4.4 Siatki dyfrakcyjne

Obliczanie typowych efektów uzyskiwanych za pomocą siatek dyfrakcyjnych

Siatki dyfrakcyjne o $\mathrm{10\hspace{0.17em}000}$ linii na centymetr są łatwo dostępne. Załóżmy, że mamy taką siatkę i wysyłamy przez nią do ekranu odległego o $2\mathrm{m}$ promień światła białego.

1. Znajdźmy kąty dyfrakcji pierwszego rzędu dla najkrótszej i najdłuższej długości fali z zakresu światła widzialnego (odpowiednio $380\mathrm{nm}$ i $760\mathrm{nm}$);
2. Jaka jest odległość pomiędzy końcami widma obserwowanego na ekranie dla pierwszego rzędu interferencji? (patrz Ilustracja 4.16).

Strategia rozwiązania

Po ustaleniu wartości odległości $d$ między szczelinami siatki dyfrakcyjnej kąty, pod którymi obserwujemy na ekranie ostre linie, można określić za pomocą równania

Ponieważ siatka posiada $\mathrm{10\hspace{0.17em}000}$ linii na centymetr, to każda z nich jest odległa o $1∕\mathrm{10\hspace{0.17em}000}$ centymetra od sąsiedniej. Kiedy już znamy kąty, odległości wzdłuż ekranu znajdziemy, korzystając ze zwykłej trygonometrii.

Rozwiązanie

1. Odległość między szczelinami wynosi $d=1\mathrm{cm}∕\mathrm{10\hspace{0.17em}000}={10}^{-4}\mathrm{cm}$ lub ${10}^{-6}\mathrm{m}$. Aby otrzymać dwa kąty: ${\theta }_{\text{f}}$ dla fioletu ($380\mathrm{nm}$) i ${\theta }_{\text{c}}$ dla czerwieni ($760\mathrm{nm}$), przekształćmy odpowiednio powyższe równanie. Dla fioletu z $dsin{\theta }_{\text{f}}=m\lambda$ otrzymujemy
   $$sin{\theta }_{\text{f}}=\frac{m{\lambda }_{\text{f}}}{d}\text{,}$$
   gdzie dla pierwszego rzędu $m=1$, a ${\lambda }_{\text{f}}=380\mathrm{nm}=\mathrm{3,8}\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}$. Podstawienie tych wartości daje
   $$sin{\theta }_{\text{f}}=\frac{\mathrm{3,8}\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}}{{10}^{-6}\mathrm{m}}=\mathrm{0,38}\text{.}$$
   Zatem kąt ${\theta }_{\text{f}}$ wynosi
   $${\theta }_{\text{f}}=arc sin\left(\mathrm{0,38}\right)=\mathrm{22,33}°\text{.}$$
   Podobnie
   $$sin{\theta }_{\text{c}}=\frac{\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-7}\mathrm{m}}{{10}^{-6}\mathrm{m}}=\mathrm{0,76}\text{.}$$
   Zatem kąt ${\theta }_{\text{c}}$ wynosi
   $${\theta }_{\text{c}}=arc sin\left(\mathrm{0,76}\right)=\mathrm{49,46}°\text{.}$$
   Zauważmy, że w obu równaniach przedstawiliśmy wyniki tych obliczeń z dokładnością do czterech cyfr znaczących, które to dane liczbowe wykorzystamy do obliczeń w części (b).
2. Położenia na ekranie są oznaczone na rysunku jako $y_{\text{f}}$ i $y_{\text{c}}$. Zauważmy, że $tg\theta =y∕x$. Rozwiązując dla $y_{\text{f}}$ i $y_{\text{c}}$, otrzymujemy
   $$y_{\text{f}}=xtg{\theta }_{\text{f}}=2\mathrm{m}\cdot tg\left(\mathrm{22,33}°\right)=\mathrm{0,815}\mathrm{m}$$

   oraz

   $$y_{\text{c}}=xtg{\theta }_{\text{c}}=2\mathrm{m}\cdot tg\left(\mathrm{49,46}°\right)=\mathrm{2,338}\mathrm{m}\text{.}$$

   Stąd odległość między nimi wynosi

   $$y_{\text{c}}-y_{\text{f}}=\mathrm{1,523}\mathrm{m}\text{.}$$

Znaczenie

Duża odległość między czerwonym i fioletowym końcem widma tęczy wytworzonej ze światła białego wskazuje na możliwość zastosowania siatki dyfrakcyjnej jako narzędzia spektroskopowego. Im bardziej można rozciągnąć widmo długości fal (zwiększyć dyspersję), tym bardziej szczegółowo można zobaczyć poszczególne jego części. Zależy to od jakości siatki dyfrakcyjnej – musi być ona bardzo precyzyjnie wykonana, aby dokładnie określonym długościom fali na ekranie odpowiadało ścisłe rozmieszczenie linii.