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Cálculo volumen 1

5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas

Cálculo volumen 15.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.7.1 Integrar funciones que dan lugar a funciones trigonométricas inversas.

En esta sección nos centramos en las integrales que dan lugar a funciones trigonométricas inversas. Ya hemos trabajado con estas funciones. Recordemos que en Funciones y gráficos las funciones trigonométricas no son biunívocas, a menos que los dominios estén restringidos. Al trabajar con las inversas de funciones trigonométricas, siempre hay que tener en cuenta estas restricciones. También en Derivadas, desarrollamos fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas que se desarrollaron allí generan directamente fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas.

Integrales que dan lugar a funciones senoidales inversas

Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula de la integral inversa de seno.

Regla: fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas

Las siguientes fórmulas de integración generan funciones trigonométricas inversas. Supongamos que a>0a>0:


  1. dua2 u2 =sen−1u|a|+Cdua2 u2 =sen−1u|a|+C
    (5.23)

  2. dua2 +u2 =1atan−1ua+Cdua2 +u2 =1atan−1ua+C
    (5.24)

  3. duuu2 a2 =1|a|sec−1|u|a+Cduuu2 a2 =1|a|sec−1|u|a+C (carbono 14).
    (5.25)

Prueba

Supongamos que y=sen−1xa.y=sen−1xa. Entonces aseny=x.aseny=x. Ahora utilicemos la diferenciación implícita. Obtenemos

ddx(aseny)=ddx(x)acosydydx=1dydx=1acosy.ddx(aseny)=ddx(x)acosydydx=1dydx=1acosy.

Para π2 yπ2 ,cosy0.π2 yπ2 ,cosy0. Así, aplicando la identidad pitagórica sen2 y+cos2 y=1,sen2 y+cos2 y=1, tenemos cosy=1sen2 y.cosy=1sen2 y. Esto da

1acosy=1a1sen2 y=1a2 a2 sen2 y=1a2 x2 .1acosy=1a1sen2 y=1a2 a2 sen2 y=1a2 x2 .

Entonces para axa,axa, y generalizando a u, tenemos

1a2 u2 du=sen−1(ua)+C.1a2 u2 du=sen−1(ua)+C.

Ejemplo 5.49

Evaluación de una integral definida mediante funciones trigonométricas inversas

Evalúe la integral definida 012 dx1x2 .012 dx1x2 .

Punto de control 5.40

Halle la antiderivada de dx116x2 .dx116x2 .

Ejemplo 5.50

Encontrar una antiderivada que implique una función trigonométrica inversa

Evalúe la integral dx49x2 .dx49x2 .

Punto de control 5.41

Halle la integral indefinida utilizando una función trigonométrica inversa y la sustitución de dx9x2 .dx9x2 .

Ejemplo 5.51

Evaluación de una integral definida

Evalúe la integral definida 03/2 du1u2 .03/2 du1u2 .

Integrales que resultan en otras funciones trigonométricas inversas

Hay seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas solo se anotan tres fórmulas de integración porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En vez de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorice –1 y evalúe la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinaremos una fórmula más: la integral que resulta de la función tangente inversa.

Ejemplo 5.52

Encontrar una antiderivada que implique la función tangente inversa

Encontrar una antiderivada de 11+4x2 dx.11+4x2 dx.

Punto de control 5.42

Utilice la sustitución para calcular la antiderivada dx25+4x2 .dx25+4x2 .

Ejemplo 5.53

Aplicación de las fórmulas de integración

Encuentre la antiderivada de 19+x2 dx.19+x2 dx.

Punto de control 5.43

Halle la antiderivada de dx16+x2 .dx16+x2 .

Ejemplo 5.54

Evaluación de una integral definida

Evalúe la integral definida 3/33dx1+x2 .3/33dx1+x2 .

Punto de control 5.44

Evalúe la integral definida 02 dx4+x2 .02 dx4+x2 .

En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral en términos de una función trigonométrica inversa.

391.

0 3 / 2 d x 1 x 2 0 3 / 2 d x 1 x 2

392.

−1 / 2 1 / 2 d x 1 x 2 −1 / 2 1 / 2 d x 1 x 2

393.

3 1 d x 1 + x 2 3 1 d x 1 + x 2

394.

1 / 3 3 d x 1 + x 2 1 / 3 3 d x 1 + x 2

395.

2 3 2 d x | x | x 2 1 2 3 2 d x | x | x 2 1

396.

2 2 d x | x | x 2 1 2 2 d x | x | x 2 1

En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida, utilizando las sustituciones adecuadas.

397.

d x 9 x 2 d x 9 x 2

398.

d x 1 16 x 2 d x 1 16 x 2

399.

d x 9 + x 2 d x 9 + x 2

400.

d x 25 + 16 x 2 d x 25 + 16 x 2

401.

d x | x | x 2 9 d x | x | x 2 9

402.

d x | x | 4 x 2 16 d x | x | 4 x 2 16

403.

Explique la relación cos−1t+C=dt1t2 =sen−1t+C.cos−1t+C=dt1t2 =sen−1t+C. ¿Es cierto, en general, que cos−1t=sen−1t?cos−1t=sen−1t?

404.

Explique la relación sec−1t+C=dt|t|t2 1=csc−1t+C.sec−1t+C=dt|t|t2 1=csc−1t+C. ¿Es cierto, en general, que sec−1t=csc−1t?sec−1t=csc−1t?

405.

Explique qué falla en la siguiente integral: 12 dt1t2 .12 dt1t2 .

