Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.4.1 Aplicar las fórmulas básicas de integración.
5.4.2 Explicar el significado del teorema del cambio neto.
5.4.3 Utilizar el teorema del cambio neto para resolver problemas aplicados.
5.4.4 Aplicar las integrales de funciones pares e impares.

En esta sección, utilizaremos algunas fórmulas básicas de integración estudiadas anteriormente para resolver algunos problemas clave aplicados. Es importante señalar que estas fórmulas se presentan en términos de integrales indefinidas. Aunque las integrales definidas e indefinidas están estrechamente relacionadas, hay algunas diferencias clave que hay que tener en cuenta. Una integral definida es un número (cuando los límites de integración son constantes) o una función única (cuando uno o ambos límites de integración son variables). Una integral indefinida representa una familia de funciones, todas las cuales difieren en una constante. A medida que se vaya familiarizando con la integración, sabrá cuándo utilizar las integrales definidas o las indefinidas. Sin pensar demasiado en ello, seleccionará naturalmente el enfoque correcto para un determinado problema Sin embargo, mientras internaliza estos conceptos, piense cuidadosamente si necesita una integral definida o una indefinida y asegúrese de utilizar la notación adecuada según su elección.

Fórmulas básicas de integración

Recordemos las fórmulas de integración dadas en la tabla de antiderivadas y la regla sobre las propiedades de las integrales definidas. Veamos algunos ejemplos de cómo se aplican estas reglas.

Ejemplo 5.23

Integración de una función mediante la regla de la potencia

Utilice la regla de la potencia para integrar la función $\int_{1}^{4} \sqrt{t} (1 + t) d t .$

Solución

El primer paso es reescribir la función y simplificarla para aplicar la regla de la potencia:

\begin{matrix} \int_{1}^{4} \sqrt{t} (1 + t) d t & = \int_{1}^{4} t^{1 / 2} (1 + t) d t \\ = \int_{1}^{4} (t^{1 / 2} + t^{3 / 2}) d t . \end{matrix}

Ahora aplique la regla de la potencia:

\begin{matrix} \int_{1}^{4} (t^{1 / 2} + t^{3 / 2}) d t & = {(\frac{2}{3} t^{3 / 2} + \frac{2}{5} t^{5 / 2}) |}_{1}^{4} \\ = [\frac{2}{3} {(4)}^{3 / 2} + \frac{2}{5} {(4)}^{5 / 2}] - [\frac{2}{3} {(1)}^{3 / 2} + \frac{2}{5} {(1)}^{5 / 2}] \\ = \frac{256}{15} . \end{matrix}

Punto de control 5.21

Calcule la integral definida de $f (x) = x^{2} - 3 x$ en el intervalo $[1, 3] .$

El teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto considera la integral de un tasa de cambio. Dice que cuando una cantidad cambia, el nuevo valor es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio de esa cantidad. La fórmula puede expresarse de dos maneras. La segunda nos es familiar; se trata simplemente de la integral definida.

Teorema 5.6

Teorema del cambio neto

El nuevo valor de una cantidad cambiante es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio:

\begin{matrix} F (b) = F (a) + \int_{a}^{b} F' (x) d x \\ o \\ \int_{a}^{b} F' (x) d x = F (b) - F (a) . \end{matrix}

(5.18)

Restando $F (a)$ de ambos lados de la primera ecuación da como resultado la segunda ecuación. Puesto que son fórmulas equivalentes, la que utilicemos dependerá de la aplicación.

La importancia del teorema del cambio neto radica en los resultados. El cambio neto puede aplicarse al área, la distancia y el volumen, por nombrar solo algunas aplicaciones. El cambio neto contabiliza automáticamente las cantidades negativas sin tener que escribir más de una integral. Para ilustrarlo, aplicaremos el teorema del cambio neto a una función de velocidad en la que el resultado es el desplazamiento.

Vimos un ejemplo sencillo de esto en La integral definida. Supongamos que un auto va hacia el norte (la dirección positiva) a 40 mph entre las 2 p. m. y las 4 p. m., luego se dirige al sur a 30 mph entre las 4 p. m. y las 5 p. m. Podemos graficar este movimiento como se muestra en la Figura 5.32.

Gráfico con el eje x marcado como t y el eje y marcado normalmente. Las líneas y=40 e y=-30 se dibujan sobre [2,4] y [4,5], respectivamente. Las áreas entre las líneas y el eje x están sombreadas.

Figura 5.32 El gráfico muestra la velocidad en función del tiempo para el movimiento dado de un automóvil.

Al igual que antes, podemos utilizar integrales definidas para calcular el desplazamiento neto y la distancia total recorrida. El desplazamiento neto viene dado por

\begin{matrix} \int_{2}^{5} v (t) d t & = \int_{2}^{4} 4 0 d t + \int_{4}^{5} −30 d t \\ = 80 - 30 \\ = 50 . \end{matrix}

Así, a las 5 p. m., el auto está a 50 millas al norte de su posición de partida. La distancia total recorrida viene dada por

\begin{matrix} \int_{2}^{5} | v (t) | d t & = \int_{2}^{4} 4 0 d t + \int_{4}^{5} 30 d t \\ = 80 + 30 \\ = 110 . \end{matrix}

Por lo tanto, entre las 2 p. m. y las 5 p. m., el auto recorrió un total de 110 millas.

