16.4 Energia i moc fali

Energia fal

Energia fali zależy od jej amplitudy i częstotliwości, co udowadniają liczbne przykłady. Trzęsienia ziemi o dużych amplitudach powodują znaczne zniszczenia. Głośne dźwięki mają dużą amplitudę i wytwarzane są przez źródła o większej amplitudzie drgań niż w przypadku dźwięków o mniejszej amplitudzie. Wysokie fale morskie niszczą wybrzeże w dużo większym stopniu niż niskie fale. Tymczasem powróćmy do przypadku mewy siedzącej na powierzchni wody, omawianego wcześniej w tym rozdziale (Ilustracja 16.3). Ptak wykonuje drgania pod wpływem ruchu falowego, co powoduje zmiany jej energii potencjalnej. Im większa amplituda fali, tym większa zmiana energii potencjalnej mewy.

Jeśli przyjmiemy, że fala jest pakietem energii, to okaże się, że fala o wysokiej częstotliwości może dostarczyć więcej takich pakietów w jednostce czasu niż fala o niskiej częstotliwości. Pokażemy, że średnie tempo transportu energii przez falę mechaniczną jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy oraz kwadratu częstotliwości. Jeśli dwie fale mechaniczne mają te same amplitudy, ale jedna z nich ma częstotliwość równą podwojonej częstotliwości drugiej, to fala o wyższej częstotliwości może przenosić energię cztery razy szybciej. Zauważmy, że choć szybkość transportu energii przez falę mechaniczną jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości fali, to dla fali elektromagnetycznej szybkość transportu pozostaje proporcjonalna do kwadratu amplitudy, ale jest niezależna od częstotliwości.

Moc fal

Rozważmy sinusoidalną falę na drgającej strunie, pokazaną na Ilustracji 16.16. Pręt jest wprawiany w drgania przy pomocy specjalnego urządzenia, zwanego oscylatorem. Pręt połączony jest ze struną o jednorodnej gęstości masy, dzięki czemu struna jest również wprawiana w drgania, które wytwarzają wzdłuż niej falę sinusoidalną. Innymi słowy, pręt wytwarza energię, która rozchodzi się wzdłuż struny. Rozważmy element struny o masie $\text{Δ}m$ (Ilustracja 16.16). Ponieważ energia rozchodzi się wzdłuż struny, to każdy jej element drga z tą samą częstotliwością, z jaką rozchodzi się fala. Każdy element struny może być opisany za pomocą modelu prostego oscylatora harmonicznego. Ponieważ struna ma stałą gęstość liniową $\mu =\mathrm{\Delta }m\text{/}\mathrm{\Delta }x,$ każdy odcinek struny ma masę $\text{Δ}m=\mu \text{Δ}x.$

Ilustracja 16.16 Oscylator wprawia w drgania pręt, a ten następnie wprawia w drgania połączoną z nim strunę. Wskutek drgań struny powstaje fala, która przemieszcza się wzdłuż pręta z prędkością v. Prędkość fali zależy od naprężenia struny i jej liniowej gęstości masy. Odcinek struny o masie $\text{Δ}m$ wykonuje drgania o częstotliwości równej częstotliwości fali.

Całkowita energia mechaniczna fali to suma energii kinetycznej i potencjalnej. Energia kinetyczna $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ każdego odcinka struny o długości $\text{Δ}x$ wynosi $\text{Δ}K=\frac{1}{2}\left(\text{Δ}m\right)v_y^2$. Każdy odcinek wykonuje drgania w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Jeśli liniowa gęstość masy jest stała, to energia kinetyczna każdego odcinka struny o długości $\text{Δ}x$ wynosi:

Napiszmy równanie różniczkowe, przyjmując, że długość odcinka struny dąży do zera:

Dla fali sinusoidalnej o częstości kołowej $\omega$ położenie każdego odcinka można opisać jako $y\left(x,t\right)=A\text{sin}\left(kx-\omega t\right).$ Każdy odcinek struny wykonuje drgania z prędkością $v_y=\frac{\partial y\left(x,t\right)}{\partial t}=\text{−}A\omega \text{cos}\left(kx-\omega t\right).$ Energia kinetyczna każdego odcinka struny wynosi:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}K& =\frac{1}{2}(\mu \mathrm{d}x)(-A\omega \cos (kx-\omega t){)}^2,\\ & =\frac{1}{2}(\mu \mathrm{d}x)A^2{\omega }^2{\cos }^2(kx-\omega t).\end{array}$$

Fala może mieć długość równą wielokrotności długości fali. Aby dokonać normalizacji energii, rozważmy energię kinetyczną przypadającą na jednostkę długości fali. Taka energia kinetyczna może być policzona jako całka po długości fali:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}K& =\frac{1}{2}(\mu \mathrm{d}x)(A^2{\omega }^2{\cos }^2(kx),\\ K=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\mathrm{d}K& =\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2{\cos }^2(kx)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{\cos }^2(kx)\mathrm{d}x,\\ K_{\lambda }& =\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2{\left[\frac{1}{2}x+\frac{1}{4k}\sin (2kx)\right]}_0^{\lambda }=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2\left[\frac{1}{2}\lambda +\frac{1}{4k}\sin (2k\lambda )-\frac{1}{4k}\sin (0)\right],\\ K_{\lambda }& =\frac{1}{4}\mu A^2{\omega }^2\lambda .\end{array}$$

