5.1 Aproximación de áreas

El uso de la notación sigma (notación de sumatoria) de la forma $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ es útil para expresar sumas largas de valores en forma compacta.
Para una función continua definida en un intervalo $[a, b],$ el proceso de dividir el intervalo en n partes iguales, extender un rectángulo en el gráfico de la función, calcular las áreas de la serie de rectángulos y luego sumar las áreas da una aproximación del área de esa región.
La anchura de cada rectángulo es $Δ x = \frac{b - a}{n} .$
La suma de Riemann es una expresión de la forma $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x,$ y puede utilizarse para estimar el área bajo la curva $y = f (x) .$ Las aproximaciones del punto de los extremos izquierdo y derecho son tipos especiales de sumas de Riemann donde los valores de ${x_{i}^{*}}$ se eligen entre los extremos izquierdo o derecho de los subintervalos, respectivamente.
Las sumas de Riemann permiten una gran flexibilidad a la hora de elegir el conjunto de puntos ${x_{i}^{*}}$ en la que se evalúa la función, a menudo con el objetivo de obtener una suma inferior o una suma superior.

5.2 La integral definida

La integral definida puede utilizarse para calcular el área neta señalada, que es el área por encima del eje xmenos el área por debajo del eje x. El área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero.
Los componentes de la integral definida son el integrando, la variable de integración y los límites de integración.
Las funciones continuas en un intervalo cerrado son integrables. Las funciones que no son continuas pueden seguir siendo integrables, dependiendo de la naturaleza de las discontinuidades.
Las propiedades de las integrales definidas pueden utilizarse para evaluar integrales.
El área bajo la curva de muchas funciones puede calcularse mediante fórmulas geométricas.
El valor promedio de una función puede calcularse mediante integrales definidas.

El teorema del valor medio de las integrales afirma que para una función continua en un intervalo cerrado, existe un valor c tal que $f (c)$ es igual al valor medio de la función. Vea el Teorema del valor medio para integrales.
El teorema fundamental del cálculo, parte 1 muestra la relación entre la derivada y la integral. Vea el Teorema fundamental del cálculo, parte 1.
El teorema fundamental del cálculo, parte 2 es una fórmula para evaluar una integral definida en términos de una antiderivada de su integrando. El área total bajo una curva se puede encontrar utilizando esta fórmula. Vea el El teorema fundamental del cálculo, parte 2.

El teorema del cambio neto establece que cuando una cantidad cambia, el valor final es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio. El cambio neto puede ser un número positivo, un número negativo o cero.
El área bajo una función par en un intervalo simétrico se puede calcular duplicando el área sobre el eje x positivo. En una función impar, la integral sobre un intervalo simétrico es igual a cero, porque la mitad del área es negativa.

La sustitución es una técnica que simplifica la integración de funciones que son el resultado de una derivada en cadena. El término "sustitución" se refiere al cambio de variables o a la sustitución de la variable u y du por expresiones adecuadas en el integrando.
Al utilizar la sustitución de una integral definida, es necesario que cambiemos los límites de integración.

Las funciones exponenciales y logarítmicas se presentan en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente las que implican crecimiento y decaimiento.
La sustitución se utiliza a menudo para evaluar integrales que implican funciones exponenciales o logaritmos.

Las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas desarrolladas en Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas conducen directamente a fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas.
Utilice las fórmulas indicadas en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas para que coincidan con el formato correcto y haga las modificaciones necesarias para resolver el problema.
A menudo es necesario hacer sustituciones para poner el integrando en la forma correcta.