William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

podawać matematyczną postać fali biegnącej ze stałą prędkością;
obliczać prędkość i przyspieszenie ośrodka;
wyjaśniać różnicę między prędkością ośrodka a prędkością rozchodzenia się fali.

W poprzednim rozdziale opisywaliśmy fale okresowe, definiując takie wielkości jak: długość, okres, amplituda oraz prędkość fali. Fale jednak możemy też opisać, rozważając ruch cząstek ośrodka, przez który fala przechodzi. Położenie cząstek ośrodka można określić za pomocą tzw. funkcji falowej (ang. wave function). Pozwala ona określić nie tylko położenie, ale także prędkość i przyspieszenie cząstek ośrodka, przez który biegnie fala w dowolnej chwili.

Impulsy

Impuls (ang. pulse) oznacza falę wytworzoną przez pojedyncze zaburzenie ośrodka. Impuls ma stałą amplitudę i rozchodzi się ze stałą prędkością. Z uwagi na stałą prędkość droga, którą pokonuje w czasie $Δ t$ , wynosi $Δ x = v Δ t$ (Ilustracja 16.8).

Rysunek pokazuje impuls, tzn. falę posiadającą jeden grzbiet dla t=0. Odległość pomiędzy punktem początkowym i końcowym fali wynosi lambda. Grzbiet ma y=0. Pionowa odległość grzbietu od położenia równowagi wynosi A. Fala biegnie w prawo z prędkością v. Rysunek b pokazuje tę samą falę w chwili t=t indeks dolny 1. Impuls przemieścił się na prawo. Pozioma odległość grzbietu od osi y jest oznaczona delta x równe v delta t.

Ilustracja 16.8 W chwili

t = 0

impuls znajduje się w położeniu

x = 0

, a jego amplituda wynosi

A

. Podczas ruchu impuls zachowuje stały kształt, przebywając drogę

Δ x = v Δ t

w czasie

Δ t .

Opis sinusoidalnej fali jednowymiarowej za pomocą modelu funkcji falowej

Rozważmy strunę poddaną stałemu naprężeniu $F_{T}$ , której jeden koniec jest unieruchomiony, a drugi – swobodny – jest wprawiany w drgania w zakresie między $y = + A$ a $y = − A$ . Ilustracja 16.9 pokazuje obrazy fali w kolejnych chwilach równych wielokrotnościom 1/8 części okresu, przy czym w położeniu wyjściowym zostało już wykonane jedno pełne drganie $(t = T) .$

Rysunek pokazuje różne etapy rozchodzenia się fali poprzecznej, poszczególne zdjęcia odpowiadają chwilom czasu od 1 przez 8 T. Punkty odniesienia leżące na fali zaznaczono przy pomocy kropek. Punkty poruszają się w górę i w dół w zakresie od – A do +A. Kropka, która znajduje się w stanie równowagi w chwili t=T, osiąga punkt +A w czasie t=T plus 2 przez 8 T. Następnie porusza się z powrotem osiągając położenie równowagi w chwili t= T plus 4 przez 8 T. Po tym osiąga –A w czasie t=T plus 6 przez 8 T i z powrotem osiąga położenie równowagi w chwili t=2T. Wszystkie inne punkty również wracają do swych wyjściowych położeń po czasie t=2T.

Ilustracja 16.9 Obrazy fali poprzecznej przemieszczającej się wzdłuż struny poddanej stałemu naprężeniu. Fala powstała w chwili

t = T

, a kolejne obrazy pokazują ją w chwilach co

\frac{1}{8} T .

Kolorowymi kropkami zaznaczono punkty odniesienia na strunie. Tym samym kolorem zaznaczono punkty, które znajdują się w odległości równej jednej długości fali od siebie.

Zauważmy, że każdy zaznaczony na kolorowo punkt struny wykonuje proste drgania harmoniczne w górę i w dół w zakresie pomiędzy $y = + A$ a $y = − A,$ natomiast okres wynosi $T$ . Fala biegnąca wzdłuż struny jest sinusoidalna i przemieszcza się w prawo wraz z upływem czasu.

