Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • o pochodzeniu równania Schrödingera oraz sposobie jego wykorzystania;
  • opisywać funkcję falową cząstki kwantowo- mechanicznej;
  • wykorzystywać funkcję falową do określania prawdopodobieństwa położenia cząstki;
  • obliczać statystyczne wartości oczekiwane położenia, pędu i energii kinetycznej dla kwantowej cząstki.

Co to naprawdę oznacza, że cząstka „zachowuje się jak fala”? Czym jest owo „falowanie”? Jakie prawa (zwane przez nas prawami fizyki) stanowią o tym, że w jakiś sposób zmienia się dana fala i jak się rozchodzi? Musimy stworzyć taką teorię, która pozwoli uwzględnić własności cząstkowe i własności falowe obiektów, takich jak foton czy elektron. Doprowadzi nas to do pojęcia funkcji falowej. Wówczas dowiemy się, jak możemy wykorzystać funkcje falowe do opisu konkretnych układów fizycznych. W przypadku amplitudy fali elektronowej danej jako funkcja czasu i położenia ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t), znanej w literaturze jako funkcja falowa, będziemy w stanie określić wszystkie wartości położenia xx x i ustalić, gdzie dokładnie znajduje się pojedynczy elektron w konkretnych momentach czasu. Wskazane zagadnienia oraz odpowiedzi na powyższe pytania znajdziemy w tym podrozdziale.

Wyprowadzenie i wykorzystywanie funkcji falowych

W poprzednim rozdziale omawialiśmy obiekty zachowujące się czasami jak cząstki, a czasami jak fale. Używaliśmy takich pojęć jak elektron czy foton. Elektron to niepodzielny obiekt przenoszący ładunek o pomijalnym rozmiarze, nieposiadający struktury wewnętrznej i obdarzony masą, tradycyjnie traktowany jako cząstka (w pierwszym wyobrażeniu to nieprzenikliwa i niedeformowalna kulka o promieniu rr r, masie mm m i ładunku qq q). Foton natomiast to cząstka światła będąca najmniejszym składnikiem fali elektromagnetycznej, nieposiadająca masy spoczynkowej, ale posiadająca pęd i zawsze poruszająca się z prędkością światła (nie istnieje dla niej układ współrzędnych, wobec którego spoczywa). Wskazówką do wyprowadzenia, a potem do zrozumienia znaczenia fizycznego funkcji falowej ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t) jest doświadczenie z podwójną szczeliną (ang. two-slit interference); Ilustracja 7.3 – zobacz też Fale elektromagnetyczne i Interferencja. Z fizyki klasycznej znamy równania Maxwella, które pozwalają stwierdzić, że w próżni rozchodzi się fala elektromagnetyczna, która jest rozchodzącym się w czasie i przestrzeni zaburzeniem pola elektrycznego i magnetycznego niosącym energię. Z poprzedniego rozdziału wiemy, że światło ma także pęd i wywiera ciśnienie fotonowe, gdy pada na powierzchnię. Zatem fala elektromagnetyczna ma zarówno cechy falowe, widoczne np. w interferencji, gdy fala przechodzi przez szczeliny i interferuje, jak i cechy korpuskularne (cząstkowe), gdy pada na inny obiekt i wywiera ciśnienie fotonowe. Ogólnie mówimy o cechach korpuskularno-falowych materii. W tym sensie pojęcie materii znane z czasów antycznych, jak np. u Demokryta, ulega rozmyciu. Materia (elektrony) i energia (fotony) mają podobną naturę falowo-korpuskularną. To szczególnie istotne, bo wnioski płynące z ogólnej teorii względności Einsteina pokazują równoważność energii i materii. Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w próżni opisane jest klasycznym równaniem falowym, gdzie występuje druga pochodna po czasie i po położeniu. Takie równanie ma tę własność, że suma dwóch rozwiązań jest również rozwiązaniem równań Maxwella (w ośrodkach liniowych takich jak próżnia). Mówimy zatem, że w przypadku liniowego równania różniczkowego superpozycja (suma) rozwiązań jest także rozwiązaniem tego równania.

Klasyczna funkcja falowa (ang. wave function) światła, jest dana wyrażeniem ExtExt E\apply(x,t), a E2E2 \abs{E}^2 oznacza gęstość energii (EE E to natężenie pola elektrycznego). Właśnie gęstość energii jest miarą istnienia (intensywności) fali elektromagnetycznej lub inaczej – liczby cząstek światła. Energia pojedynczego fotonu zależy od jego częstotliwości Ef=hfEf=hf E_{\text{f}} = hf, a więc E2E2 \abs{E}^2 jest proporcjonalne do liczby fotonów. Gdy fale światła z obu szczelin interferują ze sobą, na ekranie w odległości DD D powstaje obraz interferencyjny (część (a) Ilustracji 7.3). Jasne prążki odpowiadają miejscom, w których zaszła konstruktywna interferencja, ciemne prążki to interferencja destruktywna (część (b) Ilustracji 7.3). Co ciekawe, taka interferencja zachodzi zarówno w przypadku elektronów, jak i światła (fotonów). Oczywiście z życia codziennego znamy interferencję zachodzącą dla światła.

Załóżmy, że początkowo na ekran nie pada światło. Jeżeli przepuścimy przez szczeliny bardzo słabą wiązkę światła, to obraz interferencyjny na ekranie będzie powstawał stopniowo (jak na Ilustracji 7.3 (c) od lewej do prawej).

Część a pokazuje światło monochromatyczne odpowiadające długości fali lambda lambda emitowanej ze źródła docierającej jako płaszczyzna fal z pojedynczą szczeliną S. Fale przechodzą przez szczelinę i tworzą kręgi falowe, które docierają do szczeliny podwójnej S ze znakiem 1 i S ze znakiem 2. Światło pojawia się w postaci półkolistych kręgów wychodzących z obydwu szczelin. Dochodzi do interakcji fal i w rezultacie mamy na ekranie punkty maksimum i minimum. Na ekranie ukazuje się wzór nakładających się i interferujących fal w postaci jasnych i ciemnych obszarów. W części b, pokazane jest zdjęcie obrazu interferencyjnego, a w części c został pokazany proces tworzenia się pasków interferencyjnych w pięciu kolejnych etapach, począwszy od momentu pojawiania się pierwszych jasnych punktów poprzez kolejne fazy aż pojawienia się wyrazistych pasków. Pionowe paski są na ostatnim obrazie najgęstsze i najlepiej widoczne w porównaniu chociażby z obrazem czwartym.
Ilustracja 7.3 Interferencja fali światła na przegrodzie z dwiema szczelinami. (a) Schemat układu z podwójną szczeliną. (b) Obraz interferencyjny. (c) Stopniowe formowanie się obrazu interferencyjnego przy słabej intensywności wiązki światła. Takie samo zjawisko interferencji zachodzi w przypadku fali elektromagnetycznej padającej na dwie szczeliny oraz w przypadku wiązki elektronów (czy innych cząstek) padającej na przegrodę z dwiema szczelinami, i to nawet przy skrajnie niskiej intensywności wiązki elektronów. Pokazuje to, że istotnie natura falowa elektronu i fali elektromagnetycznej jest podobna i że w przypadku fotonu E x t 2 E x t 2 \abs{E\apply(x,t)} ^2 oraz elektronu Ψ x t 2 Ψ x t 2 \abs{\Psi\apply(x,t)} ^2 wielkości te są proporcjonalne do gęstości prawdopodobieństwa. Taka interpretacja jest nieunikniona przy bardzo małej intensywności strumienia elektronów lub strumienia kwantów promieniowania elektromagnetycznego i została potwierdzona doświadczalnie. Co więcej, jeżeli przez dwie szczeliny przechodzi fala reprezentująca elektron, to ostatecznie elektron znajdzie się w jednym miejscu na ekranie interferometru. Tak będzie, gdy dokonamy pomiaru. Jeśli tego nie zrobimy, wówczas otrzymamy pewien rozkład gęstości prawdopodobieństwa Ψ x t 2 Ψ x t 2 \abs{\Psi\apply(x,t)} ^2 na ekranie interferometru. Zauważmy, że w przeciwieństwie do sytuacji badanej w odniesieniu do reguł fizyki klasycznej możemy jedynie określić prawdopodobieństwo występowania procesu fizycznego.

