Rozdział 16

Długość fali zależy od jej częstotliwości i prędkości. Częstotliwość fali dźwiękowej jest równa częstotliwości fali przemieszczającej się wzdłuż struny. Długość fali dźwiękowej i długość fali przemieszczającej się wzdłuż struny są równe tylko wtedy, gdy prędkości tych fal są takie same, co nie jest regułą. Jeśli prędkość dźwięku jest różna od prędkości fali rozchodzącej się wzdłuż struny, to długości fal też są różne. Prędkość fali dźwiękowej będzie omówiona w rozdziale Dźwięk.

Fala poprzeczna może przemieszczać się w ośrodku ze stałą prędkością, ale cząsteczki ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu fali. Jeśli fala przemieszcza się zgodnie ze zwrotem osi $x$, cząstki ośrodka drgają wzdłuż osi $y$. Zatem prędkość ośrodka nie jest stała (prędkość drgań cząsteczek ośrodka i ich przyspieszenie mogą być opisane przy wykorzystaniu modelu prostego ruchu harmonicznego masy zawieszonej na sprężynie).

Tak, funkcja cosinus jest równa przesuniętej w fazie funkcji sinus i obie mogą być używane do stworzenia równania falowego. To warunki początkowe decydują o tym, której funkcji użyjemy. Na Ilustracji 16.11 wychylenie początkowe fali wynosi $y(x=\mathrm{0,00};t=\mathrm{0,00})=0$, następnie wychylenie wzrasta i osiąga maksimum odpowiadające grzbietowi fali. Jeśli wychylenie początkowe w chwili początkowej byłoby równe amplitudzie fali $y(x=\mathrm{0,00};t=\mathrm{0,00})=+A$, wówczas wygodniejsze jest użycie funkcji cosinus.

Fala o amplitudzie $A=\mathrm{0,5}\text{m},$ długości $\lambda =\mathrm{10,00}\text{m}$ i okresie $T=\mathrm{0,50}\text{s}$ jest rozwiązaniem równania falowego. Prędkość fali $v=\mathrm{20,00}\text{m/s}.$

Ponieważ prędkość fali na strunie jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego naprężenia podzielonego przez liniową gęstość, to prędkość fali w naszym przypadku musi wzrosnąć o $\sqrt{2}.$

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że uśredniona w czasie moc fali sinusoidalnej na strunie jest proporcjonalna do liniowej gęstości struny, ponieważ $P=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^{2}v$, a prędkość fali zależy od gęstości liniowej. Jeśli zastąpimy prędkość fali przez $\sqrt{F_T\text{/}\mu }$, to okaże się, że moc jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z naprężenia i do pierwiastka kwadratowego z liniowej gęstości masy:
$P=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^{2}v=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2\sqrt{\frac{F_T}{\mu }}=\frac{1}{2}{A}^2{\omega }^2\sqrt{\mu F_T}.$

Tak, równania są prawdziwe dla symetrycznych warunków brzegowych, gdzie na obu końcach tworzą się strzałki. Mody normalne dla trzech pierwszych modów pokazano poniżej. Linią przerywaną zaznaczono położenie równowagowe ośrodka.

Zauważ, że pierwszy mod odpowiada połowie długości fali. Drugi mod odpowiada jednej długości fali, a trzeci odpowiada 1,5 długości fali. Otrzymaliśmy wyniki podobne jak dla struny, na której obu końcach znajdują się węzły. Równania dla symetrycznych warunków brzegowych są prawdziwe zarówno dla stałych, jak i dla swobodnych warunków brzegowych. Powrócimy do tych rozważań w następnym rozdziale, omawiając fale dźwiękowe w otwartych rurach.

Fala rozchodząca się wzdłuż struny gitary jest falą poprzeczną. Zaburzenie struny porusza się prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. Dźwięk wytwarzany przez strunę jest falą podłużną. Zaburzenie powietrza przemieszcza się równolegle do kierunku rozchodzenia się fali.

Szybkość rozchodzenia się fali to szybkość jej rozchodzenia się w ośrodku. Jeśli jest stała, to można obliczyć ją z równania $v=\frac{\lambda }{T}=\lambda f.$ Częstotliwość to liczba fal, przechodzących przez dany punkt w jednostce czasu. Długość fali jest wprost proporcjonalna do prędkości fali i odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości.