W tym miejscu przypomnijmy znaną nam z algebry definicję, zgodnie z którą, jeżeli $f (x)$ jest dowolną funkcją, to $f (x - d)$ oznacza tę samą funkcję, ale przesuniętą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ o odległość $d$ . Funkcja $f (x + d)$ oznacza zaś tę samą funkcję przesuniętą w kierunku przeciwnym do zwrotu osi $x$ o odległość $d$ . Chcemy zdefiniować funkcję falową, która określi położenie $y$ dla każdego punktu $x$ struny w dowolnie wybranej chwili $t$ .

Jeżeli popatrzymy na pierwszy obraz fali na Ilustracji 16.9, to zauważymy, że współrzędną $y$ struny dla wartości odciętych z przedziału od $x = 0$ do $x = λ$ możemy opisać przy użyciu funkcji sinus. Fala przemieszcza się wzdłuż struny o jedną długość fali w czasie równym jednemu okresowi, jak możemy zauważyć na drugim obrazie. Z tego wynika, że fala porusza się ze stałą prędkością, równą $v = λ / T .$

Przypominamy, że funkcja sinus jest funkcją kąta $θ$ i przyjmuje wartości pomiędzy $+ 1$ a $−1$ , a jej okres wynosi $2 π$ rad (Ilustracja 16.10). Jednakże współrzędne $y$ cząstek ośrodka, a zarazem funkcji falowej, przybierają wartości pomiędzy $+ A$ a $− A$ , a okres takiej funkcji równa się $λ$ .

Rysunek pokazuje przebieg funkcji sinus kąta theta. Funkcja przypomina falę poprzeczną, dla której wartości y zmieniają się pomiędzy -1 a +1. Funkcja posiada grzbiety dla theta równych pi dzielone przez 2, 5 itd. Funkcja przecina oś x dla 0, pi, 2 pi, itd

Ilustracja 16.10 Funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału od

+ 1

do

−1

, a jej okres wynosi

2 π

rad.

Aby opisać falę przy użyciu funkcji okresowej, rozważmy stosunek kąta do położenia:

\begin{matrix} \frac{θ}{x} & = & \frac{2 π}{λ}, \\ θ & = & \frac{2 π}{λ} x . \end{matrix}

Po zastosowaniu $θ = 2 π x / λ$ i pomnożeniu funkcji sinus przez amplitudę $A$ możemy obliczyć postać funkcji opisującej położenie $y$ struny w zależności od położenia $x$ :

y (x) = A sin (\frac{2 π}{λ} x) .

Fala przemieszcza się wzdłuż struny w kierunku osi $x$ ze stałą prędkością $v$ i pokonuje odcinek $v t$ w czasie $t$ . Funkcję falową definiuje się jako:

y (x, t) = A sin (\frac{2 π}{λ} (x - v t)) .

Wygodnie jest zapisywać funkcję falową w bardziej zwartej postaci. Po pomnożeniu przez $\frac{2 π}{λ}$ otrzymujemy następujące równanie:

y (x, t) = A sin (\frac{2 π}{λ} x - \frac{2 π}{λ} v t) .

Wielkość $\frac{2 π}{λ}$ definiuje się jako liczbę falową (ang. wave number). Symbolem liczby falowej jest $k$ , a jej jednostką jest $m^{−1} :$

k \equiv \frac{2 π}{λ}

16.2

Jak pamiętamy z rozdziału Drgania, termin częstość kołowa definiuje się jako $ω = 2 π / T$ . Drugi wyraz w definicji funkcji falowej przyjmie zatem postać:

\frac{2 π}{λ} v t = \frac{2 π}{λ} (\frac{λ}{T}) t = \frac{2 π}{T} t = ω t .

