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Cálculo volumen 1

5.2 La integral definida

Cálculo volumen 15.2 La integral definida

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.2.1 Enunciar la definición de la integral definida.
  • 5.2.2 Explicar los términos integrando, límites de integración y variable de integración.
  • 5.2.3 Explicar cuándo una función es integrable.
  • 5.2.4 Describir la relación entre la integral definida y el área neta.
  • 5.2.5 Utilizar la geometría y las propiedades de las integrales definidas para evaluarlas.
  • 5.2.6 Calcular el valor promedio de una función.

En el apartado anterior definimos el área bajo una curva en términos de las sumas de Riemann:

A=límni=1nf(xi*)Δx.A=límni=1nf(xi*)Δx.

Sin embargo, esta definición tenía restricciones. Necesitábamos que f(x)f(x) fuera continua y no negativa. Desafortunadamente, los problemas del mundo real no siempre se ajustan a estas restricciones. En esta sección, veremos cómo aplicar el concepto de área bajo la curva a un conjunto más amplio de funciones mediante el uso de la integral definida.

Definición y notación

La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que f(x)f(x) sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue.

Definición

Si f(x)f(x) es una función definida en un intervalo [a,b],[a,b], la integral definida de f de a a b viene dada por

abf(x)dx=límni=1nf(xi*)Δx,abf(x)dx=límni=1nf(xi*)Δx,
(5.8)

siempre que exista el límite. Si este límite existe, la función f(x)f(x) se dice que es integrable en [a,b],[a,b], o que es una función integrable.

El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultar familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo Aplicaciones de las derivadas, donde utilizamos el símbolo de integral indefinida (sin la a y la b arriba y abajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para las integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida.

La notación integral se remonta a finales del siglo XVII y es una de las aportaciones de Gottfried Wilhelm Leibniz, a quien se suele considerar el codescubridor del cálculo, junto con Isaac Newton. El símbolo de integración ∫ es una S alargada, que indica sigma o suma. En una integral definida, por encima y por debajo del símbolo de la suma están los límites del intervalo, [a,b].[a,b]. Los números a y b son valores de x y se denominan límites de integración; específicamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. Para precisar, estamos utilizando la palabra límite de dos maneras diferentes en el contexto de la integral definida. En primer lugar, hablamos del límite de una suma dado que n.n. En segundo lugar, los límites de la región se denominan límites de integración.

Llamamos a la función f(x)f(x) el integrando, y la dx indica que f(x)f(x) es una función con respecto a x, que se denomina variable de integración. Tenga en cuenta que, al igual que el índice en una suma, la variable de integración es una variable ficticia, y no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de la integral. Podemos utilizar cualquier variable que queramos como variable de integración:

abf(x)dx=abf(t)dt=abf(u)duabf(x)dx=abf(t)dt=abf(u)du

Anteriormente, discutimos el hecho de que si f(x)f(x) es continua en [a,b],[a,b], entonces el límite límni=1nf(xi*)Δxlímni=1nf(xi*)Δx existe y es único. Esto nos conduce al siguiente teorema, que enunciamos sin pruebas.

Teorema 5.1

Las funciones continuas son integrables

Si los valores de f(x)f(x) es continua en [a,b],[a,b], entonces f es integrable en [a,b].[a,b].

Funciones que no son continuas en [a,b][a,b] puede seguir siendo integrable, lo que depende de la naturaleza de las discontinuidades. Por ejemplo, las funciones con un número finito de discontinuidades de salto en un intervalo cerrado son integrables.

También cabe destacar aquí que hemos mantenido el uso de una partición regular en las sumas de Riemann. Esta restricción no es estrictamente necesaria. Puede utilizarse cualquier partición para formar una suma de Riemann. Sin embargo, si se utiliza una partición no regular para definir la integral definida, no basta con tomar el límite a medida que el número de subintervalos llega al infinito. En cambio, debemos tomar el límite a medida que la anchura del subintervalo más grande llega a cero. Esto introduce una notación un poco más compleja en nuestros límites y hace los cálculos más difíciles sin obtener realmente mucha información adicional, así que nos quedamos con las particiones regulares para las sumas de Riemann.

Ejemplo 5.7

Evaluación de una integral mediante la definición

Utilice la definición de la integral definida para evaluar 02 x2 dx.02 x2 dx. Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann.

Punto de control 5.7

Utilice la definición de la integral definida para evaluar 03(2 x1)dx.03(2 x1)dx. Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann.

Evaluación de integrales definidas

Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas sin tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje x.

Ejemplo 5.8

Uso de fórmulas geométricas para calcular integrales definidas

Utilice la fórmula del área de un círculo para evaluar 369(x3)2 dx.369(x3)2 dx.