En resumen, el desplazamiento neto puede incluir tanto valores positivos como negativos. En otras palabras, la función de velocidad toma en cuenta tanto la distancia hacia delante como hacia atrás. Para encontrar el desplazamiento neto, integre la función de velocidad en el intervalo. En cambio, la distancia total recorrida es siempre positiva. Para encontrar la distancia total recorrida por un objeto, independientemente de la dirección, tenemos que integrar el valor absoluto de la función de velocidad.

Ejemplo 5.24

Hallar el desplazamiento neto

Dada una función de velocidad $v (t) = 3 t - 5$ (en metros por segundo) para una partícula en movimiento desde el tiempo $t = 0$ hasta el tiempo $t = 3,$ halle el desplazamiento neto de la partícula.

Solución

Si aplicamos el teorema del cambio neto, tenemos

\begin{array}{l} \int_{0}^{3} (3 t - 5) d t & = \frac{3 t^{2}}{2} - 5 t |_{0}^{3} \\ = [\frac{3 {(3)}^{2}}{2} - 5 (3)] - 0 \\ = \frac{27}{2} - 15 \\ = \frac{27}{2} - \frac{30}{2} \\ = - \frac{3}{2} . \end{array}

El desplazamiento neto es $- \frac{3}{2}$ m (Figura 5.33).

Gráfico de la línea v(t) = 3t - 5, que pasa por los puntos (0, –5) y (5/3, 0). El área sobre la línea y bajo el eje x en el intervalo [0, 5/3] está sombreada. El área bajo la línea y sobre el eje x en el intervalo [5/3, 3] está sombreada.

Figura 5.33 El gráfico muestra la velocidad en función del tiempo de una partícula que se mueve con una función de velocidad lineal.

Ejemplo 5.25

Hallar la distancia total recorrida

Utilice el Ejemplo 5.24 para encontrar la distancia total recorrida por una partícula según la función de velocidad $v (t) = 3 t - 5$ m/s en un intervalo de tiempo $[0, 3] .$

Solución

La distancia total recorrida incluye tanto los valores positivos como los negativos. Por eso debemos integrar el valor absoluto de la función de velocidad para encontrar la distancia total recorrida.

Para continuar con el ejemplo, utilice dos integrales para encontrar la distancia total. En primer lugar, halle la intersección tde la función, ya que allí se produce la división del intervalo. Establezca la ecuación igual a cero y resuelva para t. Por lo tanto,

\begin{matrix} 3 t - 5 & = & 0 \\ 3 t & = & 5 \\ t & = & \frac{5}{3} . \end{matrix}

Los dos subintervalos son $[0, \frac{5}{3}]$ y $[\frac{5}{3}, 3] .$ Para encontrar la distancia total recorrida, integre el valor absoluto de la función. Como la función es negativa en el intervalo $[0, \frac{5}{3}],$ tenemos $| v (t) | = − v (t)$ en ese intervalo. En $[\frac{5}{3}, 3],$ la función es positiva, por lo que $| v (t) | = v (t) .$ Por lo tanto, tenemos

\begin{matrix} \int_{0}^{3} | v (t) | d t & = \int_{0}^{5 / 3} − v (t) d t + \int_{5 / 3}^{3} v (t) d t \\ = \int_{0}^{5 / 3} 5 - 3 t d t + \int_{5 / 3}^{3} 3 t - 5 d t \\ = {(5 t - \frac{3 t^{2}}{2}) |}_{0}^{5 / 3} + {(\frac{3 t^{2}}{2} - 5 t) |}_{5 / 3}^{3} \\ = [5 (\frac{5}{3}) - \frac{3 {(5 / 3)}^{2}}{2}] - 0 + [\frac{27}{2} - 15] - [\frac{3 {(5 / 3)}^{2}}{2} - \frac{25}{3}] \\ = \frac{25}{3} - \frac{25}{6} + \frac{27}{2} - 15 - \frac{25}{6} + \frac{25}{3} \\ = \frac{41}{6} . \end{matrix}

Por lo tanto, la distancia total recorrida es $\frac{41}{6}$ m.

Punto de control 5.22

Halle el desplazamiento neto y la distancia total recorrida en metros dada la función de velocidad $f (t) = \frac{1}{2} e^{t} - 2$ en el intervalo $[0, 2] .$

Aplicación del teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto puede aplicarse al flujo y al consumo de fluidos, como se muestra en el Ejemplo 5.26.

Ejemplo 5.26

¿Cuántos galones de gasolina se consumen?

Si el motor de una lancha se pone en marcha en $t = 0$ y la lancha consume gasolina a una tasa de $5 - t^{3}$ gal/h, ¿qué cantidad de gasolina se consume en las primeras 2 horas?

