William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

17.

Pod jakim kątem jest pierwsze minimum dla światła o długości fali $550 nm$ padającego na pojedynczą szczelinę o szerokości $1 µm$ ?
Czy wystąpi drugie minimum?

18.

Oblicz kąt, pod jakim występuje pierwsze minimum dyfrakcyjne na pojedynczej szczelinie, o szerokości $2 µm$ , na którą pada światło fioletowe o długości fali $410 nm$ ;
Pod jakim kątem jest pierwsze minimum dla światła czerwonego o długości fali $700 nm$ ?

19.

Jak szeroka jest pojedyncza szczelina, która daje pierwsze minimum dla światła o długości fali $633 nm$ i kąta $28 °$ ?
Pod jakim kątem wystąpi drugie minimum?

20.

Jaka jest szerokość pojedynczej szczeliny, dla której pierwsze minimum dla światła o długości fali $600 nm$ występuje przy kącie $60 °$ ?
Znajdź długość fali światła, dla którego pierwsze minimum występuje pod kątem $62 °$ .

21.

Znajdź długość fali światła, dla którego trzecie minimum występuje przy kącie $48,6 °$ , gdy pada ono na pojedynczą szczelinę o szerokości $3 µm$ .

22.

Światło sodowe (światło z lampy, w której źródłem są pary sodu) ma średnią długość fali $589 nm$ . Fala pada na pojedynczą szczelinę o szerokości $7,5 µm$ . Pod jakim kątem występuje drugie minimum?
Jaki jest najwyższy rząd obserwowanych minimów dyfrakcyjnych?

23.

Rozpatrz pojedynczą szczelinę dyfrakcyjną o szerokości $0,25 mm$ , na którą pada światło o długości fali $λ = 589 nm$ . Obraz szczeliny jest rzutowany na ekran odległy o $1 m$ . Jak daleko od środka obrazu znajdują się środki pierwszego i drugiego ciemnego prążka?

24.

Znajdź kąt między pierwszymi minimami dwóch linii światła z lampy sodowej, które mają długości fali $589,1 nm$ i $589,6 nm$ , gdy światło pada na pojedynczą szczelinę o szerokości $2 µm$ ;
Jaka jest odległość między tymi minimami, jeśli obraz dyfrakcyjny obserwujemy na ekranie w odległości $1 m$ od szczeliny?
Przedyskutuj łatwość lub trudność pomiaru takiej odległości.

25.

Jaka jest minimalna szerokość pojedynczej szczeliny (mierzona jako wielokrotność długości fali $λ$ ), przy której można zaobserwować pierwsze minimum dla długości fali $λ$ ?
Jaka jest jej minimalna szerokość, jeśli można zaobserwować $50$ minimów?
A jaka jest, jeśli można zaobserwować $1000$ minimów?

26.

Jeżeli minimum obrazu dyfrakcyjnego z pojedynczej szczeliny powstaje dla kąta $14,5 °$ , to jaki jest kąt dla minimum drugiego rzędu?
Jaki jest kąt dla minimum trzeciego rzędu?
Czy istnieje minimum czwartego rzędu?
Wykorzystaj swoje odpowiedzi do pokazania, że szerokość kątowa centralnego maksimum ma wartość około dwukrotnie większą od szerokości kątowej następnego maksimum (jest to kąt pomiędzy pierwszym i drugim minimum).

27.

Jeśli odległość na ekranie pomiędzy pierwszym i drugim minimum obrazu pojedynczej szczeliny dyfrakcyjnej wynosi $6 mm$ , to jaka jest odległość pomiędzy ekranem a szczeliną? Światło ma długość fali $500 nm$ , a szerokość szczeliny wynosi $0,16 mm$ .

28.

Wejście do portu możliwe jest przez barierę skalną posiadającą szeroki otwór o szerokości $50 m$ . Fale oceaniczne mają długość $20 m$ i padają prostopadle do powierzchni otworu. Pod jakim kątem względem kierunku padania fal powinny znajdować się łodzie w porcie, aby były najmniej narażone na ich działanie?

29.