Nie, odległość, jaką pokonuje ręka, wyznacza amplitudę fali. Długość fali zależy od częstotliwości ruchu ręki w górę i w dół oraz od szybkości fali.

Światło słoneczne dociera do Ziemi, biegnąc przez przestrzeń kosmiczną, gdzie panuje próżnia.

Długość fali jest równa iloczynowi prędkości fali i częstotliwości, a liczba falowa równa się $k=2\pi \text{/}\lambda$. Zatem liczba falowa zależy od częstotliwości oraz prędkości rozchodzenia się fali.

Gdy fala rozchodzi się w ośrodku, to ośrodek porusza się prostym ruchem harmonicznym, którego prędkość jest inna w każdej chwili, zatem można mówić tu o przyspieszeniu cząstek ośrodka. Przyspieszenie jest tu wynikiem działania sił sprężystości w kierunku przeciwnym do wychylenia.

Prędkość fali jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z naciągu, a zatem wzrośnie dwukrotnie.

Ponieważ prędkość fali na strunie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z liniowej gęstości masy, prędkość będzie większa na strunie o niższej gęstości liniowej masy.

Naprężenie drutu wynika z ciężaru kabla elektrycznego.

Uśredniona w czasie moc wynosi $P=\frac{E_{\lambda }}{T}=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2\frac{\lambda }{T}=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^{2}v.$ Jeśli częstotliwość lub amplituda zmniejszą się o połowę, to moc zmniejszy się czterokrotnie.

Ponieważ odcinek struny porusza się w kierunku wertykalnym i wywiera nacisk na sąsiadujące z nim odcinki struny, przenosząc energię.

Natężenie fali kulistej wynosi: $I=\frac{P}{4\pi r^2},$ i jeśli energia nie jest rozpraszana, to natężenie na odcinku 3-metrowym zmniejszy się 9 razy.

Na granicy strun impuls padający powoduje powstanie impulsu odbitego oraz impulsu przechodzącego. Impuls odbity będzie w przeciwnej fazie w stosunku do impulsu padającego, pobiegnie z tą samą prędkością, co impuls padający, ale w przeciwnym kierunku. Impuls przechodzący pobiegnie w tym samym kierunku co impuls padający, z prędkością równą połowie prędkości impulsu padającego. Impuls przechodzący będzie w fazie z impulsem padającym. Zarówno impuls odbity, jak i impuls przechodzący będą miały amplitudy mniejsze niż amplituda impulsu padającego.

Długość i/lub gęstość, wówczas rozpora nie będzie rezonowała z silnikiem.

Podczas takiego pocierania następuje przekazanie energii szkłu. Przy pewnych częstotliwościach powstają w kieliszku fale stojące. Kieliszek wpada w rezonans, a wibracje powodują wytworzenie dźwięku.

W przypadku równania $y\left(x,t\right)=\mathrm{4,00}\text{cm}\text{sin}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x\right)\text{cos}\left(4{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$ wystąpi węzeł, ponieważ gdy $x=\mathrm{0,00}\text{m}$, $\text{sin}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}\left(\mathrm{0,00}\text{m}\right)\right)=\mathrm{0,00},$ więc $y\left(\mathrm{0,00}\text{m},t\right)=\mathrm{0,00}\text{m}$ w każdej chwili. W przypadku równania $y\left(x,t\right)=\mathrm{4,00}\text{cm}\text{sin}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x+\frac{\pi }{2}\right)\text{cos}\left(4{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$ powstanie strzałka, gdyż $x=\mathrm{0,00}\text{m}$, $\text{sin}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}\left(\mathrm{0,00}\text{m}\right)+\frac{\pi }{2}\right)=+\mathrm{1,00}$,więc $y\left(\mathrm{0,00}\text{m},t\right)$ wykonuje drgania w zakresie pomiędzy $+A$ i $-A$, a funkcja cosinus zmienia się w zakresie +1 i −1.