Solución

Exprese el problema como una integral definida, integre y evalúe utilizando el teorema fundamental del cálculo. Los límites de la integración son los puntos extremos del intervalo $[0, 2] .$ Tenemos

\int_{0}^{2} (5 - t^{3}) d t = (5 t - \frac{t^{4}}{4}) {|^{2}}_{0} = [5 (2) - \frac{{(2)}^{4}}{4}] - 0 = 10 - \frac{16}{4} = 6

Por lo tanto, la lancha consume 6 galones de gasolina en 2 horas.

Ejemplo 5.27

Inicio del capítulo: Botes deslizadores sobre hielo

Una imagen de un bote deslizador sobre hielo en acción

Figura 5.34 (créditos: modificación del trabajo de Carter Brown, Flickr).

Como vimos al principio del capítulo, los mejores corredores de botes de hielo (Figura 5.1) pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Sin embargo, Andrew es un navegador de nivel intermedio, por lo que alcanza velocidades equivalentes a solo el doble de la velocidad del viento. Supongamos que Andrew saca su bote una mañana en la que ha soplado una ligera brisa de 5 mph durante toda la mañana. Sin embargo, mientras prepara su bote de hielo, el viento empieza a arreciar. Durante su primera media hora de navegación sobre hielo, la velocidad del viento aumenta según la función $v (t) = 20 t + 5 .$ En la segunda media hora de la salida de Andrew, el viento se mantiene estable en 15 mph. En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por

v (t) = {\begin{cases} 20 t + 5 & para & 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ 15 & para & \frac{1}{2} \leq t \leq 1 . \end{cases}

Si recordamos que el bote de Andrew viaja al doble de la velocidad del viento, y suponemos que se mueve en línea recta desde su punto de partida, ¿a qué distancia de su punto de partida se encuentra después de 1 hora?

Solución

Para saber qué distancia ha recorrido Andrew, tenemos que integrar su velocidad, que es el doble de la velocidad del viento. Entonces

Distancia $= \int_{0}^{1} 2 v (t) d t .$

Sustituyendo las expresiones proporcionadas para $v (t),$ obtenemos

\begin{matrix} \int_{0}^{1} 2 v (t) d t & = \int_{0}^{1 / 2} 2 v (t) d t + \int_{1 / 2}^{1} 2 v (t) d t \\ = \int_{0}^{1 / 2} 2 (20 t + 5) d t + \int_{1 / 3}^{1} 2 (15) d t \\ = \int_{0}^{1 / 2} (40 t + 10) d t + \int_{1 / 2}^{1} 30 d t \\ = [20 t^{2} + 10 t] |_{0}^{1 / 2} + [30 t] |_{1 / 2}^{1} \\ = (\frac{20}{4} + 5) - 0 + (30 - 15) \\ = 25. \end{matrix}

Pasada 1 hora, Andrew está a 25 millas de su punto de partida.

Punto de control 5.23

Supongamos que, en vez de permanecer estable durante la segunda media hora de la salida de Andrés, el viento empieza a amainar según la función $v (t) = −10 t + 15 .$ En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por

v (t) = {\begin{cases} 20 t + 5 & para & 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ - 10 t + 15 & para & \frac{1}{2} \leq t \leq 1 . \end{cases}

En estas condiciones, ¿a qué distancia de su punto de partida se encuentra Andrés después de 1 hora?

Integración de funciones pares e impares

En Funciones y gráficos vimos que una función par es aquella en la que $f (− x) = f (x)$ para toda x en el dominio, es decir, el gráfico de la curva no cambia cuando se sustituye x por −x. Los gráficos de las funciones pares son simétricas con respecto al eje y. Una función impar es aquella en la que $f (− x) = − f (x)$ para toda x en el dominio, y el gráfico de la función es simétrico respecto al origen.

Las integrales de las funciones pares, cuando los límites de la integración son de −a a a, implican dos áreas iguales, porque son simétricas respecto al eje y. Las integrales de funciones impares, cuando los límites de integración son similares $[− a, a],$ se evalúa a cero porque las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales.

Regla: integrales de funciones pares e impares

Para funciones continuas pares tales que $f (− x) = f (x),$

\int_{− a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x .

Para funciones continuas impares tales que $f (− x) = − f (x),$

\int_{− a}^{a} f (x) d x = 0 .

Ejemplo 5.28

Integrar una función par

Integre la función par $\int_{−2}^{2} (3 x^{8} - 2) d x$ y verifique que la fórmula de integración para funciones pares se cumpla.

