Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 34.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać łączny efekt interferencji i dyfrakcji na podwójnej szczelinie, z których każda szczelina jest o skończonej szerokości;
  • określać względne natężenia prążków interferencyjnych w obrębie obrazu dyfrakcyjnego;
  • identyfikować brakujące rzędy widma, jeśli takie istnieją.

Kiedy badaliśmy interferencję w eksperymencie Younga z podwójną szczeliną, zignorowaliśmy efekt dyfrakcyjny na każdej szczelinie. Założyliśmy, że szczeliny były tak wąskie, że na ekranie widać było interferencję światła z zaledwie dwóch źródeł punktowych. Jeśli szczelina jest mniejsza niż długość fali, to Ilustracja 4.10 (a) pokazuje, że światło się rozchodzi, i obserwujemy wyłącznie szeroki pik centralny o malejącym natężeniu, bez minimów i bocznych maksimów dyfrakcyjnych. Dlatego rozsądnie było wówczas nie uwzględniać efektu dyfrakcyjnego. Jeśli jednak zrobimy szerszą szczelinę, tak jak to pokazuje Ilustracja 4.10 (b) i (c), to nie można pomijać zjawiska dyfrakcji. W tej części zbadamy komplikacje, z jakimi mamy do czynienia w eksperymencie z dwiema szczelinami, gdy trzeba wziąć pod uwagę efekt dyfrakcyjny na każdej z nich.

Aby wyznaczyć obraz dyfrakcyjny dla dwóch (lub dowolnej liczby) szczelin, musimy uogólnić metodę, którą stosowaliśmy dla pojedynczej szczeliny. Oznacza to, że w każdej szczelinie umieszczamy źródła punktowe o jednolitym rozkładzie, emitujące fale wtórne (fale Huygensa), a następnie sumujemy te wychodzące ze wszystkich szczelin fale, co daje natężenie światła w dowolnym punkcie na ekranie. Chociaż szczegóły tych obliczeń mogą się wydać dosyć skomplikowane, to ostateczny wynik jest dość prosty.

Obraz dyfrakcyjny z dwóch szczelin

Obraz dyfrakcyjny z dwóch szczelin (ang. two-slit diffraction pattern) o szerokości D D, które znajdują się w odległości d d od siebie, jest złożeniem obrazu interferencyjnego otrzymanego z dwóch źródeł punktowych odległych od siebie o d d i obrazu dyfrakcyjnego ze szczeliny o szerokości D D.

Innymi słowy, położenia prążków interferencyjnych są dane równaniem d sin θ = m λ d sin θ = m λ , tak samo jak wtedy, gdy rozważamy szczeliny jako punktowe źródła, ale natężenia prążków są teraz zmniejszone przez efekty dyfrakcyjne, zgodnie z Równaniem 4.4. (Zauważmy, że w rozdziale o interferencji napisaliśmy d sin θ = m λ d sin θ = m λ i użyliśmy liczby całkowitej m m do numeracji prążków interferencyjnych. Równanie 4.1 również wykorzystuje symbole m m, ale tym razem odnoszą się one do minimów dyfrakcyjnych. Jeśli obu równań używa się równocześnie, dobrze jest stosować inną zmienną (taką jak n n) dla jednej z tych liczb całkowitych w celu ich odróżnienia).

Minima natężenia światła dla efektów interferencyjnych i dyfrakcyjnych występujących równocześnie powstają pod różnymi kątami. Na ekranie pojawia się skomplikowany obraz, w którym brakuje niektórych maksimów interferencyjnych pochodzących od obu szczelin, wówczas gdy maksimum interferencyjne występuje w tym samych kierunku co minimum dyfrakcyjne. Będziemy określać taki brakujący pik jako brakujący rząd (ang. missing order). Przykład takiego obrazu dyfrakcyjnego na ekranie jest pokazany na Ilustracji 4.11. Linia ciągła z wieloma pikami (maksimami) o różnych wysokościach odpowiada natężeniu obrazu obserwowanemu na ekranie, otrzymanego ze złożenia obrazu interferencji fal z oddzielnych szczelin i dyfrakcji fal na pojedynczej szczelinie.

Figura przedstawia wykres I przez I0 w funkcji theta. Na wykresie narysowano trzy krzywe. Krzywa interferencyjna posiada mniejszą długość fali. Krzywa dyfrakcyjna ma większą długość fali a y wynosi 1 dla x równego 0. Wypadkowa krzywa ma tę samą długość fali co krzywa interferencyjna. Każdy grzbiet fali interferencyjnej jest opisany m równa się 1, m równa się 2 itd. Fala dyfrakcyjna osiąga wartość zero dla m równego 3 i theta równego 30 stopni. Stąd fala wypadkowa też posiada wartość zero, co jest opisane jako zgubiony rząd dla m równego 3.
Ilustracja 4.11 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie. Purpurowa linia z pikami o tej samej wysokości opisuje obraz interferencji fal z dwóch szczelin; niebieska linia z jednym dużym garbem pośrodku opisuje obraz dyfrakcyjny otrzymany z pojedynczej szczeliny; gruba, czerwona linia, która opisuje obraz obserwowany na ekranie, jest ich złożeniem (iloczynem natężeń). Wykres przedstawia oczekiwany wynik dla szerokości szczeliny D=2λD=2λ D=2\lambda i odległości między szczelinami d=6λd=6λ d=6\lambda. Widoczny jest brak maksimum interferencyjnego dla m=±3m=±3 m=\text{}\pm 3, ponieważ w tym samym kierunku występuje minimum dyfrakcyjne.

