William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać łączny efekt interferencji i dyfrakcji na podwójnej szczelinie, z których każda szczelina jest o skończonej szerokości;
określać względne natężenia prążków interferencyjnych w obrębie obrazu dyfrakcyjnego;
identyfikować brakujące rzędy widma, jeśli takie istnieją.

Kiedy badaliśmy interferencję w eksperymencie Younga z podwójną szczeliną, zignorowaliśmy efekt dyfrakcyjny na każdej szczelinie. Założyliśmy, że szczeliny były tak wąskie, że na ekranie widać było interferencję światła z zaledwie dwóch źródeł punktowych. Jeśli szczelina jest mniejsza niż długość fali, to Ilustracja 4.10 (a) pokazuje, że światło się rozchodzi, i obserwujemy wyłącznie szeroki pik centralny o malejącym natężeniu, bez minimów i bocznych maksimów dyfrakcyjnych. Dlatego rozsądnie było wówczas nie uwzględniać efektu dyfrakcyjnego. Jeśli jednak zrobimy szerszą szczelinę, tak jak to pokazuje Ilustracja 4.10 (b) i (c), to nie można pomijać zjawiska dyfrakcji. W tej części zbadamy komplikacje, z jakimi mamy do czynienia w eksperymencie z dwiema szczelinami, gdy trzeba wziąć pod uwagę efekt dyfrakcyjny na każdej z nich.

Aby wyznaczyć obraz dyfrakcyjny dla dwóch (lub dowolnej liczby) szczelin, musimy uogólnić metodę, którą stosowaliśmy dla pojedynczej szczeliny. Oznacza to, że w każdej szczelinie umieszczamy źródła punktowe o jednolitym rozkładzie, emitujące fale wtórne (fale Huygensa), a następnie sumujemy te wychodzące ze wszystkich szczelin fale, co daje natężenie światła w dowolnym punkcie na ekranie. Chociaż szczegóły tych obliczeń mogą się wydać dosyć skomplikowane, to ostateczny wynik jest dość prosty.

Obraz dyfrakcyjny z dwóch szczelin

Obraz dyfrakcyjny z dwóch szczelin (ang. two-slit diffraction pattern) o szerokości $D$ , które znajdują się w odległości $d$ od siebie, jest złożeniem obrazu interferencyjnego otrzymanego z dwóch źródeł punktowych odległych od siebie o $d$ i obrazu dyfrakcyjnego ze szczeliny o szerokości $D$ .

Innymi słowy, położenia prążków interferencyjnych są dane równaniem $d sin θ = m λ$ , tak samo jak wtedy, gdy rozważamy szczeliny jako punktowe źródła, ale natężenia prążków są teraz zmniejszone przez efekty dyfrakcyjne, zgodnie z Równaniem 4.4. (Zauważmy, że w rozdziale o interferencji napisaliśmy $d sin θ = m λ$ i użyliśmy liczby całkowitej $m$ do numeracji prążków interferencyjnych. Równanie 4.1 również wykorzystuje symbole $m$ , ale tym razem odnoszą się one do minimów dyfrakcyjnych. Jeśli obu równań używa się równocześnie, dobrze jest stosować inną zmienną (taką jak $n$ ) dla jednej z tych liczb całkowitych w celu ich odróżnienia).

Minima natężenia światła dla efektów interferencyjnych i dyfrakcyjnych występujących równocześnie powstają pod różnymi kątami. Na ekranie pojawia się skomplikowany obraz, w którym brakuje niektórych maksimów interferencyjnych pochodzących od obu szczelin, wówczas gdy maksimum interferencyjne występuje w tym samych kierunku co minimum dyfrakcyjne. Będziemy określać taki brakujący pik jako brakujący rząd (ang. missing order). Przykład takiego obrazu dyfrakcyjnego na ekranie jest pokazany na Ilustracji 4.11. Linia ciągła z wieloma pikami (maksimami) o różnych wysokościach odpowiada natężeniu obrazu obserwowanemu na ekranie, otrzymanego ze złożenia obrazu interferencji fal z oddzielnych szczelin i dyfrakcji fal na pojedynczej szczelinie.

