William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

7.1 Funkcje falowe

27.

Oblicz $\abs{\Psi\apply (x,t)}^2$ dla funkcji falowej $\Psi\apply(x,t) = \psi \apply(x)\sin (\omega t)$ , gdzie $\omega$ jest stałą rzeczywistą.

28.

Oblicz $\abs{f\apply(x,y)}^2$ dla funkcji zespolonej $f\apply(x,y) = (x-iy) / (x+iy)$ .

29.

Które z następujących funkcji falowych mogą być funkcją cząstki zdolnej do poruszania się wzdłuż całej osi liczb rzeczywistych? Dlaczego?

$\psi \apply(x) = Ae^{-x^2}$ ;
$\psi \apply(x) = Ae^{-x}$ ;
$\psi \apply(x) = A \tg x$ ;
$\psi \apply(x) = A (\sin x) / x$ ;
$\psi\apply (x) = A e^{-\abs{x}}$ .

30.

Dana jest cząstka o masie $m$ poruszająca się wzdłuż osi $x$ , o stanie kwantowym reprezentowanym przez następującą funkcję falową

$\mathrm{Ψ}\apply(x,t)= \left{ \begin{matrix*}[l] 0 \text{,} &\text{ } x<0\text{,} \\ Axe^{-\alpha x} e^{-iEt/\hbar} \text{,} &\text{ } x\geq 0 \text{,} \end{matrix*} \right\$

gdzie $\alpha = \SI[per-mode=reciprocal]{2e10}{\per\metre}$ .

Znajdź stałą normalizacji;
Wskaż prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajduje się w przedziale $0 \leq x \leq L$ ;
Oblicz wartość oczekiwaną położenia;
Oblicz wartość oczekiwaną energii kinetycznej.

31.

Funkcja falowa cząstki o masie $m$ jest równa

$\mathrm{ψ}\apply(x) = \left{ \begin{matrix*}[l] A \cos (\alpha x) \text{,} & \text{ } -\frac{\pi}{2\alpha} \leq x \leq \frac{\pi}{2\alpha}\text{,} \\ 0 \text{,} & \text{ w pozostałych przypadkach,} \end{matrix*} \right\$

gdzie $\alpha = 10^{10}\si[per-mode=reciprocal]{\per\metre}$ .

Znajdź stałą normalizacji;
Wskaż prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale $0 \leq x \leq \SI{0,5e-10}{\metre}$ ;
Oblicz średnie położenie czastki;
Oblicz średni pęd cząstki;
Oblicz średnią energię kinetyczną cząstki w przedziale $-\SI{0,5e-10}{\metre} \leq x \leq \SI{0,5e-10}{\metre}$ .

7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga

32.

Pomiar prędkości cząstki $\alpha$ został dokonany z dokładnością do $\SI{0,02}{\milli\metre\per\second}$ . Jaka jest minimalna niepewność jej położenia?

33.

Gaz atomów helu o temperaturze $\SI{273}{\kelvin}$ znajduje się w sześciennym pojemniku o boku długości $\SI{25}{\centi\metre}$ .

Jaka jest minimalna niepewność składowych pędu atomów helu?
Jaka jest minimalna niepewność składowych prędkości?
Określ stosunek niepewności z (b) do średniej prędkości atomu w każdym z kierunków.

34.

Przy założeniu, że niepewność składowej $y$ położenia protonu wynosi $\SI{2}{\pico\metre}$ , oblicz minimalną niepewność jednoczesnego pomiaru składowej $y$ prędkości tego protonu. Ile wynosi ona dla składowej $x$ ?

35.

Pewna niestabilna cząstka elementarna ma energię resztkową równą $\SI{80,41}{\giga\electronvolt}$ i niepewność pomiaru tej energii równą $\SI{2,06}{\giga\electronvolt}$ . Oszacuj czas życia tej cząsteczki.

36.

Atom w stanie metastabilnym ma czas życia $\SI{5,2}{\milli\second}$ . Oblicz minimalną niepewność pomiaru energii w stanie wzbudzonym.

37.

Pomiary wskazują, że atom pozostaje w stanie wzbudzonym przez $\SI{50}{\nano\second}$ , a potem przechodzi do stanu podstawowego, jednocześnie emitując foton o energii $\SI{2,1}{\electronvolt}$ .

Oszacuj niepewność wyznaczenia częstotliwości tego fotonu;
Jaką część średniej częstotliwości tego fotonu ona stanowi?

38.