Materiały pomocnicze

Zobacz tę symulację interaktywną, aby dowiedzieć się więcej o interferencji fal kwantowych.

Uderzenie pojedynczego fotonu rejestrowane jest na ekranie jako jasny punkt. Natężenie takich punktów powinno być największe w miejscu, gdzie funkcja falowa osiągnie największą intensywność. Innymi słowy, prawdopodobieństwo (mierzone dla jednostki powierzchni) uderzenia fotonu w dany punkt ekranu jest proporcjonalne do pierwiastka z całkowitego natężenia pola elektrycznego E2E2 \abs{E}^2 w tym punkcie. W odpowiednich warunkach dla cząstek posiadających masę powstanie taki sam obraz interferencyjny jak dla elektronów. To pokazuje, że zarówno dla elektronów (cząstek prawdziwej materii), jak i fotonów (cząstek pól fizycznych przenoszących oddziaływanie) stosuje się podobne prawa, znane później jako prawa mechaniki kwantowej. Zjawisko to stanowiło inspirację dla jej twórców. Raz jeszcze rozpatrzmy analogię poruszającej się fali elektromagnetycznej w próżni do poruszającego się w próżni elektronu. Z mechaniki klasycznej wiemy, że nie można jednocześnie określić położenia i wektora falowego dla danej fali. Ów fakt zostanie później uwzględniony w mechanice kwantowej jako zasada nieoznaczoności dla położenia i pędu.

W obu podejściach powinna obowiązywać zasada zachowania energii i być uwzględniona falowa natura obiektów. Kwadrat modułu amplitudy powinien być proporcjonalny do liczby poruszających się w danym kierunku cząstek. Z drugiej strony musi być dozwolone zarówno dodawanie się wzajemne dwóch fal elektronu, jak i dodawanie się do siebie dwóch fal elektromagnetycznych. A więc superpozycja (dodawanie się) fal jest także falą. Teraz dochodzimy chyba do najistotniejszego faktu. W klasycznym równaniu falowym fali elektromagnetycznej występuje druga pochodna po czasie (czyli operator d2dt2d2dt2 {\d^2} / \d t^2) i po przestrzeni (d2dx2d2dx2 {\d^2} / \d x^2). Czy coś takiego powinno występować w równaniu falowym elektronu? Jednym ze sposobów, by ten postulat wcielić w życie, jest wprowadzenie reprezentacji operatorowej dla obserwabli wielkości fizycznych (obserwablą jest np. pęd lub położenie elektronu). Stan cząstki (przykładowo elektronu) reprezentuje zespolona skalarna funkcja falowa ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t). W wyniku działania operatora AA A, reprezentującego obserwablę (np. pęd), na funkcję własną ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t) uzyskujemy iloczyn wartości własnej i danej funkcji własnej. Jest to postulat mechaniki kwantowej. Zapisujemy go schematycznie w postaci

A Ψ x t = a Ψ x t . A Ψ x t = a Ψ x t . A \Psi\apply(x,t) = a \Psi\apply(x,t) \text{.}
7.1

W powyższym równaniu AA to operator, aa a to wartość własna operatora AA A, a ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t) to stan własny dla operatora AA. Na ogół operatory AA A możemy przedstawiać w postaci kwadratowych macierzy, wartości własne aa a − jako liczby rzeczywiste, a stany własne ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t) − jako wektory zespolonych funkcji. W najprostszym przypadku ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t) jest zespoloną funkcją skalarną i tak będziemy przyjmować w tym rozdziale. Przejdźmy do sformułowania równania Schrödingera dla elektronu. W przypadku elektronu poruszającego się w próżni przyjmujemy zasadę zachowania pędu pp a oraz zasadę zachowania energii w układzie. Zakładamy, że pęd jest reprezentowany przez operator px=iddxpx=iddx p_x = -i\hbar \cdot {\d} / \d x, a położenie przez operator położenia xx x. Tym samym funkcja falowa dla elektronu poruszającego się w próżni ze stałym pędem pxpx p_x spełnia równanie

p x ψ x = i d d x ψ x , p x ψ x = i d d x ψ x , p_x \mathrm{ψ}\apply(x) = - i \hbar \dd{x} \mathrm{ψ}\apply(x) \text{,}
7.2

które ma rozwiązanie w postaci fali płaskiej ψx=A1expixpxψx=A1expixpx \psi\apply(x) = A_1 \exp (i xp_x/\hbar), gdzie A1A1 A_1 to liczba zespolona. W ten sposób otrzymujemy funkcję falową dla cząstki (np. elektronu) poruszającej się po linii prostej ze stałym pędem.

Zastanówmy się teraz, czy funkcja falowa zmienia się w czasie? Musimy wiedzieć, że jedną z wielkości, które nie zmieniają się w czasie ruchu elektronu w próżni pod nieobecność pola magnetycznego jest całkowita energia mechaniczna (hamiltonian układu HH H), będąca sumą energii kinetycznej EkEk E_{\text{k}} i energii potencjalnej VV E_{\text{p}}. Wielkość, która nie zmienia się w czasie ruchu nazywa się całką ruchu. Zgodnie z postulatem mechaniki kwantowej hamiltonian HH H (H=Ek+Vx=EH=Ek+Vx=E H=E_{\text{k}}+E_{\text{p}}\apply(x) = E) jest reprezentowany w postaci operatorowej jako iddtiddt - i \hbar \cdot {\d} / \d t. Dla elektronu poruszającego się w próżni możemy napisać następujące równanie

H Ψ x t = E ψ t = i d d t ψ t . H Ψ x t = E ψ t = i d d t ψ t . H \mathrm{Ψ}\apply(x,t) = E \mathrm{ψ}\apply(t) = -i \hbar \dd{t} \mathrm{ψ}\apply(t) \text{.}
7.3

Jego rozwiązanie ma postać ψt=A0expitEψt=A0expitE \mathrm{ψ}\apply(t) = A \exp (i t E/\hbar), gdzie A0A0 A_0 jest liczbą zespoloną. Widzimy zatem, że faza funkcji falowej ewoluuje wraz z czasem przy stałej wartości energii elektronu, a amplituda funkcji falowej się nie zmienia.

Skoro potrafimy już opisać zachowanie się elektronu w jednorodnej przestrzeni, możemy przejść do opisu elektronu w niejednorodnym potencjale, np. pomiędzy okładkami kondensatora, gdzie panuje próżnia.

Wykorzystując zasadę zachowania energii (H=12mp2+VxtH=12mp2+Vxt H = [1/(2m)]\cdot p^2+E_{\text{p}}\apply(x,t)), gdzie H=EH=E H=E, możemy zapisać równanie Schrödingera w następujący sposób

H Ψ x t = E Ψ x t = i t Ψ x t = 1 2 m i x 2 + V x t Ψ x t H Ψ x t = 2 2 m x 2 + V x t Ψ x t = 2 2 m 2 x 2 + V x t Ψ x t . H Ψ x t = E Ψ x t = i t Ψ x t = 1 2 m i x 2 + V x t Ψ x t H Ψ x t = 2 2 m x 2 + V x t Ψ x t = 2 2 m 2 x 2 + V x t Ψ x t . \begin{multiline} H \mathrm{Ψ}\apply(x,t) &= E \mathrm{Ψ}\apply(x,t) = - i \hbar \dd[\partial]{t} \mathrm{Ψ}\apply(x,t) = [\frac{1}{2m}(-i\hbar {\dd[\partial]{x}})^2 + V\apply(x,t)] \mathrm{Ψ}\apply (x,t) \\ &= [- \frac{\hbar ^2}{2m} ({\dd[\partial]{x}})^2 + V\apply(x,t)] \mathrm{Ψ}\apply(x,t) = [- \frac{\hbar ^2}{2m}\cdot {\dd[\partial][2]{x}} + V\apply(x,t)] \mathrm{Ψ}\apply(x,t) \text{.} \end{multiline} H Ψ x t = E Ψ x t = i t Ψ x t = 1 2 m i x 2 + V x t Ψ x t = 2 2 m x 2 + V x t Ψ x t = 2 2 m 2 x 2 + V x t Ψ x t .
7.4