Punto de control 5.8

Utilice la fórmula del área de un trapecio para evaluar 2 4(2 x+3)dx.2 4(2 x+3)dx.

El área y la integral definida

Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que f(x)f(x) sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos "el área bajo la curva" cuando f(x)f(x) es negativo?

Área neta señalada

Volvamos a la suma de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la función f(x)=2 2 x2 f(x)=2 2 x2 (que se muestra en la Figura 5.17) en el intervalo [0,2 ].[0,2 ]. Utilice n=8n=8 y elegir {xi*}{xi*} como punto del extremo izquierdo de cada intervalo. Construya un rectángulo en cada subintervalo de altura f(xi*)f(xi*) y de anchura Δx. Cuando f(xi*)f(xi*) es positivo, el producto f(xi*)Δxf(xi*)Δx representa el área del rectángulo, igual que antes. Cuando f(xi*)f(xi*) es negativo, sin embargo, el producto f(xi*)Δxf(xi*)Δx representa el negativo del área del rectángulo. La suma de Riemann se convierte entonces en

i=18f(xi*)Δx=(Área de los rectángulos sobre el ejex )(Área de los rectángulos por debajo del ejex )i=18f(xi*)Δx=(Área de los rectángulos sobre el ejex )(Área de los rectángulos por debajo del ejex )
Gráfico de una parábola de apertura descendente sobre [-1, 2] con vértice en (0,2) e intersecciones en x en (-1,0) y (1,0). Se dibujan ocho rectángulos uniformemente sobre [0,2] con alturas determinadas por el valor de la función en los puntos extremos izquierdos de cada uno.
Figura 5.17 Para una función que es parcialmente negativa, la suma de Riemann es el área de los rectángulos por encima del eje x menos el área de los rectángulos por debajo del eje x.

Si tomamos el límite a medida que n,n, la suma de Riemann se aproxima al área entre la curva por encima del eje x y el eje x, menos el área entre la curva por debajo del eje x y el eje x, como se muestra en la Figura 5.18. Entonces,

02 f(x)dx=límni=1nf(ci)Δx=A1A2 .02 f(x)dx=límni=1nf(ci)Δx=A1A2 .

La cantidad A1A2 A1A2 se denomina área neta señalada.

Gráfico de una parábola de apertura descendente sobre [-2, 2] con vértice en (0,2) e intersecciones en x en (-1,0) y (1,0). El área del cuadrante uno bajo la curva está sombreada en azul y marcada como A1. El área en el cuadrante cuatro por encima de la curva y a la izquierda de x=2 está sombreada en azul y marcada como A2.
Figura 5.18 En el límite, la integral definida es igual al área A1 menos el área A2, o el área neta señalada.

Observe que el área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Si el área sobre el eje x es mayor, el área neta señalada es positiva. Si el área bajo el eje x es mayor, el área neta señalada es negativa. Si las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales, el área neta señalada es cero.

Ejemplo 5.9

Hallar el área neta señalada

Calcule el área neta señalada entre la curva de la función f(x)=2 xf(x)=2 x y el eje x en el intervalo [−3,3].[−3,3].

Análisis

Si A1 es el área por encima del eje x y A2 es el área por debajo del eje x, entonces el área neta es A1A2 .A1A2 . Como las áreas de los dos triángulos son iguales, el área neta es cero.

Punto de control 5.9

Halle el área neta señalada de f(x)=x2 f(x)=x2 en el intervalo [0,6],[0,6], que se ilustra en la siguiente imagen.

Gráfico de una línea creciente que pasa por (-2,-4), (0,-2), (2,0), (4,2) y (6,4). El área por encima de la curva en el cuadrante cuatro está sombreada en azul y marcada como A2, y el área bajo la curva y a la izquierda de x=6 en el cuadrante uno está sombreada y marcada como A1.

Área total

Una aplicación de la integral definida es hallar el desplazamiento cuando se da una función de velocidad. Si los valores de v(t)v(t) represente la velocidad de un objeto en función del tiempo, donde el área bajo la curva nos dice lo lejos que está el objeto de su posición original. Esta es una aplicación muy importante de la integral definida, y más adelante en el capítulo la examinamos con más detalle. Por ahora, solo vamos a ver algunos aspectos básicos para tener una idea de cómo funciona esto al estudiar las velocidades constantes.

Cuando la velocidad es una constante, el área bajo la curva es simplemente la velocidad por el tiempo. Esta idea es bastante conocida. Si un automóvil se aleja de su posición inicial en línea recta a una velocidad de 70 mph durante 2 horas, entonces se aleja 140 mi de su posición original (Figura 5.20). Utilizando la notación integral, tenemos

02 70dt=140.02 70dt=140.
Un gráfico en el cuadrante 1 con el eje x marcado como t (horas) y el eje y etiquetado como v (mi/h). El área bajo la línea v(t) = 70 está sombreada en azul sobre [0,2].
Figura 5.20 El área bajo la curva v ( t ) = 75 v ( t ) = 75 nos indica a qué distancia se encuentra el automóvil desde su punto de partida en un momento dado.

