William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

Ultrasonograf stosowany w medycynie wykorzystuje fale dźwiękowe o częstotliwościach niesłyszalnych dla człowieka. Jeśli częstotliwość wytwarzanego przez niego dźwięku wynosi $f = 30 kHz,$ to jaka jest długość fali powstającej w kości, jeśli prędkość dźwięku w kości wynosi $v = 3000 m/s?$

118.

Poniżej pokazano wykres funkcji falowej dla $t = 0,00 s$ i $t = 2,00 s$ . Linia przerywana prezentuje funkcję falową w chwili $t = 0,00 s$ , a linia ciągła w chwili $t = 2,00 s$ . Oblicz amplitudę, długość, prędkość i okres fali.

Na wspólnym wykresie przedstawiono dwie fale poprzeczne, dla których wartość y zmienia sie między -3 m a 3 m. Jedna fala jest narysowana linią przerywaną i jest oznaczona t = 0 s. Posiada grzbiet dla x równego w przybliżeniu 0,25 m i 1,25 m. Druga fala jest narysowana linią ciągłą i jest oznaczona t=2 s. Posiada grzbiet dla x równego w przybliżeniu 0,85 s i 1,85 s.

119.

Prędkość światła w powietrzu wynosi w przybliżeniu $v = 3,00 \cdot 10^{8} m / s$ , a w szkle $v = 2,00 \cdot 10^{8} m / s$ . Czerwone światło laserowe o długości $λ = 633,00 nm$ pada na powierzchnię szkła, częściowo przechodząc do niego. Częstotliwość światła w powietrzu jest taka sama jak w szkle. (a) Jaka jest częstotliwość światła? (b) Ile wynosi długość fali światła w szkle?

120.

Stacja radiowa nadaje fale radiowe o częstotliwości 101,7 MHz. Przemieszczają się one w powietrzu w przybliżeniu z prędkością równą prędkości światła w próżni. Ile wynosi długość fali radiowej?

121.

Plażowicz wchodzi do wody i zauważa, że sześć grzbietów periodycznej fali przepływa w ciągu 1 min. Odległość między grzbietami wynosi 16,00 m. Jaka jest długość fali, częstotliwość, okres i prędkość?

122.

Drgania kamertonu powodują powstanie dźwięku o częstotliwości 512 Hz. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi $v = 343,00 m/s$ w temperaturze $20,00 ° C$ . Ile wynosi długość fali dźwiękowej ?

123.

Motorówka płynie w poprzek jeziora z prędkością $v_{b} = 15,00 m/s .$ Zawraca co 0,50 s, ponieważ płynie zawsze w kierunku przeciwnym do kierunku rozchodzenia się fali. Ile wynoszą prędkość i długość fali?

124.

Wykorzystaj liniowe równanie falowe dla pokazania, że prędkość fali opisanej funkcją falową $y (x, t) = 0,20 m sin (3,00 m^{−1} x + 6,00 s^{−1} t)$ wynosi $v = 2,00 m/s .$ Ile wynosi długość i prędkość fali?

125.

Dane są funkcje falowe $y_{1} (x, t) = A sin (k x - ω t)$ i $y_{2} (x, t) = A sin (k x - ω t + ϕ)$ , gdzie $ϕ \neq \frac{π}{2}$ . Wykaż, że $y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t)$ jest rozwiązaniem liniowego równania falowego, gdzie $v = \omega / k$ .

126.

Fala poprzeczna na strunie jest opisana równaniem falowym $y (x, t) = 0,1 m sin (0,15 m^{−1} x + 1,5 s^{−1} t + 0,2)$ . (a) Oblicz prędkość fali. (b) Określ położenie na osi $y$ , prędkość w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu fali oraz przyspieszenie w kierunku prostopadłym do ruchu fali odcinka struny, którego środek zajmuje położenie $x = 0,40 m$ w chwili $t = 5,0 s .$

127.

Fal sinusoidalna biegnie wzdłuż naprężonej struny o liniowej gęstości masy równej $μ = 0,060 kg/m .$ Wartość przyspieszenia fali w kierunku pionowym wynosi $a_{y max} = 0,90 {cm/s}^{2}$ , a amplituda 0,40 m. Struna została poddana naprężeniu równemu $F_{T} = 600,00 N$ . Fala biegnie przeciwnie do zwrotu osi $x$ . Napisz równanie fali.

