William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

56.

Wisząca pionowo sprężyna początkowo miała swoją naturalną długość. Następnie do sprężyny przyczepiono ciało o masie $m$ . Ciało puszczone swobodnie zaczyna wykonywać drgania w górę i w dół. Amplituda drgań jest więc odległością pomiędzy nowym położeniem równowagi układu a położeniem równowagi sprężyny bez przyłączonej masy. a) Pokaż, że w najniższym położeniu układu sprężyna działa na ciało skierowaną do góry siłą o wartości 2,00 $m g$ . b) Załóż, że sprężyna o współczynniku sprężystości 10,0 N/m, zwisa pionowo, a położenie wolnego końca sprężyny wynosi 0,00 m. Gdzie znajduje się nowe położenie równowagi po przyłączeniu do sprężyny ciała o masie 0,25 kg? c) Dla układu opisanego we wstępie zadania znajdź amplitudę drgań ciała wprawionego w ruch, jeśli współczynnik sprężystości wynosi 10 N/m i ciało ma masę 0,25 kg. d) Wyznacz maksymalną prędkość ciała.

57.

Zawodniczka przed skokiem z trampoliny porusza się ruchem harmonicznym. Jej masa ciała wynosi 55,0 kg, a okres drgań 0,800 s. Następnym zawodnikiem jest mężczyzna, dla którego okres drgań wynosi 1,05 s. Jaka jest jego masa, jeśli zaniedbamy masę trampoliny?

58.

Pusta trampolina wykonuje drgania w górę i w dół ruchem harmonicznym z częstotliwością 4,00 Hz. Efektywna masa trampoliny wynosi 10,0 kg. Jaka jest częstotliwość zawodnika o masie 75,0 kg na tej trampolinie?

59.

Urządzenie pokazane na poniższej fotografii zabawia małe dzieci. Maluch umieszczony w specjalnej uprzęży wykonuje oscylacje na sprężynie podwieszonej do framugi drzwi.

Jeśli sprężyna rozciąga się o 0,250 m gdy dziecko ma masę 8,0 kg, to jaki jest jej współczynnik sprężystości?
Jaki jest okres drgań dziecka na sprężynie?
Jaka jest maksymalna prędkość dziecka przy amplitudzie oscylacji 0,200 m?

Źródło ilustracji: Lisa Doehnert

Zdjęcie niemowlęcia w sprężynującej uprzęży.

60.

Do jednego z końców sprężyny o $k = 100 N/m$ , którą można ściskać i rozciągać, przymocowano ciało o masie $5 k g$ . Ciało spoczywa na stole. Drugi koniec sprężyny zakotwiczono w ścianie. Położenie równowagi traktuje się jako zerową wartość położenia. Student przesuwa ciało w położenie $x = 4,0 cm$ i puszcza je swobodnie. Ciało wykonuje drgania w ruchu harmonicznym, poruszając się bez tarcia po stole. a) Napisz równania ruchu ciała. b) Znajdź położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w chwili $t = 3,00 s$ .

61.

Wahadło matematyczne przetransportowano z Ziemi na Księżyc. Przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi $1,63 {m/s}^{2}$ . Jaka jest relacja pomiędzy okresami drgań wahadła w tych dwóch miejscach?

62.

Jak szybko zegar wahadłowy będzie odmierzał czas na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi $1,63 {m/s}^{2}$ , jeśli ten sam zegar na Ziemi dokładnie odmierza czas? Znajdź rzeczywisty czas (w godzinach) odpowiadający 1 godzinie odmierzonej przez zegar na Księżycu.

63.

Jeśli zegar wahadłowy spieszy się o 5,00 s na dzień, to jaka musi być względna zmiana długości wahadła, aby działał perfekcyjnie?

64.

Na przymocowanej do sufitu lince o długości 1 m wisi ciało o masie 2 kg. Wystrzelono pocisk o masie 100 g, który przy prędkości 20 m/s zderza się sprężyście z tym ciałem. Napisz równanie ruchu dla drgającego wahadła, zaniedbując opory powietrza.

65.

Na przymocowanej do sufitu lince o długości 1 m wisi ciało o masie 2 kg. Wystrzelono pocisk o masie 100 g, który przy prędkości 20 m/s zderza się niesprężyście z tym ciałem, w wyniku czego pocisk i ciało przylegają do siebie. Napisz równanie ruchu dla drgającego wahadła, zaniedbując opory powietrza.

66.

U dziadka stoi zegar, którego wahadło ma temperaturę $T = 20 ° C$ , długość $L_{0} = 1 m$ oraz masę $M$ . Wahadło to w przybliżeniu jest prętem oscylującym wokół jednego końca. W jakim stopniu (procentowo) zmieni się okres drgań wahadła, jeśli temperatura podniesie się o $10 ° C$ ? Załóż, że długość wahadła zmienia się liniowo wraz z temperaturą według wzoru $L = L_{0} (1 + α Δ T)$ , a pręt jest mosiężny o $α = 18 \cdot 10^{- 6}^{\circ} C^{- 1}$ .

67.

Klocek o masie 2 kg leży na stole bez tarcia. Sprężynę o współczynniku sprężystości 100 N/m przyczepiono z jednej strony do klocka, a z drugiej do ściany. Na klocku położono dodatkowy klocek o masie 0,5 kg. Dolny klocek delikatnie przesunięto do położenia $x = + A$ i puszczony wolno. Statyczny współczynnik tarcia pomiędzy klockami wynosi 0,45.

Jaki jest okres drgań układu?
Jaka jest możliwie maksymalna amplituda drgań układu, przy której górny klocek (0,5 kg) nie uległ jeszcze zsunięciu z dolnego?