En el contexto del desplazamiento, el área neta señalada nos permite tener en cuenta la dirección. Si un automóvil viaja en línea recta hacia el norte a una velocidad de 60 mph durante 2 horas, se encuentra a 120 millas al norte de su posición inicial. Si el automóvil da la vuelta y viaja hacia el sur a una velocidad de 40 mph durante 3 horas, volverá a su posición inicial (Figura 5.21). De nuevo, utilizando la notación integral, tenemos

02 60dt+2 5−40dt=120120=0,02 60dt+2 5−40dt=120120=0,

En este caso el desplazamiento es cero.

Gráfico en los cuadrantes uno y cuatro con el eje x marcado como t (horas) y el eje y etiquetado como v (mi/h). La primera parte del gráfico es la línea v(t) = 60 sobre [0,2], y el área bajo la línea en el cuadrante uno está sombreada. La segunda parte del gráfico es la línea v(t) = -40 sobre [2,5], y el área sobre la línea en el cuadrante cuatro está sombreada.
Figura 5.21 El área por encima del eje y el área por debajo del eje son iguales, por lo que el área neta señalada es cero.

Supongamos que queremos saber qué distancia recorre el automóvil en total, sin importar su dirección. En este caso, queremos conocer el área entre la curva y el eje x, independientemente de que esa área esté por encima o por debajo del eje. Esto se denomina el área total.

Gráficamente, es más fácil pensar en calcular el área total sumando las áreas por encima del eje y las áreas por debajo del eje (en vez de restar las áreas por debajo del eje, como hicimos con el área neta señalada). Para lograrlo matemáticamente, utilizamos la función de valor absoluto. Por lo tanto, la distancia total recorrida por el automóvil es

02 |60|dt+2 5|–40|dt=02 60dt+2 540dt=120+120=240.02 |60|dt+2 5|–40|dt=02 60dt+2 540dt=120+120=240.

Integrando estas ideas formalmente, enunciamos las siguientes definiciones.

Definición

Supongamos que f(x)f(x) es una función integrable definida en un intervalo [a,b].[a,b]. Supongamos que A1 representa el área entre f(x)f(x) y el eje x que se encuentra por encima del eje y que A2 representa el área entre f(x)f(x) y el eje x que se encuentra debajo del eje. Entonces, el área neta señalada entre f(x)f(x) y el eje x viene dado por

abf(x)dx=A1A2 .abf(x)dx=A1A2 .

El área total entre f(x)f(x) y el eje x viene dado por

ab|f(x)|dx=A1+A2 .ab|f(x)|dx=A1+A2 .

Ejemplo 5.10

Hallar el área total

Halle el área total entre f(x)=x2 f(x)=x2 y el eje x en el intervalo [0,6].[0,6].

Punto de control 5.10

Halle el área total entre la función f(x)=2 xf(x)=2 x y el eje x en el intervalo [−3,3].[−3,3].

Propiedades de la integral definida

Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas.

Regla: propiedades de la integral definida


  1. aaf(x)dx=0aaf(x)dx=0
    (5.9)

    Si los límites de integración son los mismos, la integral es solo una línea y no contiene área.

  2. baf(x)dx=abf(x)dxbaf(x)dx=abf(x)dx
    (5.10)

    Si los límites se invierten, se coloca un signo negativo delante de la integral.

  3. ab[f(x)+g(x)]dx=abf(x)dx+abg(x)dxab[f(x)+g(x)]dx=abf(x)dx+abg(x)dx
    (5.11)

    La integral de una suma es la suma de las integrales.

  4. ab[f(x)g(x)]dx=abf(x)dxabg(x)dxab[f(x)g(x)]dx=abf(x)dxabg(x)dx
    (5.12)

    La integral de una diferencia es la diferencia de las integrales.

  5. abcf(x)dx=cabf(x)abcf(x)dx=cabf(x)
    (5.13)

    para la constante c. La integral del producto de una constante y una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función.

  6. abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dxabf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx
    (5.14)

    Aunque esta fórmula se aplica normalmente cuando c está entre a y b, la fórmula es válida para todos los valores de a, b y c, siempre que f(x)f(x) sea integrable en el intervalo mayor.

Ejemplo 5.11

Usar las propiedades de la integral definida

Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f(x)=−3x3+2 x+2 f(x)=−3x3+2 x+2 en el intervalo [−2,1][−2,1] como la suma de tres integrales definidas.

