William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

12.1 Prawo Biota-Savarta

16.

Prąd o natężeniu $10 A$ płynie przez przewód pokazany na rysunku. Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez zaznaczony na rysunku fragment przewodu o długości $0,5 mm$ mierzona

w punkcie $A$ ;
w punkcie $B$ ?

Rysunek przedstawia kawałek drutu. Punkt P jest umieszczony 3 centymetry ponad 0,5 centymetrowym segmentem drutu, Punkt B jest umieszczony 4 centymetry w prawo od punktu A.

17.

Prąd o natężeniu $10 A$ płynie przez przewód w kształcie kwadratowej ramki o boku równym $20 cm$ . Każdy z wierzchołków ramki zwarty jest dodatkowym odcinkiem przewodu o długości $0,01 cm$ , jak pokazano na rysunku. Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w środku pętli.

Pokazana jest pętla w kształcie kwadratu o zaokrąglonych narożnikach. Nie ma na niej żadnych oznaczeń.

18.

Wyznacz indukcję pola magnetycznego wytwarzanego w punkcie $P$ , jak na rysunku. Przez przewód płynie prąd o natężeniu $I$ .

Rysunek przedstawia prądową pętlę składającą się z dwóch koncentrycznych kołowych łuków i dwóch równoległych linii promieniowania. Łuk zewnętrzny jest umieszczony w odległości b od centrum, łuk wewnętrzny jest umieszczony w odległości a od centrum.

19.

Załączony rysunek ukazuje przewód w kształcie pętli składającej się z dwóch koncentrycznych łuków okręgów oraz dwóch prostopadłych, ułożonych radialnie odcinków prostoliniowych. Wyznacz indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ .

Rysunek przedstawia prądową pętlę składającą się z dwóch koncentrycznych kołowych łuków i dwóch prostopadłych linii promieniowania. Łuk zewnętrzny jest umieszczony w odległości a od centrum, łuk wewnętrzny jest umieszczony w odległości a od centrum.

20.

Znajdź indukcję pola magnetycznego w środku $C$ prostokątnej pętli przewodu przedstawionego na załączonym rysunku.

Rysunek przedstawia prostokątną pętlę prądową. Długość krótszej strony wynosi b, długość dłuższej strony wynosi a. Punkt C znajduje się w centrum pętli.

21.

Dwa długie przewody, z których jeden zaopatrzono w półkoliste wygięcie o promieniu $R$ , położone są jak na załączonym rysunku. Zakładając, że przez oba przewody płynie prąd o natężeniu $I$ , oblicz odległość ich prostoliniowych fragmentów, przy której indukcja pola magnetycznego w punkcie $P$ będzie zerowa. Rozstrzygnij, czy prąd w przewodzie prostoliniowym musi wówczas płynąć w górę, czy w dół rysunku.

Rysunek przedstawia dwa równoległe druty umieszczone jeden od drugiego w odległości a. Jeden z drutów ma półkolisty łuk o promieniu R.

12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem

22.

Typowa wartość natężenia prądu błyskawicy wynosi $10^{4} A$ . Oszacuj wartość indukcji pola magnetycznego w odległości $1 m$ od tej błyskawicy.

23.

Wartość indukcji pola magnetycznego w odległości $50 cm$ od długiego, cienkiego, prostoliniowego przewodu wynosi $8 µT$ . Jakie jest natężenie prądu płynącego przez przewód?

24.

Linia energetyczna rozpięta na wysokości $7 m$ nad ziemią przewodzi prąd o natężeniu $500 A$ . Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego linii mierzona na powierzchni gruntu dokładnie pod przewodami? Wynik porównaj z wartością indukcji pola magnetycznego Ziemi.

25.

Przez długi, prostoliniowy, poziomy przewód płynie ze strony lewej na prawą prąd o natężeniu $20 A$ . Zakładając, że przewód umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji równej $4 \cdot 10^{- 5} T$ , skierowanym pionowo w dół, wyznacz wypadkową indukcję pola w odległości $20 cm$ nad i pod przewodem.

26.

Przez dwa długie, równoległe przewody pokazane na załączonym rysunku płynie w tym samym kierunku prąd o różnych natężeniach. Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie $P$ , jeżeli $I_{1} = 10 A$ , a $I_{2} = 20 A$ ?

27.