$2d=vt\Rightarrow d=\mathrm{11,25}\text{m}$

$\begin{array}{ccc}\hfill v& =\hfill & f\lambda ,\text{stąd}f=\mathrm{0,125}\text{Hz, zatem}\hfill \\ \hfill N& =\hfill & \mathrm{7,50}\text{razy}\hfill \end{array}$

$v=f\lambda \Rightarrow \lambda =\mathrm{0,400}\text{m}$

$v=f\lambda \Rightarrow f=\mathrm{2,50}\cdot {10}^9\mathrm{H}\mathrm{z}$

(a) Fala typu P jest szybsza od fali typu S o $v=\mathrm{3,20}\text{km/s;}$, stąd $\text{Δ}d=\mathrm{0,320}\text{km}.$ (b) Ponieważ dokładność pomiaru odległości jest mniejsza niż 1 km, to nasza odpowiedź na pytanie do części (a) wydaje się nie ograniczać wykrywania prób jądrowych. Jednak jeśli prędkości są nieznane, wówczas niepewność związana z pomiarem odległości wzrośnie i utrudni identyfikację źródła fali sejsmicznej.

$\begin{array}{ccc}\hfill v& =\hfill & 1900\text{m/s}\hfill \\ \hfill \text{Δ}t& =\hfill & \mathrm{1,05}\mathrm{\mu s}\hfill \end{array}$

$y\left(x,t\right)=\mathrm{-0,037}\text{cm}$

a. $A=\mathrm{0,25}\text{m};$ b. $k=\mathrm{0,3}{\text{m}}^{\mathrm{-1}};$ c. $\omega =\mathrm{0,9}{\text{s}}^{\mathrm{-1}};$ d. $v=\mathrm{3,0}\text{m/s};$ e. $\varphi =\pi \text{/}3\text{rad};$ f. $\lambda =\mathrm{20,93}\text{m}$; g. $T=\mathrm{6,98}\text{s}$

$A=\mathrm{0,30}\text{m},\lambda =\mathrm{4,50}\text{m},v=\mathrm{18,00}\text{m/s},f=\mathrm{4,00}\text{Hz},T=\mathrm{0,25}\text{s}$

$y\left(x,t\right)=\mathrm{0,23}\text{m}\text{sin}\left(\mathrm{3,49}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x-\mathrm{0,63}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

Mają te same częstotliwości i okresy. Poruszają się w przeciwnych kierunkach, a $y_2\left(x,t\right)$ ma dwa razy większą długość niż $y_1\left(x,t\right)$ i porusza się z prędkością dwa razy mniejszą.

Każda cząstka ośrodka pokonuje odległość 4$A$ w czasie jednego okresu. Okres można wyliczyć, dzieląc prędkość przez długość fali: $t=\mathrm{10,42}\text{s}$.

a. $\mu =\mathrm{0,040}\mathrm{k}\mathrm{g}\text{/}\mathrm{m}$, b. $v=\mathrm{15,75}\text{m/s}$

$v=180\text{m/s}$

$v=\mathrm{547,723}\text{m/s},\text{Δ}t=\mathrm{5,48}\text{ms}$

$v_{\text{s}}=\mathrm{347,56}\text{m/s}$

$v_{1}t+v_{2}t=\mathrm{2,00}\text{m},t=\mathrm{1,69}\text{ms}$

$v=\mathrm{288,68}\text{m/s},\lambda =\mathrm{0,73}\text{m}$

a. $A=\mathrm{0,0125}\text{cm;}$ b. $F_T=\mathrm{0,96}\text{N}$

$v=\mathrm{74,54}\text{m/s,}$ $P_{\lambda }=\mathrm{91,85}\text{W}$

a. $I=\mathrm{20,0}{\text{W/m}}^2;$ b. $\begin{array}{}\\ \\ I=\frac{P}{A},A=\mathrm{10,0}{\text{m}}^2\hfill \\ A=4\pi r^2,r=\mathrm{0,892}\text{m}\hfill \end{array}$

$I=650{\text{W/m}}^2$

$\begin{array}{}\\ \\ P\propto E\propto I\propto X^2\Rightarrow \frac{P_2}{P_1}={\left(\frac{X_2}{X_1}\right)}^2\hfill \\ P_2=\mathrm{2,50}\text{kW}\hfill \end{array}$

$$\begin{gathered} I\propto X^2\Rightarrow \frac{I_1}{I_2}={\left(\frac{X_1}{X_2}\right)}^2\Rightarrow \\ {I}_2=\mathrm{3,38}\cdot {10}^{-5}\mathrm{W}\text{/}{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$

$f=\mathrm{100,00}\text{Hz},A=\mathrm{1,10}\text{cm}$

a. $I_2=\mathrm{0,063}{I}_1$; b. $\begin{array}{}\\ \\ \hfill I_{1}4\pi r_1^2& =\hfill & I_{2}4\pi r_2^2\hfill \\ \hfill r_2& =\hfill & \mathrm{3,16}\text{m}\hfill \end{array}$

