William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

14.1 Indukcyjność wzajemna

28.

Kiedy prąd w jednej cewce zmienia się w tempie $5,6 A ∕ s$ , w drugiej cewce indukowana jest SEM o wartości $6,3 \cdot 10^{- 3} V$ . Jaka jest indukcyjność wzajemna tych cewek?

29.

Podczas, gdy w jednej cewce indukowana jest SEM o wartości $9,7 \cdot 10^{- 3} V$ , natężenie prądu płynącego przez drugą zmienia się w tempie $2,7 A ∕ s$ . Ile wynosi indukcyjność wzajemna tych cewek?

30.

Indukcyjność wzajemna dwóch położonych w pobliżu siebie cewek wynosi $32 mH$ . Jeśli natężenie prądu płynącego w jednej zanika zgodnie z równaniem $i = i_{0} e^{− α t}$ , gdzie $i_{0} = 5 A$ a $α = {2 \cdot 10^{3} s}^{- 1}$ , to jaka SEM indukowana jest na drugiej natychmiast po rozpoczęciu zanikania prądu, a jaka po czasie $t = 10^{-3}\si{\second}$ ?

31.

Cewka zawierająca 40 zwojów otacza długi solenoid o polu przekroju poprzecznego $7,5 \cdot 10^{- 3} m^{2}$ . Solenoid ma $0,5 m$ długości i ma 500 zwojów.

Ile wynosi indukcyjność wzajemna tego układu?
Zewnętrzna cewka zastąpiona jest cewką o 40 zwojach i promieniu trzy razy większym niż promień wewnętrznego solenoidu. Ile wynosi indukcyjność wzajemna w tym przypadku?

32.

Solenoid o 600 zwojach ma $0,55 m$ długości i $4,2 cm$ średnicy. Wewnątrz umieszczono na stałe niewielką prostokątną pętlę o wymiarach $1,1 cm \times 1,4 cm$ , tak że długa oś solenoidu jest prostopadła do powierzchni pętli. Jaka jest indukcyjność wzajemna tego układu?

33.

Jednorodnie nawinięta cewka o 1000 zwojach w kształcie torusa ma średni promień wynoszący $16 cm$ i pole przekroju poprzecznego $0,25 {cm}^{2}$ . Druga cewka jest nawinięta jednorodnie na pierwszej i ma 750 zwojów. Pomijając niejednorodność pola magnetycznego wewnątrz torusa, wyznacz indukcyjność wzajemną tych dwóch cewek.

34.

Solenoid o $N_{1}$ zwojach ma długość $l_{1}$ i promień $R_{1}$ . Drugi mniejszy solenoid o $N_{2}$ zwojach, dłguości $l_{2}$ i promieniu $R_{2}$ umieszczony jest współosiowo w pierwszym. Jaka jest indukcyjność wzajemna tych solenoidów?

14.2 Samoindukcja i cewki indukcyjne

35.

Kiedy natężenie prądu płynącego przez cewkę zmienia się jednostajnie od $0,1 A$ do $0,6 A$ , indukowana jest SEM o wartości $0,4 V$ . Jaka jest indukcyjność własna cewki?

36.

W ilustracji poniżej natężenie płynącego prądu

zwiększa się;
zmniejsza się.

Który z końców cewki ma w każdym przypadku wyższy potencjał elektryczny?

Rysunek a pokazuje przepływ prądu przez cewkę z lewej na prawo. Rysunek (b) pokazuje przepływ prądu przez cewkę z prawej na lewo.

37.

Jaka jest szybkość zmian natężenia prądu w cewce o indukcyjności $0,3 H$ , jeśli indukowana SEM ma wartość $0,12 V$ ?

38.

Po wykonaniu zdjęcia z fleszem kondensator w lampie błyskowej rozładowuje się przez cewkę indukcyjną. W jakim czasie prąd o natężeniu $0,1 A$ musi zostać włączony lub wyłączony, aby wyindukować SEM o wartości $500 V$ w cewce o indukcyjności własnej $2 mH$ ?

39.

Natężenie prądu płynącego w cewce o indukcyjności własnej $2 H$ zmienia się zgodnie z równaniem $i (t) = 2 A \cdot sin (120 π s^{- 1} \cdot t)$ . Znajdź wyrażenie na SEM indukowaną w cewce.

40.

Solenoid o długości $50 cm$ zwinięty jest z 500 zwojów drutu. Przekrój poprzeczny cewki wynosi $2 {cm}^{2}$ . Jaka jest indukcyjność własna solenoidu?

41.

Natężenie prądu płynącego przez cewkę o indukcyjności własnej $3 H$ zmienia się jednostajnie z szybkością $d i ∕ d t = - 0,05 A ∕ s$ . Ile wynosi wyindukowana SEM? Opisz kierunek tej siły.

