William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

4.6 Dyfrakcja rentgenowska

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać interferencyjne i dyfrakcyjne efekty pojawiające się, gdy promieniowanie rentgenowskie oddziałuje z strukturami atomowymi.

Ponieważ fotony promieniowania rentgenowskiego mają wysoką energię, charakteryzują się one małymi długościami fal, rzędu od $10^{-12} m$ do $10^{-8} m$ . Dlatego typowe fotony rentgenowskie zachowują się jak promienie (geometryczne), gdy napotykają obiekty makroskopowe, takie jak zęby, wytwarzając za nimi ostre cienie. Ponieważ jednak atomy mają rozmiary rzędu $0,1 nm$ , promienie rentgenowskie mogą być wykorzystane do wykrywania lokalizacji, kształtu i wielkości atomów i molekuł. Proces ten jest nazywany dyfrakcją rentgenowską (ang. X-ray diffraction) i dotyczy interferencji promieniowania rentgenowskiego w celu wytworzenia obrazów, których analiza daje informację o strukturach rozpraszających to promieniowanie.

Być może najsłynniejszym przykładem wykorzystania dyfrakcji promieni rentgenowskich jest odkrycie w 1953 r. podwójnej helikalnej struktury DNA przez międzynarodowy zespół naukowców pracujących w Cavendish Laboratory w Anglii. Zespół ten tworzyli: Amerykanin James Watson, Anglik Francis Crick i Maurice Wilkins urodzony w Nowej Zelandii. Wykorzystując dane z dyfrakcji rentgenowskiej opracowane przez Rosalind Franklin, stworzyli model struktury podwójnej helisy DNA, która jest tak istotna dla życia. Za tę pracę Watson, Crick i Wilkins otrzymali Nagrodę Nobla w 1962 r. w dziedzinie fizjologii lub medycyny. (W kwestii tej są pewne kontrowersje w związku z faktem, że Rosalind Franklin nie została włączona do nagrody, ponieważ w 1958 roku zmarła na raka jajnika w wieku 37 lat, zanim nagrodę przyznano).

Ilustracja 4.24 przedstawia obraz dyfrakcyjny utworzony na skutek rozproszenia promieni rentgenowskich na krysztale. Proces ten określany jest jako krystalografia rentgenowska ze względu na informacje, które może dać o strukturze kryształów; właśnie tego typu danych o budowie DNA dostarczyła Rosalind Franklin Watsonowi i Crickowi. Zdjęcia rentgenowskie nie tylko potwierdzają rozmiar i kształt atomów, ale dają też informacje o ich rozmieszczeniu/ułożeniu w materiałach. Na przykład ostatnie badania dotyczące ułożenia w sieci krystalicznej atomów materiałów będących nadprzewodnikami wysokotemperaturowymi mają zasadnicze znaczenie dla uzyskania materiału nadprzewodzącego. Badania te mogą być wykonywane z zastosowaniem krystalografii rentgenowskiej.

Figura zawiera białe tło, na którym naniesiono wzór złożony z przerywanych linii. W środku znajduje się jasna plama otoczona przez szare okręgi. Biała linia biegnie w górę i w lewo od plamy. — Ilustracja 4.24 Dyfraktogram rentgenowski kryształu białka (lizozymu jaja kurzego). Jego analiza dostarcza informacji o strukturze tego białka. Źródło: „Del45”/Wikimedia Commons

Rozproszenie promieni rentgenowskich na kryształach wykorzystano do udowodnienia, że promienie te są falami elektromagnetycznymi (EM) o dużej energii. Podejrzenia takie zrodziły się w momencie odkrycia promieni rentgenowskich w 1895 roku, ale dopiero w 1912 r. Niemiec Max von Laue (1879–1960) przekonał dwóch swoich kolegów do badań nad dyfrakcją promieni rentgenowskich na kryształach. Albowiem, jeśli otrzymamy obraz dyfrakcyjny, to uzasadnione jest stwierdzenie, że promienie rentgenowskie muszą być falami, których długość może być określona. (Odległości między atomami w różnych kryształach były w tym czasie już stosunkowo dobrze zbadane dzięki znajomości wartości liczby Avogadra). Eksperymenty okazały się przekonujące, a von Laue został laureatem Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki w 1914 roku. Otrzymał ją za swoją sugestię, która doprowadziła do udowodnienia, że promieniowanie rentgenowskie to fale EM. W 1915 roku wyjątkowy zespół złożony z ojca i syna, sir Williama Henry’ego Bragga (1862–1942) i sir Williama Lawrence’a Bragga (1890–1971), otrzymał wspólną Nagrodę Nobla za wynalezienie spektrometru rentgenowskiego oraz rozwój nowego działu nauki – analizy rentgenowskiej.

