Cap. 5Ecuaciones clave - Cálculo volumen 1

Propiedades de la notación sigma	$\sum_{i = 1}^{n} c = n c$ $\sum_{i = 1}^{n} c a_{i} = c \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - b_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} + \sum_{i = m + 1}^{n} a_{i}$
Sumas de potencias de números enteros	$\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + ⋯ + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ $\sum_{i = 0}^{n} i^{3} = 1^{3} + 2^{3} + ⋯ + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$
Aproximación del punto del extremo izquierdo	$A \approx L_{n} = f (x_{0}) Δ x + f (x_{1}) Δ x + ⋯ + f (x_{n - 1}) Δ x = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x$
Aproximación del punto del extremo derecho	$A \approx R_{n} = f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + ⋯ + f (x_{n}) Δ x = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x$

Integral definida	$\int_{a}^{b} f (x) d x = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$
Propiedades de la integral definida	$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ $\int_{b}^{a} f (x) d x = − \int_{a}^{b} f (x) d x$ $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$ $\int_{a}^{b} c f (x) d x = c \int_{a}^{b} f (x)$ para la constante c $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$

Teorema del valor medio para integrales	Si los valores de $f (x)$ es continua en un intervalo $[a, b],$ entonces hay al menos un punto $c \in [a, b]$ de manera que $f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .$
Teorema fundamental del cálculo, parte 1	Si los valores de $f (x)$ es continua en un intervalo $[a, b],$ y la función $F (x)$ se define por $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t,$ entonces $F^{'} (x) = f (x) .$
Teorema fundamental del cálculo, parte 2	Si f es continua en el intervalo $[a, b]$ y $F (x)$ es cualquier antiderivada de $f (x),$ entonces $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .$

Teorema del cambio neto

F (b) = F (a) + \int_{a}^{b} F' (x) d x

\int_{a}^{b} F' (x) d x = F (b) - F (a)

Sustitución con integrales indefinidas	$\int f [g (x)] g^{'} (x) d x = \int f (u) d u = F (u) + C = F (g (x)) + C$
Sustitución con integrales definidas	$\int_{a}^{b} f (g (x)) g' (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u$

Integrales de funciones exponenciales	$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{ln a} + C$
Fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas	$\int x^{−1} d x = ln \| x \| + C$ $\int ln x d x = x ln x - x + C = x (ln x - 1) + C$ $\int {log}_{a} x d x = \frac{x}{ln a} (ln x - 1) + C$

Integrales que producen funciones trigonométricas inversas

\int \frac{d u}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} = {sen}^{−1} (\frac{u}{a}) + C

\int \frac{d u}{a^{2} + u^{2}} = \frac{1}{a} {tan}^{–1} (\frac{u}{a}) + C

\int \frac{d u}{u \sqrt{u^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a} {sec}^{−1} (\frac{u}{a}) + C