Technik konserwacji samolotów przechodzi obok wysokich drzwi hangaru, które działają jak pojedyncza szczelina dla dźwięków wpadających do środka. Na zewnątrz hangaru, w linii prostopadłej do otworu w drzwiach, silnik odrzutowy wytwarza dźwięk o częstotliwości $600 Hz$ . Pod jakim kątem względem kierunku prostopadłego do drzwi technik zaobserwuje pierwsze minimum natężenia dźwięku, jeśli otwór drzwiowy ma szerokość $0,8 m$ , a prędkość dźwięku wynosi $340 m ∕ s$ ?

4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie

30.

Pojedyncza szczelina o szerokości $3 µm$ jest oświetlona przez żółte światło lampy sodowej o długości fali $589 nm$ . Znajdź natężenie dla kąta $15 °$ mierzonego względem osi, w kierunku której występuje centralne maksimum.

31.

Pojedyncza szczelina o szerokości $0,1 mm$ jest oświetlona przez lampę rtęciową, wysyłającą falę o długości $576 nm$ . Znajdź natężenie oświetlenia dla kąta $10 °$ względem osi, dla której występuje centralne maksimum.

32.

Szerokość centralnego piku dyfrakcyjnego na pojedynczej szczelinie wynosi $5 mm$ . Długość fali światła jest równa $600 nm$ , a ekran stoi w odległości $2 m$ od szczeliny.

Jaka jest szerokość tej szczeliny?
Określ natężenie światła w punkcie odległym o $4,5 mm$ od centrum względem natężenia w centrum obrazu.

33.

Rozważ obraz dyfrakcyjny na pojedynczej szczelinie dla $λ = 600 nm$ , $D = 0,025 mm$ i $x = 2 m$ . Znajdź natężenie względem $I_{0}$ dla kątów $θ = 0,5 °$ , $1 °$ , $1,5 °$ , $3 °$ i $10 °$ .

4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

34.

Dwie szczeliny o szerokości $2 µm$ każda, wykonane w nieprzezroczystym materiale, są w odległości takiej, że ich środki są oddalone od siebie o $6 µm$ . Na taką podwójną szczelinę pada monochromatyczne światło o długości fali $450 nm$ . Na ekranie powstaje połączenie obrazu interferencyjnego i dyfrakcyjnego.

Ile prążków interferencyjnych będzie obserwowanych w obszarze centralnego maksimum dyfrakcyjnego?
Ile prążków interferencyjnych będzie obserwowanych, jeśli zwiększymy dwukrotnie szerokość szczeliny przy zachowaniu takiej samej odległości pomiędzy szczelinami?
Ile prążków interferencyjnych będzie obserwowanych, jeśli odległość między szczelinami wzrośnie dwukrotnie do $12 µm$ przy zachowaniu takiej samej szerokości szczelin?
Co zmieni się w punkcie (a), gdy zamiast światła o długości fali $450 nm$ użyjemy światła o długości fali $680 nm$ ?
Ile wynosi stosunek wartości natężenia piku centralnego do natężenia następnego jasnego piku w punkcie (a)?
Czy stosunek ten zależy od długości fali światła?
Czy stosunek ten zależy od odległości między szczelinami?

35.

Podwójna szczelina tworzy obraz dyfrakcyjny, który jest połączeniem interferencji na pojedynczej i podwójnej szczelinie. Znajdź stosunek szerokości szczelin do odległości między nimi, jeśli pierwsze minimum w obrazie otrzymanym z pojedynczej szczeliny pokrywa się z piątym maksimum obrazu z dwóch szczelin. (Powoduje to znaczne zmniejszenie natężenia piątego maksimum).

36.

W przypadku konfiguracji z dwiema szczelinami, gdzie szczeliny oddalone są od siebie o odległość cztery razy większą od ich szerokości, oblicz, ile prążków interferencyjnych leży w obszarze środkowego piku obrazu dyfrakcyjnego.

37.

