Zadania trudniejsze

Niebieskie światło o długości fali $450\mathrm{nm}$ pada na szczelinę o szerokości $\mathrm{0,25}\mathrm{mm}$. Soczewka skupiająca o długości ogniskowej równej $20\mathrm{cm}$ umieszczona jest za szczeliną i skupia obraz dyfrakcyjny na ekranie.

1. Jak daleko jest ekran od soczewki?
2. Jaka jest odległość pomiędzy pierwszym i trzecim minimum obrazu dyfrakcyjnego?

1. Przez zróżniczkowanie Równania 4.4 pokaż, że maksima wyższego rzędu pojedynczej szczeliny dyfrakcyjnej występują przy wartościach $\beta$, które spełniają warunek $tg\beta =\beta$;
2. Wykreśl $y=tg\beta$ i $y=\beta$ jako funkcje $\beta$ i znajdź punkty przecięcia tych dwóch krzywych. Jakie informacje dają one o rozmieszczeniu maksimów?
3. Przekonaj się sam, że punkty te nie pojawiają się dokładnie w $\beta =\left(n+1∕2\right)\pi$, gdzie $n=0,1,2,\dots$, ale są bardzo blisko tych wartości.

Pokaż, że siatka dyfrakcyjna nie może dawać maksimum drugiego rzędu dla danej długości fali światła, jeżeli maksimum pierwszego rzędu jest usytuowane pod kątem mniejszym niż $30°$.

Przedmioty oglądane przez mikroskop są umieszczone bardzo blisko ogniska obiektywu. Pokaż, że minimalna rozróżnialna przez mikroskop odległość $x$ między dwoma przedmiotami dana jest przez $x=\mathrm{1,22}\lambda f_0∕D$, gdzie, jak pokazano poniżej, $f_0$ jest ogniskową, a $D$ oznacza średnicę soczewki obiektywu.