$2\pi r_1{A}_1^2=2\pi r_2{A}_2^2,A_1={\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^{1\text{/}2}{A}_1=\mathrm{0,17}\text{m}$

$y\left(x,t\right)=\mathrm{0,76}\text{m}$

$A_R=2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right),\varphi =\mathrm{1,17}\text{rad}$

$y_R=\mathrm{1,90}\text{cm}$

$\begin{array}{ccc}\hfill \omega & =\hfill & \mathrm{6,28}{\text{s}}^{\mathrm{-1}},k=\mathrm{3,00}{\text{m}}^{\mathrm{-1}},\varphi =\frac{\pi }{8}\text{rad}\hfill \\ \hfill A_R& =\hfill & 2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right),A=\mathrm{0,37}\text{m}\hfill \end{array}$

a.

b. $\lambda =\mathrm{2,0}\text{m},A=4\text{m}$, c. ${\lambda }_R=\mathrm{2,0}\text{m},A_R=\mathrm{6,93}\text{m}$

$y_R\left(x,t\right)=2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(kx-\omega t+\frac{\varphi }{2}\right);$ wynik ten nie jest zaskoczeniem, ponieważ $\text{cos}\left(\theta \right)=\text{sin}\left(\theta +\frac{\pi }{2}\right).$

$\begin{array}{}\\ \\ {\lambda }_n=\frac{\mathrm{2,00}}{n}L,f_n=\frac{v}{{\lambda }_n}\hfill \\ {\lambda }_1=\mathrm{4,00}\text{m},f_1=\mathrm{12,5}\text{Hz}\hfill \\ {\lambda }_2=\mathrm{2,00}\text{m},f_2=\mathrm{25,00}\text{Hz}\hfill \\ {\lambda }_3=\mathrm{1,33}\text{m},f_3=\mathrm{37,59}\text{Hz}\hfill \end{array}$

$\begin{array}{}\\ \\ v=\mathrm{158,11}\text{m/s,}\lambda =\mathrm{4,44}\text{m,}f=\mathrm{35,61}\text{Hz}\hfill \\ {\lambda }_s=\mathrm{9,63}\text{m}\hfill \end{array}$

$y\left(x,t\right)=\left[\mathrm{0,60}\text{cm}\text{sin}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x\right)\right]\text{cos}\left(4{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

$\begin{array}{rl}{\lambda }_{100}& =\mathrm{0,06}\mathrm{m}\\ v& =\mathrm{56,8}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s},f_n=n{f}_1,n=\mathrm{1,2},3,\dots \\ f_{100}& =947\mathrm{H}\mathrm{z}\end{array}$

$T=2\text{Δ}t,v=\frac{\lambda }{T},\lambda =\mathrm{2,12}\text{m}$

$\begin{array}{}\\ \\ {\lambda }_1=\mathrm{6,00}\text{m},{\lambda }_2=\mathrm{3,00}\text{m},{\lambda }_3=\mathrm{2,00}\text{m},{\lambda }_4=\mathrm{1,50}\text{m}\hfill \\ v=\mathrm{258,20}\text{m/s}=\lambda f\hfill \\ f_1=\mathrm{43,03}\text{Hz},f_2=\mathrm{86,07}\text{Hz},f_3=\mathrm{129,10}\text{Hz},f_4=\mathrm{172,13}\text{Hz}\hfill \end{array}$

$v=\mathrm{134,16}\text{ms},\lambda =\mathrm{1,4}\text{m},f=\mathrm{95,83}\text{Hz},T=\mathrm{0,0104}\text{s}$

$\lambda =\mathrm{0,10}\text{m}$

a. $f=\mathrm{4,74}\cdot {10}^{14}\mathrm{H}\mathrm{z};$ b. $\lambda =422\text{nm}$

$\lambda =\mathrm{16,00}\text{m},f=\mathrm{0,10}\text{Hz},T=\mathrm{10,00}\text{s},v=\mathrm{1,6}\text{m/s}$

$\lambda =\left(v_b+v\right)t_b,v=\mathrm{3,75}\text{m/s,}\lambda =\mathrm{3,00}\text{m}$