Światło o długości fali $500 nm$ pada prostopadle na $50$ szczelin o szerokości $2,5 \cdot 10^{-3} mm$ , rozmieszczonych co $5 \cdot 10^{-3} mm$ . Ile prążków interferencyjnych leży w obszarze środkowego piku dyfrakcyjnego?

38.

Monochromatyczne światło o długości fali $589 nm$ pada na podwójną szczelinę o szerokości $2,5 µm$ , o nieznanej odległości między szczelinami. Wewnątrz centralnego maksimum dyfrakcyjnego znajduje się dziewięć maksimów interferencyjnych. Na podstawie powyższych informacji znajdź odległość między szczelinami.

39.

Kiedy światło monochromatyczne o długości fali $430 nm$ pada na dwie szczeliny, gdzie odległość między dwiema szczelinami wynosi $5 µm$ , obserwuje się $11$ prążków interferencyjnych w obszarze centralnego maksimum. Ile prążków interferencyjnych zaobserwujesz w obszarze centralnego maksimum, gdy na tę samą podwójną szczelinę będzie padało światło o długości fali $632,8 nm$ ?

40.

Określ natężenia dwóch kolejnych pików interferencyjnych, poza pikiem środkowym, w obszarze centralnego maksimum dyfrakcyjnego, gdy światło o długości fali $628 nm$ pada na podwójną szczelinę o szerokości $500 nm$ . Szczeliny znajdują się w odległości $1500 nm$ od siebie. Przyjmij, że natężenie w środku centralnego maksimum wynosi $1 mW ∕ {cm}^{2}$ .

4.4 Siatki dyfrakcyjne

41.

Siatka dyfrakcyjna ma $2000$ linii na centymetr. Dla jakiego kąta zaobserwujemy maksimum pierwszego rzędu w przypadku zielonego światła o długości fali $520 nm$ ?

42.

Znajdź kąt, pod jakim obserwuje się maksimum trzeciego rzędu dla żółtego światła o długości fali $580 nm$ , które pada na siatkę dyfrakcyjną posiadającą $1500$ linii na centymetr.

43.

Ile szczelin na centymetr ma siatka dyfrakcyjna, dla której maksimum pierwszego rzędu w przypadku niebieskiego światła o długości fali $470 nm$ występuje pod kątem $25 °$ ?

44.

Jaka jest odległość między szczelinami siatki dyfrakcyjnej, która daje maksimum drugiego rzędu dla czerwonego światła o długości fali $760 nm$ pod kątem $60 °$ ?

45.

Oblicz długość fali światła, które padając na siatkę dyfrakcyjną o $5000$ liniach na centymetr, daje maksimum drugiego rzędu dla kąta $45 °$ .

46.

Prąd elektryczny płynący przez gazowy wodór wytwarza kilka różnych długości fali w zakresie światła widzialnego. Jakie są te długości fali widma wodoru, jeżeli dają maksima pierwszego rzędu pod kątami $24,2 °$ , $25,7 °$ , $29,1 °$ i $41 °$ , gdy światło pada na siatkę dyfrakcyjną posiadającą $10 000$ linii na centymetr?

47.

Jaka będzie odpowiednia wartość czterech kątów z poprzedniego zadania dla siatki dyfrakcyjnej, mającej 5000 linii na centymetr?
Dla tej samej siatki znajdź kąty maksimów drugiego rzędu;
Omów związek pomiędzy zmniejszeniem liczby linii na centymetr a nowymi kątami dla maksimów różnych rzędów.

48.

Jaki jest odstęp pomiędzy strukturami występującymi w piórku ptaka, które działają jak odbiciowe siatki dyfrakcyjne przy założeniu, że dają one maksimum pierwszego rzędu pod kątem $30 °$ dla światła o długości fali $525 nm$ ?

49.

Opal, taki jak pokazany na Ilustracji 4.15, działa jak odbiciowa siatka dyfrakcyjna posiadająca struktury odbiciowe odległe o około $8 µm$ . Gdy opal jest oświetlony światłem padającym prostopadle, pod jakim kątem będzie widoczne

światło czerwone;
światło niebieskie?

50.