128.

Fala poprzeczna na strunie $(μ = 0,0030 kg/m)$ jest opisana równaniem $y (x, t) = 0,30 m sin (\frac{2 π}{4,00 m} (x - 16,00 \frac{m}{s} t)) .$ Ile wynosi naprężenie struny?

129.

Fala poprzeczna na poziomej strunie $(μ = 0,0060 kg/m)$ jest opisana równaniem $y (x, t) = 0,30 m sin (\frac{2 π}{4,00 m} (x - v_{w} t)) .$ Strunę poddano naprężeniu 300,00 N. Jakie są: prędkość, liczba falowa i częstość kołowa fali?

130.

Student wykorzystał dalmierz dźwiękowy, aby określić odległość od ściany. Urządzenie emituje fale dźwiękowe, które odbijają się od ściany i powracają. Droga tam i z powrotem jest pokonywana przez dźwięk w czasie 0,012 s. Dalmierz został skalibrowany w temperaturze pokojowej $T = 20 ° C$ , ale temperatura podczas pomiaru wynosiła $T = 23 ° C .$ Ile wynosi dokładność pomiaru odległości spowodowana kalibracją w takich warunkach?

131.

Fala na strunie jest wytwarzana przez oscylator, który wykonuje drgania o częstotliwości 100,00 Hz i amplitudzie 1,00 cm. Urządzenie jest zasilane napięciem 12,00 V i prądem o natężeniu 0,20 A oraz pobierana moc $P = I V$ . Załóż, że oscylator zamienia energię elektryczną w energię drgań z wydajnością $90 %$ . Długość struny wynosi 3,00 m, a jej naprężenie 60,00 N. Ile wynosi liniowa gęstość masy?

132.

Fala biegnąca wzdłuż struny jest opisana równaniem falowym $y (x, t) = 3,00 cm sin (8,00 m^{−1} x + 100,00 s^{−1} t) .$ Strunę o liniowej gęstości masy $μ = 0,008 kg/m .$ poddano naprężeniu równemu 50,00 N. Jaka jest średnia moc, którą przenosi ta fala?

133.

Fala poprzeczna na strunie ma długość 5,0 m, okres 0,02 s i amplitudę 1,5 cm. Średnia moc przenoszona przez tę falę wynosi 5,00 W. Ile wynosi naprężenie struny?

134.

(a) Jakie jest natężenie wiązki laserowej, używanej do zniszczenia tkanki nowotworowej, jeśli $90,0 %$ zaabsorbowanej fali dostarcza 500 J energii do powierzchni w kształcie koła o średnicy 2,00 mm w czasie 4,00 s? (b) Porównaj to natężenie z natężeniem światła słonecznego i zastanów się nad skutkami, jakie wystąpiłyby, gdyby światło laserowe o obliczonym natężeniu wpadło do oka. Zwróć uwagę, że rozwiązanie zależy od czasu ekspozycji.

135.

Rozważ dwie periodyczne funkcje falowe $y_{1} (x, t) = A sin (k x - ω t)$ i $y_{2} (x t) = A sin (k x - ω t + ϕ) .$ (a) Dla jakich wartości $ϕ$ fala, która powstanie w wyniku ich superpozycji, będzie miała amplitudę równą $2 A$ ? (b) Dla jakich wartości $ϕ$ fala, która powstanie w wyniku superpozycji, będzie miała amplitudę równą zero?

136.

Rozważ dwie periodyczne funkcje falowe $y_{1} (x, t) = A sin (k x - ω t)$ i $y_{2} (x, t) = A cos (k x - ω t + ϕ)$ . (a) Dla jakich wartości $ϕ$ fala, która powstaje w wyniku ich superpozycji, ma amplitudę równą $2 A$ ? (b) Dla jakich wartości $ϕ$ amplituda fali wypadkowej będzie równa zero?

137.

