William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

określać czynniki, które wpływają na prędkość fali na strunie;
pisać wzory określające prędkość fali na strunie i uogólniać je dla innych ośrodków.

Prędkość fali zależy od właściwości ośrodka. Przykładowo, prędkość fali rozchodzącej się wzdłuż struny gitary oraz długość tej fali określają częstotliwość wytwarzanego dźwięku. Struny gitary mają różne grubości i są wykonywane z materiałów o różnych własnościach. Mówimy, że mają różne gęstości liniowe (ang. linear density). Gęstość liniową definiuje się jako masę przypadającą na jednostkę długości:

μ = \frac{masa struny}{długość struny} = \frac{m}{l} .

16.7

W tym rozdziale będziemy się zajmować jedynie strunami, które mają stałą gęstość liniową. W takim przypadku, to masa $Δ m$ krótkiego odcinka struny $Δ x$ wynosi $Δ m = μ Δ x .$ Przykładowo jeśli długość struny wynosi 2,00 m, a jej masa 0,06 kg, to gęstość liniowa równa się $μ = 0,06 k g / 2,00 m = 0,03 k g / m$ . Jeśli od struny odetniemy odcinek o długości 1,00 mm, wówczas masa tego odcinka będzie równa $Δ m = μ Δ m = 0,03 k g / m \cdot 0,001 m = 3,00 \cdot 10^{- 5} k g .$ Naprężenie strun gitary można zmieniać za pośrednictwem obrotowych wrzecion, zwanych kołkami, wokół których nawinięte są struny. Gęstości liniowe oraz naciągu strun gitary stanowią o prędkości fali rozchodzącej się wzdłuż struny oraz o częstotliwości wytwarzanego dźwięku. Częstotliwość ta jest proporcjonalna do prędkości fali.

Prędkość fali na naprężonej strunie

Aby przekonać się, w jaki sposób prędkość fali na strunie zależy od jej naprężenia i liniowej gęstości, rozważmy rozchodzący się wzdłuż niej impuls (Ilustracja 16.13). Kiedy struna znajduje się w położeniu równowagi, naprężenie struny $F_{T}$ jest stałe. Rozważmy krótki odcinek struny o masie równej $Δ m = μ Δ x .$ Odcinek ten znajduje się w położeniu równowagi, a naprężenia działające na każdy z jego końców odcinka są równe co do wartości, ale mają przeciwne zwroty.

Rysunek przedstawia odcinek struny, którego fragment jest wyróżniony. Długość wyróżnionego odcinka oznaczono jako delta x. Przeciwnie skierowane strzałki, odchodzące od tego odcinka są oznaczone jako F subscript T. Wyróżniony odcinek ma masę równą delta m równe mu delta x. — Ilustracja 16.13 Odcinek struny poddany naprężeniu $F_{T}$ . Znajduje się on w stanie równowagi statycznej, a naprężenia działające na każdy jego koniec są równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane.

Jeśli szarpniemy naciągniętą strunę, wzdłuż niej powstanie fala poprzeczna, która będzie się rozchodzić w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ , co pokazano na Ilustracji 16.14. W celach poglądowych zaznaczono rozważany powyżej odcinek. Wykonuje on drgania w płaszczyźnie prostopadłej do ruchu fali pod wpływem działania siły sprężystości, ale nie przemieszcza się wzdłuż osi $x$ . Naprężenia $F_{T}$ są przyłożone do obu końców odcinka i skierowane wzdłuż osi $x$ . Siły te są stałe i niezależne od położenia oraz czasu.

Rysunek obrazuje impuls. w dwóch punktach zbocza przyłożono wektory wzajemnie prostopadłe. W jednym punkcie jeden wektor ma zwrot do góry, a drugi w prawo. W drugim punkcie jeden wektor ma zwrot w dół, a drugi w lewo. Wektory oznaczone są jako F i tworzą ze zboczem kąty, odpowiednio theta 2 i theta 1 with — Ilustracja 16.14 Naciągniętą strunę szarpnięto, co spowodowało wytworzenie impulsu, biegnącego wzdłuż struny w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ .

Załóżmy, że wychylenie struny z położenia równowagi jest małe. Siła wypadkowa działająca na rozważany odcinek jest skierowana wzdłuż struny i stanowi sumę jej naprężenia oraz siły sprężystości. Składowe $x$ naprężenia równoważą się, dlatego do wyliczenia siły wypadkowej rozważamy jedynie składowe $y$ . Wartość składowej $x$ siły naprężenia struny oznaczono jako $F_{T}$ (Ilustracja 16.14). Składową $y$ siły naciągu wyliczymy, jeśli zauważymy, że $tg θ_{1} = - F_{1} / F_{T}$ i $tg θ_{2} = - F_{2} / F_{T}$ . Tangens kąta $θ$ $(tg θ)$ jest równy nachyleniu funkcji w danym punkcie, co można obliczyć po prostu jako pochodną cząstkową $y$ po $x$ w tym punkcie. Stosunek $F_{1} / F_{T}$ ma wartość ujemną w punkcie $x_{1}$ , a $F_{2} / F_{T}$ jest równe nachyleniu w punkcie $x_{2}$ :

\frac{F_{1}}{F_{T}} = - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}} i \frac{F_{2}}{F_{T}} = {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} .

Siła wypadkowa działająca na rozważany odcinek może być zapisana jako:

F_{wypadkowa} = F_{1} + F_{2} = F_{T} [{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}] .

