Zadania

Rozważ sytuację, w której obok nieruchomego ładunku $Q_1=+5\mathrm{\mu C}$ porusza się inny ładunek $Q_2$ (o wielkości $+3\mathrm{\mu C}$ i masie $6\mathrm{\mu g}$).

1. Oblicz energię potencjalną ładunku $Q_2$ w odległości $4\mathrm{cm}$ od ładunku źródłowego $Q_1$;
2. Jaką prędkość uzyska ładunek $Q_2$ w punkcie odległym o $8\mathrm{cm}$ od ładunku $Q_1$, jeśli w położeniu początkowym $4\mathrm{cm}$ spoczywał? Uwaga: Ładunek $Q_1$ jest cały czas nieruchomy.

Do utworzenia atomu wodoru elektron musi zostać przeniesiony z nieskończoności w położenie o odległości $\mathrm{5,29}\cdot {10}^{-11}\mathrm{m}$ od protonu (jest to średni promień atomu wodoru). Ile wynosi praca potrzebna do utworzenia atomu wodoru?

Znajdź stosunek prędkości elektronu i anionu wodoru (atom wodoru z dodatkowym elektronem), które są przyspieszone tym samym napięciem. Załóż, że prędkości są nierelatywistyczne, a masa jonu wodoru jest w przybliżeniu równa masie obojętnego atomu wodoru, $\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\mathrm{kg}$.

Pokaż, że jednostki natężenia pola, $\mathrm{V}∕\mathrm{m}$ oraz $\mathrm{N}∕\mathrm{C}$, są rzeczywiście równoważne.

Natężenie pola między dwoma płytami przewodnika odległymi o $4\mathrm{cm}$ wynosi $\mathrm{7,5}\cdot {10}^4\mathrm{V}$.

1. Jaka różnica potencjałów panuje między płytami?
2. Płyta o niższym potencjale zostaje uziemiona (jej potencjał wynosi zero). Jaki potencjał panuje w punkcie odległym od niej o $1\mathrm{cm}$ (czyli $3\mathrm{cm}$ od drugiej płyty)?

Dwie płyty metalowe, z których jedna jest uziemiona i ma potencjał równy $0\mathrm{V}$, są ustawione równolegle w odległości $10\mathrm{cm}$ od siebie.

1. Jakie natężenie pola panuje między płytami, skoro w odległości $8\mathrm{cm}$ od płyty uziemionej zmierzono potencjał $450\mathrm{V}$?
2. Jakie napięcie panuje między płytami?

Elektron jest przyspieszany w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu $2\cdot {10}^6\mathrm{V}∕\mathrm{m}$.

1. Jaką energię kinetyczną otrzymuje elektron po przebyciu drogi $\mathrm{0,4}\mathrm{m}$?
2. Na jakiej drodze musiałby być przyspieszany ten elektron, aby osiągnąć energię $50\mathrm{GeV}$?

Linie pola elektrycznego są w pewnym obszarze prostopadłe do osi $z$ układu współrzędnych i zależą od odległości $S$ od osi, jak $E=\alpha ∕S$, gdzie $\alpha$ jest stałą. Znajdź wzór na różnicę potencjałów między punktami $P_1$ i $P_2$. Wyraźnie zasygnalizuj, po jakiej krzywej całkujesz.

Na powierzchni plastikowej kulki o średnicy $\mathrm{0,5}\mathrm{cm}$, używanej do pokazów fizycznych, zgromadzono ładunek $40\mathrm{pC}$ rozłożony jednorodnie na powierzchni kulki. Jaki potencjał ma kulka tuż przy powierzchni?

Potencjał ładunku punktowego w odległości $15\mathrm{m}$ od niego wynosi $500\mathrm{V}$. Jaki jest znak i wartość ładunku?

Badawczy generator Van de Graaffa ma czaszę o średnicy $2\mathrm{m}$, na której można zgromadzić ładunek $5\mathrm{mC}$.

1. Jaki potencjał może wytworzyć czasza tuż przy powierzchni?
2. W jakiej odległości od jej środka potencjał wynosi $1\mathrm{MV}$?
3. Zjonizowany atom tlenu o trzech brakujących elektronach zostaje wpuszczony w obszar pola elektrycznego wytwarzanego przez generator. Jaką energię potencjalną w $\mathrm{MeV}$ ma jon tlenu w punkcie znalezionym w części (b)?

1. Jaka różnica potencjałów panuje między punktami odległymi o $10\mathrm{cm}$ i $20\mathrm{cm}$ od ładunku $3\mathrm{\mu C}$?
2. Do położenia o jakiej odległości od ładunku źródłowego należałoby przenieść ten drugi punkt, aby zwiększyć różnicę potencjałów dwukrotnie?