42.

Natężenie prądu $i (t)$ płynącego przez cewkę o indukcyjności własnej $5 mH$ zmienia się w czasie tak, jak narysowano poniżej. Oporność cewki wynosi $5 Ω$ . Oblicz napięcie w cewce w czasie $t = 2 ms$ , $t = 4 ms$ , oraz $t = 8 ms$ .

Wykres prądu w amperach w stosunku do czasu w milisekundach. Prąd zaczyna płynąć od 0 w 0 milisekundach, wzrasta z czasem i osiąga ponad 6 amperów w czasie 3 milisekund. Opada raptownie do 6 milisekund,następnie opada wolniej i dłużej aż do 12 milisekund.

43.

Na centymetr długości cylindrycznego solenoidu o promieniu $1,5 cm$ przypada $100$ zwojów.

Zakładając, że solenoid jest nieskończenie długi, jaka jest jego indukcyjność własna na jednostkę długości?
Jaka SEM indukowana jest na jednostkę długości, jeśli natężenie prądu płynącego przez solenoid zmienia się z szybkością $5 A ∕ s$ ?

44.

Przyjmijmy, że toroidalna cewka o przekroju prostokątnym ma 2000 zwojów i indukcyjność własną $0,04 H$ . Ile wynosi stosunek wewnętrznego do zewnętrznego promienia cewki, jeśli $h = 0,1 m$ ?

Rysunek pokazuje przekrój toroidu. Promień wewnętrzny pierścienia jest R 1 a promień zewnętrzny R 2. Wysokość w przekroju prostokątnym wynosi h. W środku prostokątnego przekroju znajduje się niewielka część o grubości dr. Dotyczy to odległości r od środka pierścienia. Obszar w przekroju prostokątnym o grubości dr i wysokości h jest podświetlony i oznaczony jako da. Widoczne są linie pola i prąd płynący przez toroid.

45.

Ile wynosi indukcyjność wzajemna na metr koncentrycznego kabla, którego wewnętrzny promień wynosi $0,5 mm$ , a zewnętrzny – $4 mm$ ?

14.3 Energia magazynowana w polu magnetycznym

46.

W chwili, gdy prąd o natężeniu $0,2 A$ przepływa przez drucianą pętlę, energia zmagazynowana w jej polu magnetycznym wynosi $6 \cdot 10^{- 3} J$ . Jaka jest indukcyjność własna pętli?

47.

Toroidalna cewka o przekroju prostokątnym o 2000 zwojach i indukcyjności własnej $0,04 H$ ma wysokość $h = 0,1 m$ . Ile wynosi prąd płynący przez nią, jeśli energia pola magnetycznego jest równa $2 \cdot 10^{- 6} J$ ?

48.

Solenoid A jest nawinięty ciasno, podczas gdy między zwojami solenoidu B są przerwy równe średnicy drutu. Jeśli poza tym faktem solenoidy są identyczne, wyznacz stosunek zmagazynowanych w nich energii przy jednakowym natężeniu prądu przepływającym przez każdy z nich.

49.

Przez cewkę indukcyjną o indukcyjności własnej $10 H$ płynie prąd o natężeniu $20 A$ . Jaką ilość lodu w temperaturze $0 ° C$ mogłaby roztopić z wykorzystaniem energii zmagazynowanej w cewce (przyjmij $c_{\text{top}} = \SI{334}{\joule\per\gram}$ dla lodu)?

50.

Przez pętlę o indukcyjności własnej $3 H$ i oporze $100 Ω$ płynie stały prąd o natężeniu $2 A$ .

Ile wynosi energia magnetyczna zmagazynowana w polu pętli?
Ile wynosi energia rozpraszana na oporze pętli w ciągu jednej sekundy?

51.

Przez koncentryczny kabel o zewnętrznym przekroju pięciokrotnie większym od wewnętrznego płynie prąd o natężeniu $1,2 A$ . Ile wynosi wartość pola magnetycznego, która zostanie zmagazynowana na długości kabla $3 m$ ?

14.4 Obwody RL

52.

Dla obwodu z Ilustracji 14.12 $ε = 12 V$ , $L = 20 mH$ i $R = 5 Ω$ . Wyznacz

stałą czasową obwodu;
początkowe natężenie prądu płynącego przez opornik;
końcowe natężenie prądu płynącego przez opornik;
natężenie prądu płynącego przez opornik w chwili $t = 2 τ_{L}$ ;
napięcie na cewce i oporniku w chwili $t = 2 τ_{L}$ .

53.

