Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

16.6 Fale stojące i rezonans

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 116.6 Fale stojące i rezonans

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać fale stojące i wyjaśniać ich powstawanie;
  • opisywać mody fal stojących na strunie;
  • podawać różnorodne przykłady fal stojących.

W tym rozdziale zajmowaliśmy się już falami biegnącymi, które przenosiły energię z jednego miejsca w inne. W pewnych warunkach fale mogą jednak odbijać się tam i z powrotem, przybierając charakter fal stacjonarnych, nazywanych falami stojącymi (ang. standing wave).

Inny ciekawy efekt to rezonans (ang. resonance). W rozdziale Drgania zdefiniowaliśmy rezonans jako zjawisko, w którym siła wymuszająca o niewielkiej amplitudzie może spowodować ruch o dużej amplitudzie. Przykładem jest dziecko huśtające się na huśtawce, co da się opisać jako wahadło fizyczne. Popchnięcia o małej amplitudzie, jakie stosuje rodzic, huśtając dziecko, powodują ruch huśtawki o dużej amplitudzie. Zjawisko rezonansu może mieć korzystne znaczenie, czego przykładem jest powstawanie dźwięków w instrumentach strunowych. Może jednak też mieć niszczący potencjał, czego przykładem jest zawalenie się budynków podczas trzęsienia Ziemi. W przypadku fal stojących fale o stosunkowo dużej amplitudzie tworzą się w wyniku superpozycji fal o mniejszych amplitudach.

Fale stojące

Czasami fale nie przemieszczają się. Na Ilustracji 16.25 pokazano eksperyment, który możemy wykonać w domu. Miskę z mlekiem stawiamy na obudowie zwykłego wiatraka. Drgania, które wiatrak wytwarza, spowodują powstanie kulistych fal stojących w mleku. Takie fale powstają w wyniku superpozycji dwóch lub więcej fal biegnących (Ilustracja 16.26), które są identyczne, ale przemieszczają się w przeciwnych kierunkach. Fale te nakładają się na siebie, a zaburzenia się dodają. Jeśli mają one takie same amplitudy i długości, możemy zaobserwować naprzemiennie występujące efekty wzmacniania i osłabiania interferencyjnego. Fala wypadkowa wygląda tak, jakby stała w miejscu, stąd nazwa fala stojąca.

Fotografia przedstawia fale na powierzchni miski z mlekiem, umieszczonej na obudowie wiatraka.
Ilustracja 16.25 Fale stojące zostały utworzone na powierzchni mleka w misce, umieszczonej na obudowie wiatraka. Drgania wiatraka powodują, że powierzchnia mleka drga.
Rysunek pokazuje 8 różnych chwil dla dwóch identycznych fal sinusoidalnych oraz falę wypadkową. Zdjęcia wykonane są w chwilach czasu co jedna ósma okresu. W chwili t=0 T i t = 1/2 T dwie fale sinusoidalne są w fazie, a fala wypadkowa ma amplitudę równą dwukrotności amplitud poszczególnych fal. Dla chwili t = 1/ 4 T oraz t = 3/4 T, dwie fale sinusoidalne są w przeciwnych fazach, a fala wypadkowa znika.
Ilustracja 16.26 Kolejne obrazy fali sinusoidalnej. Fala czerwona porusza się w kierunku ujemnej półosi osi x x , a fala niebieska biegnie w kierunku zgodnym z kierunkiem dodatniej półosi x x . Fala wypadkowa została zaznaczona czarną linią. Rozważając falę wypadkową w punktach o współrzędnych x = 0 m , 3 m , 6 m , 9 m , 12 m , 15 m x = 0 m , 3 m , 6 m , 9 m , 12 m , 15 m , możemy zauważyć, że fala wypadkowa zawsze ma w tych punktach wartość zero, niezależnie od czasu. Punkty te nazywa się węzłami. Pomiędzy każdymi dwoma węzłami występuje strzałka, czyli miejsce, w którym drgania ośrodka osiągają amplitudę równą sumie amplitud poszczególnych fal.