$\begin{array}{}\\ \\ \frac{{\partial }^2\left(y_1+y_2\right)}{\partial t^2}=\text{−}A{\omega }^2\text{sin}\left(kx-\omega t\right)-A{\omega }^2\text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)\hfill \\ \frac{{\partial }^2\left(y_1+y_2\right)}{\partial x^2}=\text{−}A{k}^2\text{sin}\left(kx-\omega t\right)-A{k}^2\text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)\hfill \\ \frac{{\partial }^{2}y\left(x,t\right)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}y\left(x,t\right)}{\partial t^2}\hfill \\ \\ -A{\omega }^2\text{sin}\left(kx-\omega t\right)-A{\omega }^2\text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)=\left(\frac{1}{v^2}\right)\left(\text{−}A{k}^2\text{sin}\left(kx-\omega t\right)-A{k}^2\text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)\right)\hfill \\ v=\frac{\omega }{k}\hfill \end{array}$

$y\left(x,t\right)=\mathrm{0,40}\text{m}\text{sin}\left(\mathrm{0,015}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x+\mathrm{1,5}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

$v=\mathrm{223,61}\text{m/s},k=\mathrm{1,57}{\text{m}}^{\mathrm{-1}},\omega =\mathrm{142,43}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}$

$\begin{array}{rl}P& =\frac{1}{2}{A}^2(2\pi f{)}^2\sqrt{\mu F_T}\\ \mu & =\mathrm{2,00}\cdot {10}^{-4}\mathrm{k}\mathrm{g}\text{/}\mathrm{m}\end{array}$

$P=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2\frac{\lambda }{T},\mu =\mathrm{0,0018}\text{kg/m}$

a. $A_R=2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right),\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right)=1,\varphi =\mathrm{0,2}\pi ,4\pi \text{,...}$; b. $A_R=2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right),\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right)=0,\varphi =0,\pi ,3\pi ,5\pi \text{...}$

$y_R\left(x,t\right)=\mathrm{0,6}\text{m}\text{sin}\left(4{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x\right)\text{cos}\left(3{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

a. $\begin{array}{}\\ \\ \left(1\right)F_T-\mathrm{20,00}\text{kg}\left(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2\right)\text{cos}45\text{°}=0\hfill \\ \left(2\right)m\left(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2\right)-F_T=0\hfill \\ m=\mathrm{14,14}\text{kg}\hfill \end{array}$; b. $\begin{array}{}\\ \\ \hfill F_T& =\hfill & \mathrm{138,57}\text{N}\hfill \\ \hfill v& =\hfill & \mathrm{67,96}\text{m/s}\hfill \end{array}$

$F_T=12\text{N,}v=\mathrm{16,49}\text{m/s}$

a. $\begin{array}{}\\ \\ f_n=\frac{nv}{2L},v=\frac{2L{f}_{n+1}}{n+1},\frac{n+1}{n}=\frac{2L{f}_{n+1}}{2L{f}_n},1+\frac{1}{n}=\mathrm{1,2},n=5\hfill \\ {\lambda }_n=\frac{2}{n}L,{\lambda }_5=\mathrm{1,6}\text{m},{\lambda }_6=\mathrm{1,33}\text{m}\hfill \end{array}$; b. $F_T=\mathrm{245,76}\text{N}$

a. Ruch w kierunku ujemnych wartości $x$ z prędkością $v=\mathrm{2,00}\text{m/s}$. b. $\text{Δ}x=\mathrm{-6,00}\text{m;}$ c.

$\begin{array}{}\\ \\ \text{sin}\left(kx-\omega t\right)=\text{sin}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)-\text{cos}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{sin}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)\hfill \\ \text{sin}\left(kx-\omega t+\varphi \right)=\text{sin}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)+\text{cos}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{sin}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)\hfill \\ \text{sin}\left(kx-\omega t\right)+\text{sin}\left(kx+\omega t+\varphi \right)=2\text{sin}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)\hfill \\ y_R=2A\text{sin}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)\hfill \end{array}$

$\begin{array}{}\\ \\ \text{sin}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)=0,kx+\frac{\varphi }{2}=0,\pi ,2\pi ,\mathrm{1,26}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x+\frac{\pi }{20}=\pi ,2\pi ,3\pi \hfill \\ x=\mathrm{2,37}\text{m},\mathrm{4,86}\text{m},\mathrm{7,35}\text{m}\hfill \end{array}$;