Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 37.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • jakie jest znaczenie nieoznaczoności pędu i położenia w mechanice kwantowej;
  • jakie jest źródło zasady nieoznaczoności w mechanice kwantowej;
  • jakie jest znaczenie nieoznaczoności energii i czasu oraz uogólnienia zasady nieoznaczoności.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga (ang. Heisenberg’s uncertainty principle) występuje w mechanice kwantowej. Z historycznego punktu widzenia analogiczne zasady występują w klasycznej teorii fal, gdzie niemożliwe jest określenie z pełną dokładnością położenia i prędkości rozchodzącej się fali. Możemy też odnieść się do fizyki klasycznej: w sytuacji, gdy nie da się dokładnie określić położenia i pędu satelity orbitującego wokół dużego ciała, np. Ziemi. Fotografując z użyciem lampy błyskowej w pewnych przedziałach czasu bądź używając radaru, zaburzamy wektor pędu satelity. Dzieje się tak, gdyż podczas fotografowania czy korzystania z radaru używamy źródła fotonów mających pewien pęd, który jest częściowo absorbowany, a częściowo odbijany przez orbitującego satelitę (jego powierzchnię), co bardzo nieznacznie zmienia wektor jego pędu. Zdobywając informację o położeniu, w pewnym stopniu tracimy informację o pędzie. Aby zyskać informację o układzie, musimy wejść z nim w pewne oddziaływanie, co oznacza, że stan tego układu zostaje zaburzony. Z reguły, oddziałując na układ, wprowadzamy do niego niewielkie zaburzenie, perturbacyjnie związane z oddziaływaniem tego układu z urządzeniem pomiarowym. W mechanice kwantowej istnieją pojęcia słabego i mocnego pomiaru. Zanim dokonamy pomiaru, układ kwantowo-mechaniczny jest w superpozycji kilku stanów. Dokonanie pomiaru redukuje (zmienia) zazwyczaj układ do superpozycji mniejszej ich liczby lub nawet ogranicza do jednego stanu. Zmiany te są nieodwracalne. Odnieśmy się teraz do przykładu elektronu poruszającego się w próżni po linii prostej. Taki układ przedstawialiśmy w poprzednim podrozdziale. Postarajmy się tutaj sformułować zasadę nieoznaczoności Heisenberga. Ogólnie głosi ona, że im więcej wiemy o położeniu cząstki (niepewność pomiaru położenia dąży do zera), to tym mniej wiemy o jej pędzie (niepewność pomiaru pędu może być dowolnie duża) i vice versa. Zasada nieoznaczoności istnieje też dla innych wielkości fizycznych, takich jak energia i czas. Można powiedzieć, że zachodzi ona dla dwóch nieprzemiennych (niekomutujących) zmiennych fizycznych a a a i b b b (np. położenia i pędu), dla których operatory reprezentujące te zmienne (np. macierze kwadratowe A A A i B B) nie są przemienne, tzn. iloczyn macierzy A A A i B B B nie jest równy iloczynowi B B B i A A A ( A B B A A B B A AB \neq BA ). Oczywiście z matematyki zasadniczo wiemy, że iloczyn macierzy A A A i B B B nie jest wyrażeniem równym B B B i A A A . Warto tutaj zaznaczyć, że macierze A A A i B B B (odpowiadające dwóm mierzonym wielkościom fizycznym) są hermitowskie, tzn. że Aij=Aji*Aij=Aji* A_{i \sep j} = A^{\text{*}}_{j\sep i}. Symbole i i i oraz j j j stanowią indeksy elementów macierzy, będące liczbami naturalnymi, podczas gdy same elementy macierzy, czyli A i j A i j A_{ij} i B i j B i j B_{ij} , są liczbami zespolonymi.

Najpopularniejsze postaci zasady nieoznaczoności Heisenberga znane w literaturze to zasada nieoznaczoności pędu i położenia oraz zasada nieoznaczoności energii i czasu. Obie będziemy omawiać oddzielnie, choć ich źródło leży w podstawach mechaniki kwantowej i jest związane z nieprzemiennością obserwabli (wielkości fizycznych) reprezentowanych przez operatory.

