Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 34.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać łączny efekt interferencji i dyfrakcji na podwójnej szczelinie, z których każda szczelina jest o skończonej szerokości;
  • określać względne natężenia prążków interferencyjnych w obrębie obrazu dyfrakcyjnego;
  • identyfikować brakujące rzędy widma, jeśli takie istnieją.

Kiedy badaliśmy interferencję w eksperymencie Younga z podwójną szczeliną, zignorowaliśmy efekt dyfrakcyjny na każdej szczelinie. Założyliśmy, że szczeliny były tak wąskie, że na ekranie widać było interferencję światła z zaledwie dwóch źródeł punktowych. Jeśli szczelina jest mniejsza niż długość fali, to Ilustracja 4.10 (a) pokazuje, że światło się rozchodzi, i obserwujemy wyłącznie szeroki pik centralny o malejącym natężeniu, bez minimów i bocznych maksimów dyfrakcyjnych. Dlatego rozsądnie było wówczas nie uwzględniać efektu dyfrakcyjnego. Jeśli jednak zrobimy szerszą szczelinę, tak jak to pokazuje Ilustracja 4.10 (b) i (c), to nie można pomijać zjawiska dyfrakcji. W tej części zbadamy komplikacje, z jakimi mamy do czynienia w eksperymencie z dwiema szczelinami, gdy trzeba wziąć pod uwagę efekt dyfrakcyjny na każdej z nich.

Aby wyznaczyć obraz dyfrakcyjny dla dwóch (lub dowolnej liczby) szczelin, musimy uogólnić metodę, którą stosowaliśmy dla pojedynczej szczeliny. Oznacza to, że w każdej szczelinie umieszczamy źródła punktowe o jednolitym rozkładzie, emitujące fale wtórne (fale Huygensa), a następnie sumujemy te wychodzące ze wszystkich szczelin fale, co daje natężenie światła w dowolnym punkcie na ekranie. Chociaż szczegóły tych obliczeń mogą się wydać dosyć skomplikowane, to ostateczny wynik jest dość prosty.

Obraz dyfrakcyjny z dwóch szczelin

Obraz dyfrakcyjny z dwóch szczelin (ang. two-slit diffraction pattern) o szerokości D D, które znajdują się w odległości d d od siebie, jest złożeniem obrazu interferencyjnego otrzymanego z dwóch źródeł punktowych odległych od siebie o d d i obrazu dyfrakcyjnego ze szczeliny o szerokości D D.

Innymi słowy, położenia prążków interferencyjnych są dane równaniem d sin θ = m λ d sin θ = m λ , tak samo jak wtedy, gdy rozważamy szczeliny jako punktowe źródła, ale natężenia prążków są teraz zmniejszone przez efekty dyfrakcyjne, zgodnie z Równaniem 4.4. (Zauważmy, że w rozdziale o interferencji napisaliśmy d sin θ = m λ d sin θ = m λ i użyliśmy liczby całkowitej m m do numeracji prążków interferencyjnych. Równanie 4.1 również wykorzystuje symbole m m, ale tym razem odnoszą się one do minimów dyfrakcyjnych. Jeśli obu równań używa się równocześnie, dobrze jest stosować inną zmienną (taką jak n n) dla jednej z tych liczb całkowitych w celu ich odróżnienia).

Minima natężenia światła dla efektów interferencyjnych i dyfrakcyjnych występujących równocześnie powstają pod różnymi kątami. Na ekranie pojawia się skomplikowany obraz, w którym brakuje niektórych maksimów interferencyjnych pochodzących od obu szczelin, wówczas gdy maksimum interferencyjne występuje w tym samych kierunku co minimum dyfrakcyjne. Będziemy określać taki brakujący pik jako brakujący rząd (ang. missing order). Przykład takiego obrazu dyfrakcyjnego na ekranie jest pokazany na Ilustracji 4.11. Linia ciągła z wieloma pikami (maksimami) o różnych wysokościach odpowiada natężeniu obrazu obserwowanemu na ekranie, otrzymanego ze złożenia obrazu interferencji fal z oddzielnych szczelin i dyfrakcji fal na pojedynczej szczelinie.

Figura przedstawia wykres I przez I0 w funkcji theta. Na wykresie narysowano trzy krzywe. Krzywa interferencyjna posiada mniejszą długość fali. Krzywa dyfrakcyjna ma większą długość fali a y wynosi 1 dla x równego 0. Wypadkowa krzywa ma tę samą długość fali co krzywa interferencyjna. Każdy grzbiet fali interferencyjnej jest opisany m równa się 1, m równa się 2 itd. Fala dyfrakcyjna osiąga wartość zero dla m równego 3 i theta równego 30 stopni. Stąd fala wypadkowa też posiada wartość zero, co jest opisane jako zgubiony rząd dla m równego 3.
Ilustracja 4.11 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie. Purpurowa linia z pikami o tej samej wysokości opisuje obraz interferencji fal z dwóch szczelin; niebieska linia z jednym dużym garbem pośrodku opisuje obraz dyfrakcyjny otrzymany z pojedynczej szczeliny; gruba, czerwona linia, która opisuje obraz obserwowany na ekranie, jest ich złożeniem (iloczynem natężeń). Wykres przedstawia oczekiwany wynik dla szerokości szczeliny D = 2 λ D = 2 λ D=2\lambda i odległości między szczelinami d = 6 λ d = 6 λ d=6\lambda . Widoczny jest brak maksimum interferencyjnego dla m = ± 3 m = ± 3 m=\text{}\pm 3 , ponieważ w tym samym kierunku występuje minimum dyfrakcyjne.

