Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.3.1 Describir el significado del teorema del valor medio para integrales.
5.3.2 Indicar el significado del teorema fundamental del cálculo, parte 1.
5.3.3 Utilizar el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para evaluar derivadas de integrales.
5.3.4 Indicar el significado del teorema fundamental del cálculo, parte 2.
5.3.5 Utilizar el teorema fundamental del cálculo, parte 2, para evaluar integrales definidas.
5.3.6 Explicar la relación entre diferenciación e integración.

En los dos apartados anteriores vimos la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desafortunadamente, hasta ahora las únicas herramientas de que disponemos para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas geométricas de área y los límites de las sumas de Riemann, y ambas aproximaciones son extremadamente engorrosas. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas.

Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre diferenciación e integración. Esta relación fue descubierta y explorada tanto por Sir Isaac Newton como por Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales de 1600 y principios de 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el teorema fundamental del cálculo, que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su propio nombre indica lo fundamental que es este teorema para todo el desarrollo del cálculo.

Medios

Las aportaciones de Isaac Newtona las matemáticas y la física cambiaron nuestra forma de ver el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, se siguen enseñando como material fundamental en la física actual, y su cálculo ha dado lugar a ámbitos completos dentro de las matemáticas. Para saber más, lea una breve biografía de Newton con videos multimedia.

Sin embargo, antes de llegar a este teorema crucial, vamos a examinar otro teorema importante, el teorema del valor medio para integrales, que es necesario para demostrar el teorema fundamental del cálculo.

Teorema del valor medio para integrales

El teorema del valor medio para integrales afirma que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor medio en algún punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si $f (x)$ es continua, existe un punto c en un intervalo $[a, b]$ tal que el valor de la función en c es igual al valor medio de $f (x)$ en $[a, b] .$ Enunciamos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula del valor medio de una función que presentamos al final del apartado anterior.

Teorema 5.3

Teorema del valor medio para integrales

Si los valores de $f (x)$ es continua en un intervalo $[a, b],$ entonces hay al menos un punto $c \in [a, b]$ tal que

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

(5.15)

Esta fórmula también puede expresarse como

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a) .

Prueba

Dado que $f (x)$ es continua en $[a, b],$ por el teorema del valor extremo (consulte Máximos y mínimos), asume valores mínimos y máximos —m y M, respectivamente— en $[a, b] .$ Entonces, para toda x en $[a, b],$ tenemos $m \leq f (x) \leq M .$ Por lo tanto, por el teorema de comparación (consulte La integral definida), tenemos

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a) .

Al dividir entre $b - a$ nos da

m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M .

Dado que $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ es un número entre m y M, y ya que $f (x)$ es continua y asume los valores m y M en $[a, b],$ por el teorema del valor intermedio (consulte Continuidad), existe un número c en $[a, b]$ tal que

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x,

y la prueba está completa.

□

Ejemplo 5.15

Encontrar el valor medio de una función

Calcule el valor promedio de la función $f (x) = 8 - 2 x$ en el intervalo $[0, 4]$ y halle c de modo que $f (c)$ es igual al valor promedio de la función sobre $[0, 4] .$

Solución

La fórmula indica el valor medio de $f (x)$ está dada por

\frac{1}{4 - 0} \int_{0}^{4} (8 - 2 x) d x .

Podemos ver en la Figura 5.26 que la función representa una línea recta y forma un triángulo rectángulo delimitado por los ejes x y y. El área del triángulo es $A = \frac{1}{2} (base) (altura) .$ Tenemos

A = \frac{1}{2} (4) (8) = 16 .

El valor medio se obtiene multiplicando el área por $1 / (4 - 0) .$ Así, el valor medio de la función es

\frac{1}{4} (16) = 4 .

Establezca el valor medio igual a $f (c)$ y resuelva para c.

\begin{matrix} 8 - 2 c & = & 4 \\ c & = & 2 \end{matrix}

A $c = 2, f (2) = 4 .$

Gráfico de una línea decreciente f(x) = 8 - 2x sobre [-1, 4,5]. La línea y = 4 se dibuja sobre [0,4], que se interseca con la línea en (2,4). Se traza una línea desde (2,4) hasta el eje x y desde (4,4) hasta el eje y. El área bajo y=4 está sombreada.

Figura 5.26 Por el teorema del valor medio, la función continua

f (x)

toma su valor medio en c al menos una vez en un intervalo cerrado.

