4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość

Światło ulega dyfrakcji, biegnąc w przestrzeni, ugina się wokół przeszkód oraz ulega interferencji konstruktywnej i destruktywnej. To zjawisko może być wykorzystane jako narzędzie spektroskopowe. Na przykład siatka dyfrakcyjna, która ugina światło w sposób zależny od długości fal, jest używana do rozszczepienia wiązki światła białego i tworzenia widma. Z drugiej jednak strony dyfrakcja ogranicza możliwość rozróżniania szczegółów w uzyskanych obrazach.

Ilustracja 4.17 (a) pokazuje efekt przejścia światła przez niewielki otwór kołowy. Zamiast jasnej plamy z ostrymi krawędziami otrzymujemy plamę z rozmytym brzegiem otoczonym przez świetlne okręgi. Ten efekt jest spowodowany dyfrakcją, podobnie jak ma to miejsce przy pojedynczej szczelinie. Światło z różnych części otworu kołowego ulega interferencji konstruktywnej i destruktywnej. Ten efekt najlepiej obserwuje się, gdy otwór jest niewielki, mimo że występuje on również dla dużych otworów.

Ilustracja 4.17 (a) Światło monochromatyczne przechodzące przez niewielki otwór kołowy wytwarza obraz dyfrakcyjny. (b) Dwa źródła światła punktowego, które są położone blisko siebie, z powodu dyfrakcji dają zachodzące na siebie obrazy. (c) Jeśli źródła są ze sobą jeszcze bliżej, nie można ich odróżnić ani odseparować.

Jak dyfrakcja wpływa na obserwację szczegółów obrazu powstającego, gdy światło przechodzi przez otwór? Ilustracja 4.17 (b) pokazuje obraz dyfrakcyjny wytwarzany przez dwa źródła światła punktowego położone blisko siebie. Obraz jest podobny do tego pochodzącego od pojedynczego źródła, ale jesteśmy w stanie powiedzieć, że pochodzi raczej od dwóch źródeł światła niż od jednego. Jeśli źródła są jeszcze bliżej siebie, jak na Ilustracji 4.17 (c), nie możemy ich odróżnić i wówczas wiemy, że osiągnęliśmy granicę rozróżniania szczegółów lub granicę rozdzielczości (ang. resolution). Ta granica to nieunikniona konsekwencja falowej natury światła.

Dyfrakcja ogranicza rozdzielczość w wielu sytuacjach. Na przykład ostrość naszego wzroku jest ograniczona, ponieważ światło przechodzi przez źrenicę, która jest okrągłym otworem w oku. Należy pamiętać, że rozpraszanie się światła z udziałem dyfrakcji jest spowodowane ograniczeniem średnicy otworu, przez który światło przechodzi, a nie oddziaływaniem światła z otworem. Sprawia to, że dla światła przechodzącego przez otwór o średnicy $D$ omawiany powyżej efekt będzie dotyczył światła przechodzącego przez soczewkę o średnicy $D$ i polegał na rozmywaniu i zacieraniu się obrazu. Tak więc dyfrakcja ogranicza rozdzielczość dowolnego układu posiadającego obiektyw lub zwierciadło. Rozdzielczość teleskopów, których częścią jest zwierciadło o średnicy $D$, jest również ograniczona przez dyfrakcję.

Jaka jest granica rozdzielczości? Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozpatrzymy obraz dyfrakcyjny dla otworu kołowego, który ma centralne maksimum, szersze i jaśniejsze niż maksima wokół niego, podobnie jak w przypadku szczeliny (Ilustracja 4.18 (a)). Można pokazać, że dla okrągłego otworu o średnicy $D$ pierwsze minimum w obrazie dyfrakcji występuje przy kącie $\theta =\mathrm{1,22}\lambda ∕D$ (pod warunkiem, że otwór jest duży w porównaniu do długości fali światła, co ma miejsce w przypadku większości przyrządów optycznych). Ogólnie przyjęte kryterium do wyznaczania dyfrakcyjnej granicy rozdzielczości (ang. diffraction limit) na podstawie tego kąta, opracowane przez lorda Rayleigha (1842–1919) w XIX wieku, jest znane właśnie jako kryterium Rayleigha (ang. Rayleigh criterion).

