznaczony na zielono.
Ilustracja 4.19 Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest zwrócony do środka okręgu, czyli wzdłuż promienia okręgu. Zaznaczono także wektor prędkości, który jest zawsze styczny do okręgu.

Prześledźmy kilka przykładów ilustrujących wzajemny związek między wartością prędkości, promieniem okręgu i przyspieszeniem dośrodkowym.

Przykład 4.10

Uzyskiwanie przyspieszenia 1 g g

Odrzutowiec leci z szybkością 134,1 m/s po prostoliniowym torze. W pewnej chwili skręca, przez chwilę poruszając się po łuku okręgu w płaszczyźnie równoległej do ziemi. Jaki musi być promień łuku, aby pilot i odrzutowiec doznali przyspieszenia o wartości 1 g g w kierunku do środka kołowego toru?

Strategia rozwiązania

Znając szybkość odrzutowca, wykorzystamy wzór na przyspieszenie dośrodkowe do obliczenia promienia okręgu.

Rozwiązanie

Za wartość przyspieszenia dośrodkowego podstawmy wartość przyspieszenia grawitacyjnego, 9,81 m/s 2 = v 2 / r . 9,81 m/s 2 = v 2 /r. Wyznaczając z tego równania promień, otrzymujemy
r = ( 134,1 m/s ) 2 9,81 m/s 2 = 1 833 m = 1,833 km . r= ( 134,1 m/s ) 2 9,81 m/s 2 =1833m=1,833km.

Znaczenie

Gdybyśmy chcieli, aby pilot odrzutowca doznawał przyspieszenia większego niż g g, odrzutowiec musiałby albo zwiększyć szybkość na tym samym torze, albo zmniejszyć promień łuku okręgu, albo zrobić jedno i drugie.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.5

Koło zamachowe o promieniu 20,0 cm obraca się z przyspieszeniem dośrodkowym 900,0 cm/s2. Z jaką szybkością wirują punkty na obwodzie koła?

Przyspieszenie dośrodkowe może mieć bardzo szeroki zakres wartości zależnie od szybkości i promienia krzywizny toru. Typowe wartości przyspieszenia dośrodkowego dla różnych obiektów są przedstawione w tabeli.

Obiekt Wartość przyspieszenia dośrodkowego   (w m/s2 lub w jednostkach g g )
Ziemia krążąca wokół Słońca 5,93 10 3 5,93 10 3
Księżyc krążący wokół Ziemi 2,73 10 3 2,73 10 3
Satelita na orbicie geostacjonarnej 0,233 0,233
Zewnętrzna krawędź płyty CD podczas odtwarzania 5,78 5,78
Odrzutowiec wykonujący "beczkę" 2 g 3 g 2 g 3 g
Kolejka górska (roller coaster) 5 g 5 g
Elektron w atomie wodoru w prostym modelu Bohra 9,0 10 22 9,0 10 22
Tabela 4.1 Typowe wartości przyspieszenia dośrodkowego

Równania ruchu jednostajnego po okręgu

Ruch cząstki poruszającej się ruchem jednostajnym po okręgu może być opisany za pomocą wektora położenia r ( t ) . r ( t ) . Na Ilustracji 4.20 prezentujemy ruch cząstki poruszającej się po okręgu w lewo. W trakcie ruchu cząstki jej wektor położenia (wektor wodzący) zakreśla w pewnym czasie kąt θ θ liczony od osi x x. Wektor położenia r ( t ) r ( t ) nachylony pod kątem θ θ do osi x x jest także pokazany na rysunku wraz z jego składowymi wzdłuż osi x x i y y. Przyjmujemy za początek układu współrzędnych środek okręgu. Długość wektora położenia wynosi A = | r ( t ) | A= | r ( t ) | i jest to długość promienia okręgu. Rozłóżmy wektor na składowe:

r ( t ) = A cos ( ω t ) i ^ + A sin ( ω t ) j ^ . r ( t ) =Acos ( ω t ) i ^ +Asin ( ω t ) j ^ .
4.29

Wielkość ω ω jest stałą i nazywa się częstością kątową (ang. angular frequency) cząstki. Częstość kątowa ma jednostkę radian (rad) na sekundę, czyli rad/s, i jest po prostu miarą tego, jaki kąt w radianach zatoczył w ciągu sekundy wektor wodzący cząstki poruszającej się po okręgu. Wobec tego kąt i częstość kątowa są ze sobą związane prostą relacją θ = ω t θ=ωt. Częstość kątową nazywamy też czasem częstością kołową lub po prostu częstością.

