Rozdział 15

Możesz zwiększyć masę obiektu drgającego. Innym sposobem może być zmniejszenie amplitudy drgań lub użycie sprężyny o mniejszym współczynniku sprężystości.

Butelkę z keczupem można postawić na obrotowym stoliku i wprawić go w ruch obrotowy. Oświetlenie butelki z boku lampą spowoduje, że na ścianie zobaczymy jej cień poruszający się ruchem harmonicznym.

Ruch wahadeł będzie identyczny, ponieważ masa ciężarka nie wpływa na ruch wahadła matematycznego. Okres drgań zależy jedynie od długości wahadła i od przyspieszenia ziemskiego.

Na ruch obiektu często wpływa tarcie, które powoduje tłumienie drgań oscylatora harmonicznego.

Magik powinien zaśpiewać dźwięk o częstotliwości zgodnej z częstotliwością drgań własnych kielicha. Skierowanie fali dźwiękowej na kielich pobudza go do drgań w rezonansie z częstotliwością fali dźwiękowej. W tych warunkach kielich wpada w drgania o dużej amplitudzie i jeśli śpiew będzie wystarczająco głośny – rozpada się na kawałeczki.

Siła zwrotna musi być proporcjonalna do przemieszczenia i działać w kierunku położenia równowagi. Ruch odbywa się bez siły oporu lub tarcia. Częstotliwość oscylacji nie zależy od amplitudy drgań.

Przykłady: masa przymocowana do sprężyny poruszająca się na stole bez tarcia, masa zwisająca na sprężynie, wahadło matematyczne z małą amplitudą wychylenia. W tych przypadkach ruch drgający odbywa się z częstotliwością niezależną od amplitudy.

Częstotliwość drgań przyczepy wzrasta wraz z pierwiastkiem kwadratowym ze współczynnika sprężystości i maleje wraz ze wzrostem pierwiastka kwadratowego z masy. Należy więc wywnioskować, że przyczepa jest znacznie obciążona. Zauważ, że na współczynnik sprężystości nie ma wpływu to, czy przyczepa jest pusta, czy obciążona.

W samochodzie energię potencjalną sprężystości możemy zaobserwować, gdy ściskamy lub rozciągamy amortyzator. W niektórych butach do biegania energia potencjalna sprężystości przechowuje się w ściśliwej podeszwie buta. W skoku o tyczce energia potencjalna sprężystości gromadzi się w tyczce na skutek jej ugięcia.

Cały system jest stabilny. Okresowo tę stabilność mogą naruszać burze, ale siła napędowa zapewniana przez Słońce przywraca atmosferę do stanu równowagi.

Maksymalna prędkość masy na sprężynie wynosi $v_{\text{max}}=A\omega$, a częstość kołowa jest niezależna od amplitudy drgań. Zatem to amplituda drgań musi ulec zwiększeniu. Skoro odpowiada jej promień okręgu, wobec tego to ten parametr dysku powinien zostać zwiększony.

Okres wahadła wynosi $T=2\pi \sqrt{d\text{/}g}$. Wiosną jedno drganie trwa dokładnie jedną sekundę. Latem długość wahadła rośnie, a więc okres ulega wydłużeniu i trwa dłużej niż sekundę. Zatem wahadło wykonuje mniej niż 60 drgań na minutę i zegar się spóźnia. Natomiast zimą się spieszy.

Amortyzator w samochodzie.

Druga zasada termodynamiki mówi, że nie można zbudować maszyny poruszającej się bez końca. W końcu uporządkowany ruch zanika i układ powraca do stanu równowagi.

Każdy ruch harmoniczny jest ruchem harmonicznym tłumionym, ale w pewnych układach tłumienie może być bardzo słabe i można je zaniedbać. Tłumienie jest spowodowane przez siły tarcia i siły oporu. Można przytoczyć pięć następujących przykładów ruchu drgającego tłumionego: (1) masa oscylująca pionowo na sprężynie (drgania zanikają), (2) amortyzatory w samochodach (tłumią niepożądane drgania), (3) wahadło w zegarze mechanicznym (stosuje się ciężarki w celu zwiększenia energii oscylatora), (4) dziecko na huśtawce (wychylenia ustaną jeśli nie będziemy popychać dziecka) (5) kula drgająca w misce (w końcu przestaje drgać i osiąga położenie równowagi trwałej). Nawet zastosowanie próżni dla układu masy na sprężynie nie sprawi, że układ stanie się oscylatorem nietłumionym, ponieważ w sprężynie obecne są kanały dyssypacji energii. Tak więc tłumienie można ograniczyć, ale nie można go wyeliminować.

Dowód.

0,4 s/uderzenie.

12,500 Hz.

1. 340 km/h;
2. $\mathrm{11,3}\cdot {10}^3$ obr/min.

$f=\frac{1}{3}{f}_0$

0,009 kg; 2%.

a. $\mathrm{1,57}·{10}^5\text{N/m}$; b. $77\mathrm{k}\mathrm{g}$, zawodnik mieści się w limicie wagowym kategorii wagi ciężkiej.

1. $\mathrm{6,53}·{10}^3\text{N/m}$;
2. Tak, w momentach gdy człowiek znajdzie się w najniższym punkcie swojego ruchu, wówczas sprężyna będzie maksymalnie ściśnięta.

a. 1,99 Hz; b. 50,2 cm; c. 1,40 Hz; 71 cm.

1. $\mathrm{0,335}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$;
2. $\mathrm{5,61}\cdot {10}^{-4}\mathrm{J.}$

1. $x(t)=2\mathrm{m}\cdot \cos (\mathrm{0,52}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{t})$;
2. $v(t)=-\mathrm{1,05}\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\cdot \sin (\mathrm{0,52}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{t}).$

24,8 cm

4,01 s

1,58 s

$\mathrm{9,82002}{\text{m/s}}^2$

9%.

141 J.

1. $\mathrm{4,90}·{10}^{\mathrm{-3}}\text{m}$;
2. $\mathrm{1,15}·{10}^{\mathrm{-2}}\text{m.}$

94,7 kg.

1. 314 N/m;
2. 1,00 s;
3. 1,25 m/s.

Okres drgań wahadła na Księżycu jest 2,45 razy dłuższy niż na Ziemi.

Długość wahadła musi wzrosnąć o 0,0116%.

$\theta =\mathrm{0,31}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\cdot \sin (\mathrm{3,13}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{t}).$

1. 0,99 s;
2. 0,11 m.

1. $\mathrm{3,95}·{10}^6\text{N/m}$;
2. $\mathrm{7,90}·{10}^6\text{J.}$

$F\approx -\text{constant}\cdot r^{{}^{\prime }}$

1. 7,54 cm;
2. $\mathrm{3,25}·{10}^4\text{N/m.}$