Rozważmy dwie identyczne fale, które biegną w przeciwnych kierunkach. Pierwsza fala opisana jest równaniem falowym y 1 ( x , t ) = A sin ( k x ω t ) y 1 ( x , t ) = A sin ( k x ω t ) , natomiast druga równaniem y 2 ( x , t ) = A sin ( k x + ω t ) y 2 ( x , t ) = A sin ( k x + ω t ) . Fale interferują ze sobą, tworząc falę wypadkową:

y ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) , y ( x , t ) = A sin ( k x ω t ) + A sin ( k x + ω t ) . y ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) , y ( x , t ) = A sin ( k x ω t ) + A sin ( k x + ω t ) .

Zapis ten możemy uprościć, korzystając z tożsamości trygonometrycznej:

sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β , sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ,

gdzie α = k x α = k x i β = ω t β = ω t , co daje wyrażenie:

y ( x , t ) = A [ sin ( k x ) cos ( ω t ) cos ( k x ) sin ( ω t ) + sin ( k x ) cos ( ω t ) cos ( k x ) sin ( ω t ) ] , y ( x , t ) = A [ sin ( k x ) cos ( ω t ) cos ( k x ) sin ( ω t ) + sin ( k x ) cos ( ω t ) cos ( k x ) sin ( ω t ) ] ,

upraszczające się do:

y ( x , t ) = 2 A sin ( k x ) cos ( ω t ) . y(x,t)=2Asin(kx)cos(ωt).
16.14

Zauważmy, że fala wypadkowa jest sinusoidalną funkcją położenia pomnożonego przez funkcję cosinus, której argumentem jest czas. Wykres y ( x , t ) y(x,t) w funkcji x x dla różnych chwil czasu przedstawiono na Ilustracji 16.26. Fala oznaczona czerwoną linią porusza się w kierunku przeciwnym do zwrotu osi x x, fala oznaczona niebieską linią – w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x x, a fala oznaczona czarną linią jest sumą obu fal. Nakładanie się fal czerwonej i niebieskiej prowadzi do naprzemiennych efektów wzmacniania i osłabiania interferencyjnego.

Początkowo, w chwili t = 0 t = 0 , te dwie fale mają zgodne fazy, a fala wypadkowa ma amplitudę równą dwukrotności amplitudy fal wyjściowych. Fale mają również zgodne fazy w chwili t = T / 2 t=T/2. Tak naprawdę fale mają zgodne fazy w chwilach równych każdej całkowitej wielokrotności połowy okresu:

t = n T 2 , gdzie n = 0,1 , 2,3 ( zgodne fazy ) . t=n T 2 ,gdzien=0,1,2,3(zgodne fazy).

Dla innych chwil czasu fazy tych dwóch fal różnią się o 180 180 ( π r a d π r a d ), a fala wypadkowa jest równa zero. Ma to miejsce dla:

t = 1 4 T , 3 4 T , 5 4 T , , n 4 T , gdzie n = 1,3 , 5 , ( przeciwne fazy ) . t= 1 4 T, 3 4 T, 5 4 T,, n 4 T,gdzien=1,3,5,(przeciwne fazy).

Zwróćmy uwagę, że w niektórych punktach x x fali wypadkowej wychylenie jest równe zero, niezależnie od tego, czy fale składowe są w fazie zgodnej czy w przeciwnej. Te punkty to węzły (ang. node). Zastanówmy się, kiedy się one pojawiając. Rozważmy rozwiązanie, które jest sumą obu fal składowych:

y ( x , t ) = 2 A sin ( k x ) cos ( ω t ) . y(x,t)=2Asin(kx)cos(ωt).