Solución

La simetría aparece en los gráficos en la Figura 5.35. El gráfico (a) muestra la región por debajo de la curva y por encima del eje x. Hay que ampliar mucho este gráfico para ver la región. El gráfico (b) muestra la región por encima de la curva y por debajo del eje x. El área con signo de esta región es negativa. Ambas vistas ilustran la simetría en torno al eje y de una función par. Tenemos

\begin{array}{l} \int_{−2}^{2} (3 x^{8} - 2) d x & = (\frac{x^{9}}{3} - 2 x) |_{−2}^{2} \\ = [\frac{{(2)}^{9}}{3} - 2 (2)] - [\frac{{(−2)}^{9}}{3} - 2 (−2)] \\ = (\frac{512}{3} - 4) - (- \frac{512}{3} + 4) \\ = \frac{1.000}{3} . \end{array}

Para verificar la fórmula de integración de las funciones pares, podemos calcular la integral de 0 a 2 y duplicarla, y luego comprobar que obtenemos la misma respuesta.

\begin{array}{l} \int_{0}^{2} (3 x^{8} - 2) d x & = (\frac{x^{9}}{3} - 2 x) |_{0}^{2} \\ = \frac{512}{3} - 4 \\ = \frac{500}{3} \end{array}

Dado que $2 . \frac{500}{3} = \frac{1.000}{3},$ hemos comprobado la fórmula de las funciones pares en este ejemplo concreto.

Dos gráficos contiguos de la misma función f(x) = 3x^8 – 2. Es simétrica respecto al eje y, tiene intersecciones en x en (–1, 0) y (1, 0), y tiene una intersección y en (0, –2). La función disminuye rápidamente a medida que aumenta x hasta aproximadamente –0,5, donde se nivela en –2. Luego, en torno a 0,5, aumenta rápidamente como una imagen de espejo. El primer gráfico está ampliado y muestra el área positiva entre la curva y el eje x sobre [–2, –1] y [1, 2]. El segundo está ampliado y muestra el área negativa entre la curva y el eje x sobre [–1,1].

Figura 5.35 El gráfico (a) muestra el área positiva entre la curva y el eje x, mientras que el gráfico (b) muestra el área negativa entre la curva y el eje x. Ambas vistas muestran la simetría en torno al eje y.

Ejemplo 5.29

Integrar una función impar

Evalúe la integral definida de la función impar $−5 sen x$ en el intervalo $[− π, π] .$

Solución

El gráfico se muestra en la Figura 5.36. Podemos ver la simetría respecto al origen por el área positiva sobre el eje x en $[− π, 0],$ y el área negativa por debajo del eje x en $[0, π] .$ Tenemos

\begin{array}{l} \int_{− π}^{π} −5 sen x d x & = −5 (− cos x) |_{− π}^{π} \\ = 5 cos x |_{− π}^{π} \\ = [5 cos π] - [5 cos (− π)] \\ = −5 - (−5) \\ = 0 . \end{array}

Un gráfico de la función dada f(x) = -5 sen(x). El área por debajo de la función pero por encima del eje x está sombreada en [-pi, 0], y el área por encima de la función y por debajo del eje x está sombreada en [0, pi].

Figura 5.36 El gráfico muestra las áreas entre una curva y el eje x para una función impar.

Punto de control 5.24

Integre la función $\int_{−2}^{2} x^{4} d x .$

Sección 5.4 ejercicios

Utilice las fórmulas básicas de integración para calcular las siguientes antiderivadas o integrales definidas.

207.

$\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) d x$

208.

$\int (e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{x / 2}) d x$

209.

$\int \frac{d x}{2 x}$

210.

$\int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

211.

$\int_{0}^{π} (sen x - cos x) d x$

212.

$\int_{0}^{π / 2} (x - sen x) d x$

213.

Escriba una integral que exprese el aumento del perímetro $P (s)$ de un cuadrado cuando su longitud de lado s aumenta de 2 unidades a 4 unidades y evalúe la integral.

214.

Escriba una integral que cuantifique el cambio en el área $A (s) = s^{2}$ de un cuadrado cuando la longitud de sus lados se duplica de S unidades a 2S unidades y evalúe la integral.

215.

Un N-gono regular (un polígono de N lados que tienen igual longitud s, como un pentágono o un hexágono) tiene un perímetro Ns. Escriba una integral que exprese el aumento del perímetro de un N−gono regular cuando la longitud de cada lado aumenta de 1 unidad a 2 unidades y evalúe la integral.

216.

El área de un pentágono regular de lado $a > 0$ es pa² con $p = \frac{1}{4} \sqrt{5 + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}} .$ El Pentágono en Washington, DC, tiene lados interiores de 360 ft y lados exteriores de 920 ft de longitud. Escriba una integral para expresar el área del techo del Pentágono según estas dimensiones y evalúe esa área.

217.

Un dodecaedro es un sólido platónico cuya superficie está formada por 12 pentágonos de igual superficie. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un dodecaedro cuando la longitud de los lados de cada pentágono se duplica de 1 a 2 unidades?

218.

Un icosaedro es un sólido platónico cuya superficie está formada por 20 triángulos equiláteros. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un icosaedro cuando la longitud de los lados de cada triángulo se duplica de la unidad a a 2a unidades?

219.

Escriba una integral que cuantifique el cambio en el área de la superficie de un cubo cuando su longitud lateral se duplica de la unidad s a 2s unidades y evalúe la integral.