Pod jakim kątem siatka dyfrakcyjna daje maksimum drugiego rzędu dla światła, dla którego maksimum pierwszego rzędu występuje przy kącie $20 °$ ?

51.

Znajdź maksymalną liczbę linii na centymetr siatki dyfrakcyjnej, którą może ona mieć, aby było widoczne przynajmniej jedno maksimum dla najmniejszej długości fali światła widzialnego;
Czy taka siatka będzie przydatna dla widma ultrafioletowego?
A dla widma w podczerwieni?

52.

Wykaż, że jeżeli siatka dyfrakcyjna ma $30 000$ linii na centymetr, to nie będzie widoczne żadne maksimum dla światła widzialnego;
Jaka jest najdłuższa długość fali, dla jakiej powstaje pierwsze maksimum?
Jaka jest największa liczba linii na centymetr, którą może mieć siatka dyfrakcyjna, aby było widoczne kompletne widmo drugiego rzędu dla światła widzialnego?

53.

Poniższy rysunek stosuje się również do dyfrakcji na siatce ze szczelinami umieszczonymi w odległości $d$ od siebie. Jaka jest odległość między prążkami wytworzonymi przez siatkę dyfrakcyjną mającą $125$ linii na centymetr dla światła o długości fali $600 nm$ , jeśli ekran stoi w odległości $1,5 m$ od niej? (Wskazówka: Przy założeniu, że odległość $d$ jest porównywalna z $λ$ , odległość między sąsiednimi prążkami wynosi $Δ y = x λ ∕ d$ ).

Figura przedstawia po lewej stronie linię i ekran po prawej stronie oddalony od linii o odległość x. w linii po lewej stronie znajdują się dwie szczeliny oddalone od siebie o d. Linia nachylona pod kątem theta do x pada na ekran w punkcie delta y równe x lambda przez d.

4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość

54.

Radioteleskop o średnicy $305 m$ w Arecibo pokazany na Ilustracji 4.20 wykrywa fale radiowe o średniej długości $4 cm$ .

Jaki jest kąt między dwoma dającymi się rozróżnić źródłami punktowymi dla tego teleskopu?
Jak blisko siebie mogą być te źródła punktowe, jeśli znajdują się w galaktyce Andromedy odległej o $\SI{2}{\mln}$ lat świetlnych?

55.

Zakładając rozdzielczość kątową wyznaczoną dla teleskopu Hubble’a w Przykładzie 4.6, wyznacz rozmiar najmniejszego szczegółu, który można by zaobserwować na Księżycu.

56.

Rozbieżność wiązki światła latarki na skutek dyfrakcji jest nieznaczna w porównaniu z innymi jego optycznymi ograniczeniami, takimi jak sferyczne aberracje w jego zwierciadle. Aby to pokazać, oblicz minimum kątowe rozbieżności wiązki promieni latarki, która ma pierwotnie średnicę $5 cm$ , a średnia długość fali jej światła wynosi $600 nm$ .

57.

Jaki jest minimalny kąt rozbieżności wiązki lasera He-Ne o długości fali $633 nm$ , która ma początkowo $1 mm$ średnicy?
Jeżeli laser jest skierowany na górskie urwisko odległe od nas o $15 km$ , to jak duża będzie oświetlająca je plama światła?
Zaniedbując efekty atmosferyczne, oblicz, jak wielka plama światła powstanie na Księżycu. (Może to być zrobione tak, aby wiązka światła trafiła w umieszczony wcześniej przez kosmonautów na Księżycu odpowiedni reflektor, odbiła się i wróciła na Ziemię, by z czasu ruchu można było wyznaczyć odległość).

58.

Teleskopy mogą być wykorzystane w celu powiększenia średnicy wiązki lasera i ograniczenia rozbieżności wiązki na skutek dyfrakcji. Wiązka laserowa jest wysyłana przez teleskop i może być skierowana na satelitę lub Księżyc.

