William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

79.

Światło białe pada na dwie wąskie szczeliny odległe od siebie o $0,4 mm$ . Obraz interferencyjny jest obserwowany na ekranie oddalonym o $3 m$ .

Jaka jest odległość między pierwszymi dwoma maksimami dla światła czerwonego ( $λ = 700 nm$ ) i fioletowego ( $λ = 400 nm$ )?
W jakiej odległości od punktu centralnego znajduje się najbliższe maksimum dla światła żółtego ( $λ = 600 nm$ ), pokrywające się z maksimum dla światła fioletowego? Określ rząd dla każdego z tych maksimów.

80.

Mikrofale o długości $10 mm$ padają prostopadle na metalową płytkę, która posiada szczelinę o szerokości $25 mm$ .

Gdzie jest położone pierwsze minimum dyfrakcyjne w tym przypadku?
Czy będą obserwowane minima dla fali o długości $30 mm$ ?

81.

Kwazary (ang. quasar – quasi-stellar radio source, co znaczy „obiekt gwiazdopodobny emitujący fale radiowe”) to odkryte w 1960 roku bardzo odległe obiekty astronomiczne przypominające gwiazdy, będące w rzeczywistości rodzajem aktywnych galaktyk. Są to silne nadajniki fal radiowych o rozmiarze kątowym tak małym jak gwiazdy. Kwazar 3C405 to właściwie dwa odrębne źródła radiowe widziane pod kątem $\SI{82}{\second}$ kątowych. Jeśli kwazar bada się za pomocą emisji fal radiowych o częstotliwości $410 MHz$ , to jaka jest minimalna średnica radioteleskopu, którym można rozróżnić te dwa źródła?

82.

Dwie szczeliny, każda o szerokości $1800 nm$ oraz odległości między ich środkami równej $1200 nm$ , oświetlone są falą płaską z jonowego lasera kryptonowego, emitującego fale o długości $461,9 nm$ . Znajdź liczbę pików interferencyjnych w obszarze centralnego maksimum dyfrakcyjnego.

83.

Promieniowanie mikrofalowe o nieznanej długości fali pada na pojedynczą szczelinę o szerokości $6 cm$ . Szerokość kątowa centralnego piku wynosi $25 °$ . Znajdź długość tej fali.

84.

Czerwone światło (długość fali wynosi w powietrzu $632,8 nm$ ) z lasera helowo-neonowego pada na pojedynczą szczelinę o szerokości $0,05 mm$ . Całe urządzenie zanurza się w wodzie o współczynniku załamania równym $\num{1,333}$ . Określ szerokość kątową centralnego piku.

85.

Promień światła o długości fali $461,9 nm$ wychodzi przez okrągłą przysłonę jonowego lasera kryptonowego o średnicy $2 mm$ . Skutkiem dyfrakcji wiązka poszerza się w czasie rozchodzenia. Jak duża jest centralna plama dyfrakcyjna w punkcie odległym o

$1 m$ ;
$1 km$ ;
$1000 km$ ;
na powierzchni Księżyca, w odległości $400 000 km$ od Ziemi?

86.

Jak daleko od siebie muszą się znaleźć dwa obiekty na Księżycu, aby mogły być rozróżniane przez oko, gdyby rozdzielczość ograniczały tylko efekty dyfrakcyjne źrenicy? Przyjmij $550 nm$ dla długości fali światła, średnicę źrenicy $5 mm$ i odległość $400 000 km$ do Księżyca.

87.

Jak daleko od siebie muszą być położone dwa obiekty na Księżycu, aby były rozróżniane przez teleskop Gemini North na Mauna Kea na Hawajach, mający średnicę $8,1 m$ , gdy rozdzielczość ograniczają jedynie efekty dyfrakcji przysłony teleskopu? Przyjmij $550 nm$ dla długości fali światła i $400 000 km$ dla odległości od Księżyca.

88.

Satelita szpiegowski jest podobno w stanie rozróżnić obiekty odległe o $10 cm$ od siebie, będąc $197 km$ nad powierzchnią Ziemi. Jaka jest średnica źrenicy wejściowej teleskopu, jeżeli jego rozdzielczość jest ograniczona tylko przez efekty dyfrakcyjne? Przyjmij długość fali światła $550 nm$ .

89.

Monochromatyczne światło o długości fali $530 nm$ przechodzi przez poziomą pojedynczą szczelinę o szerokości $1,5 µm$ , zrobioną w nieprzezroczystej płycie. Ekran o wymiarach $2 m \times 2 m$ jest odległy o $1,2 m$ od szczeliny.

W jaki sposób rozłożony jest obraz dyfrakcyjny na ekranie?
Jakie są kąty powstających minimów dyfrakcyjnych względem środka?
Dla jakich kątów powstają maksima?
Jak szeroki jest centralny jasny prążek na ekranie?
Jak szerokie na ekranie są kolejne jasne prążki?

90.