220.

Escriba una integral que cuantifique el aumento del volumen de un cubo cuando la longitud del lado se duplica de la unidad s a unidades 2s y evalúe la integral.

221.

Escriba una integral que cuantifique el aumento del área superficial de una esfera cuando su radio se duplica de la unidad R a unidades 2R y evalúe la integral.

222.

Escriba una integral que cuantifique el aumento del volumen de una esfera cuando su radio se duplica de la unidad R a unidades 2R y evalúe la integral.

223.

Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad $v (t) = 4 - 2 t,$ donde $0 \leq t \leq 2$ (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta $t = 2 .$

224.

Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad definida por $v (t) = t^{2} - 3 t - 18,$ donde $0 \leq t \leq 6$ (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta $t = 6 .$

225.

Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad definida por $v (t) = | 2 t - 6 |,$ donde $0 \leq t \leq 6$ (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta $t = 6 .$

226.

Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración definida por $a (t) = t - 3,$ donde $0 \leq t \leq 6$ (en metros por segundo). Halle la velocidad y el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta $t = 6$ si $v (0) = 3$ y $d (0) = 0 .$

227.

Se lanza un balón hacia arriba desde una altura de 1,5 m con una rapidez inicial de 40 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de –9,8 m/s². Sin tener en cuenta la resistencia del aire, resuelva la velocidad $v (t)$ y la altura $h (t)$ del balón t segundos después de ser lanzado y antes de que vuelva al suelo.

228.

Se lanza un balón hacia arriba desde una altura de 3 m con una rapidez inicial de 60 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de -9,8 m/seg². Sin tener en cuenta la resistencia del aire, resuelva la velocidad $v (t)$ y la altura $h (t)$ del balón t segundos después de ser lanzado y antes de que vuelva al suelo.

229.

La zona $A (t)$ de forma circular crece a un ritmo constante. Si el área aumenta de 4π unidades a 9π unidades entre tiempos $t = 2$ y $t = 3,$ calcule el cambio neto en el radio durante ese tiempo.

230.

Un globo esférico se infla a un ritmo constante. Si el volumen del globo cambia de 36π in³ a 288π in³ entre el tiempo $t = 30$ y $t = 60$ segundos, halle el cambio neto en el radio del globo durante ese tiempo.

231.

El agua fluye en un tanque cónico con un área transversal πx² a una altura x y un volumen $\frac{π x^{3}}{3}$ hasta la altura x. Si el agua entra en el depósito a una velocidad de 1m³/min, halle la altura del agua en el depósito después de 5 min. Halle el cambio de altura entre 5 min y 10 min.

232.

Un depósito cilíndrico horizontal tiene una sección transversal $A (x) = 4 (6 x - x^{2}) m^{2}$ a una altura de x metros sobre el fondo cuando $x \leq 3 .$

El volumen V entre las alturas a y b es $\int_{a}^{b} A (x) d x .$ Halle el volumen en las alturas comprendidas entre 2 m y 3 m.
Supongamos que se está bombeando aceite al tanque a una velocidad de 50 L/min. Utilizando la regla de la cadena, $\frac{d x}{d t} = \frac{d x}{d V} \frac{d V}{d t},$ ¿a cuántos metros por minuto cambia la altura del aceite en el depósito, expresada en términos de x, cuando la altura está a x metros?
¿Cuánto tiempo se tarda en llenar el depósito hasta 3 m partiendo de un nivel de llenado de 2 m?

233.

La siguiente tabla muestra la potencia eléctrica en gigavatios (la tasa de consumo de energía) que se utiliza en una ciudad en diferentes horas del día, en un periodo típico de 24 horas, donde la hora 1 va desde la medianoche hasta la 1 a. m.

Hora	Potencia	Hora	Potencia
1	28	13	48
2	25	14	49
3	24	15	49
4	23	16	50
5	24	17	50
6	27	18	50
7	29	19	46
8	32	20	43
9	34	21	42
10	39	22	40
11	42	23	37
12	46	24	34

Halle la cantidad total de energía en gigavatios-hora (gW-h) que la ciudad consume en un periodo típico de 24 horas.

234.

El uso promedio de energía eléctrica residencial (en cientos de vatios) por hora se indica en la siguiente tabla.

Hora	Potencia	Hora	Potencia
1	8	13	12
2	6	14	13
3	5	15	14
4	4	16	15
5	5	17	17
6	6	18	19
7	7	19	18
8	8	20	17
9	9	21	16
10	10	22	16
11	10	23	13
12	11	24	11

Calcule la energía total promedio utilizada en un día en kilovatios-hora (kWh).
Si una tonelada de carbón genera 1842 kWh, ¿cuánto tiempo tarda una residencia común en quemar una tonelada de carbón?
Explique por qué los datos pueden encajar en un gráfico de la forma $p (t) = 11,5 - 7,5 sen (\frac{π t}{12}) .$

235.

Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia media producida por Peter Sagan en cada uno de los últimos 18 segundos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012.

Segundo	Vatios	Segundo	Vatios
1	600	10	1200
2	500	11	1170
3	575	12	1125
4	1050	13	1.100
5	925	14	1075
6	950	15	1.000
7	1050	16	950
8	950	17	900
9	1.100	18	780

Tabla 5.6 Potencia promedio de salida Fuente: sportsexercisengineering.com

Calcule la energía neta utilizada en kilojulios (kJ), teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s, y la potencia media producida por Sagan durante este intervalo de tiempo.

236.

Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia media producida por Peter Sagan en cada intervalo de 15 minutos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012.

Minutos	Vatios	Minutos	Vatios
15	200	165	170
30	180	180	220
45	190	195	140
60	230	210	225
75	240	225	170
90	210	240	210
105	210	255	200
120	220	270	220
135	210	285	250
150	150	300	400

Tabla 5.7 Potencia promedio de salida Fuente: sportsexercisengineering.com

Calcule la energía neta utilizada en kilojulios, teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s.

237.

En la siguiente tabla se muestran los ingresos en Estados Unidos a partir de 2012 en incrementos de 5.000 dólares. La fila k−ésima indica el porcentaje de hogares con ingresos entre $$5.000 x k$ y $5.000 x k + 4.999 .$ La fila $k = 40$ contiene todos los hogares con ingresos entre 200.000 y 250.000 dólares.

0	3,5	21	1,5
1	4,1	22	1,4
2	5,9	23	1.3
3	5,7	24	1.3
4	5,9	25	1,1
5	5,4	26	1,0
6	5,5	27	0,75
7	5,1	28	0,8
8	4,8	29	1,0
9	4,1	30	0,6
10	4,3	31	0,6
11	3,5	32	0,5
12	3,7	33	0,5
13	3,2	34	0,4
14	3,0	35	0,3
15	2,8	36	0,3
16	2,5	37	0,3
17	2,2	38	0,2
18	2,2	39	1,8
19	1,8	40	2,3
20	2,1

Tabla 5.8 Distribución de los ingresos Fuente: http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf

Estime el porcentaje de hogares estadounidenses en 2012 con ingresos inferiores a 55.000 dólares.
¿Qué porcentaje de hogares tiene ingresos superiores a 85.000 dólares?
Grafique los datos e intente ajustar su forma a la de un gráfico de la forma $a (x + c) e^{− b (x + e)}$ para que corresponda a $a, b, c .$

238.

La ley de la gravedad de Newton establece que la fuerza gravitatoria ejercida por un objeto de masa M y otro de masa m con centros separados por una distancia r es $F = G \frac{m M}{r^{2}},$ con G como constante empírica $G = 6,67 x 10^{–11} m^{3} / (k g . s^{2}) .$ El trabajo realizado por una fuerza variable en un intervalo $[a, b]$ se define como $W = \int_{a}^{b} F (x) d x .$ Si la Tierra tiene masa de $5,97219 \times 10^{24}$ y radio de 6371 km, calcule la cantidad de trabajo para elevar un satélite meteorológico polar de masa 1.400 kg hasta su altitud de órbita de 850 km sobre la Tierra.

239.

En un vehículo de cierto tipo de motor, la desaceleración máxima alcanzable por el frenado es de aproximadamente 7 m/s² en hormigón seco. En el asfalto húmedo, es de aproximadamente 2,5 m/s². Dado que 1 mph corresponde a 0,447 m/s, halle la distancia total que recorre un auto en metros sobre hormigón seco después de aplicar los frenos hasta que se detiene por completo si la velocidad inicial es de 67 mph (30 m/s) o si la velocidad inicial de frenado es de 56 mph (25 m/s). Halle las distancias correspondientes si la superficie es asfalto húmedo y resbaladizo.

240.

John tiene 25 años y pesa 160 lb. Quema $500 - 50 t$ calorías/h mientras monta en bicicleta durante t horas. Si una galleta de avena tiene 55 cal y Juan se come 4t galletas durante la t−ésima hora, ¿cuántas calorías netas pierde después de 3 horas montando en bicicleta?

241.

Sandra tiene 25 años y pesa 120 libras. Quema $300 - 50 t$ cal/h mientras se ejercita en su máquina caminadora. Su consumo de calorías al beber Gatorade es de 100t calorías durante la t−ésima hora. ¿Cuál es su disminución neta de calorías después de caminar por 3 horas?

242.

Un automóvil tiene una eficiencia máxima de 33 mpg a una velocidad de crucero de 40 mph. La eficiencia cae a un ritmo de 0,1 mpg/mph entre 40 mph y 50 mph, y a una tasa de 0,4 mpg/mph entre 50 mph y 80 mph. ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el auto va a una velocidad de crucero de 50 mph? ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el auto va a 80 mph? Si la gasolina cuesta 3,50 $/gal, ¿cuál es el costo del combustible para recorrer 50 millas a 40 mph, a 50 mph y a 80 mph?