Punto de control 5.14

Calcule el valor promedio de la función $f (x) = \frac{x}{2}$ en el intervalo $[0, 6]$ y halle c de modo que $f (c)$ es igual al valor promedio de la función sobre $[0, 6] .$

Ejemplo 5.16

Cómo encontrar el punto en el que una función toma su valor medio

Dados $\int_{0}^{3} x^{2} d x = 9,$ halle c de modo que $f (c)$ es igual al valor promedio de $f (x) = x^{2}$ en $[0, 3] .$

Solución

Buscamos el valor de c tal que

f (c) = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} x^{2} d x = \frac{1}{3} (9) = 3 .

Sustitución de $f (c)$ con c², tenemos

\begin{matrix} c^{2} & = & 3 \\ c & = & ± \sqrt{3} . \end{matrix}

Dado que $− \sqrt{3}$ está fuera del intervalo, toma solo el valor positivo. Así, $c = \sqrt{3}$ (Figura 5.27).

Gráfico de la parábola f(x) = x^2 sobre [-2, 3]. El área bajo la curva y sobre el eje x está sombreada, y se marca el punto (sqrt(3), 3).

Figura 5.27 En el intervalo

[0, 3],

la función

f (x) = x^{2}

adquiere su valor medio en

c = \sqrt{3} .

Punto de control 5.15

Dados $\int_{0}^{3} (2 x^{2} - 1) d x = 15,$ halle c de modo que $f (c)$ es igual al valor promedio de $f (x) = 2 x^{2} - 1$ en $[0, 3] .$

Teorema fundamental del cálculo, parte 1: Integrales y antiderivadas

Como se dijo anteriormente, el teorema fundamental del cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre la diferenciación y la integración, y nos da una manera de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema consta de dos partes, la primera de las cuales, el teorema fundamental del cálculo, parte 1, se enuncia aquí. La Parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración.

Teorema 5.4

Teorema fundamental del cálculo, parte 1

Si los valores de $f (x)$ es continua en un intervalo $[a, b],$ y la función $F (x)$ se define por

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t,

(5.16)

entonces $F^{'} (x) = f (x)$ en $[a, b] .$

Antes de profundizar en la prueba, vale la pena mencionar un par de sutilezas. En primer lugar, un comentario sobre la notación. Observe que hemos definido una función, $F (x),$ como la integral definida de otra función, $f (t),$ desde el punto a hasta el punto x. A primera vista es confuso, porque hemos dicho varias veces que una integral definida es un número, y aquí parece que es una función. La clave aquí es darse cuenta que para cualquier valor particular de x, la integral definida es un número. Así que la función $F (x)$ responde con un número (el valor de la integral definida) para cada valor de x.

En segundo lugar, merece la pena comentar algunas de las implicaciones clave de este teorema. Por algo se llama teorema fundamental del cálculo. No solo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que cualquier función integrable tiene una antiderivada. En concreto, garantiza que cualquier función continua tiene una antiderivada.

Prueba

Al aplicar la definición de la derivada, tenemos

\begin{matrix} F^{'} (x) & = \underset{h \to 0}{lím} \frac{F (x + h) - F (x)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{1}{h} [\int_{a}^{x + h} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t] \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{1}{h} [\int_{a}^{x + h} f (t) d t + \int_{x}^{a} f (t) d t] \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t . \end{matrix}

Si observamos atentamente esta última expresión, vemos $\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t$ es solo el valor medio de la función $f (x)$ en el intervalo $[x, x + h] .$ Por lo tanto, por el Teorema del valor medio para integrales, hay algún número c en $[x, x + h]$ tal que

\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (x) d x = f (c) .

Además, como c está entre x y x + h, c se aproxima a x a medida que h se acerca a cero. Además, como $f (x)$ es continua, tenemos $\underset{h \to 0}{lím} f (c) = \underset{c \to x}{lím} f (c) = f (x) .$ Uniendo todas estas piezas, tenemos

\begin{matrix} F^{'} (x) & = \underset{h \to 0}{lím} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (x) d x \\ = \underset{h \to 0}{lím} f (c) \\ = f (x), \end{matrix}

y la prueba está completa.

□

Ejemplo 5.17

Halle una derivada con el teorema fundamental del cálculo

Utilice el Teorema fundamental del cálculo, parte 1 para encontrar la derivada de

g (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{3} + 1} d t .

Solución

Según el teorema fundamental del cálculo, la derivada viene dada por

g^{'} (x) = \frac{1}{x^{3} + 1} .