Figura przedstawia wykres I przez I0 w funkcji theta. Na wykresie narysowano trzy krzywe. Krzywa interferencyjna posiada mniejszą długość fali. Krzywa dyfrakcyjna ma większą długość fali a y wynosi 1 dla x równego 0. Wypadkowa krzywa ma tę samą długość fali co krzywa interferencyjna. Każdy grzbiet fali interferencyjnej jest opisany m równa się 1, m równa się 2 itd. Fala dyfrakcyjna osiąga wartość zero dla m równego 3 i theta równego 30 stopni. Stąd fala wypadkowa też posiada wartość zero, co jest opisane jako zgubiony rząd dla m równego 3. — Ilustracja 4.11 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie. Purpurowa linia z pikami o tej samej wysokości opisuje obraz interferencji fal z dwóch szczelin; niebieska linia z jednym dużym garbem pośrodku opisuje obraz dyfrakcyjny otrzymany z pojedynczej szczeliny; gruba, czerwona linia, która opisuje obraz obserwowany na ekranie, jest ich złożeniem (iloczynem natężeń). Wykres przedstawia oczekiwany wynik dla szerokości szczeliny $D=2\lambda$ i odległości między szczelinami $d=6\lambda$ . Widoczny jest brak maksimum interferencyjnego dla $m=\text{}\pm 3$ , ponieważ w tym samym kierunku występuje minimum dyfrakcyjne.

Przykład 4.3

Intensywność prążków

Ilustracja 4.11 pokazuje, że natężenie prążka dla

m = 3

wynosi zero, ale co z innymi prążkami? Obliczmy natężenie prążka dla

m = 1

względem natężenia piku centralnego

I_{0}

.

Strategia rozwiązania

Określimy kąt interferencji konstruktywnej na podwójnej szczelinie, posługując się wzorem z rozdziału Interferencja, a następnie ustalimy względne natężenie dla tego kąta określone przez dyfrakcję, korzystając z Równania 4.4.

Rozwiązanie

Z rozdziału o interferencji wiemy, że jasne prążki interferencyjne występują, gdy

d sin θ = m λ

lub

sin θ = \frac{m λ}{d} .

Z Równania 4.4 mamy

I = I_{0} {(\frac{sin β}{β})}^{2}, gdzie β = \frac{ϕ}{2} = \frac{π D sin θ}{λ} .

Po podstawieniu z powyższego otrzymujemy

β = \frac{π D sin θ}{λ} = \frac{π D}{λ} \cdot \frac{m λ}{d} = \frac{m π D}{d} .

Dla $D = 2 λ$ , $d = 6 λ$ i $m = 1$

β = \frac{π \cdot 2 λ}{6 λ} = \frac{π}{3} .

Stąd natężenie wynosi

I = I_{0} {(\frac{sin β}{β})}^{2} = I_{0} {(\frac{sin \frac{π}{3}}{\frac{π}{3}})}^{2} = 0,684 I_{0} .

Znaczenie

Należy zauważyć, że takie podejście jest stosunkowo proste i daje wynik niemal dokładnie taki sam jak bardziej skomplikowana analiza dyfrakcji na podwójnej szczelinie i obliczanie wartości natężenia oświetlenia ekranu przy użyciu wskazów (cienka linia na Ilustracji 4.11). Metoda wskazów uwzględnia nachylenie w dół wykresu natężenia dyfrakcji (niebieska linia) tak, że pik w pobliżu

m = 1

występuje dla wartości

θ

niewiele mniejszej, niż to tutaj pokazano.

Przykład 4.4

Dyfrakcja na podwójnej szczelinie

Załóżmy, że w eksperymencie Younga szczeliny o szerokości

0,02 mm

są odległe od siebie o

0,2 mm

. Jeśli szczeliny są oświetlone monochromatycznym światłem o długości fali

500 nm

, to ile jasnych prążków obserwuje się w obszarze centralnego piku widma (obrazu) dyfrakcyjnego?

Rozwiązanie

Z Równania 4.1 wynika, że położenie kątowe pierwszego minimum dyfrakcyjnego wynosi

θ \approx sin θ = \frac{λ}{D} = \frac{5 \cdot 10^{-7} m}{2 \cdot 10^{-5} m} = 2,5 \cdot 10^{-2} rad .

Podstawiając $sin θ = m λ$ dla $θ = 2,5 \cdot 10^{-2} rad$ , otrzymujemy

m=\frac{d\sin\theta}{\lambda}=\frac{\SI{0,2}{\milli\metre}\cdot\SI{2,5e-2}{\radian}}{\SI{5e-7}{\metre}}=\num{10}\text{,}

czyli tyle wynosi maksymalny rząd interferencji, który mieści się wewnątrz centralnego piku. Zauważamy, że $m = \pm 10$ są brakującymi rzędami dyfrakcji, jako że wartości $θ$ dokładnie się zgadzają. W związku z tym obserwujemy jasne prążki dla

m = -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9,

czyli w sumie $19$ jasnych prążków.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.3

W eksperymencie z Przykładu 4.4 pokaż, że $m = 20$ jest również brakującym rzędem dyfrakcji.

Materiały pomocnicze

Zbadaj efekty dyfrakcji na podwójnej szczelinie. W tej symulacji, napisanej przez Fu-Kwun Hwang, wybierz $N = 2$ za pomocą suwaka i sprawdź, co się dzieje, gdy zmieniasz szerokość szczeliny, odległość między szczelinami i długość fali. Czy możesz „zażądać” brakującego rzędu?