243.

Aunque algunos motores son más eficientes con una potencia determinada en caballos de fuerza que otros, en promedio, la eficiencia del combustible disminuye con la potencia a una tasa de $1 / 25$ mpg/caballo de fuerza Si un motor típico de 50 caballos de fuerza tiene un rendimiento medio de combustible de 32 mpg, ¿cuál es el rendimiento medio de combustible de un motor con los siguientes caballos de fuerza? ¿150, 300, 450?

244.

[T] La siguiente tabla muestra el calendario de 2013 del impuesto federal sobre la renta en función de la renta imponible.

Rango de la renta imponible	El impuesto es...	... Por la cantidad superior a
$0-$8.925	10 %	$0
$8.925-$36.250	$892,50 + 15 %	$8.925
$36.250-$87.850	$4.991,25 + 25 %	$36.250
$87.850-$183.250	$17.891,25 + 28 %	$87.850
$183.250-$398.350	$44.603,25 + 33 %	$183.250
$398.350-$400.000	$115.586,25 + 35 %	$398.350
> $400.000	$116.163,75 + 39,6 %	$400.000

Tabla 5.9 Impuesto federal sobre la renta en función de la renta imponible Fuente: http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf.

Supongamos que Steve acaba de recibir un aumento de 10.000 dólares. ¿Cuánto queda de este aumento después de los impuestos federales si el salario de Steve antes de recibir el aumento era de 40.000 dólares? ¿Si era de 90.000 dólares? ¿Si era de 385.000 dólares?

245.

[T] La siguiente tabla proporciona datos hipotéticos sobre el nivel de servicio de cierta autopista.

Rango de velocidad en autopista (mph)	Vehículos por hora por carril	Rango de densidad (vehículos/mi)
> 60	< 600	< 10
60–57	600–1.000	10–20
57–54	1.000–1.500	20–30
54–46	1.500–1.900	30–45
46–30	1.900–2.100	45–70
< 30	Es inestable	70–200

Tabla 5.10

Represente los vehículos por hora por carril en el eje x y la velocidad de la autopista en el eje y.
Calcule la disminución promedio en la velocidad (en millas por hora) por unidad de aumento en la congestión (vehículos por hora por carril) a medida que esta última aumenta de 600 a 1.000, de 1.000 a 1.500 y de 1.500 a 2.100. ¿La disminución de las millas por hora depende linealmente del aumento de los vehículos por hora por carril?
Grafique los minutos por milla (60 veces el recíproco de las millas por hora) en función de los vehículos por hora por carril. ¿Esta función es lineal?

En los dos ejercicios siguientes utilice los datos de la siguiente tabla, que muestra las poblaciones de águila calva desde 1963 hasta 2000 en el territorio continental de Estados Unidos.

Año	Población de parejas reproductoras de águilas calvas
1963	487
1974	791
1981	1188
1986	1875
1992	3749
1996	5094
2000	6471

Tabla 5.11 Población de parejas reproductoras de águilas calvas Fuente: http://www.fws.gov/Midwest/eagle/population/chtofprs.html.

246.

[T] El siguiente gráfico traza la curva cuadrática $p (t) = 6,48 t^{2} - 80,3 1 t + 585,69$ contra los datos de la tabla anterior, normalizados de manera que $t = 0$ corresponde a 1963. Estime el número medio de águilas calvas por año presentes durante los 37 años calculando el valor promedio de p sobre $[0, 37] .$

Gráfico de los datos y una función cuadrática que se aproxima a ellos.

247.

[T] El siguiente gráfico representa la curva cúbica $p (t) = 0,07 t^{3} + 2,42 t^{2} - 25,63 t + 521,23$ con los datos de la tabla anterior, normalizados de forma que $t = 0$ corresponde a 1963. Estime el número medio de águilas calvas por año presentes durante los 37 años calculando el valor promedio de p sobre $[0, 37] .$

Gráfico de los datos y una función cúbica que se aproxima a ellos.

248.

[T] Suponga que hace un viaje por carretera y registra tu velocidad cada media hora, como se recoge en la siguiente tabla. El mejor ajuste cuadrático a los datos es $q (t) = 5 x^{2} - 11 x + 49,$ que se muestra en el gráfico adjunto. Integre q para estimar la distancia total recorrida en 3 horas.

Tiempo (h)	Velocidad (mph)
0 (inicio)	50
1	40
2	50
3	60

Gráfico de los datos y una curva que pretende aproximarse a ellos.

Cuando un auto acelera, no lo hace a un ritmo constante, sino que la aceleración es variable. En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente tabla, que muestra la aceleración medida en cada segundo mientras un conductor se incorpora a una autopista.

Tiempo (s)	Aceleración (mph/s)
1	11,2
2	10,6
3	8,1
4	5,4
5	0

249.