Położenie węzłów znajdziemy, jeśli ustalimy, w których punktach funkcja sinus przyjmuje wartości równe zero.

sin ( k x ) = 0 k x = 0 , π , 2 π , 3 π , 2 π λ x = 0 , π , 2 π , 3 π , x = 0 , λ 2 , λ , 3 λ 2 , = n π 2 , gdzie n = 0,1 , 2,3 , sin ( k x ) = 0 k x = 0 , π , 2 π , 3 π , 2 π λ x = 0 , π , 2 π , 3 π , x = 0 , λ 2 , λ , 3 λ 2 , = n π 2 , gdzie n = 0,1 , 2,3 ,

Istnieją również punkty, w których y y przyjmuje wartości między y = ± A y = ± A . Te punkty to strzałki (ang. antinode). Ich położenie znajdziemy, ustalając dla jakich wartości x x spełniony jest warunek: sin ( k x ) = ± 1 sin ( k x ) = ± 1 .

sin ( k x ) = ± 1 k x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 2 π λ x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 x = λ 4 , 3 λ 4 , 5 λ 4 , = n λ 4 , gdzie n = 1,3 , 5 , sin ( k x ) = ± 1 k x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 2 π λ x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 x = λ 4 , 3 λ 4 , 5 λ 4 , = n λ 4 , gdzie n = 1,3 , 5 ,

Fala wypadkowa pokazana jest na Ilustracji 16.27. Powstała ona z nałożenia się dwóch identycznych fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Falę wypadkową można opisać funkcją sinus, jej węzły występują w punktach odpowiadających całkowitym wielokrotnościom długości fali. Strzałki to punkty, w których wychylenia są równe y = ± 2 A y = ± 2 A z uwagi na to, że funkcja cos ( ω t ) cos ( ω t ) przyjmuje wartości między ± 1 ± 1 .

Fala wypadkowa nie porusza się wzdłuż osi x x, mimo iż powstała z dwóch fal, z których jedna biegła w kierunku zgodnym, a druga w kierunku przeciwnym do zwrotu osi x x. Ilustracja 16.27 pokazuje kilka możliwych fal wypadkowych. Węzły oznaczone zostały czerwonymi kropkami, a strzałki niebieskimi.

Rysunek przedstawia dwie fale sinusoidalne, które są dokładnie w przeciwnych fazach. Węzły oznaczono czerwonymi kropkami i leżą one na osi x w punktach x = 0 m, 3 m, 6 m, 9 m itd. Strzałki oznaczono niebieskimi kropkami, odpowiadają one grzbietom i dolinom fal. Strzałki występują dla x = 1,5 m, 4,5 m, 7,5 m itd.
Ilustracja 16.27 Gdy dwie identyczne fale biegną w przeciwnych kierunkach, fala wypadkowa jest falą stojącą. Węzły powstają w punktach odpowiadających całkowitym wielokrotnościom połowy długości fali. Strzałki z kolei odpowiadają nieparzystym wielokrotnościom 1/4 długości fali. Odpowiadające takim punktom wychylenia są równe y = ± A . y = ± A . Węzły zostały oznaczone czerwonymi kropkami, a strzałki niebieskimi.

Popularnym przykładem fal stojących są fale wytwarzane w strunowych instrumentach muzycznych. Gdy szarpniemy strunę, impulsy biegną w przeciwnych kierunkach. Koniec struny jest zamocowany na stałe, zatem węzły powstają w punktach odpowiadających punktom brzegowym takiego układu. Można w nich regulować częstości rezonansowe struny. Zjawisko rezonansu na strunie instrumentu możemy zaobserwować, posługując się układem pokazanym na Ilustracji 16.28.

Po lewej stronie rysunku znajduje się oscylator. Struna jest przymocowana do jego prawego boku. Struna jest przerzucona przez bloczek, jej koniec zwisający pionowo obciążony jest odważnikiem o masie m. Struna przesuwa się wzdłuż bloczka bez tarcia. Odległość między oscylatorem a bloczkiem wynosi L. Opisana jest ona jako mu równa się delta m przez delta x równa się wartość stała.
Ilustracja 16.28 Zestaw laboratoryjny do prezentacji fal stojących na strunie. Na każdym końcu struny o stałej liniowej gęstości masy tworzą się węzły. Oba punkty graniczne struny odległe są o L L . Odważnik zapewnia naprężenie struny, prędkość fali na strunie jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z naprężenia podzielonego przez liniową gęstość masy.