Poniższy rysunek ukazuje dwa długie, prostoliniowe, wzajemnie równoległe, poziome przewody, odległe od siebie o $2 a$ . Przez oba przewody w tym samym kierunku płynie prąd o natężeniu $I$ . Jaka jest wartość i kierunek wektora indukcji pola magnetycznego

w punkcie $P_{1}$ ;
w punkcie $P_{2}$ ?

Rysunek przedstawia dwa długie równoległe przewody, które znajdują się od siebie w odległości 2a. Prąd płynie poprzez przewody w tym samym kierunku. Punkt P1 jest umieszczony między przewodami o odległość a. Punkt P2 jest umieszczony w odległości 2 a poza przewodami.

28.

Powtórz obliczenia z poprzedniego zadania, zakładając przeciwny kierunek przepływu prądu w niższym przewodzie.

29.

Rozpatrz przestrzeń pomiędzy przewodami z poprzedniego zadania. W jakiej odległości od górnego przewodu wypadkowa wartość indukcji pola magnetycznego osiąga maksimum? Załóż, że prądy przepływają w przeciwnych kierunkach, a ich natężenia są jednakowe.

12.3 Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem

30.

Dane są dwa długie, prostoliniowe, równoległe przewody, odległe od siebie o $25 cm$ .

Wyznacz wartość siły magnetycznej, przypadającej na metr ich długości, zakładając, że przez oba przewody w tym samym kierunku płynie prąd o natężeniu $50 A$ ;
Czy przewody przyciągają się, czy odpychają?
Co się stanie, gdy prąd w tych przewodach popłynie w przeciwnych kierunkach?

31.

Dane są dwa długie, prostoliniowe, równoległe przewody – odległe od siebie o $10 cm$ . Przez pierwszy z nich płynie prąd o natężeniu $2 A$ , przez drugi – prąd o natężeniu $5 A$ .

Wyznacz wartość oraz kierunek siły przypadającej na jednostkę długości, jaką pierwszy przewód oddziałuje na drugi przewód;
Wyznacz wartość i kierunek siły, gdy prąd popłynie w tę samą stronę.

32.

Dwa długie, równoległe przewody zawieszono na linkach o długości $5 cm$ , jak pokazano na załączonym rysunku. Masa przypadająca na jednostkę ich długości wynosi $30 g ∕ m$ , a przez oba przewody – w przeciwnych kierunkach – płynie prąd o jednakowym natężeniu. Oblicz natężenia prądu, jeżeli kąty utworzone przez linki w punktach zawieszenia, mierzone względem pionu, wynoszą $6 °$ .

Rysunek przedstawia dwa równoległe przewody z prądem płynącym w przeciwstawnych kierunkach, które są zawieszone na sznurkach zaczepionych na hakach.

33.

Obwód elektryczny z prądem o natężeniu $I$ zawiera dwa długie, równoległe odcinki przewodów, w których prąd płynie w przeciwnych kierunkach. Znajdź pole magnetyczne w punkcie $P$ , odległym o $a$ od pierwszego przewodu i o $b$ od drugiego z nich – jak to wynika z rysunku.

Rysunek przedstawia dwa przewody przewodzące prąd. Jeden prąd jest poza stroną, inny jest skierowany do jej środka. Przewody tworzą wierzchołki trójkąta prostokątnego. Punkt P jest trzecim wierzchołkiem i jest umieszczony w odległości b od jednego przewodu i odległości a od drugiego przewodu. Odległość b jest przyprostokątną; odległość a jest przeciwprostokątną.

34.

Przez nieskończony prostoliniowy przewód, przedstawiony na poniższym rysunku, przepływa prąd o natężeniu $I_{1}$ . W prostokątnej ramce, której dłuższe boki są równoległe do tego przewodu, płynie prąd o natężeniu $I_{2}$ . Określ wartość i kierunek siły działającej na ramkę – wywołanej polem magnetycznym przewodu.

Rysunek przedstawia przewód z płynącym prądem l1 i prostokątną pętlę o długich bokach, które są równoległe do przewodu i prądu l2. Odległość między przewodem i pętlą wynosi b. Długość boku po stronie pętli wynosi a, odległość krótkiego boku od pętli wynosi b.

12.4 Pole magnetyczne pętli z prądem

35.

Indukcja pola magnetycznego w środku kołowej pętli, w której płynie prąd o natężeniu $6 A$ , wynosi $2 \cdot 10^{- 4} T$ . Oblicz promień pętli.