Kwadrat funkcji falowej Ψ2Ψ2 \abs{\Psi}^2 w przypadku jednowymiarowym ma znaczenie podobne do znaczenia kwadratu pola elektrycznego E2E2 \abs{E}^2. Mianowicie określa on prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pewnym miejscu i czasie na jednostkę długości i nazywany też bywa gęstością prawdopodobieństwa (ang. probability density). Prawdopodobieństwo (PP P) znalezienia cząstki w przedziale xx+dxxx+dx (x, x+\d x) w czasie tt t jest dane wzorem

P x x + d x = Ψ x t 2 d x . P x x + d x = Ψ x t 2 d x . P\apply(x, x+ \d x) = \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 \d x \text{.}
7.5

Zgodnie z otrzymanymi rozwiązaniami Równania 7.1, Równania 7.2, Równania 7.3 funkcja falowa ma wartości zespolone, czego nie można powiedzieć o wartościach pola elektrycznego ExyztExyzt E\apply (x,y,z,t) czy magnetycznego BxyztBxyzt B\apply (x,y,z,t), które są liczbami rzeczywistymi. Zespolone wartości funkcji falowej są konsekwencją rozwiązania równania Schrödingera (Równanie 7.4), z którego otrzymujemy kwantowo-mechaniczą funkcję falową. Tym razem naszą intuicją fizyczną jest wiara w słuszność równania Schrödingera. Cząstka może istnieć z pewnym prawdopodobieństwem w bardzo różnych miejscach („siedzieć na dwóch bardzo odległych krzesłach”), co jest szokujące dla osoby, która odbyła kurs fizyki klasycznej, w której punkt materialny porusza się w polu sił po jednoznacznie określonej trajektorii. To, co musimy zapamiętać, to fakt, że kwadrat modułu kwantowo-mechanicznej funkcji falowej jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa. Podobnie jak mechanika statystyczna fizyka kwantowa nie wskazuje na deterministyczną (w pełni przewidywalną) ewolucję układu fizycznego, a jedynie określa prawdopodobieństwa zajścia pewnych zjawisk. W tym sensie istnieje pewna analogia pomiędzy klasyczną fizyką statystyczną a mechaniką kwantową, ale zgłębienie tego zagadnienia wykracza poza zakres tej książki.

To probabilistyczne ujęcie funkcji falowej związane jest z postulatem Borna (ang. Born interpretation). Mówi on, że same funkcje falowe cząstki nie są mierzone, ale mierzone jest spektrum wartości wielkości fizycznych (obserwabli, takich jak energia, pęd czy położenie) otrzymywanych z rozwiązań równania Schrödingera, w tym ich wartość średnia. W ujęciu Borna funkcja falowa nie jest niczym realnym, a jedynie narzędziem pomocniczym służącym określeniu własności cząstek mikroświata.

Przykłady funkcji falowych, będących rozwiązaniami równania Schrödingera (Równanie 7.4) dla różnych VxVx V\apply(x) i ich kwadratów przedstawione zostały na Ilustracji 7.4.

Trzy funkcje falowe i kwadrat amplitudy funkcji falowej. Pierwsza funkcja falowa, psi ze znakiem zero, i jej kwadrat są symetryczne, dodatnie, ze szczytem w x = 0, i zero daleko od początku układu. Druga funkcja falowa psi ze znakiem 1, jest antysymetryczna, ujemna z ujemnym x, dodatnia z dodatnim x, i zero w początku układu, jak również z dodatnim i ujemnym znakiem nieskończoności. Jest ujemne minimum na ujemnym x i dodatnie maksimum na dodatnim x. Wartość minimalna znajduje się dokładnie w opozycji w stosunku do wartości maksymalnej. Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest jest dodatni i symetryczny w początku układu, gdzie przyjmuje wartość zero, z maksimum po drugiej stronie początku układu. Trzecia funkcja falowa psi ze znakiem N, jest niesymetryczna. Posiada wartość zero na minus nieskończoności, opada do wartości minimalnej do prawie x mniej niż zero, przekracza zero, nadal jest x mniej niż zero, i przybiera wartość dodatnią. Osiąga dodatnie maksimum na dodatnim x, potem opada do zero na dużym x. Wartość minimalna jest mniejsza w magnitudzie niż wartość maksymalna. Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest dodatni, z dwoma lokalnymi maksimami. Pierwsza maksimum jest mniejsze i znajduje się na ujemnym x, drugie jest większe i jest na dodatnim x. Kwadrat funkcji jest zero w punkcie pomiędzy maksimami.
Ilustracja 7.4 Przykłady funkcji falowych, będących rozwiązaniami równania Schrödingera dla różnych wartości potencjałów (lewa część rysunku) wraz z odpowiadającymi im kwadratami modułów funkcji falowych (prawa część rysunku), wyrażający prawdopodobieństwo znalezienia cząstki. Uzyskane rozkłady prawdopodobieństwa są nieintuicyjne z punktu widzenia mechaniki klasycznej.

Jeżeli funkcja falowa zmienia się wolno w wąskim przedziale ΔxΔx \prefop{\Delta} x, to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym przedziale xx+Δxxx+Δx (x, x+ \prefop{\Delta} x) jest w przybliżeniu równe

P x x + Δ x Ψ x t 2 Δ x . P x x + Δ x Ψ x t 2 Δ x . P (x, x+ \prefop{\Delta} x) \approx \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 \prefop{\Delta} x \text{.}
7.6

Kwadrat modułu funkcji falowej zapewnia dodatnią gęstość prawdopodobieństwa, podobnie jak kwadrat pola elektrycznego zapewnia dodatnią wartość energii. W przypadku ogólnym (dla wolno- lub szybkozmiennej funkcji falowej) niezbędne jest zastosowanie całki

P x x + Δ x = x x + Δ x Ψ x t 2 d x . P x x + Δ x = x x + Δ x Ψ x t 2 d x . P \apply(x, x+ \prefop{\Delta} x) = \int_{x}^{x+ \prefop{\Delta} x} \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 \d x \text{.}
7.7

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest więc równe polu pod wykresem funkcji Ψxt2Ψxt2 \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 w zakresie od xx x do x+Δxx+Δx x+ \prefop{\Delta} x, co oczywiście wynika z faktu, że Ψxt2Ψxt2 \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 jest gęstością prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym miejscu (warunek normalizacji, ang. normalization condition) wynosi

P + = + Ψ x t 2 d x = 1 . P + = + Ψ x t 2 d x = 1 . P\apply(-\infty, + \infty) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 \d x = 1 \text{.}
7.8

W przypadku dwuwymiarowym całkujemy po powierzchni, co wymaga podwójnego całkowania. W trzech wymiarach całkujemy po objętości, a całka jest potrójna. Na razie pozostaniemy jednak przy przypadku jednowymiarowym.

Przykład 7.1

Gdzie jest kulka? (część I)

Kulka porusza się po linii prostej wewnątrz rurki o długości LL L. Prawdopodobieństwo znalezienia kulki w dowolnym punkcie w rurze w danym czasie jest jednakowe. Jakie jest prawdopodobieństwo zaobserwowania kulki w lewej połowie rury? (Oczywiście wynik to 50%50% \SI{50}{\percent}, ale w jaki sposób otrzymamy takie rozwiązanie, korzystając z równania funkcji falowej?)

Strategia rozwiązania

Pierwszym krokiem będzie znalezienie funkcji falowej kulki. Prawdopodobieństwo zaobserwowania kulki w dowolnym miejscu w rurze jest takie samo, więc możemy przedstawić stan kulki za pomocą stałej funkcji falowej (patrz Ilustracja 7.5). Warunek normalizacji może być wykorzystany do obliczenia wartości funkcji, a scałkowanie po połowie długości pozwoli na uzyskanie ostatecznej odpowiedzi.
Funkcja falowa kulki
Ilustracja 7.5 Funkcja falowa kulki w rurze o długości L L L .