Funkcja falowa dla prostej fali harmonicznej na strunie uprości się do:

y (x, t) = A sin (k x \mp ω t),

gdzie $A$ oznacza amplitudę, $k = 2 π / λ$ jest liczbą falową, $ω = 2 π / T$ częstość kołową, znak minus $(–)$ oznacza falę biegnącą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ , a znak plus $(+)$ falę biegnącą przeciwnie do zwrotu osi $x$ . Prędkość fali wynosi:

v = \frac{λ}{T} = \frac{λ}{T} (\frac{2 π}{2 π}) = \frac{ω}{k} .

16.3

Wróćmy do naszych rozważań na temat masy zawieszonej na sprężynie. Położenie masy było opisywane jako $x (t) = A cos (ω t + ϕ)$ . Kąt $ϕ$ to przesunięcie fazowe, które uwzględnia sytuację, gdy początkowe położenie masy jest inne niż $x = + A$ , a początkowa prędkość jest inna niż $v = 0 .$ Z tych samych powodów funkcja falowa zawiera fazę początkową. Funkcja falowa ma postać:

y (x, t) = A sin (k x \mp ω t + ϕ)

16.4

Argument funkcji sinus:

(k x \mp ω t + ϕ)

16.5

nazywa się fazą (ang. phase), gdzie $ϕ$ jest fazą początkową (lub przesunięciem fazowym) funkcji falowej. Znak wyrażenia $ω t$ zależy od kierunku rozchodzenia się fali. Niech ujemny znak dla fali z fazą początkową równą 0 $(ϕ = 0) .$ Faza fali wynosi $k x - ω t$ . Rozważmy punkt, odpowiadający grzbietowi fali. Grzbiet pojawi się wtedy, gdy $sin (k x - ω t) = 1,00$ , tj. gdy $k x - ω t = n π + \frac{π}{2}$ , dla dowolnej całkowitej wartości $n$ . Przykładowo jeden z grzbietów pojawia się dla $k x - ω t = π / 2$ . Gdy fala biegnie, rośnie wartość czasu i $x$ musi również wzrosnąć, tak aby faza była równa $π / 2$ . Z tego wynika, że znak minus oznacza falę biegnącą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ . Przeanalizujmy drugą sytuację, tj. gdy $k x + ω t = π / 2$ . Wraz ze wzrostem wartości czasu, $x$ musi zmaleć, aby faza była równa $π / 2$ . Znaku plus używa się dla fal biegnących przeciwnie do zwrotu osi $x$ . Podsumowując, $y (x, t) = A sin (k x - ω t + ϕ)$ oznacza falę biegnącą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ , a $y (x, t) = A sin (k x + ω t + ϕ)$ falę biegnącą w przeciwną stronę.

Równanie 16.4 opisuje prostą harmoniczną funkcję falową. Funkcja falowa może być zapisana jako $f (x, t) = f (x - v t) .$ Jeszcze w tym rozdziale dowiemy się, że jest ona rozwiązaniem równania falowego. Zauważmy, że zapis $y (x, t) = A cos (k x + ω t + ϕ ′)$ też jest zasadny, ponieważ odnosi się do przypadku $ϕ^{^{'}} = ϕ - π / 2$ .

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: szukanie charakterystyk funkcji falowych

Aby obliczyć amplitudę, długość fali, okres i częstotliwość fali sinusoidalnej, należy zapisać funkcję falową w postaci $y (x, t) = A sin (k x - ω t + ϕ) .$
Amplitudę można odczytać bezpośrednio z równania i wynosi ona $A$ .
Okres fali można obliczyć z częstości kołowej $T = \frac{2 π}{ω}$ .
Częstotliwość można obliczyć przy użyciu: $f = \frac{1}{T}$ .
Długość fali można wyznaczyć, korzystając z liczby falowej $λ = \frac{2 π}{k}$ .

Przykład 16.3

Cechy charakterystyczne fali biegnącej wzdłuż struny

Fala poprzeczna biegnąca wzdłuż struny ma postać:

y (x, t) = A \sin (k x - ω t) = 0,2 m \cdot \sin (6,28 m^{- 1} \cdot x - 1,57 s^{- 1} \cdot t)

Oblicz amplitudę, długość fali, okres i prędkość fali.

Strategia rozwiązania

Wszystkie te wielkości można obliczyć na podstawie stałych zawartych w równaniu lub z relacji łączących te wielkości.