[T] El gráfico adjunto muestra el mejor ajuste cuadrático, $a (t) = −0,70 t^{2} + 1,44 t + 10,44,$ a los datos de la tabla anterior. Calcule el valor promedio de $a (t)$ para estimar la aceleración media entre $t = 0$ y $t = 5 .$

Gráfico de los datos y una curva que se aproxima a estos.

250.

[T] Usando su ecuación de aceleración del ejercicio anterior, halle la ecuación de velocidad correspondiente. Suponiendo que la velocidad final es de 0 mph, halle la velocidad en el tiempo $t = 0 .$

251.

[T] Utilizando su ecuación de velocidad del ejercicio anterior, halle la ecuación de distancia correspondiente, asumiendo que su distancia inicial es 0 mi. ¿Qué distancia recorrió mientras aceleraba su auto? (Pista: Tendrá que convertir las unidades de tiempo).

252.

[T] El número de hamburguesas que se venden en un restaurante a lo largo del día se muestra en la siguiente tabla, con un gráfico adjunto que representa el mejor ajuste cúbico a los datos, $b (t) = 0,12 t^{3} - 2,13 t^{3} + 12,13 t + 3,91,$ con la $t = 0$ correspondiente a las 9 a. m. y $t = 12$ correspondiente a las 9 p. m. Calcule el valor medio de $b (t)$ para estimar el número promedio de hamburguesas vendidas por hora.

Horas después de la medianoche	Número de hamburguesas vendidas
9	3
12	28
15	20
18	30
21	45

Mapa de los datos y una curva que pretende aproximarse a estos.

253.

[T] Una atleta corre junto a un detector de movimiento que registra su velocidad, como se muestra en la siguiente tabla. El mejor ajuste lineal a estos datos, $ℓ (t) = −0,068 t + 5,14,$ se muestra en el gráfico adjunto. Utilice el valor medio de $ℓ (t)$ entre $t = 0$ y $t = 40$ para estimar la velocidad media de la corredora

Minutos	Velocidad (m/s)
0	5
10	4,8
20	3,6
30	3,0
40	2,5

Gráfico de los datos y una línea para aproximarlos.

Hora	Potencia	Hora	Potencia
1	28	13	48
2	25	14	49
3	24	15	49
4	23	16	50
5	24	17	50
6	27	18	50
7	29	19	46
8	32	20	43
9	34	21	42
10	39	22	40
11	42	23	37
12	46	24	34

Hora	Potencia	Hora	Potencia
1	8	13	12
2	6	14	13
3	5	15	14
4	4	16	15
5	5	17	17
6	6	18	19
7	7	19	18
8	8	20	17
9	9	21	16
10	10	22	16
11	10	23	13
12	11	24	11

Minutos	Vatios	Minutos	Vatios
15	200	165	170
30	180	180	220
45	190	195	140
60	230	210	225
75	240	225	170
90	210	240	210
105	210	255	200
120	220	270	220
135	210	285	250
150	150	300	400

Hora	Potencia	Hora	Potencia
1	28	13	48
2	25	14	49
3	24	15	49
4	23	16	50
5	24	17	50
6	27	18	50
7	29	19	46
8	32	20	43
9	34	21	42
10	39	22	40
11	42	23	37
12	46	24	34

Hora	Potencia	Hora	Potencia
1	8	13	12
2	6	14	13
3	5	15	14
4	4	16	15
5	5	17	17
6	6	18	19
7	7	19	18
8	8	20	17
9	9	21	16
10	10	22	16
11	10	23	13
12	11	24	11

Minutos	Vatios	Minutos	Vatios
15	200	165	170
30	180	180	220
45	190	195	140
60	230	210	225
75	240	225	170
90	210	240	210
105	210	255	200
120	220	270	220
135	210	285	250
150	150	300	400

5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto

Fórmulas básicas de integración

Integración de una función mediante la regla de la potencia

Solución

El teorema del cambio neto

Teorema del cambio neto

Hallar el desplazamiento neto

Solución

Hallar la distancia total recorrida

Solución

Aplicación del teorema del cambio neto

¿Cuántos galones de gasolina se consumen?

Solución

Inicio del capítulo: Botes deslizadores sobre hielo

Solución

Integración de funciones pares e impares

Integrar una función par

Solución

Integrar una función impar

Solución

Sección 5.4 ejercicios

Hora	Potencia	Hora	Potencia
1	28	13	48
2	25	14	49
3	24	15	49
4	23	16	50
5	24	17	50
6	27	18	50
7	29	19	46
8	32	20	43
9	34	21	42
10	39	22	40
11	42	23	37
12	46	24	34

Hora	Potencia	Hora	Potencia
1	8	13	12
2	6	14	13
3	5	15	14
4	4	16	15
5	5	17	17
6	6	18	19
7	7	19	18
8	8	20	17
9	9	21	16
10	10	22	16
11	10	23	13
12	11	24	11

Minutos	Vatios	Minutos	Vatios
15	200	165	170
30	180	180	220
45	190	195	140
60	230	210	225
75	240	225	170
90	210	240	210
105	210	255	200
120	220	270	220
135	210	285	250
150	150	300	400