Rozwiązanie

Funkcję falową kulki (uzyskaną przy założeniach dużego LL L i energii kinetycznej dążącej do zera oraz stałości potencjału) możemy zapisać jako Ψxt=CΨxt=C \Psi\apply(x,t) = C, gdzie 0<x<L0<x<L 0<x<L, CC C jest stałą, a Ψxt=0Ψxt=0 \Psi\apply(x,t) = 0 dla innych wartości xx x. Stałą CC C możemy obliczyć, stosując warunek normalizacyjny (dla ułatwienia przyjmujemy t=0t=0 t=0)
P + = + C 2 d x = 1 . P + = + C 2 d x = 1 . P\apply(-\infty, + \infty) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \abs{C}^2 \d x = 1 \text{.}

Całkę możemy podzielić na trzy części: (1) od minus nieskończoności do zera, (2) od zera do LL L i (3) od LL L do plus nieskończoności. Kulka może poruszać się jedynie w rurze, a więc w pierwszym i ostatnim przedziale C=0C=0 C=0, a co za tym idzie − całka jest równa zero. Powyższe równanie możemy zapisać w następujący sposób

P 0 L = 0 L C 2 d x = 1 . P 0 L = 0 L C 2 d x = 1 . P\apply(0, L) = \int_{0}^{L} \abs{C}^2 \d x = 1 \text{.}

Wartość CC C nie zależy od xx x i może zostać wyciągnięta przed znak całki

C 2 0 L d x = 1 . C 2 0 L d x = 1 . \abs{C}^2 \int_{0}^{L} \d x = 1 \text{.}

Rozwiązaniem całki jest

C = 1 L . C = 1 L . C = \sqrt{\frac{1}{L}} \text{.}

Aby obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia kulki w pierwszej połowie rury, musimy zmienić granice przedziału całkowania

P 0 L 2 = 0 L 2 1 L 2 d x = 1 L L 2 = 0,5 . P 0 L 2 = 0 L 2 1 L 2 d x = 1 L L 2 = 0,5 . P\apply(0, L/2) = \int_{0}^{L/2} \abs{\sqrt{\frac{1}{L}}}^2 \d x = \frac{1}{L} \cdot \frac{L}{2} = \num{0,5} \text{.}

Znaczenie

Prawdopodobieństwo znalezienia kulki w pierwszej połowie rury wynosi 50%50% \SI{50}{\percent}, jak przewidywaliśmy. Warto zauważyć dwa fakty. Po pierwsze, wynik ten odpowiada polu pod stałą funkcją dla przedziału od x=0x=0 x=0 do x=L2x=L2 x=L/2. Po drugie, obliczenia te wymagają całkowania kwadratu funkcji falowej. Częstym błędem jest całkowanie funkcji falowej bez uprzedniego podniesienia jej do drugiej potęgi.

Przykład 7.2

Gdzie jest kulka? (część II)

Znów mamy do czynienia z kulką, która może poruszać się jedynie wewnątrz rury o długości LL L. Tym razem najbardziej prawdopodobne jest znalezienie kulki pośrodku rury. Jej funkcję falową możemy przedstawić jako zwykłą funkcję cosinus (Ilustracja 7.6). Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia kulki w ostatniej ćwiartce rury?
Wykres funkcji falowej kulki w rurze. Wykres psi od x z t równym zero jako funkcja x. Funkcja ma wartość zero dla x mniejszych niż minus L ze znakiem 2 oraz x większych niż L ze znakiem 2. Dla x pomiędzy minus i plus L ze znakiem 2, funkcje mają wartość krzywych cosinus, wklęsłych z dodatnim maksimum x równe zero, i biegnące do zera przy minus i plus L ze znakiem 2.
Ilustracja 7.6 Funkcja falowa kulki w rurze o długości L L L , gdzie największe prawdopodobieństwo znalezienia kulki jest pośrodku rury.

Strategia rozwiązania

Wykorzystamy strategię z poprzedniego przykładu. W tym przypadku funkcja falowa ma dwa nieznane parametry – jeden jest związany z długością fali, a drugi to amplituda fali. Amplitudę możemy wyznaczyć, korzystając z warunków brzegowych funkcji, a długość fali za pomocą warunku normalizacji. Ostateczny wynik otrzymamy, całkując kwadrat funkcji falowej. Dla uproszczenia obliczeń jako wierzchołek funkcji falowej ustalamy początek osi xx x.

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie funkcji falowej
Ψ x 0 = A cos k x , L 2 < x < L 2 , Ψ x 0 = A cos k x , L 2 < x < L 2 , \mathrm{Ψ}\apply (x,0) = A \cos (kx) \text{, } - L/2 < x < L/2 \text{,}

gdzie AA A jest amplitudą funkcji falowej, a k=2πλk=2πλ k = 2 \pi / \lambda jest jej liczbą falową. Poza określonym przedziałem amplituda funkcji wynosi zero, ponieważ ruch kulki jest ograniczony rozmiarami rury. Warunek wygaszenia funkcji falowej na prawym końcu rury prowadzi do następującej zależności

Ψ L 2 0 = 0 . Ψ L 2 0 = 0 . \Psi\apply(\frac{L}{2}, 0) = 0 \text{.}

Podstawiwszy ją w równaniu funkcji falowej w punkcie x=L2x=L2 x= L/2, otrzymamy

A cos k L 2 = 0 . A cos k L 2 = 0 . A \cos (k\frac{L}{2}) = 0 \text{.}

To równanie jest spełnione dla argumentów funkcji cosinus równych całkowitym wielokrotnościom π2π2 \pi / 2, 3π23π2 3\pi / 2, 5π25π2 5\pi / 2 itd. W tym przypadku mamy

k L 2 = π 2 k L 2 = π 2 \frac{kL}{2} = \frac{\pi}{2}

lub

k = π L . k = π L . k = \frac{\pi}{L} \text{.}

Stosując warunek normalizacji, otrzymujemy A=2LA=2L A = \sqrt{2/L}, a więc funkcja falowa kulki dana jest wzorem

Ψ x 0 = 2 L cos π x L , L 2 < x < L 2 . Ψ x 0 = 2 L cos π x L , L 2 < x < L 2 . \Psi\apply(x,0) = \sqrt{\frac{2}{L}} \cos (\frac{\pi x}{L}) \text{, } -L/2 < x < L/2 \text{.}

Aby określić prawdopodobieństwo znalezienia kulki w ostatniej ćwiartce rury, podnosimy funkcję falową do kwadratu i całkujemy ją po odpowiednim przedziale

P L 4 L 2 = L 4 L 2 2 L cos π x L 2 d x = 0,091 . P L 4 L 2 = L 4 L 2 2 L cos π x L 2 d x = 0,091 . P\apply(\frac{L}{4}, \frac{L}{2}) = \int_{L/4}^{L/2} \abs{\sqrt{\frac{2}{L}} \cos (\frac{\pi x}{L})}^2 \d x = \num{0,091} \text{.}

Znaczenie

Prawdopodobieństwo znalezienia kulki w ostatniej ćwiartce rury wynosi 9,1%9,1% \SI{9,1}{\percent}. Kulka ma określoną długość fali (λ=2Lλ=2L \lambda = 2L). Jeśli długość rury jest wielkością makroskopową (L=1mL=1m L=\SI{1}{\metre}), to pęd kulki będzie wynosił
p = h λ = h 2 L 10 -36 m s . p = h λ = h 2 L 10 -36 m s . p=\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2L} \sim 10^{-36} \si{\metre\per\second} \text{.}

Wielkość ta jest zbyt mała, żeby mogła zostać zmierzona.

Interpretacja statystyczna funkcji falowej

Jesteśmy już w stanie odpowiedzieć na pytania postawione na początku tego rozdziału. Po pierwsze: Czym jest funkcja falowa (falowanie) cząstki opisanej równaniem Ψxt=AsinkxωtΨxt=Asinkxωt \Psi\apply(x,t) = A \sin (kx-\omega t)? Biorąc pod uwagę powyższą dyskusję, jest to funkcja matematyczna opisująca m.in. prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu w momencie dokonania pomiaru. Po drugie: W jaki sposób możemy wykorzystać funkcję falową do obliczenia prawdopodobieństwa położenia? Jeżeli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pewnym przedziale, najpierw należy podnieść moduł funkcji falowej do kwadratu, a następnie scałkować po tym przedziale. Niedługo dowiemy się, że funkcja falowa może dostarczyć także wielu innych informacji.

