Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Cálculo volumen 1

5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto

Cálculo volumen 15.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto

Objetivos de aprendizaje

  • 5.4.1 Aplicar las fórmulas básicas de integración.
  • 5.4.2 Explicar el significado del teorema del cambio neto.
  • 5.4.3 Utilizar el teorema del cambio neto para resolver problemas aplicados.
  • 5.4.4 Aplicar las integrales de funciones pares e impares.

En esta sección, utilizaremos algunas fórmulas básicas de integración estudiadas anteriormente para resolver algunos problemas clave aplicados. Es importante señalar que estas fórmulas se presentan en términos de integrales indefinidas. Aunque las integrales definidas e indefinidas están estrechamente relacionadas, hay algunas diferencias clave que hay que tener en cuenta. Una integral definida es un número (cuando los límites de integración son constantes) o una función única (cuando uno o ambos límites de integración son variables). Una integral indefinida representa una familia de funciones, todas las cuales difieren en una constante. A medida que se vaya familiarizando con la integración, sabrá cuándo utilizar las integrales definidas o las indefinidas. Sin pensar demasiado en ello, seleccionará naturalmente el enfoque correcto para un determinado problema Sin embargo, mientras internaliza estos conceptos, piense cuidadosamente si necesita una integral definida o una indefinida y asegúrese de utilizar la notación adecuada según su elección.

Fórmulas básicas de integración

Recordemos las fórmulas de integración dadas en la tabla de antiderivadas y la regla sobre las propiedades de las integrales definidas. Veamos algunos ejemplos de cómo se aplican estas reglas.

Ejemplo 5.23

Integración de una función mediante la regla de la potencia

Utilice la regla de la potencia para integrar la función 14t(1+t)dt.14t(1+t)dt.

Punto de control 5.21

Calcule la integral definida de f(x)=x2 3xf(x)=x2 3x en el intervalo [1,3].[1,3].

El teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto considera la integral de un tasa de cambio. Dice que cuando una cantidad cambia, el nuevo valor es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio de esa cantidad. La fórmula puede expresarse de dos maneras. La segunda nos es familiar; se trata simplemente de la integral definida.

Teorema 5.6

Teorema del cambio neto

El nuevo valor de una cantidad cambiante es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio:

F(b)=F(a)+abF'(x)dxoabF'(x)dx=F(b)F(a).F(b)=F(a)+abF'(x)dxoabF'(x)dx=F(b)F(a).
(5.18)

Restando F(a)F(a) de ambos lados de la primera ecuación da como resultado la segunda ecuación. Puesto que son fórmulas equivalentes, la que utilicemos dependerá de la aplicación.

La importancia del teorema del cambio neto radica en los resultados. El cambio neto puede aplicarse al área, la distancia y el volumen, por nombrar solo algunas aplicaciones. El cambio neto contabiliza automáticamente las cantidades negativas sin tener que escribir más de una integral. Para ilustrarlo, aplicaremos el teorema del cambio neto a una función de velocidad en la que el resultado es el desplazamiento.

Vimos un ejemplo sencillo de esto en La integral definida. Supongamos que un auto va hacia el norte (la dirección positiva) a 40 mph entre las 2 p. m. y las 4 p. m., luego se dirige al sur a 30 mph entre las 4 p. m. y las 5 p. m. Podemos graficar este movimiento como se muestra en la Figura 5.32.

Gráfico con el eje x marcado como t y el eje y marcado normalmente. Las líneas y=40 e y=-30 se dibujan sobre [2,4] y [4,5], respectivamente. Las áreas entre las líneas y el eje x están sombreadas.
Figura 5.32 El gráfico muestra la velocidad en función del tiempo para el movimiento dado de un automóvil.

Al igual que antes, podemos utilizar integrales definidas para calcular el desplazamiento neto y la distancia total recorrida. El desplazamiento neto viene dado por

2 5v(t)dt=2 440dt+45−30dt=8030=50.2 5v(t)dt=2 440dt+45−30dt=8030=50.