Jeżeli odbywa się to z teleskopu w Mount Wilson, to wytworzona wiązka ma średnicę $2,54 m$ dla światła o długości fali $633 nm$ . Jaka jest minimalna rozpiętość kątowa wiązki?
Przy zaniedbaniu efektów atmosferycznych jaka jest wielkość utworzonej plamy światła na Księżycu przy założeniu, że odległość z Ziemi do Księżyca wynosi $3,84 \cdot 10^{8} m$ ?

59.

Granica ostrości oka jest związana z dyfrakcją na jego źrenicy.

Jaki jest kąt między dwoma możliwymi do rozróżnienia punktami świetlnymi dla średnicy źrenicy równej $3 mm$ przy założeniu średniej długości fali $550 nm$ ?
Przyjmij otrzymany wynik jako praktyczną granicę rozdzielczości dla oka. Jaka jest możliwie największa odległość samochodu, abyś mógł rozróżnić dwa reflektory, zważywszy, że znajdują się one w odległości $1,3 m$ od siebie?
Jaka jest odległość między dwoma punktami, które są rozróżnialne w odległości $0,8 m$ od oka?
W jaki sposób ma się twoja odpowiedź z podpunktu (c) do obserwowania szczegółów przedmiotów w codziennych okolicznościach?

60.

Jaka jest minimalna średnica zwierciadła w teleskopie, która pozwala zobaczyć szczegóły na Księżycu, odległym od Ziemi o $384 000 km$ , o wymiarze $5 km$ ? Załóż, że średnia długość fali dla odebranego światła wynosi $550 nm$ .

61.

Znajdź promień obrazu gwiazdy na siatkówce oka, gdy jego źrenica jest rozszerzona do $0,65 cm$ , a odległość źrenicy od siatkówki wynosi $2,8 cm$ . Załóż, że $λ = 550 nm$ .

62.

Planeta karłowata Pluton i jego księżyc Charon znajdują się w odległości $19 600 km$ . Pomijając efekty atmosferyczne, oceń, czy teleskop w Palomar Mountain o średnicy $5,08 m$ jest w stanie rozróżnić te ciała, gdy są one $4,5 \cdot 10^{9} km$ oddalone od Ziemi. Załóż, że średnia długość fali światła wynosi $550 nm$ ;
W rzeczywistości wykorzystując teleskop naziemny, nie da się prawie dostrzec, że Pluton i Charon są oddzielnymi ciałami. Jakie są tego przyczyny?

63.

Satelita szpiegowski okrąża Ziemię na wysokości $180 km$ . Jaka jest minimalna średnica soczewki obiektywu w teleskopie, który ma być wykorzystany do rozróżnienia kolumny maszerujących żołnierzy w odległości $2 m$ od siebie? Załóż, że $λ = 550 nm$ .

64.

Jaki jest minimalny odstęp kątowy dla dwóch gwiazd, które są rozróżnialne podczas obserwacji przez $8,1$ -metrowy teleskop Gemini South, zakładając, że efekty atmosferyczne nie ograniczają rozdzielczości? Należy przyjąć $550 nm$ jako długość fali światła emitowanego przez gwiazdy.

65.

Reflektory samochodu są umieszczone $1,3 m$ od siebie. Jaka jest maksymalna odległość, przy której oko może rozróżnić te dwa reflektory? Przyjmij średnicę źrenicy równą $0,4 cm$ .

66.

Kropki na stronie z drukarki laserowej muszą być na tyle blisko siebie, by nie było widać poszczególnych punktów tuszu. Aby uzyskać taki efekt, odległość między punktami musi być mniejsza niż ta wynikająca z kryterium Rayleigha. Przyjmij średnicę źrenicy oka równą $3 mm$ , a odległość oka od papieru $35 cm$ . Przy jakiej minimalnej odległości między tymi dwoma punktami nie będą już one rozróżniane? Ilu punktom na cal (dpi) to odpowiada?

67.

Patrzysz w dół na autostradę z pasażerskiego samolotu odrzutowego lecącego na wysokości $6 km$ . Jak daleko od siebie muszą się znajdować dwa samochody, abyś był w stanie je rozróżnić? Założ, że $λ = 550 nm$ , a średnica źrenicy twoich oczu wynosi $4 mm$ .