Po trzecie: Jeżeli falę materii określa funkcja falowa ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t), to gdzie dokładnie znajduje się cząstka? Znamy dwie odpowiedzi: gdy cząstka nie jest obserwowana (mierzona), jej położenie jest rozmyte, czyli cząstka znajduje się wszędzie: x+x+ x\op{\u{2208}}(-\infty,+\infty). Natomiast gdy cząstka jest obserwowana, „wskakuje” w określone położenie xx+dxxx+dx (x, x+ \d x) z prawdopodobieństwem Pxx+dx=Ψxt2dxPxx+dx=Ψxt2dx P\apply(x, x+ \d x) = \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 \d x. W drugim przypadku proces ten nazywamy redukcją funkcji falowej do pewnego stanu własnego (redukcją stanów, ang. state reduction). Takie podejście określa się mianem interpretacji kopenhaskiej (ang. Copenhagen interpretation) funkcji falowej lub mechaniki kwantowej.

Aby lepiej zrozumieć tę interpretację, rozważmy prosty przypadek cząstki, która może znajdować się w pudełku oznaczonym jako x1x1 x_1 lub x2x2 x_2 (Ilustracja 7.7). Zgodnie z regułami fizyki klasycznej zakładamy, że dana cząstka może znajdować się tylko w jednym z pudełek, nawet gdy jej nie obserwujemy. Natomiast według mechaniki kwantowej cząstka ma rozmyte położenie i może znajdować się zarówno w pudełku x1x1 x_1, jak i x2x2 x_2 do momentu obserwacji, kiedy musi wybrać jeden ze stanów. Tak więc założenie, że w danym czasie cząstka może znajdować się tylko w jednym miejscu, jest błędne z punktu widzenia mechaniki kwantowej. Taką samą zależność zaobserwujemy w przypadku innych mierzalnych wielkości, takich jak pęd czy energia.

Na układzie współrzędnych x y pokazany jest układ z dwoma małymi pudełkami na osi x, jednym jako x ze znakiem 1 z lewej strony początku układu i drugim jako x ze znakiem 2 po prawej stronie początku układu.
Ilustracja 7.7 Układ dwóch możliwych stanów cząstki.

Te nieintuicyjne konsekwencje kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej możemy zobrazować za pomocą prostego eksperymentu myślowego sformułowanego przez Erwina Schrödingera (1887–1961)Ilustracja 7.8.

Powołamy się na eksperyment myślowy z 1935 roku: w pudełku znajdują się kot, licznik Geigera, fiolka z trucizną, młotek i materiał promieniotwórczy. Gdy materiał radioaktywny ulega rozpadowi, licznik Geigera wykrywa zmianę i zwalnia młotek, który uderza w fiolkę, roztrzaskując ją i uwalniając truciznę. Uwolnienie trucizny powoduje śmierć kota. Rozpad promieniotwórczy jest zdarzeniem losowym (obarczonym pewnym prawdopodobieństwem) i nie ma pewności, kiedy dokładnie zajdzie. Fizyk powiedziałby, że atom materiału promieniotwórczego znajduje się w stanie superpozycji – istnieje jednocześnie jako atom, który uległ rozpadowi, i jako atom, który rozpadowi nie uległ. Do momentu otwarcia pudełka obserwator nie może być pewien, czy kot w środku jest żywy, czy martwy, gdyż jego los związany jest ze stanem atomu. Zatem (według interpretacji kopenhaskiej) kot w pudełku jest jednocześnie żywy i martwy do momentu otwarcia pudełka.

Ilustracja myślowego eksperymentu z kotem Schroedingera, z licznikiem Geigera, fiolką trucizny, młotkiem, substancją radioaktywną i kotem. Każdy pokazany jest w dwóch stanach: licznik Geigera wskazujący i niewskazujący, młotek w pozycji góra i dół, fiolka z trucizną cała i rozbita oraz kot żywy i martwy.
Ilustracja 7.8 Kot Schrödingera (ang. Schrödinger’s cat )

Za pomocą eksperymentu z kotem Schrödinger chciał uwidocznić absurdalne konsekwencje interpretacji kopenhaskiej – to, że kot może być zarazem żywy i martwy. Dość podobnie wygląda sytuacja w trakcie rzutu monetą. Przed dokonaniem pomiaru, czyli stwierdzeniem orzeł lub reszka, jej stan jest superpozycją stanów. Po dokonaniu pomiaru i stwierdzeniu np. orzeł następuje redukcja do stanu orła.

Jednak interpretacja ta pozostaje najpopularniejszym podejściem do mechaniki kwantowej w dydaktyce.

Układy dwustanowe (prawe i lewe pudełko, atom ulegający lub nie ulegający rozpadowi itd.) są często wykorzystywane do wyjaśnienia podstaw mechaniki kwantowej. Takie systemy mają też zastosowanie w naturze, jak w przypadku spinu elektronu czy stanów rozmytych cząstek, atomów, a nawet molekuł. Możemy też je wykorzystać w komputerach kwantowych, o czym wspomnieliśmy na początku rozdziału. Kubity (ang. quantum bits), które w komputerach kwantowych pełnią funkcję tradycyjnych bitów, nie przyjmują czystych stanów zero-jedynkowych jak ich cyfrowe odpowiedniki, ale są rozmyte. Jeżeli zgromadzilibyśmy dużą liczbę kubitów w tym samym stanie kwantowym, pojedynczy kubit przyjąłby wartość zero z prawdopodobieństwem pp p i jeden z prawdopodobieństwem q=1pq=1p q = 1-p. Wielu naukowców uważa komputery kwantowe za przyszłość komputerów.

Sprzężenia

W dalszej części rozdziału dowiemy się, w jaki sposób za pomocą funkcji falowych opisać cząstki swobodne, cząstki w potencjale efektywnym VxVx V\apply (x) lub cząstki związane z innymi cząstkami siłami wyrażonymi przez odpowiedni potencjał wzajemnego oddziaływania Vx1x2Vx1x2 V\apply (x_1, x_2) cząstki 1 i 2. Potencjał oddziaływania wzajemnego w przypadku wielu cząstek można niekiedy przybliżyć przez potencjal efektywny VxVx V\apply (x). Postać funkcji falowej zależy od właściwości układu. W mechanice kwantowej często spotkamy się z funkcjami zespolonymi (ang. complex function). Funkcją zespoloną nazwiemy taką, która zawiera co najmniej jedną liczbę urojoną i=-1i=-1 i = \sqrt{-1}. Eksperymentalnie jesteśmy w stanie zmierzyć jedynie liczby rzeczywiste (nieurojone), a więc musimy nieco zmienić nasze podejście do funkcji falowych. W takim przypadku powiemy, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wąskim przedziale xx+dxxx+dx (x, x+ \d x) w momencie tt t jest dane wzorem

P x x + d x = Ψ x t 2 d x = Ψ * x t Ψ x t d x , P x x + d x = Ψ x t 2 d x = Ψ * x t Ψ x t d x , P\apply(x, x+ \d x) = \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 \d x = \Psi ^ {\text{*}} \apply (x,t) \Psi\apply(x,t) \d x \text{,}
7.9

gdzie Ψ*xtΨ*xt \Psi ^ {\text{*}} \apply(x,t) jest funkcją sprzężoną do funkcji falowej. Sprzężenie funkcji możemy otrzymać przez zamianę każdego wystąpienia i=-1i=-1 i = \sqrt{-1} na ii -i. W ten sposób eliminujemy wszystkie liczby zespolone z rozwiązania, ponieważ wynikiem działania Ψ*xtΨxtΨ*xtΨxt \Psi ^ {\text{*}} \apply(x,t) \Psi\apply(x,t) jest zawsze liczba rzeczywista.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.1

Jeżeli a=3+4ia=3+4i a=3+4i, to jaki będzie wynik mnożenia a*aa*a a^{\text{*}} a?