Dwa ładunki $-2\mathrm{\mu C}$ i $+2\mathrm{\mu C}$ są umieszczone w odległości $4\mathrm{cm}$ od siebie wzdłuż osi $z$, symetrycznie po obu stronach początku osi, przy czym ładunek dodatni znajduje się po dodatniej stronie osi. Dwa punkty $P_1$ i $P_2$ znajdują się $3\mathrm{cm}$ i $30\mathrm{cm}$ od początku układu pod kątem $30°$ względem osi $z$. Oblicz potencjały w punktach $P_1$ i $P_2$ na dwa sposoby:

1. używając dokładnego wzoru na potencjał dwóch ładunków punktowych;
2. korzystając z przybliżonego wzoru na potencjał dipola.

W pewnym obszarze powierzchnie stałego potencjału (tzw. powierzchnie ekwipotencjalne) są zlokalizowane w punktach o składowej $z=\text{const}$. Powierzchnie są równoodległe, a wielkości potencjału tych powierzchni wynoszą: $V=100\mathrm{V}$ dla $z=0\mathrm{m}$, $V=200\mathrm{V}$ dla $z=\mathrm{0,5}\mathrm{m}$, $V=300\mathrm{V}$ dla $z=1\mathrm{m}$. Jakiego typu pole elektryczne panuje w tym obszarze? Jakie jest natężenie tego pola?

Oblicz wektor natężenia pola w dowolnym punkcie przestrzeni, wytworzonego przez nieskończony przewód naładowany jednorodnie.

Na bardzo dużej płaskiej powierzchni izolatora rozłożono równomiernie ładunek nadmiarowy o gęstości powierzchniowej $-3\mathrm{nC}∕{\mathrm{m}}^2$.

1. Czy wraz ze wzrostem odległości od powierzchni potencjał rośnie, czy maleje? Potrafisz to wyjaśnić, nie wykonując żadnych obliczeń? Czy położenie punktu odniesienia ma tutaj znaczenie?
2. Jakiego kształtu są powierzchnie ekwipotencjalne wokół płaszczyzny?
3. Jaka odległość dzieli dwie powierzchnie o stałym potencjale $1\mathrm{V}$?

Układ dwóch nieskończonych płyt o gęstościach $\pm 30\mathrm{\mu C}∕{\mathrm{m}}^2$ ustawiono w odległości $5\mathrm{mm}$ od siebie.

1. Znajdź potencjał w dowolnym punkcie;
2. W pobliżu ujemnie naładowanej płyty pojawia się elektron, który bez prędkości początkowej zaczyna przyspieszać w kierunku płyty dodatniej. Z jaką prędkością w nią uderzy?

Dwie równoległe płyty kwadratowe o szerokości $10\mathrm{cm}$ oddalono na odległość $\mathrm{1,5}\mathrm{mm}$ od siebie i naładowano ładunkiem $5\cdot {10}^{-9}\mathrm{C}$ o przeciwnych znakach. Jakie napięcie panuje między płytami?

Dwie koncentryczne powłoki kuliste, wykonane z przewodnika, naładowano ładunkami $Q$ i $-Q$ (rysunek). Grubość wewnętrznej powłoki jest pomijalna. Jakie napięcie panuje między powłokami?

Lity cylindryczny przewodnik o promieniu $a$ jest otoczony metalową powłoką cylindryczną o promieniu wewnętrznym $b$. Cylinder w środku ma ładunek $Q$, a zewnętrzna powłoka cylindryczna ma ładunek $-Q$. Przyjmując, że długość obu przewodników $L$ jest znacznie większa od promieni $a$ i $b$, jaka różnica potencjałów występuje między powierzchniami przewodników?

1. Jakie muszą być kierunek i wartość natężenia pola elektrycznego, które utrzymuje elektron w bezruchu tuż nad powierzchnią Ziemi?
2. Na podstawie wyniku z części (a) przedyskutuj, jaka jest relacja między siłą oddziaływania grawitacyjnego a siłą oddziaływania elektrostatycznego.

W liczniku Geigera (nazywanym także licznikiem Geigera-Müllera) cienki metalowy drucik charakteryzuje wysokie napięcie względem otaczającego go metalowego cylindra. Promieniowanie jonizujące, które wpada w obszar licznika, wybija elektrony z cząsteczek gazu wypełniającego wnętrze licznika, a te następnie są przyspieszane w kierunku drucika, po drodze wywołując jonizację kolejnych cząsteczek. W efekcie dochodzi do wyładowania lawinowego w liczniku, które jest rejestrowane jako sygnał elektryczny. Załóżmy, że cylinder w naszym liczniku Geigera ma promień $R$, a wewnętrzny drucik o promieniu $a$ ma potencjał $V_0$ mierzony względem cylindra. Przeanalizuj punkt $P$ znajdujący się wewnątrz licznika w odległości $r_P$ od osi drucika i daleko od końców zewnętrznego cylindra.

1. Wyprowadź wzór na natężenie pola w punkcie $P$ przy założeniu nieskończenie długiego przewodu;
2. Znajdź wzór na potencjał w punkcie $P$ wewnątrz licznika;
3. Podstaw dane: $V_0=900\mathrm{V}$, $a=3\mathrm{mm}$, $R=2\mathrm{cm}$ i oblicz wielkość natężenia pola i potencjału w odległości $1\mathrm{cm}$ od środka licznika.