Częstość kątowa jest także związana z okresem T T, czyli czasem jednego pełnego okrążenia cząstki (cząstka zatacza wtedy kąt 2 π rad 2πrad), prostą relacją

ω = 2 π T . ω= 2 π T .
Okrąg o promieniu r jest zaczepiony w początku układu współrzędnych x,y. Wektor wodzący o długości r jest skierowany do pewnego punktu na okręgu (w pierwszej ćwiartce) pod kątem theta równym omega razy t, liczonym od osi x. Składowa x wektora wodzącego ma długość r razy kosinus omega t, a składowa y ma długość r razy sinus omega t. Ruch cząstki jest zaznaczony strzałkami przeciwnie do wskazówek zegara.
Ilustracja 4.20 Wektor położenia cząstki w ruchu po okręgu i jego dwie składowe x x i y y . Cząstka porusza się w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Kąt θ θ jest równy iloczynowi częstości kątowej ω ω (w radianach na sekundę) i czasu t t .

Wektor prędkości łatwo znajdziemy, różniczkując funkcję czasu wektora położenia:

v ( t ) = d r ( t ) d t = A ω sin ( ω t ) i ^ + A ω cos ( ω t ) j ^ . v ( t ) = d r ( t ) d t =Aωsin ( ω t ) i ^ +Aωcos ( ω t ) j ^ .
4.30

Na podstawie Ilustracji 4.20 można pokazać, że wektor prędkości jest styczny do okręgu w punkcie, w którym znajduje się cząstka, a jego długość wynosi A ω . Aω. Podobnie, różniczkując wektor prędkości, znajdziemy wektor przyspieszenia:

a ( t ) = d v ( t ) d t = A ω 2 cos ( ω t ) i ^ A ω 2 sin ( ω t ) j ^ . a ( t ) = d v ( t ) d t =A ω 2 cos ( ω t ) i ^ A ω 2 sin ( ω t ) j ^ .
4.31

Z powyższego wzoru wynika, że długość wektora przyspieszenia wynosi A ω 2 A ω 2 oraz że jest on skierowany przeciwnie do wektora położenia: a ( t ) = ω 2 r ( t ) . a ( t ) = ω 2 r ( t ) .

Przykład 4.11

Ruch protonu po okręgu

Proton porusza się z szybkością 5 10 6 m/s 5 10 6 m/s na płaszczyźnie x y xy po okręgu o promieniu r = 0,175 m r=0,175m. W jakim położeniu znajduje się proton w chwili t=210-7s=200nst=210-7s=200ns t = \SI{2e-7}{\second} = \SI{200}{\nano\second}? Załóżmy, że w chwili początkowej t = 0 t=0 położenie protonu wynosi 0,175mî0,175mî \SI{0,175}{\metre} \cdot \hat i oraz kierunek ruchu protonu jest przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Naszkicujemy trajektorię protonu.

Rozwiązanie

Na podstawie danych możemy obliczyć okres i częstość kątową protonu:
T=2πrv=2π0,175m5106ms=2107s,T=2πrv=2π0,175m5106ms=2107s, T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot \SI{0,175}{\metre}}{\SI{5e6}{\metre\per\second}} = \SI{2e7}{\second} \text{,}
ω=2πT=2π210-7s=2,856107s-1.ω=2πT=2π210-7s=2,856107s-1. \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\SI{2e-7}{\second}} = \SI[per-mode=reciprocal]{2,856e7}{\per\second} \text{.}

Położenie protonu w chwili t=210-7st=210-7s t = \SI{2e-7}{\second} dane jest wektorem

rt=Acosωtî+Asinωtĵ,rt=Acosωtî+Asinωtĵ, \vec r \apply (t) = A \cos (\omega t) \cdot \hat i + A \sin (\omega t) \cdot \hat j \text{,}
r210-7s=0,175mcos2,86107s-1210-7sîr210-7s+0,175msin2,86107s-1210-7sĵ,r210-7s=0,175mcos2,86107s-1210-7sîr210-7s+0,175msin2,86107s-1210-7sĵ, \begin{multiline} \vec r \apply (\SI{2e-7}{\second}) &= \SI{0,175}{\metre} \cdot \cos (\SI[per-mode=reciprocal]{2,86e7}{\per\second} \cdot \SI{2e-7}{\second}) \cdot \hat i \\ &+ \SI{0,175}{\metre} \cdot \sin (\SI[per-mode=reciprocal]{2,86e7}{\per\second} \cdot \SI{2e-7}{\second}) \cdot \hat j \text{,} \end{multiline}r210-7s=0,175mcos2,86107s-1210-7sî+0,175msin2,86107s-1210-7sĵ,
r210-7s=0,175mcos5,712î+0,175msin5,712ĵr210-7s=0,147mî0,095mĵ.r210-7s=0,175mcos5,712î+0,175msin5,712ĵr210-7s=0,147mî0,095mĵ. \begin{multiline} \vec r \apply (\SI{2e-7}{\second}) &= \SI{0,175}{\metre} \cdot \cos (\num{5,712}) \cdot \hat i + \SI{0,175}{\metre} \cdot \sin (\num{5,712}) \cdot \hat j \\ &= \SI{0,147}{\metre} \cdot \hat i - \SI{0,095}{\metre} \cdot \hat j \text{.} \end{multiline}r210-7s=0,175mcos5,712î+0,175msin5,712ĵ=0,147mî0,095mĵ.