Elektron jest uwięziony w obszarze o długości $\SI{0,1}{\nano\metre}$ (rzędu wielkości atomu wodoru), a jego energia kinetyczna równa jest energii stanu podstawowego atomu wodoru w modelu Bohra ( $\SI{13,6}{\electronvolt}$ ).

Ile wynosi minimalna niepewność pomiaru pędu? Jaką część pędu ona stanowi?
Ile wynosiłaby niepewność energii kinetycznej elektronu, jeśli pęd byłby równy odpowiedzi z podpunktu (a)? Jaką część energii by stanowiła?

7.3 Równanie Schrӧdingera

39.

Użyj Równania 7.23 i Równania 7.24, by udowodnić, że $k^2 = \omega ^2/c^2$ .

40.

Pokaż, że $\mathrm{Ψ}\apply (x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$ jest rozwiązaniem spełniającym zależne od czasu równanie Schrӧdingera.

41.

Pokaż, że $\mathrm{Ψ}\apply (x,t) = A \sin (kx - \omega t)$ i $\mathrm{Ψ}\apply (x,t) = A \cos (kx - \omega t)$ nie spełniają zależnego od czasu równania Schrӧdingera.

42.

Udowodnij, że kiedy $\mathrm{Ψ}_1 \apply(x,t)$ i $\mathrm{Ψ}_2 \apply(x,t)$ są rozwiązaniami zależnego od czasu równania Schrӧdingera, a $A$ i $B$ są liczbami, to funkcja $\mathrm{Ψ}\apply (x,t) = A \mathrm{Ψ}_1 \apply(x,t) + B \mathrm{Ψ}_2 \apply(x,t)$ , będąca superpozycją tych funkcji, również jest rozwiązaniem.

43.

Cząstka o masie $m$ opisana jest następującą funkcją falową: $\psi\apply(x) = A \cos (kx) + B \sin (kx)$ , gdzie $A$ , $B$ i $k$ są stałymi. Zakładając, że cząstka jest swobodna, udowodnij, że funkcja ta jest rozwiązaniem stacjonarnego równania Schrӧdingera dla niej. Oblicz też energię, jaką posiada cząstka w tym stanie.

44.

Oblicz wartość oczekiwaną energii kinetycznej dla cząstki w stanie $\mathrm{Ψ}\apply (x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$ . Jaki wniosek możesz wyciągnąć z tego rozwiązania?

45.

Oblicz kwadrat wartości oczekiwanej kwadratu pędu dla cząstki znajdującej się w stanie $\mathrm{Ψ}\apply (x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$ . Jakie wnioski możesz wyciągnąć z tego rozwiązania?

46.

Swobodny proton ma funkcję falową daną przez $\mathrm{Ψ}\apply(x,t) = A \exp [ i( \num{5,02e11}x - \num{8e15}t ) ]$ . Współczynnik przy $x$ wyrażony jest w $\si[per-mode=reciprocal]{\per\metre}$ , a współczynnik przy $t$ w $\si[per-mode=reciprocal]{\per\second}$ . Oblicz pęd i energię cząstki.

7.4 Cząstka kwantowa w pudełku

47.

Załóż, że elektron w atomie może być potraktowany tak, jakby był uwięziony w pudle potencjału o szerokości $\SI{2}{\angstrom}$ . Ile wynosi energia stanu podstawowego tego elektronu? Porównaj swój wynik z energią stanu podstawowego atomu wodoru w modelu Bohra.

48.

Załóż, że proton wewnątrz jądra atomowego może być traktowany tak, jakby był uwięziony wewnątrz pudełka o boku długości $\SI{10}{\pico\metre}$ .

Ile wynoszą energie tego protonu, kiedy jego stan odpowiada $n=1$ , $n=2$ i $n=3$ ?
Ile wynoszą energie fotonów emitowanych, kiedy proton przechodzi z pierwszego i drugiego stanu wzbudzonego do stanu podstawowego?

49.

Elektron uwięziony w pudełku ma energię stanu podstawowego równą $\SI{2,5}{\electronvolt}$ . Jaka jest szerokość tego pudełka?

50.

Ile wynosi energia stanu podstawowego (wyrażona w $\si{\electronvolt}$ ) protonu uwięzionego w jednowymiarowym pudełku o rozmiarach jądra atomu uranu, którego promień wynosi około $\SI{15}{\femto\metre}$ ?

51.

Jaka jest energia stanu podstawowego (wyrażona w $\si{\electronvolt}$ ) cząstki $\alpha$ uwięzionej w jednowymiarowym pudełku o rozmiarach jądra atomu uranu, którego promień wynosi około $\SI{15}{\femto\metre}$ ?

