William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

15.1 Ruch harmoniczny

21.

Udowodnij, że zastosowanie równania $x (t) = A sin (ω t + ϕ)$ będzie też prowadzić do tego samego wzoru na okres drgań układu masy na sprężynie. Dlaczego zagadnienie to analizowaliśmy, korzystając z funkcji cosinus?

22.

Jaki jest okres drgań prądu w sieci elektrycznej, jeśli częstotliwość wynosi 50,0 Hz?

23.

Jeśli w czasie wykonywania intensywnych ćwiczeń twoje tętno wynosi 150 uderzeń na minutę, to ile trwa jedno uderzenie serca wyrażone w sekundach?

24.

Wyznacz częstotliwość kamertonu, który wykonuje jedno pełne drganie w czasie $2,50 \cdot 10^{−3} s$ .

25.

Stroboskop generuje błysk co $8,00 \cdot 10^{- 5} s$ . Jaka jest częstotliwość błysków?

26.

Opona ma wzór bieżnika z poprzecznymi rowkami umieszczonymi co 2 cm. Każdy rowek odpowiada za pojedyncze drganie. Jaka jest częstotliwość tych drgań, jeśli samochód porusza się z prędkością 30 m/s?

27.

Każdy tłok w silniku generuje impuls dźwiękowy co drugi obrót wału korbowego.

Jak szybko porusza się samochód wyścigowy wyposażony w ośmiocylindrowy silnik, jeśli emituje on dźwięk o częstotliwości 750 Hz, a wał korbowy wykonuje 2000 obrotów na kilometr drogi?
Ile obrotów na minutę wykonuje silnik?

28.

Mechaniczny zegar z kukułką odmierza czas na podstawie drgań masy na sprężynie. Masa ta może być ozdobną figurką, np. aniołkiem. Jak należy dobrać współczynnik sprężystości, aby uzyskać okres 0,5 s dla masy 0,015 kg?

29.

Przyłączona do sprężyny masa $m_{0}$ zwisa pionowo. Zostaje ona podniesiona nieco do góry i puszczona swobodnie. Wykonuje oscylacje z częstotliwością $f_{0}$ . Jeśli zastąpimy ją inną masą o wartości dziewięciokrotnie wyższej i powtórzymy eksperyment, to o jaką krotność zmieni się częstotliwość $f_{0}$ drgań?

30.

Masa 0,5 kg zawieszona na sprężynie wykonuje drgania z okresem 1,50 s. O ile musimy zwiększyć masę drgającego ciała, aby uzyskać okres drgań równy 2 s?

31.

Z jaką dokładnością powinna być dobrana masa w poprzednim zadaniu, jeśli chcemy, aby okres drgań nie był dłuższy niż 2,01 s ani krótszy niż 1,99 s? Podaj oczekiwany procentowy błąd względny przy doborze masy i określ dopuszczalny zakres masy ciężarka.

15.2 Energia w ruchu harmonicznym

32.

Paczkę z rybami zawieszono na wadze sprężynowej.

Jaki jest współczynnik sprężystości, jeśli przy masie paczki równej 10 kg sprężyna rozciąga się o 8 cm?
Ile waży ryba, która rozciąga sprężynę o 5,50 cm?
Kreski podziałki zostały naniesione co pół kilograma. Jak daleko od siebie leżą kreski?

33.

W boksie olimpijskim górny limit dla zawodnika wagi ciężkiej wynosi 91 kg. Przy rutynowym sprawdzeniu wagi stwierdzono, że szalka pod wpływem masy 120 kg obniża się o 0,75 cm i że waga funkcjonuje zgodnie z prawem Hooke’a.

Jaki jest współczynnik sprężystości wagi?
Jeśli bokser staje na wadze i szalka obniża się o 0,48 cm, to czy zawodnik ten mieści się w kategorii wagi ciężkiej?

34.

Niektóre pistolety typu BB do wystrzału kulki wykorzystują tłok sprężynowy.

Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny tłoka o masie 0,05 kg, tak aby przy początkowym ściśnięciu sprężyny o 0,15 m tłok ten osiągnął prędkość maksymalną 20,0 m/s.
Jaką siłę należy przyłożyć do sprężyny, aby osiągnąć takie skrócenie?

35.

Drążków pogo używa się najczęściej jako zabawek i służą do skakania przy użyciu sprężyny. Kiedy człowiek o masie 80 kg stanie na drążku pogo, sprężyna ulega skróceniu o 0,120 m.

Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny?
Czy sprężyna będzie ulegała większemu ściśnięciu podczas skakania?

36.

Jeśli zawiesimy na sprężynie masę 0,3 kg, długość tej sprężyny wyniesie 0,2 m, a przy zawieszonej masie 1,95 kg ta długość to 0,75 m.

Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny?
Jaka jest długość sprężyny nieobciążonej?

37.

Współczynnik sprężystości liny nylonowej wynosi $1,40 \cdot 10^{4} N/m$ . Na linie wisi amator wspinaczki górskiej.

Jaka jest częstotliwość oscylacji wspinacza na linie, jeśli sumaryczna jego masa, wraz z ekwipunkiem, wynosi 90 kg?
O ile rozciągnie się lina, zanim zahamuje jego upadek, jeśli długość luzu liny (czyli wolnego spadania wspinacza) wynosi 2 m? (Wskazówka: zastosuj zasadę zachowania energii).
Rozwiąż ponownie oba zagadnienia w sytuacji, kiedy wspinacz wisi na dwukrotnie dłuższej linie z tego samego materiału.

15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu

38.

Oscylacje masy na sprężynie w układzie pionowym można również opisać za pomocą obracającego się dysku z markerem. Zamiast świecących pionowo w dół lamp umocowanych horyzontalnie w linii nad dyskiem, można ustawić lampy pionowo, a ich światło skierować na bok obracającego się dysku z markerem. W ten sposób można uzyskać na ścianie plamkę cienia, która będzie się poruszać w górę i w dół. Napisz wzory opisujące ruch plamki, przyjmując że jej położenie w chwili $t = 0 s$ wynosi $y = 0 m$ , a następnie plamka porusza się w kierunku dodatnich wartości osi $y$ .

39.

Nowoczesny mechanizm zegara wykorzystuje masę 0,01 kg oscylującą na sprężynie o współczynniku sprężystości 1,25 N/m.

Jaka jest maksymalna prędkość ciała wykonującego drgania w zakresie od -3 cm do +3 cm względem położenia równowagi?
Ile dżuli energii kinetycznej ma ciało w chwili najwyższej prędkości?

40.

Piła szablasta wykorzystuje obroty silnika do wprawienia brzeszczotu w ruch posuwisto-zwrotny w lewo-prawo; mechanizm jarzmowy przedstawia poniższy rysunek.

Rysunek silnika przedstawionego jako tarcza obracająca się wokół własnej osi, wywołującego ruch posuwisto-zwrotny brzeszczotu w płaszczyźnie poziomej. U dołu tarczy silnika jest łącznik wiodący do poziomego brzeszczotu. Łącznik ma na obu końcach osie pozwalające na swobodny obrót. Brzeszczot jest umieszczony w prowadnicy, więc może się poruszać wyłącznie poziomo.

Oszacuj maksymalną prędkość brzeszczotu podczas jego przemieszczania się, jeśli tarcza silnika obraca się z częstotliwością 60 Hz i ma promień 3 cm.

41.

O zachodzie słońca student stoi na skraju karuzeli o promieniu $2 m$ , która obraca się pięć razy na minutę. Student rzuca cień na pobliski budynek.

Napisz równanie dla położenia cienia.
Napisz równanie prędkości cienia.

15.4 Wahadła

42.

Jaką długość ma wahadło o okresie drgań 0,500 s?

43.