Na podstawie wyniku możemy stwierdzić, że w danym momencie proton znajduje się tuż pod osią x x na płaszczyźnie x y xy. Obrazujemy to na Ilustracji 4.21.

Schemat ruchu protonu na płaszczyźnie xy. Składowe x i y są mierzone w metrach i zmieniają się w przedziale od -0,2 do 0,2. Proton porusza się po okręgu o środku w początku układu xy przeciwnie do wskazówek zegara. Jego położenia w jedenastu różnych punktach są zaznaczone kropkami. W chwili t=0 cząstka jest w punkcie x=0,175 m i y=0. W czasie t=200 nanosekund, proton jest w położeniu końcowym o wektorze 0,147 i z daszkiem minus 0,95 j z daszkiem w metrach.
Ilustracja 4.21 Wektor położenia protonu w chwili t = 2,0 10 7 s = 200 ns . t = 2,0 10 7 s = 200 ns . Nakreślono szkic trajektorii protonu. Całkowity kąt, jaki przez ten czas zatoczy proton poruszający się po okręgu wynosi 5,712 rad 5,712 rad i jest tylko trochę mniejszy od kąta pełnego.

Znaczenie

Wybraliśmy położenie początkowe protonu na osi x x. Jest to wybór całkowicie arbitralny. W przypadku innej pozycji początkowej po czasie t t = 200 ns mielibyśmy inne niż obliczone powyżej położenie końcowe protonu. Kąt zatoczony przez wektor wodzący protonu byłby jednak taki sam.

Ruch zmienny po okręgu

Ruch po okręgu nie musi zachodzić tylko ze stałą szybkością. Cząstka, poruszając się po okręgu, może przyspieszać lub zwalniać, a więc mieć przyspieszenie w kierunku ruchu.

W ruchu jednostajnym po okręgu cząstka poruszała się z prędkością o wartości stałej w czasie. Zmianie ulegał jedynie kierunek i zwrot wektora, z czym wiązaliśmy przyspieszenie dośrodkowe. Jeżeli również wartość prędkości cząstki ulega zmianie, to musimy wprowadzić do opisu ruchu takiej cząstki dodatkowe przyspieszenie, którego kierunek jest styczny do okręgu. Z takim przyspieszeniem mamy do czynienia np. w dowolnym punkcie na łopatce rozpędzającego się wirnika w silniku elektrycznym albo na powierzchni wirującego bąka (zabawki), który zmienia swoją szybkość obrotu. Na początku tej sekcji pokazaliśmy, że przyspieszenie dośrodkowe jest odpowiedzialne za zmianę kierunku i zwrotu wektora prędkości w czasie. Gdy zmienia się także szybkość cząstki ma ona przyspieszenie styczne (ang. tangential acceleration), które wyraża szybkość zmian wartości prędkości w czasie:

a s = d | v | d t . a s = d | v | d t .
4.32

Kierunek przyspieszenia stycznego jest styczny do okręgu (wzdłuż wektora prędkości), natomiast przyspieszenie dośrodkowe jest zwrócone radialnie do środka okręgu. Wobec tego cząstka w ruchu zmiennym po okręgu ma całkowite przyspieszenie (ang. total acceleration), które jest sumą wektorową przyspieszenia stycznego i dośrodkowego:

a = a d + a s . a = a d + a s .
4.33

Wszystkie trzy wektory przyspieszenia są pokazane na Ilustracji 4.22. Zwróć uwagę, że wektory a s a s oraz a d a d są do siebie prostopadłe ‒ wektor a d a d jest zwrócony do środka okręgu, a wektor a s a s jest styczny do okręgu. Przyspieszenie całkowite a a jest skierowane pod pewnym kątem pomiędzy wektorem a d a d i a s a s .