Pęd i położenie

Aby zobrazować zasadę nieoznaczoności pędu i położenia, rozważmy cząstkę swobodną poruszającą się wzdłuż osi x x x . Cząstka ta przemieszcza się ze stałą prędkością v v v i pędem p = m v p = m v p = mv . Według hipotezy de Broglie’a p = k p = k p = \hbar k , a E = ω E = ω E = \hbar \omega . Jak zostało to wyprowadzone w poprzednim podrozdziale, funkcja falowa tej cząstki jest dana wzorem

Ψ x t = A cos ω t k x i sin ω t k x = A e i ω t k x = A e i ω t e i k x , Ψ x t = A cos ω t k x i sin ω t k x = A e i ω t k x = A e i ω t e i k x , \Psi \apply(x,t) = A [\cos (\omega t - kx) - i \sin (\omega t - kx)] = A e^{-i (\omega t - kx)} = Ae^{-i \omega t} e^{ikx} \text{,}
7.18

a gęstość prawdopodobieństwa Ψ x t 2 = A 2 Ψ x t 2 = A 2 \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 = A^2 jest jednorodna, czyli niezależna od położenia w przestrzeni, i niezależna od czasu. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest takie samo wzdłuż całej osi x x x , ale cząstka ma określoną liczbę falową, wyrażoną długością fali, a co za tym idzie pęd. Niepewność położenia jest dowolnie duża, bo cząstka może mieć dowolną wartość x x x (nawet nieskończoną), a niepewność określenia pędu wynosi zero (gdyż założyliśmy, że znamy wektor falowy k k k ), co oznacza, że wiemy, jaki pęd ma cząstka (jest wyrażony przez k k k ), ale nie mamy danych na temat jej położenia. Sytuacja ta to jedna z możliwości dopuszczalnych przez zasadę nieoznaczoności Heisenberga.

Podobne spostrzeżenia mogą dotyczyć zlokalizowanej cząstki. W teorii kwantowej, będącej konsekwencją rozwiązań równania Schrödingera (liniowego równania różniczkowego, cząstkowego lub zwyczajnego), cząstka zlokalizowana jest cząstką opisywaną za pomocą liniowej superpozycji fal opisujących cząstkę swobodną. Warto tutaj zauważyć, że dwie fale biegnące w przeciwnych kierunkach mogą tworzyć falę stojącą. Przykłady fal stojących znamy chociażby z rezonatora. Zbiór fal biegnących w jedną stronę i będących rozwiązaniem równania Schrödingera nazywamy paczką falową (ang. wave packet). Przykład paczki falowej pokazuje Ilustracja 7.10. Mogą ją charakteryzować różne długości falowe, a co za tym idzie różne pędy. Taką cząstkę wyróżnia także wiele wartości położenia, chociaż związana jest z przedziałem Δ x Δ x \prefop{\Delta} x . Cząstka może być lepiej zlokalizowana (niepewność Δ x Δ x \prefop{\Delta} x może być mniejsza), jeśli zwiększymy Δ p Δ p \prefop{\Delta} p . Jest to zgodne z zasadą nieoznaczoności Heisenberga.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Wprowadźmy definicję nieoznaczoności położenia Δ x Δ x \prefop{\Delta} x i nieoznaczoności pędu Δ p Δ p \prefop{\Delta} p . Musimy zdać sobie sprawę z tego, że w mechanice kwantowej dana wielkość fizyczna podlega rozkładowi statystycznemu i jest zmienną losową. Odchylenie standardowe zmiennej losowej jest właściwością badanego zjawiska. Daje się ono obliczyć na podstawie ścisłych informacji o rozkładzie zmiennej losowej, jaką jest np. położenie elektronu w przestrzeni, oznaczane przez x x x . Odchylenie standardowe zmiennej losowej x x x jest zdefiniowane jako

Δ x = x 2 x 2 , Δ x = x 2 x 2 , \prefop{\Delta} x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} \text{,}
7.19

a odchylenie standardowe zmiennej losowej p p p definiujemy jako

Δ p = p 2 p 2 . Δ p = p 2 p 2 . \prefop{\Delta} p = \sqrt{\langle p^2 \rangle - \langle p\rangle ^2} \text{.}
7.20

Tutaj x 2 x 2 \langle x^2 \rangle i x x \langle x \rangle to odpowiednio wartości średnie zmiennej x 2 x 2 x^2 i x x x . Podobnie p 2 p 2 \langle p^2 \rangle i p p \langle p \rangle to odpowiednio wartości średnie zmiennej p 2 p 2 p^2 i p p p . Sformułowawszy defincje Δ x Δ x \prefop{\Delta}x i Δ p Δ p \prefop{\Delta}p , przechodzimy do sformułowania zasady nieoznaczoności dla położenia i pędu. Wyraża się ona przez nierówność

Δ x Δ p 2 . Δ x Δ p 2 . \prefop{\Delta}x \prefop{\Delta}p \geq \frac{\hbar}{2} \text{.}
7.21