W sposób podobny do opisu interferencji w cienkiej warstwie rozpatrzymy dwie fale płaskie o długości fali rentgenowskiej, z których każda odbija się od innej płaszczyzny atomów w sieci krystalicznej, jak pokazano na Ilustracji 4.25. Na podstawie znajomości zwykłej geometrii można stwierdzić, że różnica długości dróg przebytych przez promienie to $2 d sin θ$ . Gdy odległość ta jest całkowitą wielokrotnością długości fali, zachodzi konstruktywna interferencja. Ten warunek jest opisany równaniem Bragga

m λ = 2 d sin θ,

4.6

gdzie $m=1,2,3,\dots$ jest dodatnią liczbą całkowitą, a $d$ odległością pomiędzy płaszczyznami. Zgodnie z prawem odbicia zarówno fale padające, jak i odbite, opisywane są tym samym kątem $θ$ , ale tutaj – w przeciwieństwie do ogólnej praktyki w optyce geometrycznej – wartość $θ$ jest mierzona względem samej powierzchni, a nie normalnej do niej.

Figura przedstawia atomy kryształu jako kropki tworzące siatkę. Atomy znajdują się w odległości d od siebie. Dwa równoległe promienie, opisane jako promieniowanie w fazie, padają na wybrany atom i atom znajdujący się pod nim, odbijają się i biegną na prawo w kierunku ku górze. Wspomniane atomy są oznaczone jako a i b, przy czym b znajduje się pod a. Promienie padające tworzą kąt theta z poziomem. Ich przedłużenia tworzą kąt 20 z promieniami odbitymi. Linią przerywana połączono a i b. Inna linia łączy a z promieniem padającym na atom b, tworząc kąt theta z ab, a przez to tworząc trójkąt. Bok trójkąta wzdłuż promienia padającego na atom b jest podpisany d sin theta. Promień odbity od atomu b jest mniejszy niż promień odbity od a, o odległość 2d sin theta. — Ilustracja 4.25 Dyfrakcja promieni rentgenowskich na krysztale. Dwie fale padające odbijają się od dwóch płaszczyzn kryształu. Różnica długości dróg optycznych jest zaznaczona linią przerywaną.

Przykład 4.7

Dyfrakcja rentgenowska na krysztale soli

Pospolita sól kuchenna składa się głównie z kryształów NaCl. W krysztale NaCl występuje rodzina płaszczyzn odległych o

0,252 nm

. Jeśli obserwuje się maksimum pierwszego rzędu przy kącie padania wynoszącym

18,1 °

, to jaka jest długość fali rentgenowskiej rozpraszanej przez ten kryształ?

Strategia rozwiązania

Użyjemy Równania 4.6 (tj. równania Bragga), aby znaleźć

θ

.

Rozwiązanie

Znana jest wartość kąta padania, przy którym występuje maksimum pierwszego rzędu. Odległość

d

między płaszczyznami również jest znana. Przekształcając równanie Bragga dla długości fali, otrzymujemy

λ = \frac{2 d sin θ}{m} = \frac{2 \cdot 0,252 \cdot 10^{-9} m \cdot sin (18,1 °)}{1} = 1,57 \cdot 10^{-10} m = 0,157 nm .

Znaczenie

Otrzymana długość fali elektromagnetycznej mieści się w obszarze widma promieniowania rentgenowskiego. Powtórzmy: falowy charakter promieniowania staje się wyraźny, gdy długość fali (

λ = 0,157 nm

) jest porównywalna z wielkością struktury fizycznej (

d = 0,252 nm

), z którą ta fala oddziałuje.

Sprawdź, czy rozumiesz 4.6

Dla eksperymentu opisanego w Przykładzie 4.7 sprawdź, jakie są dwa inne kąty, dla których można zaobserwować maksima interferencji. Co ogranicza liczbę możliwych maksimów?

Mimo że na Ilustracji 4.25 przedstawiono dla uproszczenia kryształ jako dwuwymiarowy układ centrów rozpraszania, prawdziwe kryształy są strukturami trójwymiarowymi. Rozpraszanie może zachodzić jednocześnie dla różnych rodzin płaszczyzn sieciowych, zwanych płaszczyznami Bragga (ang. Bragg planes), w różnych kierunkach i dla różnych odległości między nimi, jak to pokazano na Ilustracji 4.26. Powstały obraz interferencyjny może być zatem dość skomplikowany.