Rozwiązanie

Amplitudę, liczbę falową i częstość kołową można odczytać bezpośrednio z równania falowego:

$y (x, t) = A \sin (k x - ω t) = 0,2 m \cdot \sin (6,28 m^{- 1} \cdot x - 1,57 s^{- 1} \cdot t)$

$(A = 0,2 m; k = 6,28 m^{−1}; ω = 1,57 s^{−1})$
Długość fali obliczamy przy użyciu znanej liczby falowej:

$\begin{matrix} k = \frac{2 π}{λ} . \\ λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{6,28 m^{−1}} = 1,0 m . \end{matrix}$
Okres fali można wyliczyć na podstawie częstości kołowej:

$\begin{matrix} ω = \frac{2 π}{T} . \\ T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{1,57 s^{−1}} = 4 s . \end{matrix}$
Prędkość fali obliczamy przy wykorzystaniu liczby falowej i częstości kołowej. Kierunek rozchodzenia się fali można określić na podstawie znaku wyrażenia $k x \mp ω t$ . Znak ujemny sugeruje, że fala biegnie w kierunku zgodnym z kierunkiem osi $x$ :

$| v | = \frac{ω}{k} = \frac{1,57 s^{- 1}}{6,28 m^{- 1}} = 0,25 \frac{m}{s}$

Znaczenie

Wszystkie powyższe wielkości są zawarte w równaniu falowym. Zauważmy, że prędkość fali jest jej prędkością w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Przedstawienie wychylenia ośrodka

y

w funkcji położenia

x

dla dwóch różnych chwil czasu:

t = 0,00 s

oraz

t = 0,80 s

pozwala na graficzną wizualizację fali (Ilustracja 16.11).

Rysunek pokazuje dwie fale poprzeczne, dla których wartości y zmieniają się między -0,2 m a 0,2 m. Jedna fala, oznaczona jako t=0 s jest narysowana linią przerywaną. Posiada grzbiety dla x równego 0,25 m i 1,25 m. Druga fala, oznaczona jako t=0,8 s jest narysowana ciągłą linią. Posiada grzbiety dla x równych 0,45 m i 1.45 m.

Ilustracja 16.11 Wykres wychylenia fali

y

w funkcji położenia

x

. Linia przerywana przedstawia falę w chwili

t = 0,00 s

, a linia ciągła falę w chwili

t = 0,80 s .

Ponieważ prędkość fali jest stała, to odległość jaką fala pokonuje równa się iloczynowi prędkości i odcinka czasu. Czarna kropka wskazuje punkt, który będzie pomocny przy obliczeniu przemieszczenia fali. Cząstki ośrodka poruszają się w górę i w dół, podczas gdy fala przemieszcza się w prawo.

W przykładzie przedstawionym powyżej mamy do czynienia z falą poprzeczną, która porusza się w płaszczyźnie poziomej, podczas gdy cząstki ośrodka drgają w górę i w dół, prostopadle do kierunku ruchu fali. Na Ilustracji 16.12 pokazano ruch cząstki ośrodka, której położenie wynosi $x = 0,60 m$ w funkcji czasu. Zauważmy, że cząstki ośrodka przyjmują położenia $y = + 0,20 m$ i $y = −0,20 m$ po upływie każdych 4,0 s.

Rysunek pokazuje falę poprzeczną. Jej wartości y zmieniają się między -0,2 m a 0,2 m. Oś x jest osią czasu, wyskalowaną w sekundach. Pionowa odległość między dwoma identycznymi elementami fali jest oznaczona jako T = 4 s.

Ilustracja 16.12 Wykres wychylenia fali

y

w funkcji czasu

t

dla położenia

x = 0,6 m .

Ośrodek wykonuje drgania w zakresie wartości od

y = + 0,20 m

do

y = −0,20 m

w ciągu każdego okresu. Okres możemy zmierzyć na podstawie położenia dwóch najbliższych punktów o tych samych amplitudach i identycznych prędkościach

(\partial y / \partial t) .