36.

Z ilu zwojów musi składać się płaska, kołowa cewka o promieniu $20 cm$ , aby przy zasilaniu jej prądem o natężeniu $0,85 A$ wartość indukcji pola magnetycznego w jej środku wynosiła $4 \cdot 10^{- 4} T$ ?

37.

Płaska, kołowa cewka składa się z 20 zwojów. Promień cewki wynosi $10 cm$ , a natężenie płynącego przez nią prądu jest równe $0,5 A$ . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w środku cewki.

38.

Przez kołową pętlę o promieniu $R$ płynie prąd o natężeniu $I$ . W którym punkcie osi pętli natężenie pola magnetycznego jest równe połowie wartości natężenia pola zmierzonej w środku osi?

39.

Dwie płaskie kołowe cewki – składające się z $N$ zwojów o promieniu $R$ – zostały zamontowane wzdłuż wspólnej osi w taki sposób, że są do siebie równoległe, a odległość między nimi wynosi $d$ . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie pośrodku tej osi, jeżeli przez każdą cewkę – w tym samym kierunku – płynie prąd o natężeniu $I$ .

40.

Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w środku którejkolwiek cewki z poprzedniego zadania.

12.5 Prawo Ampère’a

41.

Prąd o natężeniu $I$ płynie wokół prostokątnej ramki przedstawionej na załączonym rysunku. Oblicz wartość całki $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}$ wzdłuż konturów $A$ , $B$ , $C$ oraz $D$ .

Rysunek przedstawia prostokątną pętlę przewodzącą prąd l. Ścieżki A i C przecinają krótsze boki pętli. Ścieżka B przecina dwa długie boki pętli. Ścieżka D przecina obydwa boki pętli, długi i krótki.

42.

Określ wartość całki $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}$ w każdym z przypadków przedstawionych na załączonym rysunku.

Rysunek A przedstawia przewód wewnątrz pętli przewodzący prąd dwu amperowy górą przez pętlę. Rysunek B przedstawia trzy przewody wewnątrz pętli przewodzące prąd pięcio, dwu i sześcio amperowy. Przewody pierwszy i trzeci przenoszą prąd górą przez pętlę. Drugi przenosi prąd dołem przez pętlę. Rysunek C przedstawia dwa przewody na zewnątrz pętli, które przenoszą prąd trzy, dwu i cztero amperowy. Pierwszy przewód przenosi prąd górą przez pętlę, drugi i trzeci są wewnątrz pętli. Pierwszy i trzeci przenoszą prąd dołem przez pętlę. Drugi przenosi górą przez pętlę. Rysunek D przedstawia cztery przewody przenoszące prąd cztero, trzy, dwu i dwu amperowy. Przewody pierwszy i czwarty znajdują się poza pętlą. Drugi i trzeci są wewnątrz pętli. Przewody pierwszy, drugi i trzeci przenoszą prąd górą przez pętlę. Przewód czwarty przenosi prąd dołem przez pętlę.

43.

W cewce, której przekrój podłużny przedstawia załączony rysunek, płynie prąd o natężeniu $I$ . Cewka składa się z $N$ zwojów rozmieszczonych równomiernie na jej długości $l$ . Określ wartość całki $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}$ w przypadkach konturów całkowania widocznych na rysunku.

Rysunek przedstawia podłużny przekrój cewki. Ścieżka A wycina trzy cewki przewodzące prąd z płaszczyzny papieru. Ścieżka B wycina cztery cewki z dwóch przewodzących prąd z płaszczyzny papieru i dwóch przewodzących prąd wewnątrz płaszczyzny papieru. Ścieżka C wycina siedem cewek przewodzących prąd ku płaszczyźnie papieru. Ścieżka D wycina cewki przewodzące prąd ku płaszczyźnie papieru.

44.

W nadprzewodzącym drucie o średnicy $0,25 cm$ płynie prąd o natężeniu $1000 A$ . Wyznacz indukcję pola magnetycznego w pobliżu tego drutu.

45.

W długim, prostoliniowym przewodzie o promieniu $R$ płynie prąd o natężeniu $I$ . Prąd jest równomiernie rozłożony w przekroju poprzecznym przewodu. W jakiej odległości od osi przewodu wartość indukcji pola magnetycznego będzie maksymalna?