Punto de control 5.11

Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f(x)=6x34x2 +2 x3f(x)=6x34x2 +2 x3 en el intervalo [1,3][1,3] como la suma de cuatro integrales definidas.

Ejemplo 5.12

Usar las propiedades de la integral definida

Si se sabe que 08f(x)dx=1008f(x)dx=10 y 05f(x)dx=5,05f(x)dx=5, halle el valor de 58f(x)dx.58f(x)dx.

Punto de control 5.12

Si se sabe que 15f(x)dx=−315f(x)dx=−3 y 2 5f(x)dx=4,2 5f(x)dx=4, halle el valor de 12 f(x)dx.12 f(x)dx.

Propiedades de comparación de las integrales

A veces, una imagen puede decirnos más sobre una función que los resultados de los cálculos. La comparación de las funciones por sus gráficos y sus expresiones algebraicas puede dar a menudo un nuevo enfoque del proceso de integración. Intuitivamente, podríamos decir que si una función f(x)f(x) está por encima de otra función g(x),g(x), entonces el área entre f(x)f(x) y el eje x es mayor que el área entre g(x)g(x) y el eje x. Esto es cierto según el intervalo en el que se hace la comparación. Las propiedades de las integrales definidas son válidas si a<b,a=b,a<b,a=b, o a>b.a>b. Las siguientes propiedades, sin embargo, solo se refieren al caso ab,ab, y se utilizan cuando queremos comparar los tamaños de las integrales.

Teorema 5.2

Teorema de comparación

  1. Si los valores de f(x)0f(x)0 por axb,axb, entonces
    abf(x)dx0.abf(x)dx0.
  2. Si f(x)g(x)f(x)g(x) para axb,axb, entonces
    abf(x)dxabg(x)dx.abf(x)dxabg(x)dx.
  3. Si m y M son constantes tales que mf(x)Mmf(x)M por axb,axb, entonces
    m(ba)abf(x)dxM(ba).m(ba)abf(x)dxM(ba).

Ejemplo 5.13

Comparación de dos funciones en un intervalo dado

Compare f(x)=1+x2 f(x)=1+x2 y g(x)=1+xg(x)=1+x en el intervalo [0,1].[0,1].

Valor promedio de una función

A menudo necesitamos hallar el promedio de un conjunto de números, como la nota promedio de un examen. Supongamos que obtuvo las siguientes puntuaciones en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. La nota del semestre es el promedio de los resultados de los exámenes y quiere saber qué nota obtendrá. Podemos hallar el promedio sumando todas las puntuaciones y dividiendo por el número de puntuaciones. En este caso, hay seis resultados de pruebas. Por lo tanto,

89+90+56+78+100+696=482680,33.89+90+56+78+100+696=482680,33.

Por lo tanto, la nota promedio del examen es de aproximadamente 80,33, lo que se traduce en una calificación notable en la mayoría de las escuelas.

Supongamos, sin embargo, que tenemos una función v(t)v(t) que nos da la velocidad de un objeto en cualquier momento t, y queremos hallar la rapidez media del objeto. La función v(t)v(t) adopta un número infinito de valores, por lo que no podemos utilizar el proceso que acabamos de describir. Por fortuna, podemos utilizar una integral definida para hallar el valor promedio de una función como esta.

Supongamos que f(x)f(x) es continua en el intervalo [a,b][a,b] y supongamos que [a,b][a,b] se divide en n subintervalos de anchura Δx=(ba)/n.Δx=(ba)/n. Elija un representante xi*xi* en cada subintervalo y calcule f(xi*)f(xi*) por i=1,2 ,…,n.i=1,2 ,…,n. En otras palabras, considere cada f(xi*)f(xi*) como un muestreo de la función en cada subintervalo. El valor promedio de la función puede entonces aproximarse como

f(x1*)+f(x2 *)++f(xn*)n,f(x1*)+f(x2 *)++f(xn*)n,

que es básicamente la misma expresión utilizada para calcular la media de los valores discretos.

Pero sabemos que Δx=ban,Δx=ban, por lo que n=baΔx,n=baΔx, y obtenemos

f(x1*)+f(x2 *)++f(xn*)n=f(x1*)+f(x2 *)++f(xn*)(ba)Δx.f(x1*)+f(x2 *)++f(xn*)n=f(x1*)+f(x2 *)++f(xn*)(ba)Δx.

Siguiendo con el álgebra, el numerador es una suma que se representa como i=1nf(xi*),i=1nf(xi*), y estamos dividiendo por una fracción. Para dividir por una fracción, invierta el denominador y multiplique. Así, un valor aproximado del valor promedio de la función viene dado por

i=1nf(xi*)(ba)Δx=(Δxba)i=1nf(xi*)=(1ba)i=1nf(xi*)Δx.i=1nf(xi*)(ba)Δx=(Δxba)i=1nf(xi*)=(1ba)i=1nf(xi*)Δx.