Punto de control 5.16

Utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1 para encontrar la derivada de $g (r) = \int_{0}^{r} \sqrt{x^{2} + 4} d x .$

Ejemplo 5.18

Uso del teorema fundamental y la regla de la cadena para calcular derivadas

Supongamos que $F (x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} sen t d t .$ Calcule $F^{'} (x) .$

Solución

Suponiendo que $u (x) = \sqrt{x},$ tenemos $F (x) = \int_{1}^{u (x)} sen t d t .$ Así, por el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena,

\begin{matrix} F^{'} (x) & = sen (u (x)) \frac{d u}{d x} \\ = sen (u (x)) . (\frac{1}{2} x^{−1 / 2}) \\ = \frac{sen \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} . \end{matrix}

Punto de control 5.17

Supongamos que $F (x) = \int_{1}^{x^{3}} cos t d t .$ Calcule $F^{'} (x) .$

Ejemplo 5.19

Uso del teorema fundamental del cálculo con los límites de integración de dos variables

Supongamos que $F (x) = \int_{x}^{2 x} t^{3} d t .$ Calcule $F^{'} (x) .$

Solución

Tenemos $F (x) = \int_{x}^{2 x} t^{3} d t .$ Ambos límites de integración son variables, por lo que necesitamos dividir esto en dos integrales. Obtenemos

\begin{matrix} F (x) & = \int_{x}^{2 x} t^{3} d t \\ = \int_{x}^{0} t^{3} d t + \int_{0}^{2 x} t^{3} d t \\ = − \int_{0}^{x} t^{3} d t + \int_{0}^{2 x} t^{3} d t . \end{matrix}

Al diferenciar el primer término, obtenemos

\frac{d}{d x} [− \int_{0}^{x} t^{3} d t] = − x^{3} .

A diferenciar el segundo término, primero suponemos que $u (x) = 2 x .$ Entonces,

\begin{matrix} \frac{d}{d x} [\int_{0}^{2 x} t^{3} d t] & = \frac{d}{d x} [\int_{0}^{u (x)} t^{3} d t] \\ = {(u (x))}^{3} \frac{d u}{d x} \\ = {(2 x)}^{3} . 2 \\ = 16 x^{3} . \end{matrix}

Por lo tanto,

\begin{matrix} F^{'} (x) & = \frac{d}{d x} [− \int_{0}^{x} t^{3} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{0}^{2 x} t^{3} d t] \\ = − x^{3} + 16 x^{3} \\ = 15 x^{3} . \end{matrix}

Punto de control 5.18

Supongamos que $F (x) = \int_{x}^{x^{2}} cos t d t .$ Calcule $F^{'} (x) .$

Teorema fundamental del cálculo, parte 2: El teorema de evaluación

El teorema fundamental del cálculo, parte 2, es quizás el teorema más importante del cálculo. Tras los incansables esfuerzos de los matemáticos durante aproximadamente 500 años, surgieron nuevas técnicas que proporcionaron a los científicos las herramientas necesarias para explicar muchos fenómenos. Gracias al cálculo, los astrónomos al fin pudieron determinar las distancias en el espacio y trazar las órbitas planetarias. Los problemas financieros cotidianos, como el cálculo de los costos marginales o la predicción de los beneficios totales, podían ahora tratarse con sencillez y precisión. Los ingenieros podían calcular la resistencia a la flexión de los materiales o el movimiento tridimensional de los objetos. Nuestra visión del mundo cambió para siempre con el cálculo.

Después de encontrar las áreas aproximadas sumando las áreas de rectángulos n, la aplicación de este teorema es sencilla por comparación. Casi parece demasiado sencillo que el área de toda una región curva pueda calcularse simplemente evaluando una antiderivada en el primer y último punto final de un intervalo.

Teorema 5.5

El teorema fundamental del cálculo, parte 2

Si f es continua en el intervalo $[a, b]$ y $F (x)$ es cualquier antiderivada de $f (x),$ entonces

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

(5.17)

A menudo vemos la notación ${F (x) |}_{a}^{b}$ para denotar la expresión $F (b) - F (a) .$ Utilizamos esta barra vertical y los límites a y b asociados para indicar que debemos evaluar la función $F (x)$ en el límite superior (en este caso, b), y restar el valor de la función $F (x)$ evaluado en el límite inferior (en este caso, a).

El teorema fundamental del cálculo, parte 2 (también conocido como el teorema de evaluación) establece que si podemos encontrar una antiderivada para el integrando, entonces podemos evaluar la integral definida evaluando la antiderivada en los puntos extremos del intervalo y restando.

Prueba

Supongamos que $P = {x_{i}}, i = 0, 1,…, n$ es una partición regular de $[a, b] .$ Entonces, podemos escribir

\begin{matrix} F (b) - F (a) & = F (x_{n}) - F (x_{0}) \\ = [F (x_{n}) - F (x_{n - 1})] + [F (x_{n - 1}) - F (x_{n - 2})] + … + [F (x_{1}) - F (x_{0})] \\ = \sum_{i = 1}^{n} [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] . \end{matrix}

Ahora, sabemos que F es una antiderivada de f en $[a, b],$ así que mediante el teorema del valor medio (consulte el teorema del valor medio) para $i = 0, 1,…, n$ podemos encontrar $c_{i}$ en $[x_{i - 1}, x_{i}]$ tal que

F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) = F^{'} (c_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = f (c_{i}) Δ x .