Rozważmy cząstkę poruszającą się wzdłuż osi xx x, jak to było rozważane wcześniej (Równanie 7.2). Nie działają na nią żadne siły zewnętrzne, a więc porusza się ona ze stałą prędkością i po linii prostej. Formalizm mechaniki kwantowej zakłada, że kwantowo-mechaniczna funkcja falowa cząstki swobodnej może posiadać zarówno część rzeczywistą, jak i urojoną. W przypadku cząstki swobodnej tę funkcję kwantowo-mechaniczną możemy przedstawić wzorem

Ψ x t = A cos k x ω t + i A sin k x ω t , Ψ x t = A cos k x ω t + i A sin k x ω t , \Psi\apply (x,t) = A \cos (kx-\omega t) + iA \sin (kx-\omega t) \text{,}

gdzie AA A jest amplitudą funkcji, kk k jej liczbą falową, a ωω \omega odpowiada częstości kątowej. Wykorzystując wzór Eulera eiϕ=cosϕ+isinϕeiϕ=cosϕ+isinϕ e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi, możemy zapisać to równanie w następujący sposób

Ψ x t = A e i k x ω t = A e i ϕ , Ψ x t = A e i k x ω t = A e i ϕ , \Psi\apply(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)} = A e^{i\phi} \text{,}

gdzie ϕϕ to kąt fazowy. Jeżeli mamy do czynienia z funkcją wolnozmienną w przedziale ΔxΔx \prefop{\Delta} x, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest równe

P x x + Δ x = Ψ * x t Ψ x t Δ x = A e i ϕ A * e i ϕ Δ x = A * A Δ x . P x x + Δ x = Ψ * x t Ψ x t Δ x = A e i ϕ A * e i ϕ Δ x = A * A Δ x . P\apply(x, x+ \prefop{\Delta}x) = \Psi ^ {\text{*}}\apply (x,t) \Psi\apply (x,t) \prefop{\Delta} x = A e^{i\phi} A^{\text{*}} e^{-i\phi} \prefop{\Delta} x = A^{\text{*}} A \prefop{\Delta} x \text{.}

Jeżeli AA A jest liczbą zespoloną (a+iba+ib a+ib, gdzie aa a i bb b są stałymi rzeczywistymi), to

A * A = a + i b a i b = a 2 + b 2 . A * A = a + i b a i b = a 2 + b 2 . A^{\text{*}}A = (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 \text{.}

Zauważmy, że części urojone zniknęły. Tak więc

P x x + Δ x A 2 Δ x P x x + Δ x A 2 Δ x P\apply(x, x+\prefop{\Delta}x) \approx \abs{A}^2 \prefop{\Delta}x

ma wartość rzeczywistą. Interpretacja Ψ*xtΨxtΨ*xtΨxt \Psi ^ {\text{*}} \apply(x,t) \Psi\apply (x,t) jako gęstości prawdopodobieństwa daje pewność, że przewidywania mechaniki kwantowej są mierzalne w rzeczywistym świecie.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.2

Załóżmy, że cząstka o energii EE E porusza się wzdłuż osi xx x i jest ograniczona do przedziału 0xL0xL. Możliwą funkcją falową tej cząstki jest

Ψ x t = A e i E t sin π x L , dla  0 x L , 0 , w pozostałych przypadkach. Ψ x t = A e i E t sin π x L , dla  0 x L , 0 , w pozostałych przypadkach. \mathrm{Ψ}\apply(x,t)= \left{ \begin{matrix*}[l] Ae^{-iEt/\hbar}\sin(\frac{\pi x}{L}) \text{,} &\text{ dla } 0\leq x\leq L \text{,} \\ 0 \text{,} &\text{ w pozostałych przypadkach.} \end{matrix*} \right\

Określ stałą normalizacji.

Wartości oczekiwane obserwabli a równanie Schrödingera

W mechanice klasycznej rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja pewnej mierzalnej wielkości, jak xtxt x\apply(t), gdzie xx x jest położeniem, a tt t odpowiada czasowi. Zauważmy, że jednej wartości tt t odpowiada tylko jedna wartość xx x, natomiast w mechanice kwantowej rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja falowa ΨxtΨxt \Psi\apply(x,t), a cząstka może mieć różne położenie dla każdej chwili tt t. Jedynym sposobem określenia położenia cząstki jest skorzystanie z gęstości prawdopodobieństwa Ψxt2Ψxt2 \abs{\Psi\apply(x,t)}^2. Średnia wartość położenia dużej liczby cząstek o tej samej funkcji falowej wynosi

x = + x P x t d x = + x Ψ * x t Ψ x t d x . x = + x P x t d x = + x Ψ * x t Ψ x t d x . \langle x \rangle = \int_{- \infty}^{+\infty} x P\apply(x,t) \d x = \int_{- \infty}^{+\infty} x \Psi ^ {\text{*}} \apply (x,t) \Psi\apply (x,t) \d x \text{.}
7.10

Zależność tę nazwiemy wartością oczekiwaną (ang. expectation value) położenia i zapiszemy jako

x = + Ψ * x t x Ψ x t d x . x = + Ψ * x t x Ψ x t d x . \langle x \rangle = \int_{- \infty}^{+\infty} \Psi ^ {\text{*}} \apply(x,t) x \Psi\apply (x,t) \d x \text{.}
7.11

Sens tego zapisu zostanie niedługo objaśniony. Zgodnie z założeniami mechaniki kwantowej xx x nazwiemy operatorem położenia (ang. position operator).

Warto zaznaczyć, że funkcja falowa może być uzależniona od innych wielkości, jak prędkość (vv v), pęd (pp p) czy energia kinetyczna (EkEk E_{\text{k}}). Przykładowo wartość oczekiwaną pędu zapiszemy jako

p = + Ψ * p t p Ψ p t d p , p = + Ψ * p t p Ψ p t d p , \langle p \rangle = \int_{- \infty}^{+\infty} \Psi ^ {\text{*}} \apply(p,t) p \Psi\apply(p,t) \d p \text{,}
7.12

gdzie użyjemy dpdp \d p zamiast dxdx \d x dla oznaczenia nieskończenie małej zmiany pędu. W niektórych przypadkach, znając postać funkcji falowej ΨxtΨxt \Psi\apply (x,t), będziemy chcieli obliczyć wartość oczekiwaną pędu. Zapiszemy to jako

p = + Ψ * x t i x Ψ x t d x , p = + Ψ * x t i x Ψ x t d x , \langle p \rangle = \int_{- \infty}^{+\infty} \mathrm{Ψ} ^ {\text{*}}\apply(x,t) (-i\hbar\frac{\partial\text{}}{\partial x}) \mathrm{Ψ}\apply(x,t) \d x \text{,}
7.13

gdzie wyrażenie w nawiasach pomiędzy funkcjami falowymi nazywamy operatorem pędu (ang. momentum operator). Operator pędu działa na funkcję falową po prawej stronie; przed całkowaniem niezbędne jest też pomnożenie otrzymanego wyniku przez funkcję sprzężoną. Operator ten może być zapisany jako

p ̂ x = i x . p ̂ x = i x . \hat{p}_x = -i \hbar {\dd[\partial]{x}} \text{.}
7.14

Operator pędu dla współrzędnych yy y i zz z wyprowadza się w analogiczny sposób. Te i inne operatory wchodzą w zakres zaawansowanej fizyki współczesnej. Jako przykład rozważmy operator energii kinetycznej

E ̂ k = 1 2 m v ̂ x 2 = p ̂ x 2 2 m = i x 2 2 m = 2 2 m x x = 2 2 m 2 x 2 . E ̂ k = 1 2 m v ̂ x 2 = p ̂ x 2 2 m = i x 2 2 m = 2 2 m x x = 2 2 m 2 x 2 . \hat{E}_{\text{k}} = \frac{1}{2} m(\hat{v}_x)^2 = \frac{(\hat{p}_x)^2}{2m} = \frac{(-i \hbar {\dd[\partial]{x}})^2}{2m} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \cdot {\dd[\partial]{x}}({\dd[\partial]{x}}) = \frac{-\hbar^2}{2m}\cdot \dd[\partial^2]{x} \text{.}
7.15

Tak więc jeżeli chcemy obliczyć wartość oczekiwaną energii kinetycznej pewnej cząstki (problem ograniczamy do jednego wymiaru), niezbędne jest dwukrotne zróżniczkowanie funkcji przed jej scałkowaniem.