Así, a las 5 p. m., el auto está a 50 millas al norte de su posición de partida. La distancia total recorrida viene dada por

2 5|v(t)|dt=2 440dt+4530dt=80+30=110.2 5|v(t)|dt=2 440dt+4530dt=80+30=110.

Por lo tanto, entre las 2 p. m. y las 5 p. m., el auto recorrió un total de 110 millas.

En resumen, el desplazamiento neto puede incluir tanto valores positivos como negativos. En otras palabras, la función de velocidad toma en cuenta tanto la distancia hacia delante como hacia atrás. Para encontrar el desplazamiento neto, integre la función de velocidad en el intervalo. En cambio, la distancia total recorrida es siempre positiva. Para encontrar la distancia total recorrida por un objeto, independientemente de la dirección, tenemos que integrar el valor absoluto de la función de velocidad.

Ejemplo 5.24

Hallar el desplazamiento neto

Dada una función de velocidad v(t)=3t5v(t)=3t5 (en metros por segundo) para una partícula en movimiento desde el tiempo t=0t=0 hasta el tiempo t=3,t=3, halle el desplazamiento neto de la partícula.

Ejemplo 5.25

Hallar la distancia total recorrida

Utilice el Ejemplo 5.24 para encontrar la distancia total recorrida por una partícula según la función de velocidad v(t)=3t5v(t)=3t5 m/s en un intervalo de tiempo [0,3].[0,3].

Punto de control 5.22

Halle el desplazamiento neto y la distancia total recorrida en metros dada la función de velocidad f(t)=12 et2 f(t)=12 et2 en el intervalo [0,2 ].[0,2 ].

Aplicación del teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto puede aplicarse al flujo y al consumo de fluidos, como se muestra en el Ejemplo 5.26.

Ejemplo 5.26

¿Cuántos galones de gasolina se consumen?

Si el motor de una lancha se pone en marcha en t=0t=0 y la lancha consume gasolina a una tasa de 5t35t3 gal/h, ¿qué cantidad de gasolina se consume en las primeras 2 horas?

Ejemplo 5.27

Inicio del capítulo: Botes deslizadores sobre hielo

Una imagen de un bote deslizador sobre hielo en acción
Figura 5.34 (créditos: modificación del trabajo de Carter Brown, Flickr).

Como vimos al principio del capítulo, los mejores corredores de botes de hielo (Figura 5.1) pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Sin embargo, Andrew es un navegador de nivel intermedio, por lo que alcanza velocidades equivalentes a solo el doble de la velocidad del viento. Supongamos que Andrew saca su bote una mañana en la que ha soplado una ligera brisa de 5 mph durante toda la mañana. Sin embargo, mientras prepara su bote de hielo, el viento empieza a arreciar. Durante su primera media hora de navegación sobre hielo, la velocidad del viento aumenta según la función v(t)=20t+5.v(t)=20t+5. En la segunda media hora de la salida de Andrew, el viento se mantiene estable en 15 mph. En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por

v(t)={20t+5para0t12 15para12 t1.v(t)={20t+5para0t12 15para12 t1.

Si recordamos que el bote de Andrew viaja al doble de la velocidad del viento, y suponemos que se mueve en línea recta desde su punto de partida, ¿a qué distancia de su punto de partida se encuentra después de 1 hora?

Punto de control 5.23

Supongamos que, en vez de permanecer estable durante la segunda media hora de la salida de Andrés, el viento empieza a amainar según la función v(t)=−10t+15.v(t)=−10t+15. En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por

v(t)={20t+5para0t12 10t+15para12 t1.v(t)={20t+5para0t12 10t+15para12 t1.

En estas condiciones, ¿a qué distancia de su punto de partida se encuentra Andrés después de 1 hora?

Integración de funciones pares e impares

En Funciones y gráficos vimos que una función par es aquella en la que f(x)=f(x)f(x)=f(x) para toda x en el dominio, es decir, el gráfico de la curva no cambia cuando se sustituye x por −x. Los gráficos de las funciones pares son simétricas con respecto al eje y. Una función impar es aquella en la que f(x)=f(x)f(x)=f(x) para toda x en el dominio, y el gráfico de la función es simétrico respecto al origen.