52.

Aby elektron uwięziony w jednowymiarowym pudełku przeskoczył z pierwszego do trzeciego stanu wzbudzonego niezbędne jest dostarczenie mu energii $\SI{20}{\electronvolt}$ . Jaka jest szerokość tego pudełka?

53.

Elektron jest uwięziony w pudełku o boku długości $\SI{0,15}{\nano\metre}$ . Elektron ten emituje foton przy przejściu z pierwszego stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Oblicz długość fali wyemitowanego fotonu.

54.

Jeśli energia pierwszego stanu wzbudzonego elektronu w pudełku jest równa $\SI{25}{\electronvolt}$ , to ile wynosi szerokość tego pudełka?

55.

Elektron uwięziony w pudełku emituje fotony, a najdłuższa fala pochodząca od niego, jaka została zarejestrowana, miała długość $\SI{500}{\nano\metre}$ . Jaka jest szerokość tego pudełka?

56.

Cząsteczkowy wodór H₂ przechowywany jest w temperaturze $\SI{300}{\kelvin}$ w sześciennym pudełku o krawędzi długości $\SI{25}{\centi\metre}$ . Załóż, że możesz traktować molekuły, jakby poruszały się w jednowymiarowym pudełku.

Oblicz energię stanu podstawowego cząsteczki wodoru w tym pojemniku;
Załóż, że cząsteczki mają energię termiczną daną równaniem $k_{\text{B}} T/2$ , i oblicz liczbę kwantową $n$ odpowiadającą tej energii termicznej.

57.

Elektron uwięziony jest w pudełku o boku $\SI{0,25}{\nano\metre}$ .

Narysuj diagram poziomów energetycznych tego elektronu dla pierwszych pięciu poziomów energetycznych;
Oblicz długości fal fotonów emitowanych przy przejściu elektronu z czwartego stanu wzbudzonego do drugiego stanu wzbudzonego, z drugiego stanu wzbudzonego do stanu podstawowego i z trzeciego stanu wzbudzonego do pierwszego stanu wzbudzonego.

58.

Elektron uwięziony w pudełku ma energię stanu podstawowego równą $\SI{2}{\electronvolt}$ .

Oblicz szerokość tego pudełka;
Ile energii należy dostarczyć do tego elektronu, aby przeszedł on do pierwszego stanu wzbudzonego?
Jeśli elektron przejdzie ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego przy jednoczesnej emisji fotonu o energii $\SI{30}{\electronvolt}$ , to jaka jest liczba kwantowa tego stanu wzbudzonego?

7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny

59.

Udowodnij, że stany kwantowego oscylatora o dwóch najniższych energiach $\psi_0\apply(x)$ i $\psi_1\apply(x)$ z Równania 7.77 spełniają Równanie 7.75.

60.

Jeśli energia stanu podstawowego prostego oscylatora harmonicznego jest równa $\SI{1,25}{\electronvolt}$ , to jaka jest częstotliwość ruchu tego oscylatora?

61.

Jaka jest częstotliwość drgań kwantowego oscylatora harmonicznego, który przy przejściu ze stanu $(n+1)$ do stanu $n$ emituje foton o długości fali $\SI{450}{\nano\metre}$ ?

62.

Wibracje wodoru cząsteczkowego H₂ można modelować przez prosty oscylator harmoniczny o stałej sprężystości $k = \SI{1,13e3}{\newton\per\metre}$ i masie $m = \SI{1,67e-27}{\kilo\gram} \text{.}$

Ile wynosi częstotliwość drgań cząsteczki?
Ile wynosi energia i długość fali fotonu wyemitowanego przy przejściu cząsteczki z trzeciego stanu wzbudzonego do drugiego stanu wzbudzonego?

63.

Cząsteczka o masie $\SI{0,03}{\kilo\gram}$ oscyluje na sprężynie z częstotliwością $\SI{4}{\hertz}$ . W punkcie równowagowym ma prędkość $\SI{0,6}{\metre\per\second}$ . Oblicz główną liczbę kwantową stanu, w którym znajduje się ta cząsteczka, zakładając, że jej stan energetyczny jest stabilny.

64.

Oblicz wartość oczekiwaną kwadratu położenia dla kwantowego oscylatora harmonicznego w stanie podstawowym. Wskazówka: $\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-ax^2} \d x = \sqrt{\pi} (2a^{3/2})^{-1}$ .

65.

Oblicz wartość oczekiwaną energii potencjalnej kwantowego oscylatora harmonicznego w stanie podstawowym. Użyj tych obliczeń do wyliczenia wartości oczekiwanej energii kinetycznej.