Dla poniższego obwodu $ε = 20 V$ , $L = 4 mH$ i $R = 5 Ω$ . Po osiągnieciu stanu ustalonego przy zamkniętym $S_{1}$ i otwartym $S_{2}$ pozycja obu przełączników zostaje zmieniona w chwili $t = 0 s$ . Wyznacz natężenie prądu płynącego przez cewkę w

$t = 0 s$ ;
$t = 4 \cdot 10^{- 4} s$ .
Napięcie na oporniku i cewce w chwili $t = 4 \cdot 10^{- 4} s$ .

Rysunek pokazuje obwód lączący szeregowo R i L z baterią epsilon z zamkniętym przełącznikiem S. L jest połączone rówolegle z innym opornikiem R i z otwartym przełącznikiem S2.

54.

Dla poniższego obwodu płynący prąd po $2 s$ osiąga $40 %$ swojej maksymalnej wartości. Jaka jest stała czasowa obwodu?

Rysunek (a) przedstawia opornik R i cewkę L połączone szeregowo z dwoma przełącznikami. Obydwa przełączniki są otwarte. Zamykając przełącznik S1 łączymy obwód szeregowo z R i L oraz baterią, której dodatnia końcówka skierowana jest ku L. Zamykając przełącznik S2 zamykamy obwód z R i L, pomijając baterię. Rysunek (b) pokazuje zamknięty szeregowo obwód z R, L i baterią. Strona L zwrócona ku baterii ma potencjał dodatni. Prąd płynie od ładunku dodatniego do ujemnego poprzez L do końcówki ujemnej. Rysunek (c) pokazuje połączenie szeregowe R i L. Potencjał L jest skierowany odwrotnie, ale prąd płynie w tym samym kierunku, co na rysunku b.

55.

Po jakim czasie od zamknięcia przełącznika $S_{1}$ w poniższym obwodzie natężenie prądu osiąga połowę wartości maksymalnej? Odpowiedź wyraź w zależności od stałej czasowej obwodu.

Rysunek pokazuje obwód lączący szeregowo R i L z baterią epsilon i otwartym przełącznikiem S1.

56.

Zapisz $d I ∕ d t$ w momencie zamknięcia poniższego obwodu. Wykaż, że gdyby prąd rósł jednostajnie w tym tempie, osiągnąłby wartość $ε ∕ R$ w $t = τ_{L}$ .

Rysunek (a) pokazuje obwód łączący szeregowo R, L i baterię epsilon z otwartym przełącznikiem S1. Rysunek (b) pokazuje obwód łączący szeregowo R i L z baterią epsilon. Końcówka L jest połączona do dodatnio naładowanego terminala baterii z potencjałem dodatnim. Prąd płynie poprzez L od plusa do minusa.

57.

Natężenie prądu płynącego w poniższym obwodzie osiąga połowę maksymalnej wartości w $1,75 ms$ po zamknięciu obwodu. Przy $L = 250 mH$ wyznacz

stałą czasową obwodu $τ$ ;
opór $R$ .

Rysunek pokazuje obwód łączący szeregowo R i L z baterią epsilon i otwartym przełącznikiem S1.

58.

Wyznacz $i_{1}$ , $i_{2}$ i $i_{3}$ w chwili, gdy

przełącznik $S$ jest zamknięty;
natężenia osiągnęły swoje maksymalne wartości;
przełącznik jest otwarty po tym, jak obwód osiągnął stan ustalony.

Rysunek przedstawia obwód z R1 i L połączony szeregowo z baterią epsilon i zamkniętym przełącznikiem S. R2 jest połączony równolegle z L. Prąd płynący przez R1, L i R2 oznaczony odpowiednio jako l1,l2 i l3.

59.

Dla poniższego obwodu $ε = 50 V$ , $R_{1} = 10 Ω$ , $R_{2} = R_{3} = 19,4 Ω$ i $L = 2 mH$ , wyznacz wartości $i_{1}$ i $i_{2}$

w chwili zamknięcia obwodu;
po długim czasie od zamknięcia obwodu;
w chwili otwarcia obwodu,
po długim czasie od otwarcia obwodu.

Rysunek pokazuje obwód z połączonymi szeregowo bateriami R1 i R2, baterią epsilon i zamkniętym przełącznikiem S. R2 jest połączone równolegle z L i R3. Prąd przepływający przez R2 i R2 oznaczony odpowiednio jako l1 i l2.

60.

Dla poniższego obwodu znajdź natężenie prądu płynącego przez cewkę $2 \cdot 10^{- 5} s$ po otwarciu przełącznika.

Rysunek pokazuje obwód z połączonymi szeregowo bateriami R1 i R2, epsilon i zamkniętym przełącznikiem S. R2 jest połączona równolegle z L i R3. Prąd przepływa przez R1 i R2 odpowiednio jako l1 i l2.