Las integrales de las funciones pares, cuando los límites de la integración son de −a a a, implican dos áreas iguales, porque son simétricas respecto al eje y. Las integrales de funciones impares, cuando los límites de integración son similares [a,a],[a,a], se evalúa a cero porque las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales.

Regla: integrales de funciones pares e impares

Para funciones continuas pares tales que f(x)=f(x),f(x)=f(x),

aaf(x)dx=2 0af(x)dx.aaf(x)dx=2 0af(x)dx.

Para funciones continuas impares tales que f(x)=f(x),f(x)=f(x),

aaf(x)dx=0.aaf(x)dx=0.

Ejemplo 5.28

Integrar una función par

Integre la función par −22 (3x82 )dx−22 (3x82 )dx y verifique que la fórmula de integración para funciones pares se cumpla.

Ejemplo 5.29

Integrar una función impar

Evalúe la integral definida de la función impar −5senx−5senx en el intervalo [π,π].[π,π].

Punto de control 5.24

Integre la función −22 x4dx.−22 x4dx.

Sección 5.4 ejercicios

Utilice las fórmulas básicas de integración para calcular las siguientes antiderivadas o integrales definidas.

207.

( x 1 x ) d x ( x 1 x ) d x

208.

( e 2 x 1 2 e x / 2 ) d x ( e 2 x 1 2 e x / 2 ) d x

209.

d x 2 x d x 2 x

210.

x 1 x 2 d x x 1 x 2 d x

211.

0 π ( sen x cos x ) d x 0 π ( sen x cos x ) d x

212.

0 π / 2 ( x sen x ) d x 0 π / 2 ( x sen x ) d x

213.

Escriba una integral que exprese el aumento del perímetro P(s)P(s) de un cuadrado cuando su longitud de lado s aumenta de 2 unidades a 4 unidades y evalúe la integral.

214.

Escriba una integral que cuantifique el cambio en el área A(s)=s2 A(s)=s2 de un cuadrado cuando la longitud de sus lados se duplica de S unidades a 2S unidades y evalúe la integral.

215.

Un N-gono regular (un polígono de N lados que tienen igual longitud s, como un pentágono o un hexágono) tiene un perímetro Ns. Escriba una integral que exprese el aumento del perímetro de un N−gono regular cuando la longitud de cada lado aumenta de 1 unidad a 2 unidades y evalúe la integral.

216.

El área de un pentágono regular de lado a>0a>0 es pa2 con p=145+5+2 5.p=145+5+2 5. El Pentágono en Washington, DC, tiene lados interiores de 360 ft y lados exteriores de 920 ft de longitud. Escriba una integral para expresar el área del techo del Pentágono según estas dimensiones y evalúe esa área.

217.

Un dodecaedro es un sólido platónico cuya superficie está formada por 12 pentágonos de igual superficie. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un dodecaedro cuando la longitud de los lados de cada pentágono se duplica de 1 a 2 unidades?

218.

Un icosaedro es un sólido platónico cuya superficie está formada por 20 triángulos equiláteros. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un icosaedro cuando la longitud de los lados de cada triángulo se duplica de la unidad a a 2a unidades?

219.

Escriba una integral que cuantifique el cambio en el área de la superficie de un cubo cuando su longitud lateral se duplica de la unidad s a 2s unidades y evalúe la integral.

220.

Escriba una integral que cuantifique el aumento del volumen de un cubo cuando la longitud del lado se duplica de la unidad s a unidades 2s y evalúe la integral.

221.

Escriba una integral que cuantifique el aumento del área superficial de una esfera cuando su radio se duplica de la unidad R a unidades 2R y evalúe la integral.

222.

Escriba una integral que cuantifique el aumento del volumen de una esfera cuando su radio se duplica de la unidad R a unidades 2R y evalúe la integral.

223.

Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad v(t)=42 t,v(t)=42 t, donde 0t2 0t2 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t=2 .t=2 .

224.

Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad definida por v(t)=t2 3t18,v(t)=t2 3t18, donde 0t60t6 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t=6.t=6.

225.

Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad definida por v(t)=|2 t6|,v(t)=|2 t6|, donde 0t60t6 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t=6.t=6.

226.

Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración definida por a(t)=t3,a(t)=t3, donde 0t60t6 (en metros por segundo). Halle la velocidad y el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t=6t=6 si v(0)=3v(0)=3 y d(0)=0.d(0)=0.

227.

Se lanza un balón hacia arriba desde una altura de 1,5 m con una rapidez inicial de 40 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de –9,8 m/s2. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, resuelva la velocidad v(t)v(t) y la altura h(t)h(t) del balón t segundos después de ser lanzado y antes de que vuelva al suelo.

228.

Se lanza un balón hacia arriba desde una altura de 3 m con una rapidez inicial de 60 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de -9,8 m/seg2. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, resuelva la velocidad v(t)v(t) y la altura h(t)h(t) del balón t segundos después de ser lanzado y antes de que vuelva al suelo.

229.

La zona A(t)A(t) de forma circular crece a un ritmo constante. Si el área aumenta de 4π unidades a 9π unidades entre tiempos t=2 t=2 y t=3,t=3, calcule el cambio neto en el radio durante ese tiempo.

230.

Un globo esférico se infla a un ritmo constante. Si el volumen del globo cambia de 36π in3 a 288π in3 entre el tiempo t=30t=30 y t=60t=60 segundos, halle el cambio neto en el radio del globo durante ese tiempo.

231.

El agua fluye en un tanque cónico con un área transversal πx2 a una altura x y un volumen πx33πx33 hasta la altura x. Si el agua entra en el depósito a una velocidad de 1m3/min, halle la altura del agua en el depósito después de 5 min. Halle el cambio de altura entre 5 min y 10 min.

232.

Un depósito cilíndrico horizontal tiene una sección transversal A(x)=4(6xx2 )m2 A(x)=4(6xx2 )m2 a una altura de x metros sobre el fondo cuando x3.x3.

  1. El volumen V entre las alturas a y b es abA(x)dx.abA(x)dx. Halle el volumen en las alturas comprendidas entre 2 m y 3 m.
  2. Supongamos que se está bombeando aceite al tanque a una velocidad de 50 L/min. Utilizando la regla de la cadena, dxdt=dxdVdVdt,dxdt=dxdVdVdt, ¿a cuántos metros por minuto cambia la altura del aceite en el depósito, expresada en términos de x, cuando la altura está a x metros?
  3. ¿Cuánto tiempo se tarda en llenar el depósito hasta 3 m partiendo de un nivel de llenado de 2 m?
233.

La siguiente tabla muestra la potencia eléctrica en gigavatios (la tasa de consumo de energía) que se utiliza en una ciudad en diferentes horas del día, en un periodo típico de 24 horas, donde la hora 1 va desde la medianoche hasta la 1 a. m.

Hora Potencia Hora Potencia
1 28 13 48
2 25 14 49
3 24 15 49
4 23 16 50
5 24 17 50
6 27 18 50
7 29 19 46
8 32 20 43
9 34 21 42
10 39 22 40
11 42 23 37
12 46 24 34

Halle la cantidad total de energía en gigavatios-hora (gW-h) que la ciudad consume en un periodo típico de 24 horas.

234.

El uso promedio de energía eléctrica residencial (en cientos de vatios) por hora se indica en la siguiente tabla.

Hora Potencia Hora Potencia
1 8 13 12
2 6 14 13
3 5 15 14
4 4 16 15
5 5 17 17
6 6 18 19
7 7 19 18
8 8 20 17
9 9 21 16
10 10 22 16
11 10 23 13
12 11 24 11
  1. Calcule la energía total promedio utilizada en un día en kilovatios-hora (kWh).
  2. Si una tonelada de carbón genera 1842 kWh, ¿cuánto tiempo tarda una residencia común en quemar una tonelada de carbón?
  3. Explique por qué los datos pueden encajar en un gráfico de la forma p(t)=11,57,5sen(πt12).p(t)=11,57,5sen(πt12).
235.

Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia media producida por Peter Sagan en cada uno de los últimos 18 segundos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012.