406.

Explique qué falla en la siguiente integral: –11dt|t|t2 1.–11dt|t|t2 1.

En los siguientes ejercicios, resuelva la antiderivada ff de f con C=0,C=0, luego use una calculadora para graficar f y la antiderivada en el intervalo dado [a,b].[a,b]. Identifique un valor de C tal que sumando C a la antiderivada se recupere la integral definida F(x)=axf(t)dt.F(x)=axf(t)dt.

407.

[T] 19x2 dx19x2 dx en [−3,3][−3,3]

408.

[T] 99+x2 dx99+x2 dx en [−6,6][−6,6]

409.

[T] cosx4+sen2 xdxcosx4+sen2 xdx en [−6,6][−6,6]

410.

[T] ex1+e2 xdxex1+e2 xdx en [−6,6][−6,6]

En los siguientes ejercicios, calcule la antiderivada utilizando las sustituciones adecuadas.

411.

sen −1 t d t 1 t 2 sen −1 t d t 1 t 2

412.

d t sen −1 t 1 t 2 d t sen −1 t 1 t 2

413.

tan –1 ( 2 t ) 1 + 4 t 2 d t tan –1 ( 2 t ) 1 + 4 t 2 d t

414.

t tan –1 ( t 2 ) 1 + t 4 d t t tan –1 ( t 2 ) 1 + t 4 d t

415.

sec −1 ( t 2 ) | t | t 2 4 d t sec −1 ( t 2 ) | t | t 2 4 d t

416.

t sec −1 ( t 2 ) t 2 t 4 1 d t t sec −1 ( t 2 ) t 2 t 4 1 d t

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la antiderivada ff con la C=0C=0 en el intervalo dado [a,b].[a,b]. Aproxime un valor de C, si es posible, tal que sumando C a la antiderivada se obtenga el mismo valor que la integral definida F(x)=axf(t)dt.F(x)=axf(t)dt.

417.

[T] 1xx2 4dx1xx2 4dx en [2 ,6][2 ,6]

418.

[T] 1(2 x+2 )xdx1(2 x+2 )xdx en [0,6][0,6]

419.

[T] (senx+xcosx)1+x2 sen2 xdx(senx+xcosx)1+x2 sen2 xdx en [−6,6][−6,6]

420.

[T] 2 e−2x1e−4xdx2 e−2x1e−4xdx en [0,2 ][0,2 ]

421.

[T] 1x+xln2 x1x+xln2 x en [0,2 ][0,2 ]

422.

[T] sen−1x1x2 sen−1x1x2 en [−1,1][−1,1]

En los siguientes ejercicios, calcule cada integral utilizando las sustituciones adecuadas.

423.

e t 1 e 2 t d t e t 1 e 2 t d t

424.

e t 1 + e 2 t d t e t 1 + e 2 t d t

425.

d t t 1 ln 2 t d t t 1 ln 2 t

426.

dtt(1+ln2 t)dtt(1+ln2 t) grandes.

427.

cos −1 ( 2 t ) 1 4 t 2 d t cos −1 ( 2 t ) 1 4 t 2 d t

428.

e t cos −1 ( e t ) 1 e 2 t d t e t cos −1 ( e t ) 1 e 2 t d t

En los siguientes ejercicios, calcule cada integral definida.

429.

0 1 / 2 tan ( sen −1 t ) 1 t 2 d t 0 1 / 2 tan ( sen −1 t ) 1 t 2 d t

430.

1 / 4 1 / 2 tan ( cos −1 t ) 1 t 2 d t 1 / 4 1 / 2 tan ( cos −1 t ) 1 t 2 d t

431.

0 1 / 2 sen ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t 0 1 / 2 sen ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t

432.

0 1 / 2 cos ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t 0 1 / 2 cos ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t

433.

Para A>0,A>0, calcule I(A)=AAdt1+t2 I(A)=AAdt1+t2 y evalúe límaI(A),límaI(A), el área bajo el gráfico de 11+t2 11+t2 en [,].[,].

434.

Para 1<B<,1<B<, calcule I(B)=1Bdttt2 1I(B)=1Bdttt2 1 y evalúe límBI(B),límBI(B), el área bajo el gráfico de 1tt2 11tt2 1 en [1,).[1,).

435.

Utilice la sustitución u=2 cotxu=2 cotx y la identidad 1+cot2 x=csc2 x1+cot2 x=csc2 x para evaluar dx1+cos2 x.dx1+cos2 x. (Pista: Multiplique la parte superior e inferior del integrando por csc2 x.).csc2 x.).

436.

[T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de f(x)=2 x2 1f(x)=2 x2 1 y g(x)=(1+4x2 )−3/2 g(x)=(1+4x2 )−3/2 se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales.

437.

47. [T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de f(x)=x2 1f(x)=x2 1 y g(x)=(x2 +1)12 g(x)=(x2 +1)12 se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales.

438.

Utilice el siguiente gráfico para demostrar que 0x1t2 dt=12 x1x2 +12 sen−1x.0x1t2 dt=12 x1x2 +12 sen−1x.


Un diagrama que contiene dos formas, una cuña de un círculo sombreado en azul sobre un triángulo sombreado en marrón. La hipotenusa del triángulo es una de las aristas de los radios de la cuña del círculo y mide 1 unidad. Hay una línea roja punteada que forma un rectángulo de una parte de la cuña y el triángulo, con la hipotenusa de este como diagonal del rectángulo. La curva del círculo está descrita por la ecuación sqrt(1-x^2).
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