Niektórzy uważają, że wahadło o okresie drgań 1 s może być poruszane "siłą umysłu", czyli bez fizycznej ingerencji (tzw. psychokineza), ponieważ taki okres drgań zgadza się z przeciętnym tętnem człowieka. Bez względu na prawdziwość tej tezy, oblicz długość takiego wahadła.

44.

Jaki jest okres drgań wahadła o długości 1 m?

45.

Ile czasu potrzebuje dziecko na huśtawce na wykonanie wahnięcia w tę i z powrotem (jedno pełne drganie), jeśli jego środek ciężkości znajduje się 4 m poniżej punktu zawieszenia?

46.

Wahadło w zegarze z kukułką ma długość 5 cm. Jaka jest częstotliwość drgań wahadła?

47.

Dwie papugi siedzą razem na huśtawce, a ich łączny środek masy znajduje się 10 cm poniżej punktu zawieszenia. Podaj częstotliwość oscylacji huśtawki.

48.

Wahadło, które ma okres 3,00000 s w miejscu, gdzie przyspieszenie ziemskie wynosi $9,79 {m/s}^{2}$ przeniesiono do miejsca, w którym przyspieszenie $g$ wynosi $9,82 {m/s}^{2}$ . Jaki jest okres drgań wahadła w nowym miejscu?
W oparciu o relację pomiędzy okresem drgań i przyspieszeniem ziemskim wyjaśnij, dlaczego tak wiele cyfr znaczących jest potrzebnych do wyznaczenia wartości okresu drgań.

49.

Wahadło o okresie drgań 2,00000 s w jednym miejscu ( $g = 9,80 {m/s}^{2}$ ) zostało przeniesione do nowego miejsca, w którym okres drgań wynosi 1,99796 s. Wyznacz przyspieszenie ziemskie w nowym miejscu.

50.

Jaki jest wpływ podwojenia długości wahadła na okres drgań?
Oceń wpływ zmniejszenia długości wahadła o 5 % na okres drgań.

15.5 Drgania tłumione

51.

Oscylator słabo tłumiony wykonuje drgania, a w każdym kolejnym cyklu amplituda tych drgań jest mniejsza o $3,0 %$ . Jaki procent energii mechanicznej oscylatora jest tracony w każdym cyklu?

15.6 Drgania wymuszone

52.

Ile energii muszą rozproszyć amortyzatory w samochodzie o masie 1200 kg w celu wygaszenia drgania, którego początkowa prędkość przy przejściu przez położenie równowagi wynosi 0,800 m/s? Załóż, że samochód całkowicie wraca do pierwotnej pozycji.

53.

Jeśli samochód ma układ zawieszenia o współczynniku sprężystości $5 \cdot 10^{4} N/m$ , to ile energii muszą rozproszyć amortyzatory, aby wygasić drganie z początkowym maksymalnym przemieszczeniem 0,075 m?

54.

Jak bardzo rozciągnie się w pionie sprężyna o współczynniku sprężystości 40,0 N/m, jeśli zawiesimy masę 0,500 kg tak, że będzie ona w bezruchu? b) Policz, jaki jest na tym odcinku ubytek energii potencjalnej grawitacji dla masy 0,500 kg. c) Część energii potencjalnej grawitacji przekształcono w energię potencjalną sprężystości. Policz więc energię potencjalną sprężystości dla tego układu i porównaj ze stratą energii potencjalnej grawitacji. Wyjaśnij, co odpowiada za powstałą różnicę.

55.

Na powierzchni horyzontalnej ciało o masie 0,750 kg połączono ze sprężyną o współczynniku sprężystości 150 N/m. Tarcie statyczne zachodzi pomiędzy ciałem a powierzchnią ze współczynnikiem tarcia 0,100.

Określ maksymalne rozciągnięcie sprężyny, przy którym masa nie będzie się poruszać.
Jeśli ciało wykonuje drgania z początkową amplitudą dwukrotnie wyższą niż odległość znaleziona powyżej i współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,085, to jaka jest całkowita droga przebyta przez ciało aż do zatrzymania? Załóż, że ruch zaczyna się w położeniu amplitudy.