Segundo Vatios Segundo Vatios
1 600 10 1200
2 500 11 1170
3 575 12 1125
4 1050 13 1.100
5 925 14 1075
6 950 15 1.000
7 1050 16 950
8 950 17 900
9 1.100 18 780
Tabla 5.6 Potencia promedio de salida Fuente: sportsexercisengineering.com

Calcule la energía neta utilizada en kilojulios (kJ), teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s, y la potencia media producida por Sagan durante este intervalo de tiempo.

236.

Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia media producida por Peter Sagan en cada intervalo de 15 minutos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012.

Minutos Vatios Minutos Vatios
15 200 165 170
30 180 180 220
45 190 195 140
60 230 210 225
75 240 225 170
90 210 240 210
105 210 255 200
120 220 270 220
135 210 285 250
150 150 300 400
Tabla 5.7 Potencia promedio de salida Fuente: sportsexercisengineering.com

Calcule la energía neta utilizada en kilojulios, teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s.

237.

En la siguiente tabla se muestran los ingresos en Estados Unidos a partir de 2012 en incrementos de 5.000 dólares. La fila k−ésima indica el porcentaje de hogares con ingresos entre $5.000xk$5.000xk y 5.000xk+4.999.5.000xk+4.999. La fila k=40k=40 contiene todos los hogares con ingresos entre 200.000 y 250.000 dólares.

0 3,5 21 1,5
1 4,1 22 1,4
2 5,9 23 1.3
3 5,7 24 1.3
4 5,9 25 1,1
5 5,4 26 1,0
6 5,5 27 0,75
7 5,1 28 0,8
8 4,8 29 1,0
9 4,1 30 0,6
10 4,3 31 0,6
11 3,5 32 0,5
12 3,7 33 0,5
13 3,2 34 0,4
14 3,0 35 0,3
15 2,8 36 0,3
16 2,5 37 0,3
17 2,2 38 0,2
18 2,2 39 1,8
19 1,8 40 2,3
20 2,1
Tabla 5.8 Distribución de los ingresos Fuente: http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf
  1. Estime el porcentaje de hogares estadounidenses en 2012 con ingresos inferiores a 55.000 dólares.
  2. ¿Qué porcentaje de hogares tiene ingresos superiores a 85.000 dólares?
  3. Grafique los datos e intente ajustar su forma a la de un gráfico de la forma a(x+c)eb(x+e)a(x+c)eb(x+e) para que corresponda a a,b,c.a,b,c.
238.

La ley de la gravedad de Newton establece que la fuerza gravitatoria ejercida por un objeto de masa M y otro de masa m con centros separados por una distancia r es F=GmMr2 ,F=GmMr2 , con G como constante empírica G=6,67x10–11m3/(kg.s2 ).G=6,67x10–11m3/(kg.s2 ). El trabajo realizado por una fuerza variable en un intervalo [a,b][a,b] se define como W=abF(x)dx.W=abF(x)dx. Si la Tierra tiene masa de 5,97219×10245,97219×1024 y radio de 6371 km, calcule la cantidad de trabajo para elevar un satélite meteorológico polar de masa 1.400 kg hasta su altitud de órbita de 850 km sobre la Tierra.

239.

En un vehículo de cierto tipo de motor, la desaceleración máxima alcanzable por el frenado es de aproximadamente 7 m/s2 en hormigón seco. En el asfalto húmedo, es de aproximadamente 2,5 m/s2. Dado que 1 mph corresponde a 0,447 m/s, halle la distancia total que recorre un auto en metros sobre hormigón seco después de aplicar los frenos hasta que se detiene por completo si la velocidad inicial es de 67 mph (30 m/s) o si la velocidad inicial de frenado es de 56 mph (25 m/s). Halle las distancias correspondientes si la superficie es asfalto húmedo y resbaladizo.

240.

John tiene 25 años y pesa 160 lb. Quema 50050t50050t calorías/h mientras monta en bicicleta durante t horas. Si una galleta de avena tiene 55 cal y Juan se come 4t galletas durante la t−ésima hora, ¿cuántas calorías netas pierde después de 3 horas montando en bicicleta?