Zestaw laboratoryjny przedstawia sprężynę połączoną z oscylatorem, który powoduje drgania struny z częstotliwością f f. Drugi koniec struny jest przerzucony przez bloczek, wzdłuż którego struna porusza się bez tarcia. Wiszący pionowo koniec struny obciążono odważnikiem, który zapewnia stałe jej naprężenie. Struna ma stałą liniową gęstość masy (masa przypadająca na jednostkę długości) μ μ, a prędkość, z jaką fala biegnie wzdłuż struny, wynosi v = F T / μ = m g / μ v= F T / μ = m g / μ (Równanie 16.7). Symetryczne warunki brzegowe (na każdym końcu struny powstaje węzeł) wyznaczają możliwe częstotliwości, które pobudzają strunę do drgań. Wolno zwiększając częstotliwość od zera, otrzymujemy pierwszy mod n = 1 n = 1 , co pokazano na Ilustracji 16.29. Pierwszy mod, nazywany też podstawowym lub pierwszą harmoniczną, odpowiada fali o długości równej połowie długości fali, a zatem długość fali jest równa podwojonej odległości pomiędzy węzłami λ 1 = 2 L λ 1 = 2 L . Częstotliwość podstawowa (ang. fundamental frequency) lub pierwsza harmoniczna wynosi:

f 1 = v λ 1 = v 2 L , f 1 = v λ 1 = v 2 L ,

gdzie prędkość fali równa się v = F T / μ v= F T / μ . Wzrost częstotliwości przy stałym naprężeniu struny prowadzi do drugiej harmonicznej, czyli n = 2 n = 2 . Ten mod odpowiada jednostkowej długości fali λ 2 = L λ 2 = L , a częstotliwość równa się podwojonej częstotliwości podstawowej:

f 2 = v λ 2 = v L = 2 f 1 . f 2 = v λ 2 = v L = 2 f 1 .
Pokazano cztery obrazy struny o długości L. Na każdym pokazano dwie fale. Pierwsza fala odpowiada pierwszemu modowi. Opisana jest jako połowa lambda 1 = L, lambda 1 = 2 dzielone przez 1 razy L. Drugi rysunek to drugi mod. Opisany jest jako lambda 2 = L, lambda 2 = 2 dzielone przez 2 razy L. Trzeci rysunek odpowiada trzeciemu modowi. Opisany jest jako 3 dzielone przez 2 razy lambda 3 = L, lambda 3 = 2 dzielone przez 3 razy L. Czwarty rysunek odpowiada czwartemu modowi. Opisany jest jako 4 dzielone przez 2 razy lambda 4 = L, lambda 4 = 2 dzielone przez 4 razy L. Na dole rysunku znajduje się wzór lambda n równa się 2 dzielone przez n razy L dla n = 1, 2, 3 itd.
Ilustracja 16.29 Fale stojące powstają wzdłuż struny o długości L L . Na każdym końcu powstaje węzeł. Węzły określają możliwe częstotliwości, które pobudzają strunę. W celach poglądowych amplituda drgań jest stała. Obraz fali stojącej na strunie to tzw. mod podstawowy. W warunkach laboratoryjnych możemy zmniejszyć amplitudę fali, a zwiększyć częstotliwość.