Entonces, sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos

F (b) - F (a) = \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x .

Tomando el límite de ambos lados cuando $n \to \infty,$ obtenemos

\begin{matrix} F (b) - F (a) & = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x \\ = \int_{a}^{b} f (x) d x . \end{matrix}

□

Ejemplo 5.20

Evaluación de una integral con el teorema fundamental del cálculo

Utilice el El teorema fundamental del cálculo, parte 2 para evaluar

\int_{−2}^{2} (t^{2} - 4) d t .

Solución

Recordemos la regla de la potencia para las antiderivadas:

Si y = x^{n}, \int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C .

Utilice esta regla para encontrar la antiderivada de la función y luego aplique el teorema. Tenemos

\begin{matrix} \int_{−2}^{2} (t^{2} - 4) d t & = \frac{t^{3}}{3} - {4 t |}_{−2}^{2} \\ = [\frac{{(2)}^{3}}{3} - 4 (2)] - [\frac{{(−2)}^{3}}{3} - 4 (−2)] \\ = (\frac{8}{3} - 8) - (- \frac{8}{3} + 8) \\ = \frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 \\ = \frac{16}{3} - 16 \\ = - \frac{32}{3} . \end{matrix}

Análisis

Observe que no incluimos el término "+ C" cuando escribimos la antiderivada. La razón es que, según el teorema fundamental del cálculo, parte 2, cualquier antiderivada funciona. Así que, por comodidad, elegimos la antiderivada con $C = 0 .$ Si hubiéramos elegido otra antiderivada, el término constante se habría anulado. Esto siempre ocurre al evaluar una integral definida.

La región del área que acabamos de calcular se representa en la Figura 5.28. Note que toda la región entre la curva y el eje x está por debajo del eje x. El área es siempre positiva, pero una integral definida puede producir un número negativo (un área neta con signo). Por ejemplo, si se tratara de una función de beneficios, un número negativo indica que la empresa está operando con pérdidas en el intervalo dado.

Gráfico de la parábola f(t) = t^2 - 4 sobre [-4, 4]. El área por encima de la curva y por debajo del eje x sobre [-2, 2] está sombreada.

Figura 5.28 La evaluación de una integral definida puede producir un valor negativo aunque el área sea siempre positiva.

Ejemplo 5.21

Evaluación de una integral definida mediante el teorema fundamental del cálculo, parte 2

Evalúe la siguiente integral utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2:

\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x .

Solución

Primero elimine el radical reescribiendo la integral usando exponentes racionales. Luego, separe los términos del numerador escribiendo cada uno sobre el denominador:

\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{x^{1 / 2}} d x = \int_{1}^{9} (\frac{x}{x^{1 / 2}} - \frac{1}{x^{1 / 2}}) d x .

Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar:

\int_{1}^{9} (\frac{x}{x^{1 / 2}} - \frac{1}{x^{1 / 2}}) d x = \int_{1}^{9} (x^{1 / 2} - x^{−1 / 2}) d x .

Ahora, integre usando la regla de la potencia:

\begin{matrix} \int_{1}^{9} (x^{1 / 2} - x^{- 1 / 2}) d x & = {(\frac{x^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{1 / 2}}{\frac{1}{2}}) |}_{1}^{9} \\ = [\frac{{(9)}^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} - \frac{{(9)}^{1 / 2}}{\frac{1}{2}}] - [\frac{{(1)}^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} - \frac{{(1)}^{1 / 2}}{\frac{1}{2}}] \\ = [\frac{2}{3} (27) - 2 (3)] - [\frac{2}{3} (1) - 2 (1)] \\ = 18 - 6 - \frac{2}{3} + 2 \\ = \frac{40}{3} . \end{matrix}

Vea el Figura 5.29.

Gráfico de la función f(x) = (x–1) / sqrt(x) sobre [0,9]. El área bajo el gráfico en [1,9] está sombreada.

Figura 5.29 El área bajo la curva de

x = 1

a

x = 9

se puede calcular evaluando una integral definida.

Punto de control 5.19

Utilice El teorema fundamental del cálculo, parte 2 (teorema fundamental del cálculo) para evaluar $\int_{1}^{2} x^{−4} d x .$

Ejemplo 5.22

Una carrera de patinaje

James y Kathy están patinando. Lo hacen a lo largo de una pista larga y recta, y quien llegue más lejos después de 5 segundos gana un premio. Si James puede patinar a una velocidad de $f (t) = 5 + 2 t$ ft/s y Kathy puede patinar a una velocidad de $g (t) = 10 + cos (\frac{π}{2} t)$ ft/s, ¿quién va a ganar la carrera?