241.

Sandra tiene 25 años y pesa 120 libras. Quema 30050t30050t cal/h mientras se ejercita en su máquina caminadora. Su consumo de calorías al beber Gatorade es de 100t calorías durante la t−ésima hora. ¿Cuál es su disminución neta de calorías después de caminar por 3 horas?

242.

Un automóvil tiene una eficiencia máxima de 33 mpg a una velocidad de crucero de 40 mph. La eficiencia cae a un ritmo de 0,1 mpg/mph entre 40 mph y 50 mph, y a una tasa de 0,4 mpg/mph entre 50 mph y 80 mph. ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el auto va a una velocidad de crucero de 50 mph? ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el auto va a 80 mph? Si la gasolina cuesta 3,50 $/gal, ¿cuál es el costo del combustible para recorrer 50 millas a 40 mph, a 50 mph y a 80 mph?

243.

Aunque algunos motores son más eficientes con una potencia determinada en caballos de fuerza que otros, en promedio, la eficiencia del combustible disminuye con la potencia a una tasa de 1/251/25 mpg/caballo de fuerza Si un motor típico de 50 caballos de fuerza tiene un rendimiento medio de combustible de 32 mpg, ¿cuál es el rendimiento medio de combustible de un motor con los siguientes caballos de fuerza? ¿150, 300, 450?

244.

[T] La siguiente tabla muestra el calendario de 2013 del impuesto federal sobre la renta en función de la renta imponible.

Rango de la renta imponible El impuesto es... ... Por la cantidad superior a
$0-$8.925 10 % $0
$8.925-$36.250 $892,50 + 15 % $8.925
$36.250-$87.850 $4.991,25 + 25 % $36.250
$87.850-$183.250 $17.891,25 + 28 % $87.850
$183.250-$398.350 $44.603,25 + 33 % $183.250
$398.350-$400.000 $115.586,25 + 35 % $398.350
> $400.000 $116.163,75 + 39,6 % $400.000
Tabla 5.9 Impuesto federal sobre la renta en función de la renta imponible Fuente: http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf.

Supongamos que Steve acaba de recibir un aumento de 10.000 dólares. ¿Cuánto queda de este aumento después de los impuestos federales si el salario de Steve antes de recibir el aumento era de 40.000 dólares? ¿Si era de 90.000 dólares? ¿Si era de 385.000 dólares?

245.

[T] La siguiente tabla proporciona datos hipotéticos sobre el nivel de servicio de cierta autopista.

Rango de velocidad en autopista (mph) Vehículos por hora por carril Rango de densidad (vehículos/mi)
> 60 < 600 < 10
60–57 600–1.000 10–20
57–54 1.000–1.500 20–30
54–46 1.500–1.900 30–45
46–30 1.9002.100 45–70
< 30 Es inestable 70–200
Tabla 5.10
  1. Represente los vehículos por hora por carril en el eje x y la velocidad de la autopista en el eje y.
  2. Calcule la disminución promedio en la velocidad (en millas por hora) por unidad de aumento en la congestión (vehículos por hora por carril) a medida que esta última aumenta de 600 a 1.000, de 1.000 a 1.500 y de 1.500 a 2.100. ¿La disminución de las millas por hora depende linealmente del aumento de los vehículos por hora por carril?
  3. Grafique los minutos por milla (60 veces el recíproco de las millas por hora) en función de los vehículos por hora por carril. ¿Esta función es lineal?

En los dos ejercicios siguientes utilice los datos de la siguiente tabla, que muestra las poblaciones de águila calva desde 1963 hasta 2000 en el territorio continental de Estados Unidos.

Año Población de parejas reproductoras de águilas calvas
1963 487
1974 791
1981 1188
1986 1875
1992 3749
1996 5094
2000 6471
Tabla 5.11 Población de parejas reproductoras de águilas calvas Fuente: http://www.fws.gov/Midwest/eagle/population/chtofprs.html.
246.