46.

Załączony rysunek przedstawia przekrój poprzeczny długiego, wydrążonego, cylindrycznego przewodnika o promieniu wewnętrznym $r_{1} = 3 cm$ i promieniu zewnętrznym $r_{2} = 5 cm$ . Prąd o natężeniu $50 A$ , rozłożony równomiernie w przekroju poprzecznym przewodnika, płynie w stronę płaszczyzny rysunku. Oblicz indukcję pola magnetycznego w odległościach $r = 2 cm$ , $r = 4 cm$ oraz $r = 6 cm$ od osi przewodu.

Rysunek przedstawia przekrój długiego, wydrążonego, cylindrycznego przewodnika o promieniu wewnętrznym 3 centymetry i zewnętrznym promieniu 5 centymetrów.

47.

W długim, jednolitym, cylindrycznym przewodniku o promieniu $3 cm$ płynie prąd o natężeniu $50 A$ . Prąd rozłożony jest równomiernie w przekroju poprzecznym przewodnika. Narysuj wykres wartości indukcji pola magnetycznego w funkcji odległości radialnej $r$ od środka przewodnika.

48.

Poniższy rysunek przedstawia fragment długiego, cylindrycznego kabla koncentrycznego (ang. coaxial cable). Prąd o natężeniu $I$ wpływa do wewnętrznego przewodu kabla i wypływa jego zewnętrznym przewodem. Wyznacz indukcję pola magnetycznego w obszarach, w których

$r \leq r_1$ ;
$r_2 \geq r > r_1$ ;
$r_3 \geq r > r_2$ ;
$r > r_3$ .

Rysunek przedstawia długi cylindryczny kabel koncentryczny. Promień ze środka przewodu wewnętrznego wynosi r1. Odległość od środka do płaszczyzny drugiej strony wynosi r2. Odległość ze środka do płaszczyzny strony zewnętrznej wynosi r3.

12.6 Solenoidy i toroidy

49.

Liczba zwojów na metr długości solenoidu wynosi $2000$ . Zakładając, że w uzwojeniu solenoidu płynie prąd o natężeniu $5,2 A$ , oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w jego wnętrzu.

50.

Liczba zwojów solenoidu na centymetr jego długości wynosi 12. Jakie musi być natężenie prądu w uzwojeniu solenoidu, aby w jego wnętrzu indukcja magnetyczna miała wartość $2 \cdot 10^{- 2} T$ ?

51.

Ile zwojów na centymetr długości należy nawinąć, aby tak wykonany solenoid wytwarzał w swoim wnętrzu pole magnetyczne o indukcji $2 \cdot 10^{- 3} T$ ? Przyjmij, że natężenie prądu w uzwojeniu wynosi $2 A$ .

52.

Solenoid pokazany na rysunku składa się z 500 zwojów, ma długość $40 cm$ i średnicę $3 cm$ . Zakładając, że w uzwojeniu solenoidu płynie prąd o natężeniu $4 A$ , wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie na jego osi, znajdującym się

w środku solenoidu;
w odległości $10 cm$ od jednego z jego końców;
w odległości $5 cm$ od jednego z jego końców.
Porównaj uzyskane wyniki z obliczeniami w przypadku solenoidu nieskończenie długiego.

Rysunek A jest przekrojem cewki z trzema uzwojeniami. Odległość od środka do zwoju wynosi 1,5 centymetra. Odległość między uzwojeniami wynosi 20 centymetrów. Punkt umieszczony jest w środku osi cewki, przeciwstawnie do drugiego uzwojenia. Rysunek B jest przekrojem cewki z trzema uzwojeniami. Odległość od środka do uzwojenia wynosi 1,5 centymetra. Odległość między uzwojeniami wynosi 20 centymetrów. Punkt umieszczony jest na środku osi cewki, między pierwszym i drugim uzwojeniem. Rysunek C jest przekrojem cewki z trzema uzwojeniami. Odległość ze środka do uzwojenia wynosi 1,5 centymetra. Odległość między zwojami wynosi 20 centymetrów. Punkt jest umieszczony na środku osi cewki, pięć centymetrów poniżej pierwszego zwoju

53.

Wyznacz wartość indukcji magnetycznej w punkcie położonym na centralnej osi, na początku półnieskończonego solenoidu. Wskazówka: Przyjmij, że na początku solenoidu $x = 0$ , a w jego końcu $x \to \infty$ .