66.

Udowodnij, że $\psi_1\apply(x)$ dana przez Równanie 7.77 spełnia równanie Schrödingera dla kwantowego oscylatora harmonicznego.

67.

Oszacuj wartość energii stanu podstawowego oscylatora harmonicznego przy użyciu zasady nieoznaczoności Heisenberga. Zacznij od założenia, że niepewności pomiarowe $\prefop{\Delta}x$ i $\prefop{\Delta}p$ mają minimalne dopuszczalne wartości. Zapisz $\prefop{\Delta}p$ w funkcji $\prefop{\Delta}x$ i załóż, że dla stanu podstawowego $x \approx \prefop{\Delta}x$ i $p \approx \prefop{\Delta}p$ , a następnie zapisz wyrażenie na energię stanu podstawowego w funkcji $x$ . Na końcu znajdź punkt minimum globalnego energii i odpowiadający mu argument.

68.

Masa $\SI{0,25}{\kilo\gram}$ drga na sprężynie o stałej sprężystości $\SI{110}{\newton\per\metre}$ . Oblicz wartość energii stanu podstawowego i separację pomiędzy kolejnymi poziomami energetycznymi. Wyniki przedstaw w dżulach i elektronowoltach. Czy efekty kwantowe są tutaj ważne?

7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału

69.

Udowodnij, że funkcja falowa

w Równaniu 7.88 spełnia Równanie 7.81;
w Równaniu 7.89 spełnia Równanie 7.83.

70.

Elektron o energii $\SI{6}{\electronvolt}$ uderza w barierę potencjału o wysokości $\SI{11}{\electronvolt}$ . Oblicz prawdopodobieństwo przetunelowania elektronu przez tę barierę, jeśli jej szerokość jest równa

$\SI{0,8}{\nano\metre}$ ;
$\SI{0,4}{\nano\metre}$ .

71.

Elektron o energii $\SI{5}{\electronvolt}$ natrafia na barierę potencjału o szerokości $\SI{0,6}{\nano\metre}$ . Oblicz prawdopodobieństwo tunelowania elektronu przez tę barierę, jeśli jej wysokość wynosi

$\SI{7}{\electronvolt}$ ;
$\SI{9}{\electronvolt}$ ;
$\SI{13}{\electronvolt}$ .

72.

Elektron o energii $\SI{12}{\electronvolt}$ napotyka barierę potencjału o wysokości $\SI{15}{\electronvolt}$ . Oblicz szerokość tej bariery, jeśli prawdopodobieństwo tunelowania przez nią elektronu jest równe $\SI{2,5}{\percent}$ .

73.

Cząstka kwantowa o początkowej energii kinetycznej równej $\SI{32}{\electronvolt}$ napotyka prostokątną barierę potencjału o wysokości $\SI{41}{\electronvolt}$ i szerokości $\SI{0,25}{\nano\metre}$ . Oblicz prawdopodobieństwo tunelowania cząstki przez tę barierę, jeśli tą cząstką jest

elektron;
proton.

74.

Prosty model rozpadu aktywnego zakłada, że cząsteczki $\alpha$ uwięzione są w jądrze przez jądrową studnię potencjału, której ściany są barierami potencjału o szerokości $\SI{2}{\femto\metre}$ i wysokości $\SI{30}{\mega\electronvolt}$ . Oblicz prawdopodobieństwo tunelowania cząstki $\alpha$ przez te ściany, jeśli cząstki mają energię kinetyczną równą

$\SI{29}{\mega\electronvolt}$ ;
$\SI{20}{\mega\electronvolt}$ .

Masa cząstki $\alpha$ jest równa $m=\SI{6,64e-27}{\kilo\gram}$ .

75.

Mion jest kwantową cząstką o masie około 200 razy większej od elektronu. Natrafia on na barierę potencjału o wysokości $\SI{10}{\electronvolt}$ . Energia kinetyczna tego mionu wynosi $\SI{5,5}{\electronvolt}$ i tylko około $\SI{0,1}{\percent}$ kwadratu amplitudy padającej funkcji falowej przenika przez barierę. Jaka jest szerokość tej bariery?

76.

Ziarno piasku o masie $\SI{1}{\milli\gram}$ i energii kinetycznej $\SI{1}{\joule}$ napotyka barierę potencjału o wysokości $\SI{1,000001}{\joule}$ i szerokości $\SI{2500}{\nano\metre}$ . Ile ziaren piasku musi średnio wpaść na tę barierę, zanim pojedyncze ziarno przetuneluje przez nią?