Solución

Tenemos que integrar ambas funciones en el intervalo $[0, 5]$ y ver qué valor es mayor. Con respecto a James, queremos calcular

\int_{0}^{5} (5 + 2 t) d t .

Utilizando la regla de la potencia, tenemos

\begin{matrix} \int_{0}^{5} (5 + 2 t) d t & = {(5 t + t^{2}) |}_{0}^{5} \\ = (25 + 25) = 50. \end{matrix}

Así, James patinó 50 ft en 5 segundos. Volviendo a Kathy, queremos calcular

\int_{0}^{5} 10 + cos (\frac{π}{2} t) d t .

Sabemos que $sen t$ es una antiderivada de $cos t,$ por lo que es razonable esperar que una antiderivada de $cos (\frac{π}{2} t)$ implicaría $sen (\frac{π}{2} t) .$ Sin embargo, cuando diferenciamos $sen (\frac{π}{2} t),$ obtenemos $\frac{π}{2} cos (\frac{π}{2} t)$ como resultado de la regla de la cadena, por lo que tenemos que tener en cuenta este coeficiente adicional cuando integramos. Obtenemos

\begin{matrix} \int_{0}^{5} 10 + cos (\frac{π}{2} t) d t & = {(10 t + \frac{2}{π} sen (\frac{π}{2} t)) |}_{0}^{5} \\ = (50 + \frac{2}{π}) - (0 - \frac{2}{π} sen 0) \\ \approx 50,6. \end{matrix}

Kathy patinó aproximadamente 50,6 ft en 5 segundos. ¡Kathy gana, pero no por mucho!

Punto de control 5.20

Supongamos que James y Kathy tienen una revancha, pero esta vez el árbitro detiene la contienda a solo 3 segundos. ¿Cambia esto el resultado?

Proyecto de estudiante

Un paracaidista en caída libre

Dos paracaidistas en caída libre en el cielo.

Figura 5.30 Los paracaidistas pueden ajustar la velocidad de su inmersión cambiando la posición de su cuerpo durante la caída libre (créditos: Jeremy T. Lock).

Julie es una paracaidista apasionada. Tiene más de 300 saltos en su haber y ha dominado el arte de cambiar la posición de su cuerpo en el aire para controlar la velocidad de caída. Si arquea la espalda y apunta su vientre hacia el suelo, alcanza una velocidad límite de aproximadamente 120 mph (176 ft/s). Si más bien orienta su cuerpo con la cabeza hacia abajo, cae más rápido, alcanzando una velocidad límite de 150 mph (220 ft/s).

Como Julie se moverá (caerá) en dirección descendente, asumimos que la dirección descendente es positiva para simplificar nuestros cálculos. Julie ejecuta sus saltos desde una altitud de 12.500 ft. Al saltar de la aeronave, inmediatamente comienza a caer a una velocidad dada por $v (t) = 32 t .$ Ella continúa acelerando según esta función de velocidad hasta que alcanza la velocidad límite. Cuando alcanza la velocidad límite, su velocidad se mantiene constante hasta que tira de la cuerda de seguridad y reduce la velocidad para aterrizar.

En su primer salto del día, Julie se orienta en la posición más lenta "panza abajo" (la velocidad límite es de 176 ft/s). Con esta información, responda las siguientes preguntas.

¿Cuánto tiempo después de saltar del avión Julie alcanza la velocidad límite?
Con base en su respuesta a la pregunta 1, establezca una expresión que implique una o más integrales que representen la distancia a la que cae Julie después de 30 segundos.
Si Julie tira de su cuerda de seguridad a una altitud de 3.000 ft, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre?
Julie tira de su cuerda de seguridad a 3.000 ft. El paracaídas tarda 5 segundos en abrirse por completo y en frenar, tiempo durante el cual cae otros 400 ft. Después de que su casquete está completamente abierto, su velocidad se reduce a 16 ft/s. Halle el tiempo total que Julie pasa en el aire, desde que sale del avión hasta que sus pies tocan el suelo.
En el segundo salto del día, Julie decide que quiere caer un poco más rápido y se orienta en la posición "cabeza abajo". Su velocidad límite en esta posición es de 220 ft/s. Responda a estas preguntas con base en esta velocidad:
En este caso ¿cuánto tarda Julie en alcanzar la velocidad límite?
Antes de tirar de la cuerda de seguridad, Julie reorienta su cuerpo en la posición "panza abajo" para no moverse tan rápido cuando se abra el paracaídas. Si comienza esta maniobra a una altitud de 4.000 ft, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre antes de comenzar la reorientación?
Algunos saltadores llevan "trajes de alas" (vea la Figura 5.31). Estos trajes tienen paneles de tela entre los brazos y las piernas y permiten al usuario deslizarse en caída libre, como una ardilla voladora. (De hecho, los trajes se llaman a veces "trajes de ardilla voladora"). Cuando se llevan estos trajes, la velocidad límite puede reducirse a unos 30 mph (44 ft/s), lo que permite a los usuarios un tiempo mucho más largo en el aire. Los pilotos de wingsuit (traje de alas) siguen utilizando paracaídas para aterrizar; aunque las velocidades verticales están dentro del margen de seguridad, las horizontales pueden superar las 70 mph, demasiado rápido para aterrizar con seguridad.