Obliczenia wartości oczekiwanych często są upraszczane dzięki wykorzystaniu symetrii funkcji falowych. Funkcja falowa może być symetryczna parzyście lub nieparzyście. Parzystą (ang. even function) nazwiemy funkcję spełniającą równanie

ψ x = ψ x . ψ x = ψ x . \psi\apply(x) = \psi\apply(-x) \text{.}
7.16

Natomiast funkcja nieparzysta (ang. odd function) spełnia równanie

ψ x = ψ x . ψ x = ψ x . \psi\apply(x) = -\psi\apply(-x) \text{.}
7.17

Przykłady funkcji parzystej i nieparzystej przedstawia Ilustracja 7.9. Funkcja parzysta jest symetryczna względem osi yy y. Funkcja taka jest tworzona przez odbicie ψxψx \psi\apply(x) dla x>0x>0 x>0 względem osi yy y. Dla porównania – funkcja nieparzysta jest tworzona przez odbicie względem osi yy y, a następnie osi xx x. Funkcja nieparzysta nazywana jest też funkcją antysymetryczną (ang. anti-symmetric function).

Wykres dwóch funkcji falowych jako funkcji x. Skala pionowa przybiera wartości od -0.5 do +0.5 i skala pozioma od -4 do 4. Funkcja falowa parzysta na wykresie ma kolor niebieski. Jest symetryczna wokół początku układu, dodatnia dla wszystkich wartości x, i zmierza do zera na końcach. Część funkcji ma dodatnie minimum w początku układu i maksima po drugiej stronie. Funkcja ma wartość zero w początku układu i na końcach, ujemną po lewej stronie początku układu, gdzie ma swoje minimum i jest dodatnia na prawo, gdzie ma swoje maksimum. Funkcja jest antysymetryczna, co oznacza że ujemna połowa tego samego kształtu jest jej prawą połową, ale odwrotnie jest tak, generowane odbicie funkcji na osi y daje odbicie na osi the x.
Ilustracja 7.9 Przykłady funkcji parzystej i nieparzystej

Funkcja parzysta pomnożona przez funkcję parzystą da również funkcję parzystą. Dobrym przykładem takiej funkcji jest x2ex2x2ex2 x^2 \cdot e^{-x^2} (jest to iloczyn dwóch funkcji parzystych). Zauważamy, że iloczyn dwóch funkcji nieparzystych zawsze daje funkcję parzystą, na przykład xsinxxsinx x \cdot \sin x. Jednakże pomnożenie funkcji parzystej i nieparzystej w wyniku daje funkcję funkcję nieparzystą, jak w zwykłym mnożeniu xex2xex2 x \cdot e^{-x^2}. Wartość całki z funkcji nieparzystej obliczona po całym przedziale (od aa -a do aa a) jej wartości wynosi zero. Zatem jeśli obliczymy pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji (od aa -a do aa a) to okaże się, że pole nad osią xx x jest równe polu pod osią xx x. Jak zobaczymy w następnym przykładzie, ta własność funkcji nieparzystych jest bardzo przydatna.

Przykład 7.3

Wartość oczekiwana (część I)

Znormalizowana funkcja falowa cząstki ma postać
ψ x = e x x 0 x 0 . ψ x = e x x 0 x 0 . \psi\apply(x) = \frac{e^{-\abs{x}/ x_0}}{\sqrt{x_0}} \text{.}

Obliczmy wartość oczekiwaną położenia cząstki.

Strategia rozwiązania

Podstawimy funkcję falową do Równania 7.11. Operator położenia wymaga jedynie mnożenia.

Rozwiązanie

Najpierw pomnożymy, następnie scałkujemy
x = + x ψ x 2 d x = + x e x x 0 x 0 2 d x = 1 x 0 + x e 2 x x 0 d x = 0 . x = + x ψ x 2 d x = + x e x x 0 x 0 2 d x = 1 x 0 + x e 2 x x 0 d x = 0 . \langle x \rangle = \int_{- \infty}^{+\infty} x \abs{\mathrm{ψ}\apply(x)}^2 \d x = \int_{- \infty}^{+\infty} x \abs{\frac{e^{-\abs{x}/x_0}}{\sqrt{x_0}}} ^2 \d x = \frac{1}{x_0} \int_{- \infty}^{+\infty} x e^{-2 \abs{x} / x_0} \d x = 0 \text{.}

Znaczenie

Funkcja pod całką (xe2xx0xe2xx0 x e^{-2 \abs{x} / x_0}) jest nieparzysta, ponieważ stanowi iloczyn funkcji nieparzystej (xx x) i parzystej (e2xx0e2xx0 e^{-2 \abs{x} / x_0}). Całka się zeruje, gdyż pole powierzchni nad osią xx x jest równe polu powierzchni pod osią xx x. Otrzymany wynik (x=0x=0 \langle x \rangle = 0) nie jest zaskakujący, ponieważ funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest symetryczna względem x=0x=0 x=0.

Przykład 7.4

Wartość oczekiwana (część II)

Zależna od czasu funkcja falowa cząstki, której ruch ograniczony jest do zakresu od 00 0 do LL L, dana jest wzorem
Ψ x t = A e i ω t sin π x L , Ψ x t = A e i ω t sin π x L , \mathrm{Ψ}\apply(x,t) = A e^{-i \omega t} \sin (\frac{\pi x}{L}) \text{,}

gdzie ωω \omega jest częstością kątową. (Zauważmy, że funkcja zmienia się podobnie jak sinus ze względu na ograniczenie położenia. Dla x=0x=0 x=0 funkcja sinus jest równa zero, a więc i funkcja falowa wynosi zero, co jest zgodne z warunkami brzegowymi funkcji). Obliczmy wartości oczekiwane położenia, pędu i energii kinetycznej.

Strategia rozwiązania

Musimy znormalizować funkcję, aby uzyskać wartość AA \abs{A}. Następnie wykorzystujemy operatory do obliczenia wartości oczekiwanych.

Rozwiązanie

Obliczamy stałą normalizacji
1 = 0 L Ψ * x t Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L A e i ω t sin π x L d x 1 = A 2 0 L sin 2 π x L d x = A 2 L 2 A = 2 L . 1 = 0 L Ψ * x t Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L A e i ω t sin π x L d x 1 = A 2 0 L sin 2 π x L d x = A 2 L 2 A = 2 L . \begin{multiline} 1 &= \int_0^L \mathrm{Ψ}^{\text{*}}\apply(x,t) \mathrm{Ψ}\apply(x,t) \d x = \int_0^L A^{\text{*}} e^{+i\omega t} \sin (\frac{\pi x}{L}) \cdot A e^{-i\omega t} \sin (\frac{\pi x}{L}) \d x \\ &= \abs{A}^2 \int_0^L \sin ^2 (\frac{\pi x}{L})\d x = \abs{A}^2 \frac{L}{2} \implies \abs{A} = \sqrt{\frac{2}{L}} \text{.} \end{multiline} 1 = 0 L Ψ * x t Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L A e i ω t sin π x L d x = A 2 0 L sin 2 π x L d x = A 2 L 2 A = 2 L .

Wartość oczekiwana położenia wynosi

x = 0 L Ψ * x t x Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L x A e i ω t sin π x L d x x = A 2 0 L x sin 2 π x L d x = A 2 L 2 4 = L 2 . x = 0 L Ψ * x t x Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L x A e i ω t sin π x L d x x = A 2 0 L x sin 2 π x L d x = A 2 L 2 4 = L 2 . \begin{multiline} \langle x \rangle &= \int_0^L \mathrm{Ψ}^{\text{*}}\apply(x,t) x \mathrm{Ψ}\apply(x,t) \d x = \int_0^L A^{\text{*}} e^{+i\omega t} \sin (\frac{\pi x}{L}) \cdot x \cdot A e^{-i\omega t} \sin (\frac{\pi x}{L}) \d x \\ &= \abs{A}^2 \int_0^L x \sin^2 (\frac{\pi x}{L}) \d x = \abs{A}^2 \frac{L^2}{4} = \frac{L}{2} \text{.} \end{multiline} x = 0 L Ψ * x t x Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L x A e i ω t sin π x L d x = A 2 0 L x sin 2 π x L d x = A 2 L 2 4 = L 2 .