Prędkość możemy obliczyć na podstawie tangensa kąta nachylenia wykresu

y = f (t)

. Zauważmy, że dla czasów

t = 3,00 s

i

t = 7,00 s,

wychylenia i prędkości są takie same. Okres drgań wynosi 4,00 s.

Sprawdź, czy rozumiesz 16.3

Powyższa funkcja falowa została obliczona przy zastosowaniu funkcji sinus. Czy można było użyć funkcji cosinus?

Prędkość i przyspieszenie ośrodka

Jak widzieliśmy w Przykładzie 16.4 prędkość fali jest stała i oddaje prędkość fali rozchodzącej się w ośrodku, a nie prędkość cząsteczek, które go tworzą. Drobiny wykonują drgania wokół położenia równowagi wtedy, gdy fala rozchodzi się w ośrodku. W przypadku fali poprzecznej, która rozchodzi się w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ , cząstki wykonują drgania w górę i w dół, wzdłuż osi $y$ , w kierunku prostopadłym do ruchu fali. Prędkość cząsteczek ośrodka nie jest stała, co oznacza występowanie przyspieszenia. Prędkość tę, która jest prostopadła do prędkości fali w przypadku fal poprzecznych, można obliczyć z pochodnej cząstkowej funkcji falowej. Należy wtedy potraktować wszystkie zmienne jako stałe, z wyjątkiem zmiennej, której pochodną obliczamy. Dla pochodnej cząstkowej po czasie $t$ zmienna $x$ jest traktowana jako stała. W tym ćwiczeniu szukamy prędkości poprzecznej w danym punkcie, czyli wartość $x$ się nie zmienia. Mamy zatem:

\begin{matrix} y (x, t) & = & A sin (k x - ω t + ϕ) \\ v_{y} (x, t) & = & \frac{\partial y (x, t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (A sin (k x - ω t + ϕ)) \\ = & − A ω cos (k x - ω t + ϕ) \\ = & − v_{y max} cos (k x - ω t + ϕ) . \end{matrix}

Maksymalna prędkość ośrodka wynosi $| v_{y_{max}} | = A ω$ . Z tą zależnością spotkaliśmy się już w rozdziale Drgania.

Przyspieszenie ośrodka obliczymy przy użyciu pochodnej cząstkowej prędkości po czasie:

\begin{matrix} a_{y} (x, t) & = \frac{\partial v_{y}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (− A ω cos (k x - ω t + ϕ)) \\ = − A ω^{2} sin (k x - ω t + ϕ) \\ = − a_{y max} sin (k x - ω t + ϕ) . \end{matrix}

Maksymalne przyspieszenie wynosi $| a_{y_{max}} | = A ω^{2} .$ Cząsteczki ośrodka wykonują drgania harmoniczne proste.

Równanie falowe

Obliczyliśmy już prędkość cząsteczki ośrodka w punkcie $x$ przy użyciu pochodnej cząstkowej współrzędnej $y$ po czasie. Dla fali poprzecznej prędkość ta jest prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali. Przyspieszenie możemy wyznaczyć, obliczając drugą pochodną położenia po czasie (lub pierwszą pochodną prędkości po czasie):

a_{y} (x, t) = \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (A sin (k x - ω t + ϕ)) = − A ω^{2} sin (k x - ω t + ϕ) .

Rozważmy teraz pochodną cząstkową po zmiennej $x$ , gdzie czas jest wielkością stałą. Pierwsza pochodna cząstkowa opisuje nachylenie fali w punkcie $x$ , w chwili $t$ :

nachylenie = \frac{\partial y (x, t)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (A sin (k x - ω t + ϕ)) = A k cos (k x - ω t + ϕ) .

Druga pochodna cząstkowa informuje nas, jak nachylenie fali zmienia się w zależności od położenia. Innymi słowy opisuje krzywiznę fali, którą rozumiemy jako:

krzywizna = \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} x} (A sin (k x - ω t + ϕ)) = − A k^{2} sin (k x - ω t + ϕ) .