Una persona que cae en wingsuit, el cual sirve para reducir la velocidad vertical de la caída de un paracaidista.

Figura 5.31 Los paneles de tela de los brazos y las piernas de un wingsuit sirven para reducir la velocidad vertical de caída de un paracaidista (créditos: Richard Schneider).

Responda la siguiente pregunta con base en la velocidad con un wingsuit.

Si Julie se pone un wingsuit antes de su tercer salto del día y hala su cuerda de seguridad a una altitud de 3.000 ft, ¿cuánto tiempo puede pasar planeando en el aire?

Sección 5.3 ejercicios

144.

Considere la posibilidad de que dos atletas corran a velocidades variables $v_{1} (t)$ y $v_{2} (t) .$ Los corredores comienzan y terminan una carrera exactamente a la misma hora. Explique por qué los dos corredores deben ir a la misma velocidad en algún momento.

145.

Dos alpinistas comienzan su ascenso en el campamento base y toman dos rutas diferentes, una más empinada que la otra, y llegan a la cima exactamente al mismo tiempo. ¿Es necesariamente cierto que, en algún momento, ambos escaladores aumentaron su altitud al mismo ritmo?

146.

Para entrar en una determinada autopista de peaje, un conductor debe llevar una tarjeta en la que figura el punto de entrada de la milla. La tarjeta también tiene una marca de tiempo. Al dirigirse a la salida y pagar el peaje, el conductor se sorprende al recibir una multa por exceso de velocidad junto con el peaje. Explique cómo pudo ocurrir eso.

147.

Establezca $F (x) = \int_{1}^{x} (1 - t) d t .$ Calcule $F^{'} (2)$ y el valor promedio de $F^{′}$ en $[1, 2] .$

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para encontrar cada derivada.

148.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{x} e^{− t^{2}} d t$

149.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{x} e^{cos t} d t$

150.

$\frac{d}{d x} \int_{3}^{x} \sqrt{9 - y^{2}} d y$

151.

$\frac{d}{d x} \int_{4}^{x} \frac{d s}{\sqrt{16 - s^{2}}}$

152.

$\frac{d}{d x} \int_{x}^{2 x} t d t$

153.

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{\sqrt{x}} t d t$

154.

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{sen x} \sqrt{1 - t^{2}} d t$

155.

$\frac{d}{d x} \int_{cos x}^{1} \sqrt{1 - t^{2}} d t$

156.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{t^{2}}{1 + t^{4}} d t$

157.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{x^{2}} \frac{\sqrt{t}}{1 + t} d t$

158.

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{ln x} e^{t} d t$

159.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{e^{x}} ln u^{2} d u$

160.

El gráfico de $y = \int_{0}^{x} f (t) d t,$ donde f es una función constante a trozos, se muestra aquí.

Una función con segmentos lineales que pasa por los puntos (0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 0), (4, 3), (5, 3) y (6, 2). El área bajo la función y sobre el eje x está sombreada.

¿En qué intervalos f es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero?
¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de f?
¿Cuál es el valor promedio de f?

161.

El gráfico de $y = \int_{0}^{x} f (t) d t,$ donde f es una función constante por partes, se muestra aquí.

Gráfico de una función con segmentos lineales que pasa por los puntos (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2) y (6, 0). El área sobre la función pero bajo el eje x en el intervalo [0, 1,5] y [3,25, 6] está sombreada. El área bajo la función pero sobre el eje x en el intervalo [1,5, 3,25] está sombreada.

¿En qué intervalos f es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero?
¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de f?
¿Cuál es el valor promedio de f?

162.

El gráfico de $y = \int_{0}^{x} ℓ (t) d t,$ donde ℓ es una función lineal a trozos, se muestra aquí.

Gráfico de una función que pasa por los puntos (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 3), (4, 3,5), (5, 4) y (6, 2). El área sobre la función y bajo el eje x en [0, 1,8] está sombreada, y el área bajo la función y sobre el eje x está sombreada.