Fala ma również energię potencjalną. Podobnie jak w przypadku masy wykonującej drgania na sprężynie, dla fal również mówimy o sile zachowawczej. Powoduje ona, że odcinek sprężyny wychylony z położenia równowagi powraca do niego. Energię potencjalną dla takiego odcinka możemy wyliczyć, jeśli znamy stałą sprężystości. W rozdziale Drgania dowiedzieliśmy się, że energia potencjalna zmagazynowana w sprężynie wynosi $U=\frac{1}{2}{k}_s{x}^2$, gdzie położenie równowagi definiowane jest jako: $x=\mathrm{0,00}\text{m}.$ Gdy masa zawieszona na sprężynie wykonuje proste drgania harmoniczne, częstość kołowa wynosi $\omega =\sqrt{k_s\text{/}m}.$ Stała sprężystości wynosi $k_s=\text{Δ}m{\omega }^2.$ Energia potencjalna odcinka sprężyny wynosi:

Zwróćmy uwagę, że $k_s$ jest stałą sprężystości, a nie liczbą falową $k=2\pi \text{/}\lambda .$ Możemy użyć powyższego równania, aby wyliczyć ilość energii przypadającą na jednostkę długości fali. Całkując po odcinku o długości równej długości fali, wyliczymy energię potencjalną przypadającą na długość fali:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}U& =\frac{1}{2}{k}_s{x}^2=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{x}^2\mathrm{d}x,\\ U_{\lambda }& =\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{\cos }^2(kx)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\mu A^2{\omega }^2\lambda .\end{array}$$

Energia potencjalna przypadająca na jednostkę długości fali równa się energii kinetycznej przypadającej na jednostkę długości fali.

Całkowita energia przypadająca na jednostkę długości fali to suma energii potencjalnej i kinetycznej:

Uśrednioną w czasie moc sinusoidalnej fali mechanicznej, przez którą należy rozumieć średnią szybkość przenoszenia energii przez falę, możemy obliczyć, jeśli podzielimy całkowitą energię przez czas przekazywania energii. Jeśli prędkość fali sinusoidalnej jest stała, to dla jednostkowej długości fali czas ten jest równy okresowi fali. Zatem dla fali sinusoidalnej uśredniona w czasie moc to energia podzielona przez okres. Długość fali podzielona przez okres to prędkość.

Zwróćmy uwagę, że uśredniona w czasie moc fali sinusoidalnej jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali i do kwadratu częstości kołowej fali. Przypomnijmy sobie, że częstość kołowa wynosi $\omega =2\pi f$, zatem moc fali mechanicznej jest również proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości fali.

Wyrażenia na energię fali i uśrednioną w czasie moc dotyczą fali sinusoidalnej na strunie. Generalnie energia fali mechanicznej i jej moc są proporcjonalne do kwadratu amplitudy i kwadratu częstości kołowej (a zatem również do kwadratu częstotliwości).

Inną ważną wielkością jest natężenie fali. Fale mogą być skupione lub rozrzedzone. Przykładowo fale sejsmiczne potrafią rozchodzić się na bardzo duże odległości. Im bardziej oddalą się od źródła, tym mniejszych dokonają zniszczeń. Odległość, na jaką oddaliła się fala, pozwala obliczyć powierzchnię, przez którą przechodzi. Znając powierzchnię, możemy wyliczyć natężenie (ang. intensity) oznaczane $I$, czyli moc przypadającą na jednostkę powierzchni:

gdzie $P$ jest mocą, jaką przenosi fala, przechodząc przez powierzchnię $A$. Podana definicja jest prawdziwa dla każdego zagadnienia, w którym zachodzi transport energii. W układzie SI jednostką natężenia jest $\mathrm{W}\text{/}{\mathrm{m}}^2$ . Wiele fal występujących w przyrodzie to fale koncentryczne, które rozchodzą się od źródła w postaci powierzchni sferycznych. Na przykład głośnik zamocowany na słupie wytwarza fale kuliste. Chociaż fale dźwiękowe będziemy omawiać w następnym rozdziale, to już tutaj chcemy zasygnalizowac, że im dalej znajdujemy się od głośnika, tym dźwięk dochodzący do naszych uszu jest słabszy. Im większą odległość pokona fala, tym jej promień fali zakreśli większą powierzchnię $A=4\pi r^2.$ Natężenie fali kulistej wynosi zatem:

Jeśli nie ma rozpraszania, energia pozostaje stała w trakcie ruchu fali kulistej, ale jej natężenie zmniejsza się w miarę oddalania się fali od źródła, ponieważ wzrasta jej powierzchnia.

W przypadku ruchu dwuwymiarowej fali kulistej jej obwód się powiększa, ponieważ wzrasta promień. Jeśli wrzucimy kamień do sadzawki, wokół źródła zaczną rozchodzić się koncentryczne fale. W miarę wzrostu odległości od ich źródła natężenie się zmniejsza proporcjonalnie do $1\text{/}r$ a nie $1\text{/}{r}^2$.