Se trata de una suma de Riemann. Luego, para obtener el valor promedio exacto, se toma el límite a medida que n llega al infinito. Así, el valor promedio de una función viene dado por

1balímni=1nf(xi)Δx=1baabf(x)dx.1balímni=1nf(xi)Δx=1baabf(x)dx.

Definición

Supongamos que f(x)f(x) es continua en el intervalo [a,b].[a,b]. Entonces, el valor promedio de la función f(x)f(x) (o fave) en [a,b][a,b] viene dada por

fave=1baabf(x)dx.fave=1baabf(x)dx.

Ejemplo 5.14

Hallar el valor promedio de una función lineal

Calcule el valor promedio de f(x)=x+1f(x)=x+1 en el intervalo [0,5].[0,5].

Punto de control 5.13

Calcule el valor promedio de f(x)=62 xf(x)=62 x en el intervalo [0,3].[0,3].

Sección 5.2 ejercicios

En los siguientes ejercicios, expresa los límites como integrales.

60.

límni=1n(xi*)Δxlímni=1n(xi*)Δx en [1,3][1,3]

61.

límni=1n(5(xi*)2 3(xi*)3)Δxlímni=1n(5(xi*)2 3(xi*)3)Δx en [0,2 ][0,2 ]

62.

límni=1nsen2 (2 πxi*)Δxlímni=1nsen2 (2 πxi*)Δx en [0,1][0,1]

63.

límni=1ncos2 (2 πxi*)Δxlímni=1ncos2 (2 πxi*)Δx en [0,1][0,1]

En los siguientes ejercicios, dados Ln o Rn como se indica, exprese sus límites dado que nn como integrales definidas, identificando los intervalos correctos.

64.

L n = 1 n i = 1 n i 1 n L n = 1 n i = 1 n i 1 n

65.

R n = 1 n i = 1 n i n R n = 1 n i = 1 n i n

66.

Ln=2 ni=1n(1+2 i1n)Ln=2 ni=1n(1+2 i1n) grandes.

67.

Rnn =3ni=1n(3+3in)Rnn =3ni=1n(3+3in) grandes.

68.

Ln=2 πni=1n2 πi1ncos(2 πi1n)Ln=2 πni=1n2 πi1ncos(2 πi1n) grandes.

69.

Rn=1ni=1n(1+in)log((1+in)2 )Rn=1ni=1n(1+in)log((1+in)2 ) grandes.

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de las funciones graficadas utilizando las fórmulas de áreas de triángulos y círculos, y restando las áreas bajo el eje x.

70.
Gráfico que contiene la mitad superior de tres círculos en el eje x. El primero tiene centro en (1,0) y radio uno. Corresponde a la función sqrt(2x - x^2) sobre [0,2]. El segundo tiene centro en (4,0) y radio dos. Corresponde a la función sqrt(-12 + 8x - x^2) sobre [2,6]. El último tiene centro en (9,0) y radio tres. Corresponde a la función sqrt(-72 + 18x - x^2) sobre [6,12]. Los tres semicírculos están sombreados: el área bajo la curva y sobre el eje x.
71.
Gráfico de tres triángulos isósceles correspondientes a las funciones 1 - |x-1| sobre [0,2], 2 - |x-4| sobre [2,4], y 3 - |x-9| sobre [6,12]. El primer triángulo tiene los extremos en (0,0), (2,0) y (1,1). El segundo triángulo tiene los extremos en (2,0), (6,0) y (4,2). El último tiene puntos extremos en (6,0), (12,0) y (9,3). Los tres están sombreados.
72.
Gráfico con tres partes. La primera es la mitad superior de un círculo con centro en (1, 0) y radio 1, que corresponde a la función sqrt(2x - x^2) sobre [0,2]. El segundo es un triángulo con puntos extremos en (2, 0), (6, 0) y (4, -2), que corresponde a la función |x-4| - 2 sobre [2, 6]. La última es la mitad superior de un círculo con centro en (9, 0) y radio 3, que corresponde a la función sqrt(-72 + 18x - x^2) sobre [6,12]. Los tres están sombreados.
73.
Gráfico de tres triángulos sombreados. El primero tiene puntos extremos en (0, 0), (2, 0) y (1, 1) y corresponde a la función 1 - |x-1| sobre [0, 2]. El segundo tiene puntos extremos en (2, 0), (6, 0) y (4, -2) y corresponde a la función |x-4| - 2 sobre [2, 6]. La tercera tiene puntos extremos en (6, 0), (12, 0) y (9, 3) y corresponde a la función 3 - |x-9| sobre [6, 12].
74.
Un gráfico con tres partes sombreadas. La primera es la mitad superior de un círculo con centro en (1, 0) y radio uno. Corresponde a la función sqrt(2x - x^2) sobre [0, 2]. La segunda es la mitad inferior de un círculo con centro en (4, 0) y radio dos, que corresponde a la función -sqrt(-12 + 8x - x^2) sobre [2, 6]. La última es la mitad superior de un círculo con centro en (9, 0) y radio tres. Corresponde a la función sqrt(-72 + 18x - x^2) sobre [6, 12].
75.
Un gráfico con tres partes sombreadas. El primero es un triángulo con puntos extremos en (0, 0), (2, 0) y (1, 1), que corresponde a la función 1 - |x-1| sobre [0, 2] en el cuadrante 1. La segunda es la mitad inferior de un círculo con centro en (4, 0) y radio dos, que corresponde a la función -sqrt(-12 + 8x - x^2) sobre [2, 6]. El último es un triángulo con puntos extremos en (6, 0), (12, 0) y (9, 3), que corresponde a la función 3 - |x-9| sobre [6, 12].

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral utilizando las fórmulas de área.

76.

0 3 ( 3 x ) d x 0 3 ( 3 x ) d x

77.

2 3 ( 3 x ) d x 2 3 ( 3 x ) d x

78.

−3 3 ( 3 | x | ) d x −3 3 ( 3 | x | ) d x

79.

0 6 ( 3 | x 3 | ) d x 0 6 ( 3 | x 3 | ) d x

80.

−2 2 4 x 2 d x −2 2 4 x 2 d x

81.

1 5 4 ( x 3 ) 2 d x 1 5 4 ( x 3 ) 2 d x

82.

0 12 36 ( x 6 ) 2 d x 0 12 36 ( x 6 ) 2 d x

83.

−2 3 ( 3 | x | ) d x −2 3 ( 3 | x | ) d x

En los siguientes ejercicios, utilice los promedios de los valores en los extremos izquierdo (L) y derecho (R) para calcular las integrales de las funciones lineales a trozos con gráficos que pasan por la lista de puntos dada en los intervalos indicados.

84.

{(0,0),(2 ,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)}{(0,0),(2 ,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)} en [0,8][0,8]

85.

{(0,2 ),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2 ),(8,0)}{(0,2 ),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2 ),(8,0)} en [0,8][0,8]

86.

{(−4,–4),(–2,0),(0,–2),(3,3),(4,3)}{(−4,–4),(–2,0),(0,–2),(3,3),(4,3)} en [−4,4][−4,4]

87.

{(−4,0),(–2,2 ),(0,0),(1,2 ),(3,2 ),(4,0)}{(−4,0),(–2,2 ),(0,0),(1,2 ),(3,2 ),(4,0)} en [−4,4][−4,4]

Supongamos que 04f(x)dx=504f(x)dx=5 y 02 f(x)dx=−3,02 f(x)dx=−3, y 04g(x)dx=–104g(x)dx=–1 y 02 g(x)dx=2 .02 g(x)dx=2 . En los siguientes ejercicios, calcule las integrales.

88.

0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x

89.

2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x

90.

0 2 ( f ( x ) g ( x ) ) d x 0 2 ( f ( x ) g ( x ) ) d x

91.

2 4 ( f ( x ) g ( x ) ) d x 2 4 ( f ( x ) g ( x ) ) d x

92.

0 2 ( 3 f ( x ) 4 g ( x ) ) d x 0 2 ( 3 f ( x ) 4 g ( x ) ) d x

93.

2 4 ( 4 f ( x ) 3 g ( x ) ) d x 2 4 ( 4 f ( x ) 3 g ( x ) ) d x

En los siguientes ejercicios, utilice la identidad AAf(x)dx=A0f(x)dx+0Af(x)dxAAf(x)dx=A0f(x)dx+0Af(x)dx para calcular las integrales.

94.

ππsent1+t2 dtππsent1+t2 dt (Pista:sen(t)=sen(t)).(Pista:sen(t)=sen(t)). grandes.

95.

π π t 1 + cos t d t π π t 1 + cos t d t

En los siguientes ejercicios, halle el área neta señalada entre f(x)f(x) y el eje x.

96.

13(2 x)dx13(2 x)dx (Pista: Mire el gráfico de f).

97.

2 4(x3)3dx2 4(x3)3dx (Pista: Mire el gráfico de f.)

En los siguientes ejercicios, dado que 01xdx=12 ,01x2 dx=13,01xdx=12 ,01x2 dx=13, y 01x3dx=14,01x3dx=14, calcular las integrales.

98.

0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x

99.

0 1 ( 1 x + x 2 x 3 ) d x 0 1 ( 1 x + x 2 x 3 ) d x

100.

0 1 ( 1 x ) 2 d x 0 1 ( 1 x ) 2 d x

101.

