William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Podsumowanie

10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy

Położenie kątowe punktu to kąt między wektorem położenia tego punktu a wybranym kierunkiem, na przykład kierunkiem jednej z osi układu współrzędnych, służącej za układ odniesienia, względem którego ruch jest opisywany.
Prędkość kątowa, oznaczana zwykle symbolem $\vec{ω}$ , jest wyrażana w radianach na sekundę. Wartość chwilowej prędkości kątowej $ω = lim_{Δ t → 0} (Δ θ / Δ t) = d θ / d t$ to granica przy $Δ t → 0$ średniej prędkości kątowej, czyli pochodna po czasie położenia kątowego. Związek pomiędzy prędkością liniową $v$ , a prędkością kątową jest następujący: $v = r ω$ , gdzie $r$ jest odległością od osi obrotu.
Kierunek wektora prędkości kątowej $\vec{ω}$ można określić na podstawie reguły prawej dłoni. Jeżeli palce zagniemy w kierunku obrotu ciała wokół stałej osi, to odchylony kciuk wskaże nam kierunek wektora $\vec{ω}$ (patrz Ilustracja 10.6).
Jeżeli prędkość kątowa układu nie jest stała, wówczas układ ma określone przyspieszenie kątowe $\vec{ε}$ . Średnie przyspieszenie kątowe w określonym przedziale czasu to zmiana prędkości kątowej podzielona przez czas, w jakim ta zmiana została osiągnięta: $\overset{–}{ε} = Δ ω / Δ t$ . Chwilowe przyspieszenie kątowe to pochodna prędkości kątowej po czasie. Wektory przyspieszenia kątowego i prędkości mają ten sam kierunek. W przypadku, gdy prędkość kątowa maleje, zwrot wektora przyspieszenia kątowego jest przeciwny do zwrotu wektora prędkości, a gdy prędkość kątowa rośnie, oba wektory mają ten sam zwrot.
Wartość przyspieszenia stycznego punktu poruszającego się po okręgu o promieniu $r$ , jest równa iloczynowi promienia tego okręgu i przyspieszenia kątowego punktu: $a_{s} = r ε$ .

10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym

Kinematyka ruchu obrotowego opisuje zależności między drogą kątową, prędkością kątową, przyspieszeniem kątowym i czasem.
W przypadku stałego przyspieszenia kątowego, zależność prędkości kątowej od czasu jest liniowa. Zatem średnia prędkość kątowa jest średnią arytmetyczną prędkości początkowej i prędkości końcowej w danym okresie czasu:
$\bar{ω} = \frac{ω_{0} + ω_{k}}{2} .$
10.32
Zastosowaliśmy analizę graficzną do wyznaczenia wielkości obrotowych dla ruchu obrotowego wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym. Z zależności $ω = d θ / d t$ otrzymujemy, że powierzchnia pod wykresem zależności prędkości kątowej od czasu jest równa drodze kątowej: $θ_{k} - θ_{0} = Δ θ = \int_{t_{0}}^{t} ω (t^{'}) d t^{'}$ . Otrzymany rezultat analizy graficznej można analogicznie zweryfikować przy pomocy równań kinematycznych dla ruchu ze stałym przyspieszeniem kątowym. Ponieważ $ε = d ω / d t$ , pole powierzchni pod wykresem przyspieszenia kątowego w funkcji czasu daje nam zmianę wartości prędkości kątowej $ω_{k} - ω_{0} = Δ ω = \int_{t_{0}}^{t} ε (t^{'}) d t^{'}$ .

10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym

Równania ruchu postępowego mają swoje odpowiedniki w równaniach ruchu obrotowego. Istnieje odwzorowanie: $x → θ, v → ω, a → ε$ .
Ruch jednostajny po okręgu to ruch, w którym cząstka porusza się po okręgu ze stałą co do wartości prędkością liniową i kątową. Jednakże ze względu na ciągłą zmianę kierunku wektora prędkości, cząstka ma przyspieszenie dośrodkowe, zależne od odległości od osi obrotu.
Układ obracający się ruchem niejednostajnym obraca się z pewnym przyspieszeniem kątowym, a tym samym każdy punkt układu położony w odległości $r$ od osi obrotu ma przyspieszenie dośrodkowe i związane z nim przyspieszenie styczne.
Całkowite przyspieszenie liniowe jest sumą wektorową wektora przyspieszenia dośrodkowego i wektora przyspieszenia stycznego. Ponieważ w ruchu po okręgu wektory przyspieszenia odśrodkowego i stycznego są prostopadłe do siebie, wartość całkowitego przyspieszenia liniowego jest równa: $| \vec{a} | = \sqrt{a_{d}^{2} + a_{s}^{2}}$ .