Dwa kolejne mody, tj. trzecia i czwarta harmoniczna, odpowiadają długościom fali λ 3 = 2 L / 3 λ 3 =2L/3 i λ 4 = 2 L / 4 λ 4 =2L/4. Są one wzbudzane przez częstotliwości f 3 = 3 v 2 L = 3 f 1 f 3 = 3 v 2 L = 3 f 1 i f 4 = 4 v 2 L = 4 f 1 . f 4 = 4 v 2 L = 4 f 1 . Częstotliwości wyższe niż f 1 f 1 nazywa się nadtonami (ang. overtone). Wyrażenia na długość fali i częstotliwość mają postać:

λ n = 2 n L , gdzie n = 1,2 , 3 , λ n = 2 n L,gdzien=1,2,3,
16.15
f n = n v 2 L = n f 1 , gdzie n = 1,2 , 3 , f n =n v 2 L =n f 1 ,gdzien=1,2,3,
16.16

Różne konfiguracje fali stojącej, które można utworzyć wzdłuż struny, przedstawione na Ilustracji 16.29, nazywa się modami normalnymi (ang. normal mode); używa się też zwrotu mody własne lub drgania własne. Generujące je częstości to częstości normalne lub własne. Podsumowując, częstotliwość, która wytwarza pierwszy mod normalny, to częstotliwość podstawowa (lub pierwsza harmoniczna). Każda częstotliwość wyższa od podstawowej to nadton. Częstotliwość, która odpowiada n = 2 n = 2 , to pierwszy nadton (lub druga harmoniczna). Częstotliwość odpowiadająca n = 3 n = 3 to drugi nadton (lub trzecia harmoniczna) itd.

Relacje przedstawione przez Równanie 16.15 i Równanie 16.16 wynikają z równania falowego dla struny, na której końcach powstają węzły lub strzałki. Kiedy na obu końcach struny są takie same warunki, wówczas mówimy o symetrycznych warunkach brzegowych.

Przykład 16.7

Fale stojące na strunie

Rozważmy strunę o długości L = 2,00 m L = 2,00 m , której jeden koniec jest połączony z oscylatorem o regulowanej częstotliwości, jak pokazano na Ilustracji 16.30. Fale biegną wzdłuż struny i odbijają się w miejscu, gdzie występuje bloczek. Struna ma stałą liniową gęstość masy μ = 0,006 kg/m μ = 0,006 kg/m . Drugi koniec struny jest przerzucony przez bloczek o pomijalnej masie, wzdłuż którego struna porusza się bez tarcia. Koniec struny jest obciążony odważnikiem o masie 2,00 kg, który zapewnia stałe naprężenie struny. (a) Jaka jest prędkość fal wzdłuż struny? (b) Narysuj fale stojące odpowiadające trzem pierwszym modom i opisz rysunki, podając długość fali. (c) Podaj częstotliwości, które spowodują powstanie trzech pierwszych modów.
Z lewej strony rysunku znajduje się oscylator. Struna jest zamocowana do prawego boku obudowy wibratora. Struna przerzucona jest przez bloczek, a jej koniec zwisa pionowo. Koniec struny jest obciążony odważnikiem o masie m = 2 kg. Struna porusza się wzdłuż bloczka bez tarcia. Odległość pomiędzy bloczkiem a oscylatorem wynosi L = 2 m. Odległość ta jest opisana jako mu równa się delta m dzielone przez delta x równa się 0,006 kg na m.
Ilustracja 16.30 Struna połączona z oscylatorem o regulowanej częstotliwości.