0 1 ( 1 2 x ) 3 d x 0 1 ( 1 2 x ) 3 d x

102.

0 1 ( 6 x 4 3 x 2 ) d x 0 1 ( 6 x 4 3 x 2 ) d x

103.

0 1 ( 7 5 x 3 ) d x 0 1 ( 7 5 x 3 ) d x

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de comparación.

104.

Demuestre que 03(x2 6x+9)dx0.03(x2 6x+9)dx0.

105.

Demuestre que −23(x3)(x+2 )dx0.−23(x3)(x+2 )dx0.

106.

Demuestre que 011+x3dx011+x2 dx.011+x3dx011+x2 dx.

107.

Demuestre que 12 1+xdx12 1+x2 dx.12 1+xdx12 1+x2 dx.

108.

Demuestre que 0π/2 sentdtπ4.0π/2 sentdtπ4. (Pista:sent2 tπ(Pista:sent2 tπ en [0,π2 ]).[0,π2 ]).

109.

Demuestre que π/4π/4costdtπ2 /4.π/4π/4costdtπ2 /4.

En los siguientes ejercicios, halle el valor promedio fave de f entre a y b, y halle un punto c, donde f(c)=fave.f(c)=fave.

110.

f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1

111.

f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1

112.

f ( x ) = 4 x 2 , a = 0 , b = 2 f ( x ) = 4 x 2 , a = 0 , b = 2

113.

f ( x ) = ( 3 | x | ) , a = −3 , b = 3 f ( x ) = ( 3 | x | ) , a = −3 , b = 3

114.

f ( x ) = sen x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = sen x , a = 0 , b = 2 π

115.

f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π

En los siguientes ejercicios, aproxime el valor promedio utilizando las sumas de Riemann L100 and R100. ¿Cómo se compara su respuesta con la respuesta exacta dada?

116.

[T] y=ln(x)y=ln(x) en el intervalo [1,4];[1,4]; la solución exacta es ln(256)31.ln(256)31.

117.

[T] y=ex/2 y=ex/2 en el intervalo [0,1];[0,1]; la solución exacta es 2 (e1).2 (e1).

118.

[T] y=tanxy=tanx en el intervalo [0,π4];[0,π4]; la solución exacta es 2 ln(2 )π.2 ln(2 )π.

119.

[T] y=x+14x2 y=x+14x2 en el intervalo [−1,1];[−1,1]; la solución exacta es π6.π6.

En los siguientes ejercicios, calcule el valor promedio utilizando las sumas de Riemann izquierdas LN para N=1,10,100.N=1,10,100. ¿Cómo se compara la exactitud con el valor exacto dado?

120.

[T] y=x2 4y=x2 4 en el intervalo [0,2 ];[0,2 ]; la solución exacta es 83.83.

121.

[T] y=xex2 y=xex2 en el intervalo [0,2 ];[0,2 ]; la solución exacta es 14(e41).14(e41).

122.

[T] y=(12 )xy=(12 )x en el intervalo [0,4];[0,4]; la solución exacta es 1564ln(2 ).1564ln(2 ).

123.

[T] y=xsen(x2 )y=xsen(x2 ) en el intervalo [π,0];[π,0]; la solución exacta es cos(π2 )12 π.cos(π2 )12 π.

124.

Supongamos que A=02 πsen2 tdtA=02 πsen2 tdt y B=02 πcos2 tdt.B=02 πcos2 tdt. Demuestre que A+B=2 πA+B=2 π y A=B.A=B.

125.

Supongamos que A=π/4π/4sec2 tdt=πA=π/4π/4sec2 tdt=π y B=π/4π/4tan2 tdt.B=π/4π/4tan2 tdt. Demuestre que AB=π2 .AB=π2 .

126.

Demuestre que el valor promedio de sen2 tsen2 t en [0,2 π][0,2 π] es igual a 1/2. Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de sen2 tsen2 t en [0,π][0,π] también es igual a 1/2.

127.

Demuestre que el valor promedio de cos2 tcos2 t en [0,2 π][0,2 π] es igual a 1/2 .1/2 . Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de cos2 (t)cos2 (t) en [0,π][0,π] también es igual a 1/2 .1/2 .

128.

Explique por qué los gráficos de una función cuadrática (parábola) p(x)p(x) y una función lineal (x)(x) pueden intersecarse como máximo en dos puntos. Supongamos que p(a)=(a)p(a)=(a) y p(b)=(b),p(b)=(b), y que abp(t)dt>ab(t)dt.abp(t)dt>ab(t)dt. Explique por qué cdp(t)>cd(t)dtcdp(t)>cd(t)dt siempre que ac<db.ac<db.

129.

