Zadania

Udowodnij, że zastosowanie równania $x\left(t\right)=A\text{sin}\left(\omega t+\varphi \right)$ będzie też prowadzić do tego samego wzoru na okres drgań układu masy na sprężynie. Dlaczego zagadnienie to analizowaliśmy, korzystając z funkcji cosinus?

Jeśli w czasie wykonywania intensywnych ćwiczeń twoje tętno wynosi 150 uderzeń na minutę, to ile trwa jedno uderzenie serca wyrażone w sekundach?

Stroboskop generuje błysk co $\mathrm{8,00}\cdot {10}^{-5}\mathrm{s}$. Jaka jest częstotliwość błysków?

Każdy tłok w silniku generuje impuls dźwiękowy co drugi obrót wału korbowego.

1. Jak szybko porusza się samochód wyścigowy wyposażony w ośmiocylindrowy silnik, jeśli emituje on dźwięk o częstotliwości 750 Hz, a wał korbowy wykonuje 2000 obrotów na kilometr drogi?
2. Ile obrotów na minutę wykonuje silnik?

Przyłączona do sprężyny masa $m_0$ zwisa pionowo. Zostaje ona podniesiona nieco do góry i puszczona swobodnie. Wykonuje oscylacje z częstotliwością $f_0$. Jeśli zastąpimy ją inną masą o wartości dziewięciokrotnie wyższej i powtórzymy eksperyment, to o jaką krotność zmieni się częstotliwość $f_0$ drgań?

Z jaką dokładnością powinna być dobrana masa w poprzednim zadaniu, jeśli chcemy, aby okres drgań nie był dłuższy niż 2,01 s ani krótszy niż 1,99 s? Podaj oczekiwany procentowy błąd względny przy doborze masy i określ dopuszczalny zakres masy ciężarka.

W boksie olimpijskim górny limit dla zawodnika wagi ciężkiej wynosi 91 kg. Przy rutynowym sprawdzeniu wagi stwierdzono, że szalka pod wpływem masy 120 kg obniża się o 0,75 cm i że waga funkcjonuje zgodnie z prawem Hooke’a.

1. Jaki jest współczynnik sprężystości wagi?
2. Jeśli bokser staje na wadze i szalka obniża się o 0,48 cm, to czy zawodnik ten mieści się w kategorii wagi ciężkiej?

Drążków pogo używa się najczęściej jako zabawek i służą do skakania przy użyciu sprężyny. Kiedy człowiek o masie 80 kg stanie na drążku pogo, sprężyna ulega skróceniu o 0,120 m.

1. Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny?
2. Czy sprężyna będzie ulegała większemu ściśnięciu podczas skakania?

Współczynnik sprężystości liny nylonowej wynosi $\mathrm{1,40}·{10}^4\text{N/m}$. Na linie wisi amator wspinaczki górskiej.

1. Jaka jest częstotliwość oscylacji wspinacza na linie, jeśli sumaryczna jego masa, wraz z ekwipunkiem, wynosi 90 kg?
2. O ile rozciągnie się lina, zanim zahamuje jego upadek, jeśli długość luzu liny (czyli wolnego spadania wspinacza) wynosi 2 m? (Wskazówka: zastosuj zasadę zachowania energii).
3. Rozwiąż ponownie oba zagadnienia w sytuacji, kiedy wspinacz wisi na dwukrotnie dłuższej linie z tego samego materiału.

Nowoczesny mechanizm zegara wykorzystuje masę 0,01 kg oscylującą na sprężynie o współczynniku sprężystości 1,25 N/m.

1. Jaka jest maksymalna prędkość ciała wykonującego drgania w zakresie od -3 cm do +3 cm względem położenia równowagi?
2. Ile dżuli energii kinetycznej ma ciało w chwili najwyższej prędkości?

O zachodzie słońca student stoi na skraju karuzeli o promieniu $2\mathrm{m}$, która obraca się pięć razy na minutę. Student rzuca cień na pobliski budynek.

1. Napisz równanie dla położenia cienia.
2. Napisz równanie prędkości cienia.

Niektórzy uważają, że wahadło o okresie drgań 1 s może być poruszane "siłą umysłu", czyli bez fizycznej ingerencji (tzw. psychokineza), ponieważ taki okres drgań zgadza się z przeciętnym tętnem człowieka. Bez względu na prawdziwość tej tezy, oblicz długość takiego wahadła.

Ile czasu potrzebuje dziecko na huśtawce na wykonanie wahnięcia w tę i z powrotem (jedno pełne drganie), jeśli jego środek ciężkości znajduje się 4 m poniżej punktu zawieszenia?

Dwie papugi siedzą razem na huśtawce, a ich łączny środek masy znajduje się 10 cm poniżej punktu zawieszenia. Podaj częstotliwość oscylacji huśtawki.

Wahadło o okresie drgań 2,00000 s w jednym miejscu ($g=\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2$) zostało przeniesione do nowego miejsca, w którym okres drgań wynosi 1,99796 s. Wyznacz przyspieszenie ziemskie w nowym miejscu.

Oscylator słabo tłumiony wykonuje drgania, a w każdym kolejnym cyklu amplituda tych drgań jest mniejsza o $\mathrm{3,0}\%$. Jaki procent energii mechanicznej oscylatora jest tracony w każdym cyklu?

Jeśli samochód ma układ zawieszenia o współczynniku sprężystości $5·{10}^4\text{N/m}$, to ile energii muszą rozproszyć amortyzatory, aby wygasić drganie z początkowym maksymalnym przemieszczeniem 0,075 m?

Na powierzchni horyzontalnej ciało o masie 0,750 kg połączono ze sprężyną o współczynniku sprężystości 150 N/m. Tarcie statyczne zachodzi pomiędzy ciałem a powierzchnią ze współczynnikiem tarcia 0,100.

1. Określ maksymalne rozciągnięcie sprężyny, przy którym masa nie będzie się poruszać.
2. Jeśli ciało wykonuje drgania z początkową amplitudą dwukrotnie wyższą niż odległość znaleziona powyżej i współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,085, to jaka jest całkowita droga przebyta przez ciało aż do zatrzymania? Załóż, że ruch zaczyna się w położeniu amplitudy.