Wartość oczekiwana pędu w kierunku xx x również wymaga całkowania. Aby wyliczyć tę całkę, odpowiedni operator musi zadziałać na funkcję falową ψxψx \psi\apply(x) po prawej od siebie

p ̂ x Ψ x t = i x Ψ x t = i x A e i ω t sin π x L = i A h 2 L e i ω t cos π x L . p ̂ x Ψ x t = i x Ψ x t = i x A e i ω t sin π x L = i A h 2 L e i ω t cos π x L . \hat{p}_x \mathrm{Ψ} \apply (x,t) = -i \hbar \dd[\partial]{x} \mathrm{Ψ} \apply(x,t) = -i \hbar \dd[\partial]{x} [A e^{-i \omega t} \sin (\frac{\pi x}{L})] = -i \frac{A h}{2 L} e^{-i \omega t} \cos (\frac{\pi x}{L}) \text{.}

Tym samym wartość oczekiwana pędu jest równa

p = 0 L Ψ * x t p ̂ x Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L i A h 2 L e i ω t cos π x L d x p = i A 2 h 4 L 0 L sin 2 π x L d x = 0 . p = 0 L Ψ * x t p ̂ x Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L i A h 2 L e i ω t cos π x L d x p = i A 2 h 4 L 0 L sin 2 π x L d x = 0 . \begin{multiline} \langle p \rangle &= \int_0^L \mathrm{Ψ}^{\text{*}}\apply(x,t) \hat{p}_x \mathrm{Ψ}\apply(x,t)\d x = \int_0^L A^{\text{*}} e^{+i\omega t} \sin (\frac{\pi x}{L}) \cdot[ -i \frac{A h}{2L} e^{-i \omega t} \cos (\frac{\pi x}{L})] \d x \\ &= - i \frac{\abs{A}^2 h}{4L} \int_0^L \sin (\frac{2 \pi x}{L}) \d x = 0 \text{.} \end{multiline} p = 0 L Ψ * x t p ̂ x Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L i A h 2 L e i ω t cos π x L d x = i A 2 h 4 L 0 L sin 2 π x L d x = 0 .

Funkcja podcałkowa to sinus, a długość fali jest równa szerokości studni LL L, a więc jest funkcją nieparzystą, wyliczaną w punkcie x=L2x=L2 x = L/2. Powoduje to, że całka wynosi zero.

Aby otrzymać wartość oczekiwaną energii kinetycznej w kierunku osi xx x, należy zadziałać operatorem energii na funkcję falową

E ̂ k Ψ x t = 2 2 m 2 2 x Ψ x t = 2 2 m 2 2 x A e i ω t sin π x L E ̂ k Ψ x t = 2 2 m A e i ω t 2 2 x sin π x L = A h 2 8 m L 2 e i ω t sin π x L . E ̂ k Ψ x t = 2 2 m 2 2 x Ψ x t = 2 2 m 2 2 x A e i ω t sin π x L E ̂ k Ψ x t = 2 2 m A e i ω t 2 2 x sin π x L = A h 2 8 m L 2 e i ω t sin π x L . \begin{multiline} \hat{E}_{\text{k}} \mathrm{Ψ} \apply (x,t) &= - \frac{\hbar ^2}{2m} \cdot \dd[\partial^2]{x} \mathrm{Ψ} \apply(x,t) = - \frac{\hbar ^2}{2m} \cdot \dd[\partial^2]{x} [A e^{-i \omega t} \sin (\frac{\pi x }{L})] \\ &= - \frac{\hbar ^2}{2m} A e^{-i \omega t} \dd[\partial^2]{x} \sin (\frac{\pi x }{L}) = \frac{Ah^2}{8mL^2} e^{-i \omega t} \sin (\frac{\pi x }{L}) \text{.} \end{multiline} E ̂ k Ψ x t = 2 2 m 2 2 x Ψ x t = 2 2 m 2 2 x A e i ω t sin π x L = 2 2 m A e i ω t 2 2 x sin π x L = A h 2 8 m L 2 e i ω t sin π x L .

Po podstawieniu wartość oczekiwana energii kinetycznej wynosi

E k = 0 L Ψ * x t E ̂ k Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L A h 2 8 m L 2 e i ω t sin π x L d x E k = A 2 h 2 8 m L 2 0 L sin 2 π x L d x = A 2 h 2 8 m L 2 L 2 = h 2 8 m L 2 . E k = 0 L Ψ * x t E ̂ k Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L A h 2 8 m L 2 e i ω t sin π x L d x E k = A 2 h 2 8 m L 2 0 L sin 2 π x L d x = A 2 h 2 8 m L 2 L 2 = h 2 8 m L 2 . \begin{multiline} \langle E_{\text{k}} \rangle &= \int_0^L \mathrm{Ψ}^{\text{*}}\apply (x,t) \hat{E}_{\text{k}} \mathrm{Ψ} \apply (x,t) \d x = \int_0^L A^{\text{*}} e^{+i\omega t} \sin (\frac{\pi x}{L}) \cdot[ \frac{A h^2}{8mL^2} e^{-i \omega t} \sin (\frac{\pi x}{L})]\d x \\ &= \frac{\abs{A}^2h^2}{8mL^2} \int_0^L \sin^2( \frac{\pi x}{L}) \d x = \frac{\abs{A}^2h^2}{8mL^2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{h^2}{8mL^2} \text{.} \end{multiline} E k = 0 L Ψ * x t E ̂ k Ψ x t d x = 0 L A * e + i ω t sin π x L A h 2 8 m L 2 e i ω t sin π x L d x = A 2 h 2 8 m L 2 0 L sin 2 π x L d x = A 2 h 2 8 m L 2 L 2 = h 2 8 m L 2 .

Znaczenie

Wartość średnia położenia dużej liczby cząstek w danym stanie jest równa L2L2 L/2. Średnia wartość pędu wynosi zero, ponieważ dana cząstka może poruszać się z jednakowym prawdopodobieństwem w lewo i w prawo. Jednakże cząstka nie znajduje się w spoczynku, gdyż jej średnia energia kinetyczna jest różna od zera. Ostatecznie gęstość prawdopodobieństwa wynosi
ψ x 2 = 2 L sin 2 π x L ψ x 2 = 2 L sin 2 π x L \abs{\psi \apply (x)}^2 = \frac{2}{L} \sin^2 (\frac{\pi x}{L})

i osiąga maksimum w punkcie L2L2 L/2, a zero przyjmuje dla x=0x=0 x=0 i x=Lx=L x=L. Zauważmy, że wyniki te nie zależą w sposób jawny od czasu.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.3

Oblicz prawdopodobieństwo znalezienia cząstki z powyższego przykładu w przedziale od 00 \num{0} do L4L4 L/4.

Mechanika kwantowa prowadzi do zaskakujących wniosków. Jednak w 1920 roku Niels Bohr (1885–1962) (założyciel Instytutu Nielsa Bohra w Kopenhadze, od którego pochodzi określenie „interpretacja kopenhaska”) zapewnił, że przewidywania mechaniki kwantowej i klasycznej muszą się zgadzać w przypadku układów makroskopowych, jak planety, piłki, krzesła czy sprężyny. Ta zasada korespondencji (ang. correspondence principle) jest dziś ogólnie akceptowana. Zakłada ona, że reguły mechaniki klasycznej są przybliżeniem reguł mechaniki kwantowej dla układów o dużych energiach i o dużej skali (liczba cząstek dąży do nieskończoności). Mechanika kwantowa dotyczy zarówno systemów mikro-, jak i makroskopowych, natomiast mechanika klasyczna jedynie systemów makroskopowych. Należy zaznaczyć, że za pomocą mechaniki kwantowej jesteśmy w stanie opisać w praktyce tylko małe systemy fizyczne, jak atomy czy cząstki. Większe systemy fizyczne wymagają zazwyczaj zbyt skomplikowanych równań i być może dopiero w przyszłości uda się je zgłębić dzięki mechanice kwantowej.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.