Stosunek przyspieszenia i krzywizny prowadzi do bardzo ważnej w fizyce zależności, nazywanej liniowym równaniem falowym (ang.linear wave equation): $v = ω / k$ . Nazywa się ono też równaniem drgającej struny.

\begin{matrix} \frac{\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}}} & = \frac{− A ω^{2} sin (k x - ω t + ϕ)}{− A k^{2} sin (k x - ω t + ϕ)} \\ = \frac{ω^{2}}{k^{2}} = v^{2}, \end{matrix}

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} .

16.6

Równanie 16.6 jest liniowym równaniem falowym, jednym z najważniejszych równań w fizyce i inżynierii. Choć tutaj zostało ono użyte dla fali poprzecznej, ma ono również zastosowanie do fal podłużnych. Równanie to odnosi się do fali sinusoidalnej, lecz można go także użyć do obliczenia impulsu i każdej innej fali $y (x, t) = f (x \mp v t) .$ Określenie „liniowe równanie falowe” związane jest z liniowym charakterem sił sprężystości działających w ośrodku.

Jeśli dwie funkcje falowe są rozwiązaniami liniowego równania falowego, wówczas suma obu tych funkcji jest również rozwiązaniem równania falowego. Weźmy dwie fale poprzeczne, które rozchodzą się w tym samym ośrodku wzdłuż osi $x$ . Zauważmy, że poszczególne fale mogą być opisane funkcjami falowymi $y_{1} (x, t) = f (x \mp v t)$ i $y_{2} (x, t) = g (x \mp v t)$ , które są rozwiązaniami liniowych równań falowych, a zatem są liniowymi funkcjami falowymi. Suma tych funkcji falowych jest również funkcją falową:

y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t) = f (x \mp v t) + g (x \mp v t) .

Rozważmy liniowe równanie falowe:

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} (f + g)}{\partial x^{2}} & = & \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} (f + g)}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} & = & \frac{1}{v^{2}} [\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}}] . \end{matrix}

Ten przykład pokazuje, że jeśli dwie liniowe funkcje falowe dodamy algebraicznie, wtedy wypadkowa funkcja falowa też będzie spełniać liniowe równanie falowe. Określa ona wychylenie ośrodka w każdym punkcie wzdłuż osi $x$ . Jeśli dwie fale liniowe znajdują się w tym samym ośrodku, to mogą ulegać interferencji. Jeśli obie są opisywane liniowymi funkcjami falowymi, to należy je do siebie dodać, aby znaleźć równanie falowe fali wypadkowej, utworzonej w wyniku interferencji. Wychylenie ośrodka w każdym punkcie jest algebraiczną sumą wychyleń spowodowanych przez każdą falę z osobna.

Idąc o krok dalej, załóżmy że funkcje falowe $y_{1} (x, t) = f (x \mp v t)$ i $y_{2} (x, t) = g (x \mp v t)$ są rozwiązaniami równań falowych, a $A$ i $B$ są stałymi. Wtedy suma: $A y_{1} (x, t) + B y_{2} (x, y)$ jest także rozwiązaniem równania falowego. Ta własność jest znana jako zasada superpozycji (ang. superposition). Interferencja i superpozycja są szczegółowo omawiane w podrozdziale Interferencja fal.

Przykład 16.4

Interferencja fal na strunie

Wyobraź sobie długą strunę, której każdy koniec trzyma inny student. Student A wprawia koniec struny w drgania, wytwarzając falę opisywaną równaniem:

y_{1} (x, t) = A sin (k x - ω t)

. Student B wytwarza falę o dwukrotnie większej częstotliwości. Obie fale poruszają się z takimi samymi prędkościami

v = ω / k

oraz interferują, tworząc falę wypadkową, którą opisuje równanie:

y_{R} (x, t) = y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t) .

Oblicz prędkość fali wypadkowej, posługując się równaniami falowymi:

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} .