Strategia rozwiązania

  1. Prędkość fali możemy obliczyć ze wzoru v = F T / μ v= F T / μ . Naprężenie pochodzi od obciążnika na końcu struny.
  2. Postać fal stojących zależy od warunków brzegowych. Na każdym końcu struny musi powstać węzeł. Pierwszy mod odpowiada połowie długości fali. Drugi obliczymy, gdy dodamy do pierwszego połowę długości fali. Jest to najprostszy sposób, aby na końcach struny powstały węzły. Przykładowo jeśli dodamy 1/4 długości fali, to na końcu struny powstanie strzałka, a wtedy warunki brzegowe nie będą spełnione. Sytuację taką przedstawia Ilustracja 16.31.
  3. Ponieważ prędkość fali równa się długości fali pomnożonej przez częstotliwość, to częstotliwość obliczymy jako prędkość fali podzieloną przez jej długość.
    Rysunek a przedstawia strunę, której oba końce są unieruchomione. Dwie fale biegnące wzdłuż struny utworzyły węzły na każdym końcu struny oraz jeden węzeł w środku struny. Ta sytuacja opisana jest jako dopuszczalne rozwiązanie. Rysunek b pokazuje strunę zamocowana na obu końcach. Dwie fale na strunie tworzą węzeł na jednym końcu i strzałkę na drugim. Ta sytuacja jest opisana jako rozwiązanie niedopuszczalne.
    Ilustracja 16.31 (a) Rysunek przedstawia drugi mod struny, który spełnia warunki brzegowe, zgodnie z którymi na obu końcach struny powstają węzły. (b) Ta sytuacja jest niedopuszczalna, gdyż nie zostałby utworzony mod normalny ze względu na niespełnienie warunków brzegowych. Na jednym końcu występuje węzeł, a na drugim strzałka.

Rozwiązanie

  1. Wychodzimy ze wzoru na prędkość fali na strunie. Naprężenie obliczymy w oparciu o znaną masę odważnika. Liniowa gęstość struny jest podana. Szybkość wynosi:
    v = F T μ = m g μ = 2 k g 9,8 m / s 2 0,006 k g / m = 57,15 m s . v= F T μ = m g μ = 2 k g 9,8 m / s 2 0,006 k g / m =57,15 m s .
  2. Pierwszy normalny mod, przy którym mamy węzły na obu końcach struny, odpowiada połowie długości fali. Następne dwa mody możemy obliczyć, dodając połowę długości fali.
    Pokazano trzy rysunki fal na strunie o długości L=2 m. Na każdym przedstawiono dwie fale. Pierwsza odpowiada pierwszemu modowi. Jest ona opisana jako połowa lambda 1 = L, lambda 1 = 2 dzielone przez 1 razy 2 m = 4 m. Drugi rysunek odpowiada modowi 2. Rysunek jest opisany jako 2 = L, lambda 2 = 2 dzielone przez 2 razy 2 m = 2 m. Trzeci rysunek odpowiada modowi 3. Rysunek opisany jest jako 3 dzielone przez 2 razy lambda 3 = L, lambda 3 = 2 dzielone przez 3 razy 2 m = 1,33 m.
  3. Częstotliwości pierwszych trzech modów możemy obliczyć ze wzoru f = v w / λ . f= v w /λ.
    f 1 = v w λ 1 = 57,15 m/s 4,00 m = 14,29 Hz f 2 = v w λ 2 = 57,15 m/s 2,00 m = 28,58 Hz f 3 = v w λ 3 = 57,15 m/s 1,333 m = 42,87 Hz f 1 = v w λ 1 = 57,15 m/s 4,00 m = 14,29 Hz f 2 = v w λ 2 = 57,15 m/s 2,00 m = 28,58 Hz f 3 = v w λ 3 = 57,15 m/s 1,333 m = 42,87 Hz

Znaczenie

Trzy mody w tym przykładzie mogły powstać dzięki temu, że utrzymywano stałe naprężenie struny, a częstotliwość drgań można było zmieniać. Stałe naprężenie struny powoduje, że fala rozchodzi się ze stałą prędkością. Takie same mody moglibyśmy utworzyć, utrzymując stałą częstotliwość drgań, a zmieniając prędkość fali (przez zmianę masy odważnika).

Materiały pomocnicze

Wykorzystaj symulację, aby zaobserwować widmo modów normalnych dla jedno- lub dwuwymiarowego układu sprzężonych oscylatorów. Możesz zmieniać liczbę odważników i warunki początkowe. Dla układu jednowymiarowego obejrzyj falę poprzeczną i podłużną.