Pierwsze minimum wypada pod kątem $\theta =\mathrm{1,22}\lambda ∕D$, stąd dwa obiekty punktowe będą rozróżnialne, jeśli są rozdzielone kątem

gdzie $\lambda$ to długość fali światła (lub innego promieniowania elektromagnetycznego), a $D$ to średnica otworu, soczewki, zwierciadła itp., przez które obserwujemy dwa przedmioty. W tym wyrażeniu kąt $\theta$ podaje się w radianach. Jest on również powszechnie znany jako granica dyfrakcyjna.

Ilustracja 4.18 (a) Wykres natężenia światła dla dyfrakcji na otworze kołowym. Zauważmy, że podobnie jak dla pojedynczej szczeliny centralne maksimum jest większe i wyższe niż maksima boczne. (b) Dwa obiekty punktowe tworzą zachodzące na siebie obrazy dyfrakcyjne. Zilustrowane jest kryterium Rayleigha rozróżnialności obiektów. Centralne maksimum pierwszego obrazu dyfrakcyjnego leży w miejscu pierwszego minimum drugiego.

Wszystkie próby obserwacji i odwzorowania rozmiaru i kształtu obiektów ogranicza użyta długość fali światła. Nawet jej mała wartość nie zapewnia precyzji odwzorowania. Kiedy stosuje się fale o bardzo małej długości, tak jak w przypadku mikroskopu elektronowego fale materii, i tak istnieje granica naszej wiedzy o obiekcie. W tym przypadku to zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi, że granica ta jest fundamentalna i nieunikniona, o czym przekonamy się w rozdziale o mechanice kwantowej.

Przykład 4.6

Obliczanie dyfrakcyjnej granicy rozdzielczości dla Teleskopu Kosmicznego Hubble’a

Podstawowe zwierciadło orbitującego teleskopu Hubble’a ma średnicę $\mathrm{2,4}\mathrm{m}$. Będąc na orbicie, teleskop pozwala uniknąć wpływu zakłóceń atmosferycznych na jego rozdzielczość.

1. Jaki jest kąt pomiędzy dwoma możliwymi do rozdzielenia punktowymi źródłami światła (mogą to być dwie gwiazdy)? Przyjmijmy średnią długość fali światła $550\mathrm{nm}$;
2. Jeśli te dwie gwiazdy leżą w odległości 2 milionów lat świetlnych od Ziemi, czyli odległości Ziemi od galaktyki Andromedy, to jak blisko siebie mogą się znaleźć, by nadal być rozróżnialne? (Rok świetlny ($\mathrm{ly}$) to odległość, jaką światło przebywa w ciągu 1 ziemskiego roku).

Strategia rozwiązania

Kryterium Rayleigha podane w Równaniu 4.5 w postaci $\theta =\mathrm{1,22}\text{λ}\text{/}D$ pozwala ustalić najmniejszy możliwy kąt $\theta$ pomiędzy obserwowanymi źródłami punktowymi, przy którym są one rozróżnialne. Gdy określimy ten kąt, możemy obliczyć odległość między gwiazdami, o ile wiemy, jak daleko od Ziemi się znajdują.

Rozwiązanie

1. Kryterium Rayleigha dla minimalnego kąta rozdzielczości ma postać
   $$\theta =\mathrm{1,22}\frac{\lambda }{D}\text{.}$$
   Wprowadzając znane wartości, otrzymujemy
   $$\theta =\mathrm{1,22}\cdot \frac{550\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}}{\mathrm{2,4}\mathrm{m}}=\mathrm{2,8}\cdot {10}^{-7}\mathrm{rad}\text{.}$$
2. Odległość $s$ między dwoma obiektami odległymi od nas o $r$, widzianymi pod kątem $\theta$, jest równa $s=r\theta$. Podstawiając znane wartości, otrzymujemy
   $$s=2\cdot {10}^6\mathrm{ly}\cdot \mathrm{2,8}\cdot {10}^{-7}\mathrm{rad}=\mathrm{0,56}\mathrm{ly}\text{.}$$

Znaczenie

Kąt znaleziony w części (a) zadania okazał się wyjątkowo mały (mniej niż $1∕\mathrm{50\hspace{0.17em}000}$ stopnia), ponieważ główne zwierciadło teleskopu jest bardzo duże w porównaniu z długością fali światła. Jak już wspomniano, efekty dyfrakcyjne są najbardziej widoczne, gdy światło oddziałuje z obiektami o rozmiarach rzędu długości fali światła. Jednak sam efekt nadal występuje, choć istnieje ograniczenie dyfrakcyjne w stosunku do tego, co można zaobserwować. Rzeczywista rozdzielczość teleskopu Hubble’a nie jest tak dobra, jak by wynikało z użytego wzoru. Podobnie jak w przypadku wszystkich instrumentów optycznych istnieją inne efekty, takie jak niejednorodności na powierzchni zwierciadeł lub aberracje soczewek, jeszcze bardziej ograniczające rozdzielczość. Pomimo to na Ilustracji 4.19 widać różnicę poziomu jakości i szczegółowości obrazu obiektu obserwowanego przez teleskop Hubble’a znajdujący się powyżej atmosfery ziemskiej oraz obrazu z teleskopu naziemnego.