Monochromatyczne światło o nieznanej długości fali pada na szczelinę o szerokości $20 µm$ . Obraz dyfrakcyjny jest widoczny na ekranie w odległości $2,5 m$ od szczeliny, przy czym centralne maksimum rozciąga się na odległość $10 cm$ . Znajdź długość fali.

91.

Źródło światła o dwóch długościach fali: $550 nm$ i $600 nm$ , o równym natężeniu, pada na szczelinę o szerokości $1,8 µm$ . Znajdź odległość między dwoma jasnymi prążkami rzędu $m = 1$ na ekranie odległym o $30 cm$ od szczeliny.

92.

Pojedynczą szczelinę o szerokości $2100 nm$ oświetla prostopadle fala o długości $632,8 nm$ . Znajdź różnicę faz między falami wysyłanymi z góry szczeliny i miejsca odległego o $1/3$ jej szerokości od dolnej części szczeliny do punktu na ekranie odległego o $2 m$ w poziomie i $10 cm$ w pionie od środka szczeliny.

93.

Pojedyncza szczelina o szerokości $3 µm$ jest oświetlona przez żółte światło lampy sodowej o długości fali $589 nm$ . Znajdź natężenie pod kątem $15 °$ w stosunku do osi w odniesieniu do natężenia centralnego maksimum.

94.

Pojedyncza szczelina o szerokości $0,1 mm$ jest oświetlona przez światło lampy rtęciowej o długości fali $576 nm$ . Znajdź natężenie pod kątem $10 °$ w stosunku do osi w odniesieniu do natężenia centralnego maksimum.

95.

Siatka dyfrakcyjna tworzy drugie maksimum w odległości $89,7 cm$ od centralnego maksimum na ekranie odległym o $2 m$ od siatki. Jeśli siatka ma $600$ linii na centymetr, to jaka jest długość fali światła, które daje obraz dyfrakcyjny?

96.

Siatka dyfrakcyjna mająca $4000$ linii na centymetr została użyta do ugięcia światła, które zawiera wszystkie długości fali między $400 nm$ a $650 nm$ . Jak szerokie jest widmo pierwszego rzędu na ekranie oddalonym o $3 m$ od siatki?

97.

Siatka dyfrakcyjna mająca $2000$ linii na centymetr została zastosowana do pomiaru długości fal emitowanych przez wodorową lampę wyładowczą.

Pod jakim kątem znajdują się maksima dwóch pierwszych rzędów niebieskich linii dla długości fal $410 nm$ i $434 nm$ ?
Maksima dwóch innych linii pierwszego rzędu można znaleźć dla $θ_{1} = 0,097 rad$ i $θ_{2} = 0,132 rad$ . Jakie są długości fal dla tych linii?

98.

Pokaż, że w przypadku białego światła ( $400 nm < λ < 700 nm$ ) padającego prostopadle na siatkę dyfrakcyjną prążki drugiego i trzeciego rzędu widma zachodzą na siebie bez względu na stałą siatki $d$ .

99.

Ile pełnych rzędów widma światła widzialnego ( $400 nm < λ < 700 nm$ ) może powstawać podczas dyfrakcji na siatce, która zawiera $5000$ linii na centymetr?

100.

Dwie lampy dające światło o długości fali $589 nm$ stoją $1 m$ od siebie na drewnianej desce. W jakiej maksymalnej odległości może być obserwator, by nadal widzieć lampy jako dwa oddzielne źródła światła, jeśli rozdzielczość wynika wyłącznie z dyfrakcji światła wpadającego do oka? Załóż, że światło wpada do oka przez źrenicę o średnicy $4,5 mm$ .

101.

Podczas jasnego dnia przy przejrzystym powietrzu jesteś na szczycie góry i patrzysz na miasto odległe o $12 km$ . Są tam dwie wysokie wieże stojące $20 m$ od siebie. Czy twoje oko może rozróżnić te dwie wieże, jeśli średnica jego źrenicy wynosi $4 mm$ ? Jeśli nie, jaka powinna być minimalna moc powiększenia teleskopu potrzebnego do rozróżnienia tych wież? W swoich obliczeniach przyjmij $550 nm$ dla długości fali światła.

102.

Radioteleskopy są wykorzystywane do wykrywania emisji radiowych z kosmosu. Ponieważ fale radiowe są znacznie dłuższe niż długości fal światła widzialnego, średnica teleskopu radiowego musi być bardzo duża, aby zapewnić dobrą rozdzielczość. Na przykład radioteleskop w Penticton w Kolumbii Brytyjskiej, prowincji Kanady, ma średnicę wynoszącą $26 m$ i może pracować przy częstotliwościach sięgających $6,6 GHz$ .

Jaka jest długość fali odpowiadająca tej częstotliwości?
Jaka jest rozdzielczość kątowa dwóch źródeł radiowych, które mogą być rozróżniane przez ten teleskop?
Porównaj tę rozdzielczość teleskopu z rozmiarem kątowym Księżyca.

Źródło poniższej ilustracji: Jason Nishiyama

103.