54.

Długość solenoidu wynosi $15 cm$ , a jego średnica $4 cm$ . Zakładając, że liczba zwojów solenoidu na metr długości wynosi $n$ , a natężenie płynącego w nim prądu jest równe $I$ , oszacuj błąd przybliżenia wartości indukcji w jego środku, określonego wzorem $B = μ_{0} n I$ .

55.

W solenoidzie, którego liczba zwojów na centymetr długości wynosi 25, płynie prąd o natężeniu $I$ . We wnętrzu solenoidu, prostopadle do jego osi, po okręgu o promieniu $2 cm$ porusza się elektron. Oblicz natężenie prądu $I$ , jeżeli prędkość elektronu wynosi $2 \cdot 10^{5} m ∕ s$ .

56.

W toroidzie o 250 zwojach płynie prąd o natężeniu $20 A$ . Wewnętrzny promień toroidu wynosi $8 cm$ , a jego zewnętrzny promień wynosi $9 cm$ . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego tego toroidu przy $r = 8,1 cm$ , $r = 8,5 cm$ i $r = 8,9 cm$ .

57.

Dany jest toroid o 500 zwojach i przekroju poprzecznym będącym kwadratem o boku $3 cm$ . Wewnętrzny promień toroidu wynosi $25 cm$ , a w jego uzwojeniu płynie prąd o natężeniu $2 A$ . Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w środku przekroju poprzecznego tego toroidu.

12.7 Magnetyzm materii

58.

Indukcja pola magnetycznego w rdzeniu wypełnionego powietrzem solenoidu wynosi $1,5 T$ . O ile zmaleje wartość tej indukcji po odpompowaniu powietrza z rdzenia przy niezmienionym natężeniu prądu w uzwojeniu solenoidu?

59.

Solenoid zawierający $n = 1000$ zwojów przypadających na metr długości, zasilany prądem o natężeniu $I = 5 A$ , wyposażony jest w ferromagnetyczny rdzeń. Jaka jest wartość podatności $χ$ materiału rdzenia, jeżeli indukcja magnetyczna $B$ we wnętrzu solenoidu wynosi $2 T$ ?

60.

Prąd o natężeniu $20 A$ płynie w solenoidzie zawierającym $2000$ zwojów na metr długości. Oblicz wartość indukcji magnetycznej wewnątrz solenoidu, jeżeli jego rdzeń

stanowi próżnia;
wypełniono ciekłym tlenem o temperaturze $90 K$ .

61.

Wartość dipolowego momentu magnetycznego atomu żelaza wynosi około $2,1 \cdot 10^{- 23} A m^{2}$ .

Oblicz maksymalną wartość magnetycznego momentu dipolowego domeny zawierającej $10^{19}$ atomów żelaza;
Jakie musi być natężenie prądu płynącego w pojedynczej kołowej pętli przewodu o średnicy $1 cm$ , aby wytworzyć moment dipolowy o takiej wartości?

62.

Załóżmy, że w toroidzie z rdzeniem stalowym, którego $χ = 4 \cdot 10^{3}$ , chcemy wytworzyć pole o indukcji magnetycznej równej $1,2 T$ . Średni promień toroidu wynosi $15 cm$ , a jego uzwojenie liczy 500 zwojów. Jakie jest wymagane natężenie prądu?

63.

Prąd o natężeniu $1,5 A$ płynie w uzwojeniu dużego, cienkiego solenoidu, nawiniętego z gęstością 200 zwojów na metr. Oblicz wartość indukcji magnetycznej wewnątrz solenoidu, jeżeli jest on wypełniony żelazem o $χ = 3 \cdot 10^{3}$ .

64.

Długość solenoidu z rdzeniem żelaznym wynosi $25 cm$ , a jego uzwojenie liczy 100 zwojów przewodu. Solenoid ten, zasilany prądem o natężeniu $10 A$ , wytwarza w swoim wnętrzu pole magnetyczne o wartości indukcji $2 T$ . Ile wynosi podatność magnetyczna żelaza przy takim natężeniu prądu? Czy indukcja magnetyczna wewnątrz rdzenia powróci do wartości $2 T$ , jeśli prąd zostanie wyłączony, a następnie osiągnie wartość równą $10 A$ ?