Wektory przyspieszenia cząstki w ruchu po okręgu: przyspieszenie dośrodkowe a z indeksem d jest skierowane do środka okręgu wzdłuż promienia, przyspieszenie styczne a z indeksem s jest styczne do okręgu w punkcie, gdzie znajduje się cząstka, całkowite przyspieszenie jest sumą wektorową poprzednich (prostopadłych) wektorów.
Ilustracja 4.22 Przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane wzdłuż promienia okręgu do środka okręgu, natomiast przyspieszenie styczne ma kierunek styczny do okręgu w punkcie, w którym znajduje się cząstka. Oba wektory są zaczepione w punkcie, gdzie znajduje się cząstka. Wektor przyspieszenia całkowitego jest sumą tych dwóch prostopadłych do siebie wektorów przyspieszeń.

Przykład 4.12

Całkowite przyspieszenie w ruchu po okręgu

Cząstka porusza się po okręgu o promieniu r r = 2,0 m. W przedziale czasu od t t = 1,5 s do t t = 4,0 s jej szybkość zmienia się w czasie zgodnie ze wzorem
v ( t ) = c 1 c 2 t 2 , c 1 = 4,0 m/s , c 2 = 6,0 m s . v ( t ) = c 1 c 2 t 2 , c 1 =4,0m/s, c 2 =6,0ms.

Jakie jest całkowite przyspieszenie cząstki w chwili t t = 2,0 s?

Strategia rozwiązania

Z podanej zależności od czasu obliczymy szybkość i, mając promień okręgu, łatwo znajdziemy przyspieszenie dośrodkowe. Jego kierunek jest oczywiście do środka okręgu. Aby obliczyć wartość przyspieszenia stycznego, musimy najpierw wyliczyć pochodną po czasie funkcji szybkości od czasu, | v ( t ) | | v ( t ) | , zgodnie z definicją Równania 4.32, i dopiero wtedy podstawić za t t = 2,0 s. Wartość przyspieszenia całkowitego obliczymy jako pierwiastek z sumy kwadratów obu przyspieszeń.

Rozwiązanie

Obliczamy przyspieszenie dośrodkowe
v ( 2,0 s ) = ( 4,0 6,0 ( 2,0 ) 2 ) m/s = 2,5 m/s , v ( 2,0 s ) = ( 4,0 6,0 ( 2,0 ) 2 ) m/s=2,5m/s,
a d = v 2 r = ( 2,5 m/s ) 2 2,0 m = 3,1 m/s 2 . a d = v 2 r = ( 2,5 m/s ) 2 2,0 m =3,1 m/s 2 .

Dzięki temu, że w zadaniu podano zależność szybkości od czasu, to możemy od razu różniczkować. Przyspieszenie styczne wynosi

a s = d | v | d t = 2 c 2 t 3 = 12,0 ( 2,0 ) 3 m/s 2 = 1,5 m/s 2 . a s = d | v | d t = 2 c 2 t 3 = 12,0 ( 2,0 ) 3 m/s 2 =1,5 m/s 2 .

Obliczamy przyspieszenie całkowite

| a | = 3 , 1 2 + 1 , 5 2 m/s 2 = 3,44 m/s 2 | a | = 3 , 1 2 + 1 , 5 2 m/s 2 =3,44 m/s 2

oraz kąt jaki tworzy wektor przyspieszenia całkowitego ze styczną do okręgu θ = arctg ( 3,1 1,5 ) = 64 θ=arctg ( 3,1 1,5 ) = 64 . Spójrz na Ilustrację 4.23.

Przyspieszenie cząstki w ruchu po okręgu pokazano wraz z jego składową dośrodkową i styczną. Wektor a z indeksem d o długości 1,5 metra na sekundę do kwadratu skierowany jest do środka, wektor a z indeksem s o długości 3,1 metra na sekundę do kwadratu - stycznie, a wektor a pod kątem 64 stopnie do stycznej do okręgu.
Ilustracja 4.23 Wektory przyspieszenia stycznego i dośrodkowego. Przyspieszenie całkowite a a jest sumą wektorową tych dwóch przyspieszeń.

Znaczenie

Obliczenie przyspieszenia stycznego było w tym przykładzie proste – mieliśmy podaną zależność szybkości od czasu, którą od razu mogliśmy różniczkować. Gdyby podany był wektor prędkości jako funkcja czasu, to najpierw musielibyśmy obliczyć jego długość w funkcji czasu i dopiero wtedy różniczkować (przypuszczalnie dość niewygodną zależność pierwiastkową), a na końcu podstawić w miejsce czasu. Wektory przyspieszenia stycznego i dośrodkowego można wygodniej opisać w biegunowym układzie współrzędnych, nazywanym też polarnym. Jego wersory są skierowane w kierunku radialnym i stycznym do kierunku ruchu cząstki i, co łatwo zauważyć, same zmieniają swoje położenie w czasie. Taki układ współrzędnych, często używany do opisu ruchu po zakrzywionych torach, będziemy wykorzystywać w dalszych partiach podręcznika.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.