61.

Wykaż, że całkowita energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki indukcyjnej wpiętej do poniższego obwodu $Li^2 \apply (\SI{0}{\second}) / 2$ równa jest całkowitej energii, która zostanie rozproszona na oporniku.

Rysunek (a) przedstawia opornik R i induktor L połączone szeregowo z dwoma przełącznikami równoległymi względem siebie. Obydwa przełączniki są otwarte. Zamykając przełącznik S1 łączymy R i L szeregowo z baterią, która ma zacisk dodatni skierowany do L. Zamykając przełącznik S2 tworzymy zamkniętą pętlę R i L bez baterii. Rysunek (b) przedstawia zamknięty obwód z R, L i baterią połączone szeregowo. Strona L w kierunku baterii ma potencjał dodatni. Prąd płynie z dodatniego końca L, przez niego, do końca ujemnego. Rysunek (c) przedstawia R i L połączone szeregowo. Potencjał całej L L jest odwrócony, ale prąd płynie w tym samym kierunku, jak na rysunku b.

14.5 Oscylacje obwodów LC

62.

Kondensator o pojemności $5000 pF$ naładowano do napięcia $100 V$ , a następnie podłączono do cewki o indukcyjności własnej $80 mH$ . Wyznacz

maksymalną energię zmagazynowaną w polu magnetycznym cewki;
maksymalne natężenie prądu;
częstotliwość drgań obwodu.

63.

Indukcyjność własna i pojemność elementów obwodu LC wynoszą $0,2 mH$ i $5 pF$ . Ile wynosi częstość kątowa drgań obwodu?

64.

Obwód LC z kondensatorem o pojemności $10 µF$ wykazuje oscylacje o częstotliwości $60 Hz$ . Ile wynosi indukcyjność własna cewki?

65.

Maksymalny ładunek kondensatora w obwodzie LC wynosi $2 \cdot 10^{- 6} C$ , a maksymalne natężenie prądu jest równe $8 mA$ .

Ile wynosi okres oscylacji?
Ile czasu upływa od momentu całkowitego rozładowania kondensatora do kolejnego pełnego naładowania?

66.

W obwodzie LC $L = 20 mH$ , a $C = 1 µF$ .

Ile wynosi częstotliwość drgań?
Ile wynosi maksymalne natężenie prądu płynącego w obwodzie, jeśli maksymalne napięcie między okładkami kondensatora wynosi $50 V$ ?

67.

W obwodzie LC maksymalny ładunek zmagazynowany na kondensatorze wynosi $q_{max}$ . Rozważ sytuację, gdy energia jest rozdzielona równomiernie między pole elektryczne kondensatora i pole magnetyczne cewki. Wyznacz ładunek na kondensatorze i natężenie prądu płynącego przez cewkę w zależności od $q_{max}$ , $L$ i $C$ .

68.

W pewnej chwili otwarto przełącznik $S_{1}$ i zamknięto przełącznik $S_{2}$ w obwodzie, którego schemat przedstawiono poniżej. Wyznacz

częstotliwość powstałych oscylacji;
maksymalny ładunek na kondensatorze;
maksymalne natężenie prądu płynącego przez cewkę;
energię elektromagnetyczną oscylacji.

12 woltowy akumulator jest połączony z 4 mikrofaradowym tranzystorem i cewką indukcyjną wielkości 100 milihenrów, które są połączone ze sobą równolegle. W obwodzie istnieją dwa przełączniki. Przełącznik S1 jest zamknięty. Jeżeli jest otwarty to otwarty jest cały obwód. Przełącznik S2 jest otwarty i stąd cewka jest aktualnie odłączona.

69.

Obwód LC zainstalowany w odbiorniku radiowym zawiera cewkę o indukcyjności własnej $2,5 mH$ i kondensator o zmiennej pojemności. Jeśli odbiornik ma działać w całym paśmie AM od $540 kHz$ do $1600 kHz$ , jaki powinien być zakres możliwych pojemności kondensatora?

14.6 Obwody RLC

70.

W oscylującym obwodzie RLC $R = 5 Ω$ , $L = 5 mH$ oraz $C = 500 µF$ . Ile wynosi częstość kątowa oscylacji?

71.

W oscylującym obwodzie RLC $L = 10 mH$ , $C = 1,5 µF$ i $R = 2 Ω$ . Ile czasu upłynie, zanim amplituda oscylacji spadnie do połowy swojej początkowej wartości?

72.

Opornik o jakim oporze musi zostać połączony z cewką o indukcyjności $200 mH$ , by oscylacje zanikły do $50 %$ swojej początkowej wartości po $50$ cyklach? A o jakim, by zanikły do $0,1 %$ początkowej wartości po $50$ cyklach?