Na mocy drugiej zasady dynamiki Newtona siła wypadkowa równa się iloczynowi masy i przyspieszenia. Gęstość liniowa struny $μ$ jest to masa przypadająca na jednostkę długości struny, a masa odcinka struny wynosi $μ Δ x$ , stąd otrzymujemy:

\begin{matrix} F_{T} [{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}] = Δ m a, \\ F_{T} [{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}] = μ Δ x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} . \end{matrix}

Po podzieleniu przez $F_{T} Δ x$ i przyjęciu, że $Δ x$ dąży do zera, mamy:

\begin{matrix} \frac{[{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}]}{Δ x} & = & \frac{μ}{F_{T}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \\ lim_{Δ x → 0} \frac{[{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}]}{Δ x} & = & \frac{μ}{F_{T}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{μ}{F_{T}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} . \end{matrix}

Przypomnijmy, że liniowe równanie falowe ma postać:

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} .

Stąd:

\frac{1}{v^{2}} = \frac{μ}{F_{T}} .

Po wyliczeniu $v$ z powyższej zależności przekonamy się, że prędkość fali na strunie zależy od naprężenia i gęstości liniowej.

Prędkość fali na naprężonej strunie

Prędkość impulsu, podobnie jak i fali, na naprężonej strunie możemy wyliczyć z równania:

| v | = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}},

16.8

gdzie $F_{T}$ jest naprężeniem struny, a $μ$ masą przypadającą na jednostkę długości struny.

Przykład 16.5

Prędkość fali na strunie gitary

W gitarze sześciostrunowej struna wysokiego E ma gęstość liniową

μ_{wysokie E} = 3,09 \cdot 10^{- 4} k g / m

, natomiast struna niskiego E ma gęstość

μ_{niskie E} = 5,78 \cdot 10^{- 3} k g / m

(a). Jaka będzie prędkość wytworzonej fali, jeżeli uderzymy strunę wysokiego E, o naprężeniu 56,40 N? (b) Gęstość liniowa struny niskiego E jest w przybliżeniu 20 razy większa niż gęstość liniowa struny wysokiego E. Czy naprężenie struny niskiego E powinno być większe, czy mniejsze od naprężenia struny wysokiego E, jeśli fale biegnące wzdłuż każdej ze strun mają taką samą prędkość? Jakie są przybliżone wartości naprężeń? (c) Oblicz, jakie byłoby naprężenie struny niskiego E, gdyby prędkości obu dźwięków były takie same.

Strategia rozwiązania

Prędkość fali można obliczyć z gęstości liniowej i naciągu $v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}} .$
Z równania $v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}}$ wynika, że jeżeli gęstość liniowa wzrośnie 20 razy, to naciąg powinien wzrosnąć także 20 razy.
Znając prędkość i gęstość liniową, można obliczyć naprężenie $F_{T} = μ v^{2} .$

Rozwiązanie

Oblicz prędkość fali z równania:

$v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}} = \sqrt{\frac{56,5 N}{3,09 \cdot 10^{- 4} k g / m}} = 427,23 \frac{m}{s} .$
Naprężenie powinno się zwiększyć 20 razy. Byłoby zatem nieco mniejsze niż 1128 N.
Oblicz naprężenie z równania:
$F_{T} = μ v^{2} = 5,78 \cdot 10^{- 3} k g / m \cdot (4,27 m / s)^{2} = 1055,00 N .$
Podana wartość została oszacowana z błędem $7 %$ .

Znaczenie

Struny gitary sześciostrunowej (wysokie e1, h, g, d, a oraz E) po uderzeniu drgają z częstotliwościami: 329,63 Hz; 246,94 Hz; 196,00 Hz; 146,83 Hz; 110,00 Hz oraz 82,41 Hz. Częstotliwości zależą od prędkości fali na strunie i długości fali. Struny mają różne gęstości liniowe i są strojone przez zmianę ich naciągu. W podrozdziale Interferencja fal przekonamy się, że długość fali zależy od długości struny i warunków brzegowych. Aby zagrać dźwięk inny niż standardowy, należy zmienić długość struny przez jej dociśnięcie do progu.

Sprawdź, czy rozumiesz 16.5

Prędkość fali na strunie zależy od naprężenia i gęstości liniowej masy. Jak zmieni się prędkość fali na strunie, jeśli podwoimy wartość naprężenia?

Prędkość fal w cieczach

Prędkość fali na strunie zależy od pierwiastka kwadratowego z naprężenia podzielonego przez masę przypadającą na jednostkę długości. Ogólnie rzecz ujmując, prędkość fali w ośrodku zależy od własności sprężystych ośrodka i jego bezwładności:

| v | = \sqrt{\frac{sprężystość}{bezwładność}} .

Sprężystość ośrodka oznacza zdolność jego cząsteczek do osiągania stanu równowagi po zaburzeniu. Bezwładność oznacza opór, jaki cząsteczki stawiają wobec zmian prędkości.

Prędkość fali podłużnej w płynie zależy od jego gęstości i modułu sprężystości objętościowej:

v = \sqrt{\frac{K}{ρ}} .

16.9

Moduł sprężystości objętościowej (moduł Helmholtza) definiuje się jako $K = - \frac{Δ p}{\frac{Δ V}{V_{0}}},$ gdzie $Δ p$ oznacza zmianę ciśnienia, a mianownik wyraża stosunek zmiany objętości do objętości początkowej, natomiast $ρ \equiv \frac{m}{V}$ oznacza masę przypadającą na jednostkę objętości. Przykładowo dźwięk jest falą mechaniczną, która może się rozchodzić w płynie lub ciele stałym. Prędkość dźwięku w powietrzu przy ciśnieniu atmosferycznym, wynoszącym $1,013 \cdot 10^{5} P a$ , oraz w temperaturze $20 ° C$ wynosi $v_{s} \approx 343,00 m/s .$ Ponieważ gęstość zależy od temperatury, prędkość dźwięku w powietrzu zależy od temperatury powietrza. Będziemy to zagadnienie omawiali w rozdziale Dźwięk.