Dolina o wymiarach 10,00 m na 0,10 m na 0,10 m jest częściowo wypełniona wodą. Na obu jej końcach na powierzchni wody powstają fale o małych amplitudach, wytwarzane przez wiosła poruszające się prostym ruchem harmonicznym. Wychylenia fal są opisane przez równania falowe $y_{1} (x, t) = 0,3 m sin (4 m^{−1} x - 3 s^{−1} t)$ i $y_{2} (x, t) = 0,3 m cos (4 m^{−1} x + 3 s^{−1} t - \frac{π}{2}) .$ Jakie jest równanie fali wypadkowej, która powstanie, gdy obie fale się spotkają, ale zanim dobiegną do brzegów doliny (należy założyć, że w dolinie są tylko dwie fale i pominąć odbicia)? Sprawdź poprawność obliczeń w arkuszu kalkulacyjnym. (Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości $sin (u \pm v) = sin u cos v \pm cos u sin v$ i $cos (u \pm v) = cos u cos v \mp sin u sin v .)$

138.

Sejsmograf rejestruje fale S i P wstrząsu odległe o 20,00 s od siebie. Jeśli obie fale biegną po tej samej drodze ze stałymi prędkościami $v_{S} = 4,00 km/s$ i $v_{P} = 7,50 km/s,$ to jak daleko znajduje się epicentrum wstrząsu?

139.

Rozważ poniższą sytuację. Klocek o masie 20,00 kg spoczywa na równi pochyłej. Pomiędzy nim a równią nie występuje tarcie. Kąt nachylenia równi wynosi $45 °$ . Do klocka przytwierdzono strunę o liniowej gęstości masy $μ = 0,025 kg/m$ . Przechodzi ona przez bloczek, wzdłuż którego porusza się bez tarcia. Do drugiego końca struny przymocowano odważnik o masie $m$ . Układ znajduje się w stanie równowagi statycznej. Na strunie została wytworzona fala, która biegnie wzdłuż niej. (a) Ile wynosi masa odważnika $m$ ? (b) Jaka jest prędkość fali na strunie?

Rysunek przedstawia zbocze nachylone pod katem 45 stopni. Spoczywa na nim klocek o masie 20 kg. Klocek jest przytwierdzony do struny. Struna jest przerzucona przez bloczek, który znajduje się na szczycie zbocza. Do drugiego końca struny przymocowany jest odważnik. Wzdłuż struny biegnie fala.

140.

Rozważ superpozycję trzech funkcji falowych $y (x, t) = 3,00 cm sin (2 m^{−1} x - 3 s^{−1} t),$ $y (x, t) = 3,00 cm sin (6 m^{−1} x + 3 s^{−1} t)$ i $y (x, t) = 3,00 cm sin (2 m^{−1} x - 4 s^{−1} t) .$ Jakie jest wychylenie fali wypadkowej w punkcie $x = 3,00 m$ w chwili $t = 10,0 s?$

141.

Struna ma masę 150 g i długość 3,4 m. Jeden jej koniec struny został przymocowany do ściany laboratorium, a drugi połączono ze sprężyną o stałej sprężystości równej $k_{s} = 100 N/m .$ Swobodny koniec sprężyny przytwierdzono do drugiej ściany. Naprężenie struny utrzymuje sprężyna. Odległość między ścianami jest taka, że sprężyna ulega rozciągnięciu o 2,00 cm. Struna została szarpnięta i wzdłuż niej przebiegł impuls. Jaka jest jego prędkość?

142.

Fala stojąca powstaje na strunie poddanej naprężeniu 70,0 N z dwóch identycznych sinusoidalnych fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Struna jest zamocowana w punktach $x = 0,00 m$ i $x = 10,00 m .$ Węzły powstają w punktach $x =$ 0,00 m, 2,00 m, 4,00 m, 6,00 m, 8,00 m i 10,00 m. Amplituda fali stojącej wynosi 3,00 cm. W ciągu 0,10 s strzałki wykonują jedno pełne drgnienie. (a) Jakie są długości obu fal sinusoidalnych, które utworzyły falę stojącą? (b) Ile wynoszą maksymalna prędkość i przyspieszenie struny w kierunku prostopadłym do ruchu fali poprzecznej w punktach, w których występują strzałki?

143.

Struna o długości 4 m i liniowej gęstości masy $μ = 0,006 kg/m .$ jest poddana stałemu naprężeniu. Dwie częstotliwości rezonansowe struny wynoszą 400 Hz i 480 Hz, pomiędzy nimi nie występują żadne inne częstotliwości rezonansowe. (a) Jakie są długości fal tych dwóch modów rezonansowych? (b) Ile wynosi naprężenie struny?