Oblicz długość fali światła, które daje pierwsze minimum przy kącie $36,9 °$ , gdy pada na pojedynczą szczelinę o szerokości $1 µm$ .

104.

Znajdź kąt trzeciego minimum dyfrakcyjnego dla światła o długości fali $633 nm$ padającego na szczelinę o szerokości $20 µm$ ;
Jakiej szerokości szczelina dawałaby to minimum przy $85 °$ ?

105.

Niech przykładem dyfrakcji na szczelinach o wymiarach spotykanych w życiu codziennym będą drzwi o szerokości $1 m$ .

Jakie jest kątowe położenie pierwszego minimum na obrazie dyfrakcyjnym dla światła o długości fali $600 nm$ ?
Powtórz te obliczenia dla dźwięku o częstotliwości $440 Hz$ (a1). Przyjmij prędkość dźwięku równą $343 m ∕ s$ .

106.

Jakie są kątowe położenia pierwszego i drugiego minimum obrazu dyfrakcyjnego wytwarzanego przez szczelinę o szerokości $0,2 mm$ , oświetloną światłem o długości fali $400 nm$ ? Jaka jest szerokość kątowa centralnego piku?

107.

Jak daleko umieściłbyś ekran ze szczeliną z poprzedniego zadania, aby drugie minimum znalazło się w odległości $2,5 mm$ od środka obrazu dyfrakcyjnego?

108.

Jak wąska jest szczelina dająca obraz dyfrakcyjny na ekranie odległym od niej o $1,8 m$ , którego centralny pik ma szerokość $1 m$ ? Przyjmij $λ = 589 nm$ .

109.

Załóż, że centralny pik na obrazie dyfrakcyjnym na pojedynczej szczelinie jest tak szeroki, że można przyjąć, iż pierwsze minima są w położeniach kątowych $\pm 90 °$ . Jaki jest stosunek szerokości szczeliny do długości fali światła w tym przypadku?

110.

Centralna część piku dyfrakcyjnego na podwójnej szczelinie zawiera dokładnie 9 prążków interferencyjnych. Jaki jest stosunek odległości między szczelinami do szerokości szczeliny?

111.

Określ natężenie trzech maksimów interferencyjnych, innych niż maksimum centralne, w obszarze centralnego maksimum dyfrakcyjnego, jeśli takie istnieją, gdy światło o długości fali $500 nm$ pada prostopadle na układ dwóch szczelin o szerokości $1000 nm$ każda, będących w odległości $1500 nm$ od siebie. Przyjmij natężenie w centralnym miejscu obrazu równe $1 mW ∕ {cm}^{2}$ .

112.

Żółte światło z lampy sodowej wydaje się światłem monochromatycznym, lecz gdy pada na siatkę dyfrakcyjną mającą $10 000$ linii na centymetr, wytwarza ono dwa maksima pierwszego rzędu pod kątem $36,093 °$ i $36,129 °$ . Jakie są wartości tych dwóch długości fal – z dokładnością do $0,1 nm$ ?

113.

Struktury na piórku ptaka działają jak odbiciowe siatki dyfrakcyjne o $8000$ linii na centymetr. Ile wynosi kąt maksimum pierwszego rzędu dla światła o długości fali $600 nm$ ?

114.

Jeżeli siatka dyfrakcyjna wytwarza maksimum pierwszego rzędu dla najkrótszej długości fali światła widzialnego przy $30 °$ , to przy jakim kącie wystąpi maksimum pierwszego rzędu dla najdłuższej długości fali światła widzialnego?

115.

Jaka długość fali światła widzialnego daje maksimum czwartego rzędu pod kątem $25 °$ , gdy pada ono na siatkę dyfrakcyjną posiadającą $25 000$ linii na centymetr?
Co jest nieracjonalnego w tym wyniku?
Które założenia w zadaniu są nieuzasadnione lub sprzeczne?

116.

Rozważ spektrometr działający na bazie siatki dyfrakcyjnej. Sformułuj zagadnienie, w którym należy obliczyć odległość między dwiema długościami fal elektromagnetycznego promieniowania w spektrometrze. Wśród wielkości, które należy uwzględnić, są długości fal, jakie mają być rozróżnialne, liczba szczelin na metr w siatce dyfrakcyjnej oraz odległość siatki od ekranu lub detektora. Omów praktyczność urządzenia pod względem zdolności do rozróżniania długości interesujących nas fal.

117.

Astronom amator chce zbudować teleskop z taką granicą rozdzielczości dyfrakcyjnej, która pozwoli mu sprawdzić, czy na księżycach Jowisza są ludzie.

Jaka jest średnica zwierciadła potrzebnego, aby móc zobaczyć szczegóły o rozmiarze $1 m$ na księżycu Jowisza w odległości $7,5 \cdot 10^{8} km$ od Ziemi? Niech średnia długość fali światła wynosi $600 nm$ ;
Co jest nieuzasadnionego w tym wyniku?
Jakie założenia są nieuzasadnione lub niespójne?