¿En qué intervalos ℓ es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero?
¿En qué intervalos es ℓ creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalo es constante, si es que lo es?
¿Cuál es el valor promedio de ℓ?

163.

El gráfico de $y = \int_{0}^{x} ℓ (t) d t,$ donde ℓ es una función lineal por partes, se muestra aquí.

Gráfico de una función que pasa por los puntos (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4,5, 0), (5, 1) y (6, 2). El área bajo la función y sobre el eje x en los intervalos [0, 2] y [4,5, 6] está sombreada. El área sobre la función y bajo el eje x en el intervalo [2, 2,5] está sombreada.

¿En qué intervalos ℓ es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero?
¿En qué intervalos es ℓ creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalos, si los hay, es constante?
¿Cuál es el valor promedio de ℓ?

En los siguientes ejercicios utilice una calculadora para estimar el área debajo de la curva calculando T₁₀, el promedio de las sumas de Riemann de los extremos izquierdo y derecho utilizando rectángulos $N = 10$ . Luego, utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2, determine el área exacta.

164.

[T] $y = x^{2}$ en $[0, 4]$

165.

[T] $y = x^{3} + 6 x^{2} + x - 5$ en $[−4, 2]$

166.

[T] $y = \sqrt{x^{3}}$ en $[0, 6]$

167.

[T] $y = \sqrt{x} + x^{2}$ en $[1, 9]$

168.

[T] $\int (cos x - sen x) d x$ en $[0, π]$

169.

[T] $\int \frac{4}{x^{2}} d x$ en $[1, 4]$

En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2.

170.

$\int_{−1}^{2} (x^{2} - 3 x) d x$

171.

$\int_{−2}^{3} (x^{2} + 3 x - 5) d x$

172.

$\int_{−2}^{3} (t + 2) (t - 3) d t$

173.

$\int_{2}^{3} (t^{2} - 9) (4 - t^{2}) d t$

174.

$\int_{1}^{2} x^{9} d x$

175.

$\int_{0}^{1} x^{99} d x$

176.

$\int_{4}^{8} (4 t^{5 / 2} - 3 t^{3 / 2}) d t$

177.

$\int_{1 / 4}^{4} (x^{2} - \frac{1}{x^{2}}) d x$

178.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{3}} d x$

179.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

180.

$\int_{1}^{4} \frac{2 - \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

181.

$\int_{1}^{16} \frac{d t}{t^{1 / 4}}$

182.

$\int_{0}^{2 π} cos θ d θ$

183.

$\int_{0}^{π / 2} sen θ d θ$

184.

$\int_{0}^{π / 4} {sec}^{2} θ d θ$

185.

$\int_{0}^{π / 4} sec θ tan θ d θ$

186.

$\int_{π / 3}^{π / 4} csc θ cot θ d θ$

187.

$\int_{π / 4}^{π / 2} {csc}^{2} θ d θ$

188.

$\int_{1}^{2} (\frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{t^{3}}) d t$

189.

$\int_{−2}^{−1} (\frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{t^{3}}) d t$

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de evaluación para expresar la integral como una función $F (x) .$

190.

$\int_{a}^{x} t^{2} d t$

191.

$\int_{1}^{x} e^{t} d t$

192.

$\int_{0}^{x} cos t d t$

193.

$\int_{− x}^{x} sen t d t$

En los siguientes ejercicios, identifique las raíces del integrando para eliminar los valores absolutos, y luego evalúe utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2.

194.

$\int_{−2}^{3} | x | d x$

195.

$\int_{−2}^{4} | t^{2} - 2 t - 3 | d t$

196.

$\int_{0}^{π} | cos t | d t$

197.

$\int_{− π / 2}^{π / 2} | sen t | d t$

198.

Supongamos que el número de horas de luz en un día determinado en Seattle se modela mediante la función $−3,75 cos (\frac{π t}{6}) + 12,25,$ con t expresado en meses y $t = 0$ correspondiente al solsticio de invierno.

¿Cuál es el número medio de horas de luz al año?
En qué momentos t₁ y t₂, donde $0 \leq t_{1} < t_{2} < 12,$ ¿el número de horas de luz es igual al número promedio?
Escriba una integral que exprese el número total de horas de luz en Seattle entre $t_{1}$ y $t_{2} .$
Calcule la media de horas de luz en Seattle entre $t_{1}$ y $t_{2},$ donde $0 \leq t_{1} < t_{2} < 12,$ y luego entre $t_{2}$ y $t_{1},$ y demuestre que el promedio de las dos es igual a la duración promedio del día.

199.