Przykład 4.3

Intensywność prążków

Ilustracja 4.11 pokazuje, że natężenie prążka dla m = 3 m=3 wynosi zero, ale co z innymi prążkami? Obliczmy natężenie prążka dla m = 1 m=1 względem natężenia piku centralnego I 0 I 0 .

Strategia rozwiązania

Określimy kąt interferencji konstruktywnej na podwójnej szczelinie, posługując się wzorem z rozdziału Interferencja, a następnie ustalimy względne natężenie dla tego kąta określone przez dyfrakcję, korzystając z Równania 4.4.

Rozwiązanie

Z rozdziału o interferencji wiemy, że jasne prążki interferencyjne występują, gdy d sin θ = m λ d sin θ = m λ lub
sin θ = m λ d . sin θ = m λ d .

Z Równania 4.4 mamy

I = I 0 sin β β 2 , gdzie  β = ϕ 2 = π D sin θ λ . I= I 0 sin β β 2 , gdzie  β = ϕ 2 = π D sin θ λ .

Po podstawieniu z powyższego otrzymujemy

β = π D sin θ λ = π D λ m λ d = m π D d . β= π D sin θ λ = π D λ m λ d = m π D d .

Dla D = 2 λ D= 2 λ , d = 6 λ d= 6 λ i m = 1 m=1

β = π 2 λ 6 λ = π 3 . β= π 2 λ 6 λ = π 3 .

Stąd natężenie wynosi

I = I 0 sin β β 2 = I 0 sin π 3 π 3 2 = 0,684 I 0 . I= I 0 sin β β 2 = I 0 sin π 3 π 3 2 = 0,684 I 0 .

Znaczenie

Należy zauważyć, że takie podejście jest stosunkowo proste i daje wynik niemal dokładnie taki sam jak bardziej skomplikowana analiza dyfrakcji na podwójnej szczelinie i obliczanie wartości natężenia oświetlenia ekranu przy użyciu wskazów (cienka linia na Ilustracji 4.11). Metoda wskazów uwzględnia nachylenie w dół wykresu natężenia dyfrakcji (niebieska linia) tak, że pik w pobliżu m = 1 m=1 występuje dla wartości θ θ niewiele mniejszej, niż to tutaj pokazano.

Przykład 4.4

Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Załóżmy, że w eksperymencie Younga szczeliny o szerokości 0,02 mm 0,02mm są odległe od siebie o 0,2 mm 0,2mm. Jeśli szczeliny są oświetlone monochromatycznym światłem o długości fali 500 nm 500nm, to ile jasnych prążków obserwuje się w obszarze centralnego piku widma (obrazu) dyfrakcyjnego?

Rozwiązanie

Z Równania 4.1 wynika, że położenie kątowe pierwszego minimum dyfrakcyjnego wynosi

θ sin θ = λ D = 5 10 -7 m 2 10 -5 m = 2,5 10 -2 rad . θ sin θ = λ D = 5 10 -7 m 2 10 -5 m = 2,5 10 -2 rad .

Podstawiając sin θ = m λ sin θ = m λ dla θ = 2,5 10 -2 rad θ= 2,5 10 -2 rad , otrzymujemy

m=dsinθλ=0,2mm2,510-2rad510-7m=10,m=dsinθλ=0,2mm2,510-2rad510-7m=10, m=\frac{d\sin\theta}{\lambda}=\frac{\SI{0,2}{\milli\metre}\cdot\SI{2,5e-2}{\radian}}{\SI{5e-7}{\metre}}=\num{10}\text{,}

czyli tyle wynosi maksymalny rząd interferencji, który mieści się wewnątrz centralnego piku. Zauważamy, że m = ± 10 m= ± 10 są brakującymi rzędami dyfrakcji, jako że wartości θ θ dokładnie się zgadzają. W związku z tym obserwujemy jasne prążki dla

m = -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 , m = -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ,

czyli w sumie 19 19 jasnych prążków.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.3

W eksperymencie z Przykładu 4.4 pokaż, że m = 20 m=20 jest również brakującym rzędem dyfrakcji.

Materiały pomocnicze

Zbadaj efekty dyfrakcji na podwójnej szczelinie. W tej symulacji, napisanej przez Fu-Kwun Hwang, wybierz N = 2 N=2 za pomocą suwaka i sprawdź, co się dzieje, gdy zmieniasz szerokość szczeliny, odległość między szczelinami i długość fali. Czy możesz „zażądać” brakującego rzędu?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.