Przykład 4.3

Intensywność prążków

Ilustracja 4.11 pokazuje, że natężenie prążka dla m = 3 m=3 wynosi zero, ale co z innymi prążkami? Obliczmy natężenie prążka dla m = 1 m=1 względem natężenia piku centralnego I 0 I 0 .

Strategia rozwiązania

Określimy kąt interferencji konstruktywnej na podwójnej szczelinie, posługując się wzorem z rozdziału Interferencja, a następnie ustalimy względne natężenie dla tego kąta określone przez dyfrakcję, korzystając z Równania 4.4.

Rozwiązanie

Z rozdziału o interferencji wiemy, że jasne prążki interferencyjne występują, gdy d sin θ = m λ d sin θ = m λ lub
sin θ = m λ d . sin θ = m λ d .

Z Równania 4.4 mamy

I = I 0 sin β β 2 , gdzie  β = ϕ 2 = π D sin θ λ . I= I 0 sin β β 2 , gdzie  β = ϕ 2 = π D sin θ λ .

Po podstawieniu z powyższego otrzymujemy

β = π D sin θ λ = π D λ m λ d = m π D d . β= π D sin θ λ = π D λ m λ d = m π D d .

Dla D = 2 λ D= 2 λ , d = 6 λ d= 6 λ i m = 1 m=1

β = π 2 λ 6 λ = π 3 . β= π 2 λ 6 λ = π 3 .

Stąd natężenie wynosi

I = I 0 sin β β 2 = I 0 sin π 3 π 3 2 = 0,684 I 0 . I= I 0 sin β β 2 = I 0 sin π 3 π 3 2 = 0,684 I 0 .

Znaczenie

Należy zauważyć, że takie podejście jest stosunkowo proste i daje wynik niemal dokładnie taki sam jak bardziej skomplikowana analiza dyfrakcji na podwójnej szczelinie i obliczanie wartości natężenia oświetlenia ekranu przy użyciu wskazów (cienka linia na Ilustracji 4.11). Metoda wskazów uwzględnia nachylenie w dół wykresu natężenia dyfrakcji (niebieska linia) tak, że pik w pobliżu m = 1 m=1 występuje dla wartości θ θ niewiele mniejszej, niż to tutaj pokazano.

Przykład 4.4

Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Załóżmy, że w eksperymencie Younga szczeliny o szerokości 0,02 mm 0,02mm są odległe od siebie o 0,2 mm 0,2mm. Jeśli szczeliny są oświetlone monochromatycznym światłem o długości fali 500 nm 500nm, to ile jasnych prążków obserwuje się w obszarze centralnego piku widma (obrazu) dyfrakcyjnego?

Rozwiązanie

Z Równania 4.1 wynika, że położenie kątowe pierwszego minimum dyfrakcyjnego wynosi

θ sin θ = λ D = 5 10 -7 m 2 10 -5 m = 2,5 10 -2 rad . θ sin θ = λ D = 5 10 -7 m 2 10 -5 m = 2,5 10 -2 rad .

Podstawiając sin θ = m λ sin θ = m λ dla θ = 2,5 10 -2 rad θ= 2,5 10 -2 rad , otrzymujemy

m=dsinθλ=0,2mm2,510-2rad510-7m=10,m=dsinθλ=0,2mm2,510-2rad510-7m=10, m=\frac{d\sin\theta}{\lambda}=\frac{\SI{0,2}{\milli\metre}\cdot\SI{2,5e-2}{\radian}}{\SI{5e-7}{\metre}}=\num{10}\text{,}

czyli tyle wynosi maksymalny rząd interferencji, który mieści się wewnątrz centralnego piku. Zauważamy, że m = ± 10 m= ± 10 są brakującymi rzędami dyfrakcji, jako że wartości θ θ dokładnie się zgadzają. W związku z tym obserwujemy jasne prążki dla

m = -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 , m = -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ,

czyli w sumie 19 19 jasnych prążków.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.3

W eksperymencie z Przykładu 4.4 pokaż, że m = 20 m=20 jest również brakującym rzędem dyfrakcji.

Materiały pomocnicze

Zbadaj efekty dyfrakcji na podwójnej szczelinie. W tej symulacji, napisanej przez Fu-Kwun Hwang, wybierz N = 2 N=2 za pomocą suwaka i sprawdź, co się dzieje, gdy zmieniasz szerokość szczeliny, odległość między szczelinami i długość fali. Czy możesz „zażądać” brakującego rzędu?

Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.