Supongamos que la parábola p(x)=ax2 +bx+cp(x)=ax2 +bx+c se abre hacia abajo (a<0)(a<0) y tiene un vértice de y=b2 a>0.y=b2 a>0. ¿Para qué intervalo [A,B][A,B] es AB(ax2 +bx+c)dxAB(ax2 +bx+c)dx lo más grande posible?

130.

Supongamos que [a,b][a,b] se puede subdividir en subintervalos a=a0<a1<a2 <<aN=ba=a0<a1<a2 <<aN=b de manera que f0f0 en [ai1,ai][ai1,ai] o f0f0 en [ai1,ai].[ai1,ai]. Establezca Ai=ai1aif(t)dt.Ai=ai1aif(t)dt.

  1. Explique por qué abf(t)dt=A1+A2 ++AN.abf(t)dt=A1+A2 ++AN.
  2. Luego, explique por qué |abf(t)dt|ab|f(t)|dt.|abf(t)dt|ab|f(t)|dt.
131.

Supongamos que f y g son funciones continuas tales que cdf(t)dtcdg(t)dtcdf(t)dtcdg(t)dt para cada subintervalo [c,d][c,d] de [a,b].[a,b]. Explique por qué f(x)g(x)f(x)g(x) para todos los valores de x.

132.

Supongamos que el valor promedio de f sobre [a,b][a,b] es 1 y el valor promedio de f sobre [b,c][b,c] es 1 donde a<c<b.a<c<b. Demuestre que el valor promedio de f sobre [a,c][a,c] también es 1.

133.

Supongamos que [a,b][a,b] se puede dividir. Al tomar a=a0<a1<<aN=ba=a0<a1<<aN=b tal que el valor promedio de f en cada subintervalo [ai1,ai]=1[ai1,ai]=1 es igual a 1 por cada i=1,…,N.i=1,…,N. Explique por qué el valor promedio de f sobre [a,b][a,b] también es igual a 1.

134.

Supongamos que para cada i tal que 1iN1iN se tiene i1if(t)dt=i.i1if(t)dt=i. Demuestre que 0Nf(t)dt=N(N+1)2 .0Nf(t)dt=N(N+1)2 .

135.

Supongamos que para cada i tal que 1iN1iN se tiene i1if(t)dt=i2 .i1if(t)dt=i2 . Demuestre que 0Nf(t)dt=N(N+1)(2 N+1)6.0Nf(t)dt=N(N+1)(2 N+1)6.

136.

[T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha L10 y R10 y su promedio L10+R102 L10+R102 por f(t)=t2 f(t)=t2 en [0,1].[0,1]. Dado que 01t2 dt=0,33,01t2 dt=0,33, ¿hasta cuántos decimales es L10+R102 L10+R102 precisa?

137.

[T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L10 y R10, y su promedio L10+R102 L10+R102 por f(t)=(4t2 )f(t)=(4t2 ) en [1,2 ].[1,2 ]. Dado que 12 (4t2 )dt=166,12 (4t2 )dt=166, ¿hasta cuántos decimales es L10+R102 L10+R102 precisa?

138.

Si los valores de 151+t4dt=41,7133...,151+t4dt=41,7133..., ¿qué es 151+u4du?151+u4du?

139.

Estime 01tdt01tdt utilizando las sumas de los extremos izquierdo y derecho, cada una con un solo rectángulo. ¿Cómo se compara el promedio de estas sumas de los extremos izquierdo y derecho con el valor real 01tdt?01tdt?

140.

Estime 01tdt01tdt por comparación con el área de un único rectángulo con altura igual al valor de t en el punto medio t=12 .t=12 . ¿Cómo se compara esta estimación del punto medio con el valor real 01tdt?01tdt?

141.

A partir del gráfico de sen(2 πx)sen(2 πx) que se muestra:

  1. Explique por qué 01sen(2 πt)dt=0.01sen(2 πt)dt=0.
  2. Explique por qué, en general, aa+1sen(2 πt)dt=0aa+1sen(2 πt)dt=0 para cualquier valor de a.
    Gráfico de la función f(x) = sen(2pi*x) sobre [0, 2]. La función está sombreada sobre [,7, 1] por encima de la curva y por debajo del eje x, sobre [1, 1,5] por debajo de la curva y por encima del eje x, y sobre [1,5, 1,7] por encima de la curva y por debajo del eje x. El gráfico es antisimétrico con respecto a t = ½ sobre [0,1].
142.

Si f es 1-periódica (f(t+1)=f(t)),(f(t+1)=f(t)), impar, e integrable sobre [0,1],[0,1], ¿es siempre cierto que 01f(t)dt=0?01f(t)dt=0?

143.

Si f es 1-periódica y 01f(t)dt=A,01f(t)dt=A, ¿es necesariamente cierto que a1+af(t)dt=Aa1+af(t)dt=A para todos las A?

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