[T] El siguiente gráfico traza la curva cuadrática p(t)=6,48t2 80,31t+585,69p(t)=6,48t2 80,31t+585,69 contra los datos de la tabla anterior, normalizados de manera que t=0t=0 corresponde a 1963. Estime el número medio de águilas calvas por año presentes durante los 37 años calculando el valor promedio de p sobre [0,37].[0,37].

Gráfico de los datos y una función cuadrática que se aproxima a ellos.
247.

[T] El siguiente gráfico representa la curva cúbica p(t)=0,07t3+2,42t2 25,63t+521,23p(t)=0,07t3+2,42t2 25,63t+521,23 con los datos de la tabla anterior, normalizados de forma que t=0t=0 corresponde a 1963. Estime el número medio de águilas calvas por año presentes durante los 37 años calculando el valor promedio de p sobre [0,37].[0,37].

Gráfico de los datos y una función cúbica que se aproxima a ellos.
248.

[T] Suponga que hace un viaje por carretera y registra tu velocidad cada media hora, como se recoge en la siguiente tabla. El mejor ajuste cuadrático a los datos es q(t)=5x2 11x+49,q(t)=5x2 11x+49, que se muestra en el gráfico adjunto. Integre q para estimar la distancia total recorrida en 3 horas.

Tiempo (h) Velocidad (mph)
0 (inicio) 50
1 40
2 50
3 60
Gráfico de los datos y una curva que pretende aproximarse a ellos.

Cuando un auto acelera, no lo hace a un ritmo constante, sino que la aceleración es variable. En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente tabla, que muestra la aceleración medida en cada segundo mientras un conductor se incorpora a una autopista.

Tiempo (s) Aceleración (mph/s)
1 11,2
2 10,6
3 8,1
4 5,4
5 0
249.

[T] El gráfico adjunto muestra el mejor ajuste cuadrático, a(t)=−0,70t2 +1,44t+10,44,a(t)=−0,70t2 +1,44t+10,44, a los datos de la tabla anterior. Calcule el valor promedio de a(t)a(t) para estimar la aceleración media entre t=0t=0 y t=5.t=5.

Gráfico de los datos y una curva que se aproxima a estos.
250.

[T] Usando su ecuación de aceleración del ejercicio anterior, halle la ecuación de velocidad correspondiente. Suponiendo que la velocidad final es de 0 mph, halle la velocidad en el tiempo t=0.t=0.

251.

[T] Utilizando su ecuación de velocidad del ejercicio anterior, halle la ecuación de distancia correspondiente, asumiendo que su distancia inicial es 0 mi. ¿Qué distancia recorrió mientras aceleraba su auto? (Pista: Tendrá que convertir las unidades de tiempo).

252.

[T] El número de hamburguesas que se venden en un restaurante a lo largo del día se muestra en la siguiente tabla, con un gráfico adjunto que representa el mejor ajuste cúbico a los datos, b(t)=0,12t32,13t3+12,13t+3,91,b(t)=0,12t32,13t3+12,13t+3,91, con la t=0t=0 correspondiente a las 9 a. m. y t=12t=12 correspondiente a las 9 p. m. Calcule el valor medio de b(t)b(t) para estimar el número promedio de hamburguesas vendidas por hora.

Horas después de la medianoche Número de hamburguesas vendidas
9 3
12 28
15 20
18 30
21 45
Mapa de los datos y una curva que pretende aproximarse a estos.
253.

[T] Una atleta corre junto a un detector de movimiento que registra su velocidad, como se muestra en la siguiente tabla. El mejor ajuste lineal a estos datos, (t)=−0,068t+5,14,(t)=−0,068t+5,14, se muestra en el gráfico adjunto. Utilice el valor medio de (t)(t) entre t=0t=0 y t=40t=40 para estimar la velocidad media de la corredora

Minutos Velocidad (m/s)
0 5
10 4,8
20 3,6
30 3,0
40 2,5
Gráfico de los datos y una línea para aproximarlos.
Cita/Atribución

Este libro no puede ser utilizado en la formación de grandes modelos de lenguaje ni incorporado de otra manera en grandes modelos de lenguaje u ofertas de IA generativa sin el permiso de OpenStax.

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 mar. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.