W celu utworzenia atomu helu do cząstki alfa, zawierającej dwa protony i dwa neutrony, unieruchomionej w pewnym położeniu, trzeba dołączyć dwa elektrony. Przenosimy je z dużej odległości, jeden po drugim, w pobliże cząstki alfa. Pierwszy elektron jest przeniesiony na odległość $\mathrm{0,6}\cdot {10}^{-10}\mathrm{m}$ od cząstki alfa i unieruchomiony w tym miejscu, dopóki drugi elektron nie zostanie przeniesiony na tę samą odległość, ale po drugiej stronie. Końcowa konfiguracja tych trzech cząstek widoczna jest poniżej.

1. Jaką pracę należy wykonać na każdym etapie tworzenia atomu?
2. Jaka jest całkowita energia potencjalna układu: cząstka alfa ‒ dwa elektrony w wytworzonym atomie helu?

Prawdopodobieństwo zajścia fuzji jądrowej wielokrotnie się zwiększa, jeśli doprowadzimy do maksymalnego zbliżenia dwóch jąder atomowych. Wymaga to jednak pokonania siły kulombowskiej wzajemnego odpychania obu jąder. Można tego dokonać dzięki energii kinetycznej jonów gazu o wysokiej temperaturze, które zderzają się z jądrami i nadają im w ten sposób duży pęd i energię kinetyczną, albo w zderzeniach jąder ze sobą, np. w akceleratorze.

1. Oblicz energię potencjalną dwóch jąder wodoropodobnych (o ładunku o wartości jednego ładunku elementarnego), znajdujących się w odległości ${10}^{-12}\mathrm{m}$ od siebie;
2. Przy jakiej temperaturze cząsteczki zjonizowanego gazu uzyskałyby energię kinetyczną równą energii potencjalnej jąder (trzeba wykorzystać wzór z teorii kinetycznej gazów)?

Elektron wpada w obszar między dwiema dużymi płytami aluminiowymi, odległymi o $2\mathrm{cm}$ od siebie, między którymi panuje napięcie $200\mathrm{V}$. Załóż, że pole elektryczne jest jednorodne. Elektron przelatuje przez dziurkę wywierconą w płycie naładowanej ujemnie z prędkością $4\cdot {10}^5\mathrm{m}∕\mathrm{s}$ i jest przyspieszany w kierunku płyty dodatniej. Jaka jest prędkość elektronu w punkcie odległym o

1. $\mathrm{0,1}\mathrm{cm}$;
2. $\mathrm{0,5}\mathrm{cm}$;
3. $1\mathrm{cm}$;
4. $\mathrm{1,5}\mathrm{cm}$ od płyty ujemnej;
5. tuż przed uderzeniem w płytę dodatnią?

Odpowiedz na poniższe pytania.

1. Czy pole między dwiema przewodzącymi płytami przekroczy granicę wytrzymałości elektrycznej dla suchego powietrza, która wynosi $3\cdot {10}^6\mathrm{V}∕\mathrm{m}$, jeśli odległość między płytami to $2\mathrm{mm}$, a napięcie przyłożone do nich wynosi $5\cdot {10}^3\mathrm{V}$?
2. W jakiej najmniejszej odległości można ustawić płyty przy takim napięciu?

Podwójnie zjonizowana cząsteczka pewnego gazu jest przyspieszana do energii $32\mathrm{keV}$ w polu elektrycznym wytwarzanym między dwiema płytami rozstawionymi na odległość $2\mathrm{cm}$. Jakie natężenie pola występuje między płytami?

Uderzenie pioruna w drzewo powoduje przepływ ładunku w wysokości $20\mathrm{C}$ przy różnicy potencjałów $100\mathrm{MV}$.

1. Jaka energia zostaje wyzwolona w wyniku uderzenia pioruna?
2. Jaką masę wody o temperaturze początkowej $15\mathrm{°}\mathrm{C}$ można by zagotować, dostarczając takiej energii?
3. Spróbuj wyjaśnić, jakich zniszczeń mogłoby dokonać parowanie soków wewnątrz drzewa.

1. Na powierzchni kuli zgromadzono ładunek $1\mathrm{C}$. W jakiej odległości od środka kuli potencjał wynosi $5\mathrm{MV}$?
2. Co powiesz na temat możliwości izolacji elektrycznej takiego ładunku?

W jednym z pierwszych eksperymentów fizyki jądrowej, przeprowadzonym przez Ernesta Rutherforda na początku XX wieku, cienka folia ze złota była bombardowana cząstkami alfa, które w wyniku odpychania kulombowskiego odbijały się od jąder złota. Jeżeli energie kinetyczne cząstek alfa wynosiły $5\mathrm{MeV}$, to na jaką najmniejszą odległość cząstki zbliżały się do jąder złota? Atom złota ma 79 protonów w jądrze.