10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Energia kinetyczna ruchu obrotowego to suma energii kinetycznych cząstek ciała sztywnego lub punktów materialnych, wynikająca z ich ruchu po okręgu wokół wspólnej osi. Można ją wyrazić w postaci $E_{k} = I ω^{2} / 2$ , gdzie $I$ jest momentem bezwładności ciała sztywnego lub układu punktów materialnych.
Moment bezwładności punktów materialnych poruszających się wokół stałej osi jest definiowany jako $I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}$ , gdzie $m_{j}$ jest masą $j$ -tego punktu, natomiast $r_{j}$ jest jego odległością od osi obrotu. Wartość momentu pędu rośnie z kwadratem odległości punktów od osi obrotu. Moment bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu postępowym.
W układach, które obracają się i przemieszczają, można zastosować zasadę zachowania energii mechanicznej tylko wtedy, gdy na układ działają siły zachowawcze. W tym przypadku całkowita energia mechaniczna jest zachowana i jest sumą energii kinetycznej ruchu obrotowego i ruchu postępowego oraz energii potencjalnej wynikającej z grawitacji.

10.5 Obliczanie momentu bezwładności

Momenty bezwładności można wyznaczyć przez zsumowanie lub scałkowanie wartości masy „każdego fragmentu” tworzącego obiekt, pomnożonej przez kwadrat odległości fragmentu od osi. W postaci całkowej moment bezwładności wynosi $I = \int r^{2} d m$ .
Moment bezwładności jest większy, gdy masa obiektu znajduje się dalej od osi obrotu.
Można wyznaczyć moment bezwładności obiektu względem nowej osi obrotu, gdy znany jest moment bezwładności dla osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy układu. Mówi o tym twierdzenie Steinera: $I_{oś równoległa} = I_{środek masy} + m d^{2}$ , gdzie $d$ jest odległością pomiędzy osiami.
Moment bezwładności dla złożonego obiektu jest sumą momentów bezwładności każdego pojedynczego obiektu składającego się na obiekt złożony.

10.6 Moment siły

Wartość momentu siły względem nieruchomej osi oblicza się poprzez wyznaczenie ramienia siły względem osi obrotu i zastosowanie równania $| \vec{M} | = r_{⊥} F$ , gdzie $r_{⊥}$ jest ramieniem siły, tj. odległością osi obrotu od prostej, na której leży siła.
Znak momentu obrotowego określa się przy pomocy reguły prawej dłoni. Jeśli wektory $\vec{r}$ i $\vec{F}$ leżą w płaszczyźnie rysunku, to wektor $\vec{r} \times \vec{F}$ jest prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany w jego stronę, gdy ma wartość ujemną, a gdy ma wartość dodatnią, wychodzi z płaszczyzny rysunku.
Wypadkowy moment siły można obliczyć dodając indywidualne momenty sił wokół danej osi.

10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego $\sum_{i} M_{i} = I ε$ mówi, że suma momentów siły działających na układ obracający się wokół stałej osi jest równa iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego. Jest to odpowiednik drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego.
W postaci wektorowej, drugie prawo dynamiki ruchu obrotowego bryły wokół stałej osi stwierdza, że wektor momentu siły $\vec{M}$ ma ten sam kierunek, co przyspieszenie kątowe $\vec{ε}$ . Jeśli przyspieszenie kątowe obracającej się bryły sztywnej jest dodatnie, to moment siły działającej na bryłę też jest dodatni, a jeśli przyspieszenie kątowe jest ujemne, moment siły jest ujemny.

10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Elementarna praca $d W$ wykonana nad obracającą się wokół stałej osi bryłą sztywną jest sumą iloczynu momentu siły, liczonego względem osi obrotu, i elementarnego przemieszczenia kątowego $d θ$ .
Całkowita praca wykonana przy obróceniu bryły sztywnej o kąt $θ$ wokół ustalonej (nieruchomej) osi jest całką, liczoną względem przesunięcia kątowego, z sumy momentów siły. Jeżeli moment siły nie zależy od $θ$ , wówczas $W_{A B} = M (θ_{B} - θ_{A})$ .
Twierdzenie o pracy i energii wiąże pracę wykonaną w ruchu obrotowym z energią kinetyczną ruchu obrotowego: $W_{A\sep B} = E_{\text{k}\sep B} - E_{\text{k}\sep A}$ , gdzie $E_{\text{k}} = I \omega^2 / 2$ .
Moc w przypadku bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi jest równa iloczynowi momentu siły i prędkości kątowej: $P = M ω$ .