Strategia rozwiązania

Najpierw napisz równanie falowe dla fali, którą utworzył student B. Zauważ, że częstość kołowa drugiej fali jest dwa razy większa niż częstość pierwszej fali (

2 ω

). Ponieważ prędkości obu fal są takie same, liczba falowa drugiej fali jest dwa razy większa niż pierwszej fali (

2 k

. Napisz równanie falowe dla fali wypadkowej, która jest sumą obu napisanych wcześniej funkcji falowych. Oblicz drugą pochodną cząstkową po położeniu i po czasie. Korzystając z równania falowego, oblicz prędkość fali wypadkowej.

Rozwiązanie

Napisz równanie falowe drugiej fali: $y_{2} (x, t) = A sin (2 k x + 2 ω t) .$
Napisz równanie fali wypadkowej:

$y_{R} (x, t) = y_{1} (x, t) + y (x, t) = A sin (k x - ω t) + A sin (2 k x + 2 ω t) .$
Oblicz pochodne cząstkowe:

$\begin{matrix} \frac{\partial y_{R} (x, t)}{\partial x} & = & − A k cos (k x - ω t) + 2 A k cos (2 k x + 2 ω t), \\ \frac{\partial^{2} y_{R} (x, t)}{\partial^{2} x} & = & − A k^{2} sin (k x - ω t) - 4 A k^{2} sin (2 k x + 2 ω t), \\ \frac{\partial y_{R} (x, t)}{\partial t} & = & − A ω cos (k x - ω t) + 2 A ω cos (2 k x + 2 ω t), \\ \frac{\partial^{2} y_{R} (x, t)}{\partial^{2} t} & = & − A ω^{2} sin (k x - ω t) - 4 A ω^{2} sin (2 k x + 2 ω t) . \end{matrix}$
Oblicz prędkość fali wypadkowej, korzystając z równania falowego:

$\begin{matrix} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} & = & \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}}, \\ - A k^{2} sin (k x - ω t) - 4 A k^{2} sin (2 k x + 2 ω t) & = & \frac{1}{v^{2}} (− A ω^{2} sin (k x - ω t) - 4 A ω^{2} sin (2 k x + 2 ω t)), \\ k^{2} (− A sin (k x - ω t) - 4 A sin (2 k x + 2 ω t)) & = & \frac{ω^{2}}{v^{2}} (− A sin (k x - ω t) - 4 A sin (2 k x + 2 ω t)), \\ k^{2} & = & \frac{ω^{2}}{v^{2}}, | v | = \frac{ω}{k} . \end{matrix}$

Znaczenie

Prędkość wypadkowej fali jest równa prędkości fali pierwotnej

v = ω / k

. W następnym podrozdziale pokażemy, że prędkość prostej fali harmonicznej na strunie zależy od naprężenia struny i masy przypadającej na jednostkę jej długości. Nie powinno być zatem zaskoczeniem, że prędkości fal składowych i prędkość fali wypadkowej są takie same.

Sprawdź, czy rozumiesz 16.4

Równanie fali $\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}}$ jest prawdziwe dla każdej fali w postaci $y (x, t) = f (x \mp v t) .$ W poprzednim rozdziale stwierdziliśmy, że funkcja cosinus może być użyta również do opisu prostej mechanicznej fali harmonicznej. Sprawdź, czy funkcja: $y (x, t) = 0,50 m \cdot \cos (0,20 π m^{- 1} \cdot x - 4,00 π s^{- 1} \cdot t + \frac{π}{10})$ jest rozwiązaniem równania falowego.!

Każde zaburzenie, które spełnia równanie falowe, może rozchodzić się jako fala wzdłuż osi $x$ z prędkością $v$ . Jest to prawdziwe dla fali na strunie, fal dźwiękowych, elektromagnetycznych oraz innego typu fal.

16.2 Matematyczny opis fal

Impulsy

Opis sinusoidalnej fali jednowymiarowej za pomocą modelu funkcji falowej

Strategia rozwiązywania zadań: szukanie charakterystyk funkcji falowych

Cechy charakterystyczne fali biegnącej wzdłuż struny

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Prędkość i przyspieszenie ośrodka

Równanie falowe

Interferencja fal na strunie

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie