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Cálculo volumen 1

5.5 Sustitución

Cálculo volumen 15.5 Sustitución

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 5.5.1 Utilizar la sustitución para evaluar integrales indefinidas.
  • 5.5.2 Utiliza la sustitución para evaluar integrales definidas.

El teorema fundamental del cálculo nos dio un método para evaluar integrales sin usar las sumas de Riemann. Este método no obstante tiene el inconveniente de que debemos ser capaces de encontrar una antiderivada, y esto no siempre es fácil. En esta sección examinaremos una técnica, llamada integración por sustitución, que nos ayudará a encontrar antiderivadas. En concreto, este método nos ayuda a encontrar las antiderivadas cuando el integrando es el resultado de una derivada en cadena.

Al principio, el planteamiento del procedimiento de sustitución puede no parecer lo bastante evidente. Sin embargo, es una tarea principalmente visual, es decir, el integrando le muestra lo que debe hacer; es cuestión de reconocer la forma de la función. Entonces, ¿qué se supone que debemos ver? Buscamos un integrando de la forma f[g(x)]g(x)dx.f[g(x)]g(x)dx. Por ejemplo, en la integral (x2 3)32 xdx,(x2 3)32 xdx, tenemos f(x)=x3,g(x)=x2 3,f(x)=x3,g(x)=x2 3, y g'(x)=2 x.g'(x)=2 x. Entonces,

f[g(x)]g(x)=(x2 3)3(2 x),f[g(x)]g(x)=(x2 3)3(2 x),

y vemos que nuestro integrando está en la forma correcta.

El método se llama de sustitución porque sustituimos parte del integrando por la variable u y parte del integrando por du. También se denomina cambio de variables porque cambiamos las variables para obtener una expresión más fácil de trabajar para aplicar las reglas de integración.

Teorema 5.7

Sustitución con integrales indefinidas

Supongamos que u=g(x),,u=g(x),, donde g(x)g(x) es continua en un intervalo, supongamos que f(x)f(x) es continua en el rango correspondiente de g, y que F(x)F(x) es una antiderivada de f(x).f(x). Entonces,

f[g(x)]g(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(g(x))+C.f[g(x)]g(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(g(x))+C.
(5.19)

Prueba

Sean f, g, u y F los especificados en el teorema. Entonces

ddxF(g(x))=F(g(x))g(x)=f[g(x)]g(x).ddxF(g(x))=F(g(x))g(x)=f[g(x)]g(x).

Al integrar ambos lados con respecto a x, vemos que

f[g(x)]g(x)dx=F(g(x))+C.f[g(x)]g(x)dx=F(g(x))+C.

Si ahora sustituimos u=g(x),u=g(x), y du=g'(x)dx,du=g'(x)dx, obtenemos

f[g(x)]g(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(g(x))+C.f[g(x)]g(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(g(x))+C.

Volviendo al problema que analizamos originalmente, supongamos que u=x2 3u=x2 3 y luego du=2 xdx.du=2 xdx. Reescriba la integral en términos de u:

(x2 3)u3(2 xdx)du=u3du.(x2 3)u3(2 xdx)du=u3du.

Al utilizar la regla de la potencia para las integrales, tenemos

u3du=u44+C.u3du=u44+C.

Sustituya la expresión original de x en la solución:

u44+C=(x2 3)44+C.u44+C=(x2 3)44+C.

Podemos generalizar el procedimiento en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integración por sustitución

  1. Fíjese bien en el integrando y seleccione una expresión g(x)g(x) dentro del integrando para establecerlo igual a u. Seleccionemos g(x).g(x). de manera que g(x)g(x) también forma parte del integrando.
  2. Sustituya u=g(x)u=g(x) y du=g(x)dx.du=g(x)dx. en la integral.
  3. Ahora deberíamos ser capaces de evaluar la integral con respecto a u. Si la integral no puede ser evaluada, tenemos que devolvernos y seleccionar una expresión diferente para usarla como u.
  4. Evalúe la integral en términos de u.
  5. Escriba el resultado en términos de x y la expresión g(x).g(x).

Ejemplo 5.30

Uso de la sustitución para encontrar una antiderivada

Utilice la sustitución para calcular la antiderivada 6x(3x2 +4)4dx.6x(3x2 +4)4dx.

Análisis

Podemos comprobar nuestra respuesta tomando la derivada del resultado de la integración. Deberíamos obtener el integrando. Escogiendo un valor para C de 1, suponemos que y=15(3x2 +4)5+1.y=15(3x2 +4)5+1. Tenemos

y=15(3x2 +4)5+1,y=15(3x2 +4)5+1,

así que

y=(15)5(3x2 +4)46x=6x(3x2 +4)4.y=(15)5(3x2 +4)46x=6x(3x2 +4)4.

Esta es exactamente la expresión con la que empezamos dentro del integrando.

Punto de control 5.25

Utilice la sustitución para calcular la antiderivada 3x2 (x33)2 dx.3x2 (x33)2 dx.

A veces tenemos que ajustar las constantes de nuestra integral si no coinciden exactamente con las expresiones que estamos sustituyendo.

Ejemplo 5.31

Utilizar la sustitución con la alteración

Utilice la sustitución para calcular zz2 5dz.zz2 5dz.

Punto de control 5.26

Utilice la sustitución para calcular x2 (x3+5)9dx.x2 (x3+5)9dx.

Ejemplo 5.32

Uso de la sustitución con integrales de funciones trigonométricas

Utilice la sustitución para evaluar la integral sentcos3tdt.sentcos3tdt.

Punto de control 5.27

Utilice la sustitución para evaluar la integral costsen2 tdt.costsen2 tdt.

A veces necesitamos manipular una integral de forma más complicada que simplemente multiplicar por o dividir entre una constante. Tenemos que eliminar todas las expresiones dentro del integrando que están en términos de la variable original. Cuando finalicemos, u debería ser la única variable en el integrando. En algunos casos, esto significa resolver la variable original en términos de u. El siguiente ejemplo debería aclararnos esta técnica.

Ejemplo 5.33

Cómo encontrar una antiderivada mediante la sustitución en u

Utilice la sustitución para calcular la antiderivada xx1dx.xx1dx.

Punto de control 5.28

Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida cos3tsentdt.cos3tsentdt.

Sustitución de integrales definidas

La sustitución también se puede utilizar con las integrales definidas. Sin embargo, el uso de la sustitución para evaluar una integral definida exige un cambio en los límites de integración. Si cambiamos las variables en el integrando, los límites de integración también cambian.

Teorema 5.8

Sustitución con integrales definidas

Supongamos que u=g(x)u=g(x) y supongamos que gg es continua en un intervalo [a,b],[a,b], y que f es continua en el rango de u=g(x).u=g(x). Entonces,

abf(g(x))g(x)dx=g(a)g(b)f(u)du.abf(g(x))g(x)dx=g(a)g(b)f(u)du.

Aunque no demostraremos formalmente este teorema, lo justificamos con algunos cálculos. A partir de la regla de sustitución de integrales indefinidas, si F(x)F(x) es una antiderivada de f(x),f(x), tenemos

f(g(x))g(x)dx=F(g(x))+C.f(g(x))g(x)dx=F(g(x))+C.

Entonces

abf[g(x)]g(x)dx=F(g(x))|x=ax=b=F(g(b))F(g(a))=F(u)|u=g(a)u=g(b)=g(a)g(b)f(u)du,abf[g(x)]g(x)dx=F(g(x))|x=ax=b=F(g(b))F(g(a))=F(u)|u=g(a)u=g(b)=g(a)g(b)f(u)du,
(5.20)

y obtenemos el resultado deseado.

Ejemplo 5.34

Uso de la sustitución para evaluar una integral definida

Utilice la sustitución para evaluar 01x2 (1+2 x3)5dx.01x2 (1+2 x3)5dx.

Punto de control 5.29

Utilice la sustitución para evaluar la integral definida −10y(2 y2 3)5dy.−10y(2 y2 3)5dy.

Ejemplo 5.35

Uso de la sustitución con una función exponencial

Utilice la sustitución para evaluar 01xe4x2 +3dx.01xe4x2 +3dx.

Punto de control 5.30

Utilice la sustitución para evaluar 01x2 cos(π2 x3)dx.01x2 cos(π2 x3)dx.

La sustitución puede ser solo una de las técnicas necesarias para evaluar una integral definida. Todas las propiedades y reglas de integración se aplican de forma independiente, y puede ser necesario reescribir las funciones trigonométricas utilizando una identidad trigonométrica antes de aplicar la sustitución. Además, tenemos la opción de sustituir la expresión original por u después de encontrar la antiderivada, lo que significa que no tenemos que cambiar los límites de integración. Estos dos enfoques se muestran en el Ejemplo 5.36.

Ejemplo 5.36

Uso de la sustitución para evaluar una integral trigonométrica

Utilice la sustitución para evaluar 0π/2 cos2 θdθ.0π/2 cos2 θdθ.

254.

¿Por qué la sustitución en u se denomina cambio de variable?

255.

2. Si los valores de f=gh,f=gh, al invertir la regla de la cadena, ddx(gh)(x)=g(h(x))h(x),ddx(gh)(x)=g(h(x))h(x), debe tomar u=g(x)u=g(x) o u=h(x)?u=h(x)?

En los siguientes ejercicios, compruebe cada identidad utilizando la diferenciación. Entonces, utilizando la sustitución en u indicada, identifique f tal que la integral tome la forma f(u)du.f(u)du.

256.

x x + 1 d x = 2 15 ( x + 1 ) 3 / 2 ( 3 x 2 ) + C ; u = x + 1 x x + 1 d x = 2 15 ( x + 1 ) 3 / 2 ( 3 x 2 ) + C ; u = x + 1

257.

Para x>1:x2 x1dx=2 15x1(3x2 +4x+8)+C;u=x1x>1:x2 x1dx=2 15x1(3x2 +4x+8)+C;u=x1

258.

x 4 x 2 + 9 d x = 1 12 ( 4 x 2 + 9 ) 3 / 2 + C ; u = 4 x 2 + 9 x 4 x 2 + 9 d x = 1 12 ( 4 x 2 + 9 ) 3 / 2 + C ; u = 4 x 2 + 9

259.

x 4 x 2 + 9 d x = 1 4 4 x 2 + 9 + C ; u = 4 x 2 + 9 x 4 x 2 + 9 d x = 1 4 4 x 2 + 9 + C ; u = 4 x 2 + 9

260.

x ( 4 x 2 + 9 ) 2 d x = 1 8 ( 4 x 2 + 9 ) ; u = 4 x 2 + 9 x ( 4 x 2 + 9 ) 2 d x = 1 8 ( 4 x 2 + 9 ) ; u = 4 x 2 + 9

En los siguientes ejercicios calcule la antiderivada mediante la sustitución indicada.

261.

( x + 1 ) 4 d x ; u = x + 1 ( x + 1 ) 4 d x ; u = x + 1

262.

( x 1 ) 5 d x ; u = x 1 ( x 1 ) 5 d x ; u = x 1

263.

( 2 x 3 ) −7 d x ; u = 2 x 3 ( 2 x 3 ) −7 d x ; u = 2 x 3

264.

( 3 x 2 ) −11 d x ; u = 3 x 2 ( 3 x 2 ) −11 d x ; u = 3 x 2

265.

x x 2 + 1 d x ; u = x 2 + 1 x x 2 + 1 d x ; u = x 2 + 1

266.

x 1 x 2 d x ; u = 1 x 2 x 1 x 2 d x ; u = 1 x 2

267.

( x 1 ) ( x 2 2 x ) 3 d x ; u = x 2 2 x ( x 1 ) ( x 2 2 x ) 3 d x ; u = x 2 2 x

268.

( x 2 2 x ) ( x 3 3 x 2 ) 2 d x ; u = x 3 3 x 2 ( x 2 2 x ) ( x 3 3 x 2 ) 2 d x ; u = x 3 3 x 2

269.

cos3θdθ;u=senθcos3θdθ;u=senθ (Pista:cos2 θ=1sen2 θ).(Pista:cos2 θ=1sen2 θ). grandes.

270.

sen3θdθ;u=cosθsen3θdθ;u=cosθ (Pista:sen2 θ=1cos2 θ).(Pista:sen2 θ=1cos2 θ).

En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables adecuado para determinar la integral indefinida.

271.

x ( 1 x ) 99 d x x ( 1 x ) 99 d x

272.

t ( 1 t 2 ) 10 d t t ( 1 t 2 ) 10 d t

273.

( 11 x 7 ) −3 d x ( 11 x 7 ) −3 d x

274.

( 7 x 11 ) 4 d x ( 7 x 11 ) 4 d x

275.

cos 3 θ sen θ d θ cos 3 θ sen θ d θ

276.

sen 7 θ cos θ d θ sen 7 θ cos θ d θ

277.

cos 2 ( π t ) sen ( π t ) d t cos 2 ( π t ) sen ( π t ) d t

278.

sen2 xcos3xdxsen2 xcos3xdx (Pista:sen2 x+cos2 x=1).(Pista:sen2 x+cos2 x=1). grandes.

279.

t sen ( t 2 ) cos ( t 2 ) d t t sen ( t 2 ) cos ( t 2 ) d t

280.

t 2 cos 2 ( t 3 ) sen ( t 3 ) d t t 2 cos 2 ( t 3 ) sen ( t 3 ) d t

281.

x 2 ( x 3 3 ) 2 d x x 2 ( x 3 3 ) 2 d x

282.

x 3 1 x 2 d x x 3 1 x 2 d x

283.

y 5 ( 1 y 3 ) 3 / 2 d y y 5 ( 1 y 3 ) 3 / 2 d y

284.

cos θ ( 1 cos θ ) 99 sen θ d θ cos θ ( 1 cos θ ) 99 sen θ d θ

285.

( 1 cos 3 θ ) 10 cos 2 θ sen θ d θ ( 1 cos 3 θ ) 10 cos 2 θ sen θ d θ

286.

( cos θ 1 ) ( cos 2 θ 2 cos θ ) 3 sen θ d θ ( cos θ 1 ) ( cos 2 θ 2 cos θ ) 3 sen θ d θ

287.

( sen 2 θ 2 sen θ ) ( sen 3 θ 3 sen 2 θ ) 3 cos θ d θ ( sen 2 θ 2 sen θ ) ( sen 3 θ 3 sen 2 θ ) 3 cos θ d θ

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el área bajo la curva utilizando sumas de Riemann a la izquierda con 50 términos, y luego use la sustitución para hallar la respuesta exacta.

288.

[T] y=3(1x)2 y=3(1x)2 en [0,2 ][0,2 ]

289.

[T] y=x(1x2 )3y=x(1x2 )3 en [−1,2 ][−1,2 ]

290.

[T] y=senx(1cosx)2 y=senx(1cosx)2 en [0,π][0,π]

291.

[T] y=x(x2 +1)2 y=x(x2 +1)2 en [−1,1][−1,1]

En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables para evaluar la integral definida.

292.

0 1 x 1 x 2 d x 0 1 x 1 x 2 d x

293.

0 1 x 1 + x 2 d x 0 1 x 1 + x 2 d x

294.

0 2 t 5 + t 2 d t 0 2 t 5 + t 2 d t

295.

0 1 t 2 1 + t 3 d t 0 1 t 2 1 + t 3 d t

296.

0 π / 4 sec 2 θ tan θ d θ 0 π / 4 sec 2 θ tan θ d θ

297.

0 π / 4 sen θ cos 4 θ d θ 0 π / 4 sen θ cos 4 θ d θ

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral indefinida f(x)dxf(x)dx con constante C=0C=0 utilizando la sustitución en u. Luego, grafique la función y la antiderivada sobre el intervalo indicado. Si es posible, estime un valor de C que habría que añadir a la antiderivada para hacerla igual a la integral definida F(x)=axf(t)dt,F(x)=axf(t)dt, con a el punto final izquierdo del intervalo dado.

298.

[T] (2 x+1)ex2 +x6dx(2 x+1)ex2 +x6dx en [−3,2 ][−3,2 ]

299.

[T] cos(ln(2 x))xdxcos(ln(2 x))xdx en [0,2 ][0,2 ]

300.

[T] 3x2 +2 x+1x3+x2 +x+4dx3x2 +2 x+1x3+x2 +x+4dx en [−1,2 ][−1,2 ]

301.

[T] senxcos3xdxsenxcos3xdx en [π3,π3][π3,π3]

302.

[T] (x+2 )ex2 4x+3dx(x+2 )ex2 4x+3dx en [−5,1][−5,1]

303.

[T] 3x2 2 x3+1dx3x2 2 x3+1dx en [0,1][0,1]

304.

Si los valores de h(a)=h(b)h(a)=h(b) en abg'(h(x))h'(x)dx,abg'(h(x))h'(x)dx, ¿qué puede decir sobre el valor de la integral?

305.