68.

Czy astronauta znajdujący się w satelicie na orbicie Ziemi w odległości $180 km$ od jej powierzchni może rozróżnić dwa drapacze chmur, które są oddalone o $20 m$ od siebie? Załóż, że źrenice oczu astronauty mają średnicę $5 mm$ i że większość wpadającego do oczu światła ma długość fali wynoszącą około $500 nm$ .

69.

Napisy na stadionowej tablicy wyników są utworzone z gęsto rozmieszczonych żarówek, które emitują głównie światło żółte. (Przyjmij $λ = 600 nm$ ). Jak blisko muszą być względem siebie rozmieszczone żarówki, aby obserwator z odległości $\SI{80}{\metre}$ widział wyświetlane linie jako ciągłe, a nie jako poszczególne żarówki? Załóż, że źrenice oczu obserwatora mają średnicę $5 mm$ .

70.

Jeżeli mikroskop może zbierać światło od obiektów w kątach do $α = 70 °$ , to jaka jest najmniejsza struktura, która może zostać rozróżniona, gdy oświetlona jest światłem o długości fali $500 nm$ ,

gdy preparat jest w powietrzu;
gdy preparat jest zanurzony w oleju o współczynniku załamania światła $1,52$ ?

71.

Aparat wykorzystuje obiektyw z przysłoną o średnicy $2 cm$ . Jaka jest rozdzielczość kątowa zdjęcia wykonanego przy długości fali $700 nm$ ? Czy będą widoczne oznaczenia na milimetrowej linijce umieszczonej w odległości $\SI{35}{\metre}$ od aparatu?

4.6 Dyfrakcja rentgenowska

72.

Promieniowanie rentgenowskie o długości fali $0,103 nm$ odbija się od kryształu, a maksima drugiego rzędu są rejestrowane pod kątem Bragga $25,5 °$ . Jaki jest odstęp pomiędzy płaszczyznami rozpraszającymi w tym krysztale?

73.

Maksimum pierwszego rzędu odbicia Bragga występuje, gdy monochromatyczne promieniowanie rentgenowskie pada na kryształ pod kątem $32,3 °$ względem płaszczyzny odbijającej. Jaka jest długość fali tego promieniowania?

74.

Eksperyment rozpraszania promieni rentgenowskich przeprowadza się na krysztale, którego atomy tworzą płaszczyzny odległe od siebie o $0,44 nm$ . Jeżeli źródło promieni rentgenowskich wytwarza fale o długości $0,548 nm$ , to jaki jest kąt (w odniesieniu do płaszczyzn odbijających), pod którym eksperymentator musi oświetlać kryształ w celu obserwacji maksimum pierwszego rzędu?

75.

Struktura krystaliczna NaCl tworzy płaszczyzny odległe od siebie o $0,541 nm$ . Jaki jest najmniejszy kąt mierzony względem tych płaszczyzn, dla którego dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego może być zaobserwowana, jeżeli zastosowane promieniowanie rentgenowskie ma długość fali $0,085 nm$ ?

76.

Dla pewnego kryształu maksimum pierwszego rzędu dyfrakcji promieni rentgenowskich obserwuje się pod kątem $27,1 °$ mierzonym względem jego powierzchni przy użyciu źródła promieniowania rentgenowskiego o nieznanej długości fali. Ponadto, gdy kryształ oświetli się inną, tym razem znaną długością fali równą $0,137 nm$ , maksimum drugiego rzędu wystąpi przy $37,3 °$ . Wyznacz

odstęp między płaszczyznami odbijającymi;
nieznaną długość fali.

77.

Kryształy kalcytu zawierają rozpraszające (odbijające) płaszczyzny odległe od siebie o $0,3 nm$ . Jaka jest odległość kątowa między maksimum pierwszego i drugiego rzędu dyfrakcji dla fal rentgenowskich o długości $0,13 nm$ ?

78.

Kąt Bragga dla pierwszego rzędu dyfrakcji na pewnym krysztale wynosi $12,1 °$ . Jaki jest ten kąt dla drugiego rzędu?