Ilustracja 4.19 Te dwie fotografie galaktyki Galaxy M82 dają wyobrażenie o obserwowalnych szczegółach uzyskanych z (a) teleskopu naziemnego i (b) umieszczonego w przestrzeni kosmicznej teleskopu Hubble’a. Źródło: modyfikacja pracy „Ricnun”/Wikimedia Commons

Odpowiedź w części (b) zadania wskazuje, że można rozróżnić dwie gwiazdy oddalone od siebie o około połowę roku świetlnego. Średnia odległość między gwiazdami w galaktyce jest rzędu 5 lat świetlnych w częściach zewnętrznych i około roku świetlnego blisko jej centrum. Dlatego teleskop Hubble’a pozwala rozróżnić większość pojedynczych gwiazd w galaktyce Andromedy, nawet jeśli leżą one w takiej odległości, że ich światło biegnie do nas 2 miliony lat. Na Ilustracji 4.20 pokazano inne zwierciadło, tym razem używane do obserwowania fal radiowych z kosmosu.

Ilustracja 4.20 Radioteleskop o średnicy $305\mathrm{m}$ w obserwatorium Arecibo w Portoryko. Jest on wyłożony materiałem odbijającym i stanowi największą skupiającą zakrzywioną powierzchnię na świecie. Chociaż jego średnica $D$ jest większa niż teleskopu Hubble’a, wykrywa on fale promieniowania o znacznie większej długości i jego dyfrakcyjna granica rozdzielczości zdecydowanie pogarsza się w porównaniu z przypadkiem teleskopu Hubble’a. Teleskop w Arecibo jest nadal bardzo przydatny, ponieważ niektóre ważne informacje o obiektach kosmicznych przekazywane falami radiowymi nie są przesyłane z wykorzystaniem światła widzialnego. Źródło: Jeff Hitchcock

Dyfrakcja jest problemem nie tylko dla przyrządów optycznych, ale również dla promieniowania elektromagnetycznego jako takiego. Każda wiązka światła o skończonej średnicy $D$ i długości fali $\lambda$ wykazuje dyfrakcyjne rozchodzenie się (rozbieżność wiązki). Równoległa wiązka rozchodzi się pod kątem $\theta$, podanym za pomocą równania $\theta =\mathrm{1,22}\lambda ∕D$. Weźmy przykładowo wiązkę laserową, w której początkowo promienie są tak równoległe, jak to tylko możliwe (kąty pomiędzy promieniami są możliwie najbliżej $\theta =0°$), rozchodzącą się pod kątem $\theta =\mathrm{1,22}\lambda ∕D$, gdzie $D$ jest średnicą wiązki, a $\lambda$ długością fali. Tej rozbieżności wiązki nie da się zaobserwować dla latarki, ponieważ w jej przypadku promienie wiązki nie są równoległe już w chwili startu. Jednakże przy przesyłaniu wiązki lasera lub sygnałów mikrofalowych na duże odległości efekt ten może być znaczący (Ilustracja 4.21). Aby tego uniknąć, możemy zwiększyć $D$, jak ma to miejsce w przypadku światła lasera wysyłanego na Księżyc w celu pomiaru jego odległości od Ziemi. Wiązka lasera jest poszerzana przez teleskop, aby $D$ było znacznie większe, a kąt $\theta$ mniejszy.

Ilustracja 4.21 Wiązka wytwarzana przez mikrofalową antenę transmisyjną rozchodzi się pod minimalnym kątem $\theta =\mathrm{1,22}\lambda ∕D$ z powodu dyfrakcji. Nie da się wytworzyć wiązki równoległej, ponieważ ze względu na antenę wiązka ma ograniczoną średnicę.