¿Es la sustitución u=1x2 u=1x2 en la integral definida 02 x1x2 dx02 x1x2 dx es correcta? Si no, ¿por qué no?

En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables para demostrar que cada integral definida es igual a cero.

306.

0 π cos 2 ( 2 θ ) sen ( 2 θ ) d θ 0 π cos 2 ( 2 θ ) sen ( 2 θ ) d θ

307.

0 π t cos ( t 2 ) sen ( t 2 ) d t 0 π t cos ( t 2 ) sen ( t 2 ) d t

308.

0 1 ( 1 2 t ) d t 0 1 ( 1 2 t ) d t

309.

0 1 1 2 t ( 1 + ( t 1 2 ) 2 ) d t 0 1 1 2 t ( 1 + ( t 1 2 ) 2 ) d t

310.

0 π sen ( ( t π 2 ) 3 ) cos ( t π 2 ) d t 0 π sen ( ( t π 2 ) 3 ) cos ( t π 2 ) d t

311.

0 2 ( 1 t ) cos ( π t ) d t 0 2 ( 1 t ) cos ( π t ) d t

312.

π / 4 3 π / 4 sen 2 t cos t d t π / 4 3 π / 4 sen 2 t cos t d t

313.

Demuestre que el valor promedio de f(x)f(x) en un intervalo [a,b][a,b] es el mismo que el valor medio de f(cx)f(cx) en el intervalo [ac,bc][ac,bc] por c>0.c>0.

314.

Halle el área bajo el gráfico de f(t)=t(1+t2 )af(t)=t(1+t2 )a entre t=0t=0 y t=xt=x donde a>0a>0 y a1a1 es fijo, y evalúe el límite como x.x.

315.

Halle el área bajo el gráfico de g(t)=t(1t2 )ag(t)=t(1t2 )a entre t=0t=0 y t=x,t=x, donde 0<x<10<x<1 y a>0a>0 es fijo. Evalúe el límite como x1.x1.

316.

El área de un semicírculo de radio 1 puede expresarse como –111x2 dx.–111x2 dx. Utilice la sustitución x=costx=cost para expresar el área de un semicírculo como la integral de una función trigonométrica. No es necesario calcular la integral.

317.

El área de la mitad superior de una elipse con un eje mayor que es el eje x de x=ax=a a x=ax=a y con un eje menor que es el eje y de y=by=b al y=by=b se puede escribir como aab1x2 a2 dx.aab1x2 a2 dx. Utilice la sustitución x=acostx=acost para expresar esta área en términos de una integral de una función trigonométrica. No es necesario calcular la integral.

318.

[T] El siguiente gráfico es de una función de la forma f(t)=asen(nt)+bsen(mt).f(t)=asen(nt)+bsen(mt). Estime los coeficientes a y b, y los parámetros de frecuencia n y m. Utilice estas estimaciones para aproximar 0πf(t)dt.0πf(t)dt.

Gráfico de una función de la forma dada sobre [0, 2pi], que tiene seis puntos de inflexión. Se encuentran justo antes de pi/4, justo después de pi/2, entre 3pi/4 y pi, entre pi y 5pi/4, justo antes de 3pi/2, y justo después de 7pi/4 en torno a 3, -2, 1, -1, 2 y -3. Comienza en el origen y termina en (2pi, 0). Interseca el eje x entre pi/4 y pi/2, justo antes de 3pi/4, pi, justo después de 5pi/4, y entre 3pi/2 y 4pi/4.
319.

[T] El siguiente gráfico es de una función de la forma f(x)=acos(nt)+bcos(mt).f(x)=acos(nt)+bcos(mt). Estime los coeficientes a y b y los parámetros de frecuencia n y m. Utilice estas estimaciones para aproximar 0πf(t)dt.0πf(t)dt.

Gráfico de una función de la forma dada en [0, 2pi]. Comienza en (0,1) y termina en (2pi, 1). Tiene cinco puntos de inflexión, situados justo después de pi/4, entre pi/2 y 3pi/4, pi, entre 5pi/4 y 3pi/2, y justo antes de 7pi/4 en torno a -1,5, 2,5, -3, 2,5 y -1. Interseca el eje x entre 0 y pi/4, justo antes de pi/2, justo después de 3pi/4, justo antes de 5pi/4, justo después de 3pi/2, y entre 7pi/4 y 2pi.
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