Supongamos que la tasa de consumo de gasolina a lo largo de un año en Estados Unidos puede modelarse mediante una función sinusoidal de la forma $(11,21 - cos (\frac{π t}{6})) \times 10^{9}$ gal/mo.

¿Cuál es el consumo promedio mensual y para qué valores de t la tasa en el momento t es igual a la tasa promedio?
¿Cuál es el número de galones de gasolina que se consumen en Estados Unidos en un año?
Escriba una integral que exprese el consumo medio mensual de gasolina en Estados Unidos en la parte del año comprendida entre el comienzo de abril $(t = 3)$ y el final de septiembre $(t = 9).$

200.

Explique por qué, si f es continua sobre $[a, b],$ hay al menos un punto $c \in [a, b]$ de manera que $f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t .$

201.

Explique por qué, si f es continua sobre $[a, b]$ y no es igual a una constante, hay al menos un punto $M \in [a, b]$ de manera que $f (M) > \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t$ y al menos un punto $m \in [a, b]$ de manera que $f (m) < \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t .$

202.

La primera ley de Kepler establece que los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en un foco. El punto más cercano de una órbita planetaria al Sol se llama perihelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 3 de enero) y el punto más alejado se denomina afelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 4 de julio). La segunda ley de Kepler establece que los planetas barren áreas iguales de sus órbitas elípticas en tiempos iguales. Así, los dos arcos indicados en la siguiente figura se barren en tiempos iguales. ¿En qué momento del año la Tierra se mueve más rápido en su órbita? ¿Cuándo se mueve más lentamente?

Elipse horizontal con un foco marcado. Dos arcos iguales se marcan directamente a la izquierda del foco y en el otro lado de la elipse. Las cuñas que se forman por el foco y los puntos extremos de ambos arcos están sombreadas en azul.

203.

Un punto de una elipse con eje mayor de longitud 2a y eje menor de longitud 2b tiene las coordenadas $(a cos θ, b sen θ), 0 \leq θ \leq 2 π .$

Demuestre que la distancia de este punto al foco en $(− c, 0)$ ¿es $d (θ) = a + c cos θ,$ donde $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} .$
Utilice estas coordenadas para demostrar que la distancia promedio $\bar{d}$ desde un punto de la elipse hasta el foco en $(− c, 0),$ con respecto al ángulo θ, es a.

204.

Como se dijo antes, según las leyes de Kepler, la órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. El perihelio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de 147.098.290 km y el afelio es de 152.098.232 km.

Colocando el eje mayor a lo largo del eje x, halle la distancia promedio de la Tierra al Sol.
La definición clásica de unidad astronómica (UA) es la distancia de la Tierra al Sol, y su valor se calculó como el promedio de las distancias del perihelio y del afelio. ¿Está justificada esta definición?

205.

La fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y un planeta es $F (θ) = \frac{G m M}{r^{2} (θ)},$ donde m es la masa del planeta, M es la masa del Sol, G es una constante universal y $r (θ)$ es la distancia entre el Sol y el planeta cuando éste se halla en un ángulo θ con el eje mayor de su órbita. Suponiendo que M, m y los parámetros de la elipse a y b (semilongitudes de los ejes mayor y menor) están dados, establezca —pero no evalúe— una integral que exprese en términos de $G, m, M, a, b$ la fuerza gravitatoria promedio entre el Sol y el planeta.

206.

El desplazamiento desde el reposo de una masa unida a un resorte satisface la ecuación de movimiento armónico simple $x (t) = A cos (ω t - ϕ),$ donde $ϕ$ es una constante de fase, ω es la frecuencia angular y A es la amplitud. Halle la velocidad media, la rapidez media (magnitud de la velocidad), el desplazamiento medio y la distancia media desde el reposo (magnitud del desplazamiento) de la masa.

5.3 El teorema fundamental del cálculo

Teorema del valor medio para integrales

Teorema del valor medio para integrales

Prueba

Encontrar el valor medio de una función

Solución

Cómo encontrar el punto en el que una función toma su valor medio

Solución

Teorema fundamental del cálculo, parte 1: Integrales y antiderivadas

Teorema fundamental del cálculo, parte 1

Prueba

Halle una derivada con el teorema fundamental del cálculo

Solución

Uso del teorema fundamental y la regla de la cadena para calcular derivadas

Solución

Uso del teorema fundamental del cálculo con los límites de integración de dos variables

Solución

Teorema fundamental del cálculo, parte 2: El teorema de evaluación

El teorema fundamental del cálculo, parte 2

Prueba

Evaluación de una integral con el teorema fundamental del cálculo

Solución

Análisis

Evaluación de una integral definida mediante el teorema fundamental del cálculo, parte 2

Solución

Una carrera de patinaje

Solución

Un paracaidista en caída libre

Sección 5.3 ejercicios