Sprawdź, czy rozumiesz 16.7

Wzory na długość fali i częstotliwość modów fali, które można utworzyć na strunie, mają postać:

λ n = 2 n L , gdzie n = 1,2 , 3 , , oraz f n = n v 2 L = n f 1 , gdzie n = 1,2 , 3 , λ n = 2 n L , gdzie n = 1,2 , 3 , , oraz f n = n v 2 L = n f 1 , gdzie n = 1,2 , 3 ,

Wzory te zostały wyprowadzone przy założeniu, że na obu końcach strun występują symetryczne warunki brzegowe. Powyższe mody zostały otrzymane dla dwóch identycznych fal, ale biegnących w przeciwnych kierunkach, wzdłuż odcinka o długości L L, na którego obu końcach powstają węzły. Czy te wzory są prawdziwe dla sytuacji, gdy na obu końcach odcinka powstają strzałki? Omów postać modów normalnych dla ośrodka o swobodnych warunkach brzegowych. Nie przejmuj się, jeśli w tej chwili nie jesteś w stanie wyobrazić sobie takiego ośrodka, rozważ jedynie dwie fale sinusoidalne wzdłuż odcinka o długości L L, na którego końcach tworzą się strzałki.

Swobodne warunki brzegowe, które omówiliśmy w ostatniej sekcji mogą być trudne do wyobrażenia. Jak może wyglądać taki układ, którego jeden koniec jest swobodny i może wykonywać drgania? Na Ilustracji 16.32 pokazano dwie możliwe konfiguracje metalowego pręta (czerwona linia) podpartego w dwóch punktach (podparcia narysowano na niebiesko). Na Ilustracji 16.32 (a) pręt jest podparty na obu końcach. Mówimy tu o ustalonych warunkach brzegowych. Przy pewnych częstotliwościach pręt można wprawić w rezonans. Powstanie fala stojąca o długości równej długości pręta, a na obu końcach pręta powstaną węzły. Na Ilustracji 16.32 (b) pręt jest podparty w punktach, odległych od każdego końca o 1/4 długości pręta. Na obu końcach pręta występują swobodne warunki brzegowe. Przy pewnych częstotliwościach pręt wpada w rezonans, powstaje fala stojąca o długości równej długości pręta, a na obu końcach pręta powstają strzałki. Jeśli nie wiesz, jak zmierzyć długość fali, przypomnij sobie, że mierzy się ją pomiędzy dwoma najbliższymi, identycznymi punktami (Ilustracja 16.33).

Fale będące w przeciwnych fazach, posiadające węzły na końcach, gdy punkty podparcia są na końcach pręta oraz strzałki, gdy punkty podparcia leżą wzdłuż długości pręta.
Ilustracja 16.32 (a) Pręt metalowy o długości L L (czerwony) jest zamocowany na obu końcach (punkty podparcia są zaznaczone niebiesko) na obu końcach. Gdy pręt zostaje pobudzony, to przy pewnych częstotliwościach zacznie rezonować. Długość powstałej fali, będzie równa długości pręta a na obu jego końcach utworzone zostaną węzły. (b) Ten sam metalowy pręt o długości L L (czerwony) został podparty w punktach oddalonych od każdego końca o 1/4 jego długości. Przy odpowiednich częstotliwościach pręt wpada w rezonans. Powstała w jego wyniku fala stojąca ma długość równą długości pręta, a na obu jego końcach powstają strzałki.
Rysunek przedstawia falę sinusoidalną. Dwa pola, oznaczone jako a i b obejmują jedną długość fali. Pole a obejmuje długość fali, odmierzoną pomiędzy dwoma najbliższymi punktami na osi x, w których fala zaczyna osiągać dodatnie wartości wychyleń. Pole b odmierza długość fali pomiędzy dwoma sąsiadującymi grzbietami fali.
Ilustracja 16.33 Długość fali można zmierzyć pomiędzy dwoma identycznymi punktami. Dla fali na strunie oznacza to punkty o tych samych wychyleniach i nachyleniach. (a) Długość fali zmierzono pomiędzy dwoma najbliższymi punktami o zerowych wychyleniach, nachylenie jest dodatnie i przyjmuje wartość maksymalną. (b) Długość fali zmierzono pomiędzy dwoma identycznymi punktami, w których wychylenia są maksymalne, a nachylenia równe zero.