W większości laboratoriów biologicznych, tam, gdzie używa się mikroskopów, pojawiają się problemy z rozdzielczością. Im mniejsza odległość $x$, przy której można odróżnić dwa obiekty, tym większa rozdzielczość. Odległość ta określa moc rozdzielczą soczewki. Wyrażenie na rozdzielczość podaje się na podstawie kryterium Rayleigha. Ilustracja 4.22 (a) pokazuje dwa punkty badanego obiektu położone w odległości $x$ od siebie. Zgodnie z kryterium Rayleigha rozróżnienie ich jest możliwe, gdy minimalna odległość kątowa wynosi

gdzie $d$ jest odległością między próbką a soczewką obiektywu; zastosowaliśmy również przybliżenie małego kąta (tzn. założyliśmy, że $x$ jest dużo mniejsza od $d$), więc $tg\theta \approx sin\theta \approx \theta$. Dlatego rozdzielczość jest równa

Innym sposobem na określenie rozdzielczości jest wprowadzenie pojęcia apertury numerycznej ($NA$), będącej miarą maksymalnego dozwolonego kąta, przy którym soczewka zbiera wiązkę światła i wprowadza ją dalej do wnętrza. Ilustracja 4.22 (b) ilustruje soczewkę i przedmiot w punkcie $P$. $NA$ to miara zdolności soczewki do skupienia światła i uzyskania szczegółów. Kąt wyznaczony przez soczewkę w jej ognisku definiuje się jako $\theta =2\alpha$. Na podstawie rysunku, po zastosowaniu przybliżenia małych kątów, możemy napisać

$NA$ dla soczewki wynosi $NA=nsin\alpha$, gdzie $n$ jest współczynnikiem załamania ośrodka między przedmiotem w punkcie $P$ a soczewką. Z powyższej definicji dla $NA$ otrzymujemy

W mikroskopie $NA$ ma niemałe znaczenie, ponieważ określa zdolność rozdzielczą obiektywu. Obiektyw o dużej wartości $NA$ pozwala dostrzec więcej szczegółów. Takie soczewki są również w stanie zbierać więcej światła, a tym samym dawać jaśniejszy obraz. Inaczej można powiedzieć, że im bardziej rośnie $NA$, tym większy stożek światła może być wprowadzony do obiektywu, a co za tym idzie, soczewka skupia więcej rzędów dyfrakcji. W ten sposób mikroskop dostarcza dokładniejszej informacji, dając wyraźniejszy obraz ze względu na większą zdolność rozdzielczą.

Ilustracja 4.22 (a) Dwa punkty oddalone od siebie o $x$, umieszczone w odległości $d$ od obiektywu. (b) Określenia i symbole użyte w dyskusji na temat zdolności rozdzielczej dla obiektywu i obiektu w punkcie $P$. Źródło (a): modyfikacja pracy „Infopro”/Wikimedia Commons

Jedną z konsekwencji dyfrakcji jest to, że punkt ogniska (ognisko) ma skończoną szerokość i rozkład natężenia. Wyobraźmy sobie ogniskowanie wiązki jedynie według optyki geometrycznej, jak na Ilustracji 4.23 (a). Punkt ogniska jest wtedy nieskończenie mały, co daje ogromne natężenie skupionej wiązki, mogące doprowadzić do zapłonu próbek niezależnie od $NA$ obiektywu – jest to jednak zbyt duże uproszczenie. W przypadku optyki falowej z powodu dyfrakcji bierzemy pod uwagę zjawisko, w którym punkt ogniska rozmywa się do postaci obszaru ogniska (Ilustracja 4.23 (b)), przy czym stopień rozmycia zmniejsza się wraz ze wzrostem $NA$, jednak obszar ten nigdy nie staje się prawdziwym punktem. W konsekwencji natężenie w ognisku wzrasta razem z wartością $NA$ i zwiększa się prawdopodobieństwo uszkodzenia próbki.

Ilustracja 4.23 (a) W optyce geometrycznej ognisko przedstawia się jako punkt, ale fizycznie nie jest to możliwe, ponieważ wynika z tego nieskończone natężenie światła w ognisku. (b) W optyce falowej ognisko jest rozszerzonym obszarem.

W innym typie mikroskopu cząsteczki wewnątrz próbki są pobudzane do emitowania światła za sprawą mechanizmu zwanego fluorescencją. Poprzez kontrolowanie cząsteczek emitujących światło można skonstruować obrazy o dużej rozdzielczości, większej, niżby to wynikało z kryterium Rayleigha, tym samym omijając granicę dyfrakcji. Za rozwój metody superrozdzielczej mikroskopii fluorescencyjnej została w roku 2014 przyznana Nagroda Nobla.