Zwróćmy uwagę, że zagadnienie fal stojących może ulec komplikacji. Na Ilustracji 16.32 (a) pokazano mod n = 2 n = 2 fali stojącej. Odpowiadająca mu długość fali wynosi L L. W takim przypadku może też powstać mod n = 1 n = 1 fali stojącej o długości równej 2 L 2L. Czy możliwe jest otrzymanie modu n = 1 n = 1 dla konfiguracji przedstawionej na Ilustracji 16.32 (b)? Odpowiedź brzmi: nie. W takim przypadku muszą być spełnione dodatkowe warunki brzegowe. Ponieważ pręt jest podparty w punktach odległych o 1/4 swojej długości od każdego końca, w tych miejscach musi pojawić się węzeł, a to ogranicza możliwe mody powstałych fal stojących. Rozważ, czy inne mody fal stojących są możliwe. Zauważ przy tym, że jeśli układ został wprawiony w drgania, które nie prowadzą do rezonansu, to drgania mogą występować, ale ich amplituda jest mniejsza niż amplituda drgań rezonansowych.

W inżynierii mechanicznej stosuje się dźwięki wytwarzane przez drgające części złożonych układów mechanicznych, aby zdiagnozować problemy występujące w takich układach. Przypuśćmy, że jakaś część samochodu rezonuje z częstotliwością równą częstotliwości drgań silnika samochodu, powodując niepożądane drgania w samochodzie. Może to spowodować szybkie zniszczenie silnika. Inżynierowie rejestrują dźwięki wytwarzane przez silnik, następnie stosują procedurę zwaną analizą Fouriera, aby określić częstotliwości wytwarzanych dźwięków, co pozwala ostatecznie wykryć, która część samochodu ulega rezonansowi. Problem można rozwiązać, zmieniając skład chemiczny materiału użytego do produkcji tej części lub jej długość.

W świecie fizyki możemy znaleźć wiele innych przykładów rezonansu fal stojących. Jednym z nich może być powietrze wewnątrz rury, w instrumentach muzycznych, takich jak flety, które pobudzone do rezonansu, stają się źródłem przyjemnych dla ucha dźwięków. Zagadnieniem tym zajmiemy się w rozdziale Dźwięk.

Są też przypadki, w których rezonans może być przyczyną problemów. Skutki trzęsień Ziemi to przykłady działania rezonansu, powstawania fal stojących, a także wzmacniania i wygaszania interferencyjnego. Jeśli budynek zacznie drgać przez kilka sekund z częstotliwością odpowiadającą częstotliwości jego drgań własnych, doprowadzi to do rezonansu, wskutek czego budynek runie. Określone wymiary budynku mogą spełniać warunki do powstania fal stojących, przez co budowle o danej wysokości ulegają zniszczeniu, a inne pozostają nienaruszone. Ważna jest również wielkość dachu. Często hale gimnastyczne, hipermarkety i kościoły ulegają zniszczeniu w większym stopniu niż pojedyncze budynki. Dachy o większej powierzchni podparte jedynie na krawędziach ulegają rezonansowi przy częstotliwościach równych częstotliwości trzęsienia Ziemi, przez co dochodzi do ich zawalenia. Ponieważ fale sejsmiczne biegną wzdłuż powierzchni Ziemi i odbijają się od gęstszych skał, w pewnych miejscach dochodzi do wzmocnienia interferencyjnego. Dlatego też nieraz obszary położone niedaleko od epicentrum wstrząsu nie doznają większych strat, natomiast bardziej odległe zostają zburzone.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.