Zatem iloczyn niepewności pomiaru położenia cząstki i pomiaru położenia pędu nie może być mniejszy niż połowa zredukowanej stałej Plancka \hbar . Ta zależność opisuje zasadę nieoznaczoności Heisenberga. Nakłada ona ograniczenie na to, ile możemy się dowiedzieć o danej cząstce podczas jednoczesnego pomiaru jej pędu i położenia. Jeżeli niepewność Δ x Δ x \prefop{\Delta}x jest duża, wówczas Δ p Δ p \prefop{\Delta}p jest mała i vice versa. Heisenberg w swojej oryginalnej pracy stwierdził, że zazwyczaj wartość iloczynu niepewności położenia i prędkości jest większa niż wartość określona przez dolną granicę podanej nierówności.

Warto tutaj zauważyć, że obserwable x x x i p x p x p_x nie komutują, tzn. nie są przemienne. Aby to uogólnić, definiujemy komutator zmienny x x x i p x p x p_x jako x p x = x p x p x x x p x = x p x p x x [x, p_x] = xp_x - p_x x . Mechanika kwantowa zakłada, że x p x = i x p x = i [x, p_x] = i \hbar , gdzie i i i to symbol urojony.

Podobną zasadę nieoznaczoności można wprowadzić dla dwóch dowolnych niekomutujących zmiennych. Wynika ona z postulatów mechaniki kwantowej (obserwabli odpowiada operator) i jednoczesnej niewspółmierzalności dwóch zmiennych.

Pokazano kilka różnych fal o tej samej amplitudzie. W wyniku ich dodawania się tworzy się paczka falowa. Paczka falowa oscyluje wokół swego rosnącego maksimum z zakresem pulsacji oznaczonym jako Delta x.
Ilustracja 7.10 Dodanie do siebie kilku fal o różnych długościach może spowodować powstanie fali zlokalizowanej.

Zauważmy, że zasada nieoznaczoności nie odnosi się bezpośrednio do dokładności urządzeń, za pomocą których dokonujemy pomiarów. Nawet w przypadku mierników idealnych zasada nieoznaczoności funkcjonuje bez zmian, ponieważ ma ona swoje źródło w falowej naturze materii, reprezentowanej przez mechanikę kwantową. Dokładna wartość iloczynu Δ x Δ p Δ x Δ p \prefop{\Delta}x\prefop{\Delta}p zależy od funkcji falowej. Co ciekawe, w sytuacji, gdy funkcja falowa jest funkcją Gaussa, iloczyn Δ x Δ p Δ x Δ p \prefop{\Delta}x\prefop{\Delta}p osiąga wartość minimalną, która wynosi Δ x Δ p = 2 Δ x Δ p = 2 \prefop{\Delta}x\prefop{\Delta}p = \hbar / 2 .

Przykład 7.5

Zasada nieoznaczoności – duże i małe wartości

Określmy minimalną wartość niepewności położenia następujących ciał, jeżeli wiemy, że ich prędkości były zmierzone z dokładnością do 10 -3 m s 10 -3 m s 10^{-3} \si{\metre\per\second} :
  1. elektronu;
  2. kuli do kręgli o masie 6 kg 6 kg \SI{6}{\kilo\gram} .

Strategia rozwiązania

Znając niepewność prędkości Δ v = 10 -3 m s Δ v = 10 -3 m s \prefop{\Delta}v = 10^{-3} \si{\metre\per\second} , musimy najpierw obliczyć niepewność pędu Δ p = m Δ v Δ p = m Δ v \prefop{\Delta} p = m \prefop{\Delta} v , a następnie przekształcić Równanie 7.21, aby obliczyć szukaną niepewność położenia Δ x = 2 Δ p Δ x = 2 Δ p \prefop{\Delta}x = \hbar / (2 \prefop{\Delta}p) .

Rozwiązanie

  1. W przypadku elektronu
    Δ p = m Δ v = 9,1 10 -31 kg 10 -3 m s = 9,1 10 -34 kg m s , Δ p = m Δ v = 9,1 10 -31 kg 10 -3 m s = 9,1 10 -34 kg m s , \prefop{\Delta}p = m \prefop{\Delta} v = \SI{9,1e-31}{\kilo\gram} \cdot 10^{-3} \si{\metre\per\second} = \SI{9,1e-34}{\kilo\gram\metre\per\second} \text{,}
    Δ x = 2 Δ p = 5,8 cm . Δ x = 2 Δ p = 5,8 cm . \prefop{\Delta}x = \frac{\hbar}{2 \prefop{\Delta}p} = \SI{5,8}{\centi\metre} \text{.}
  2. W przypadku kuli do kręgli
    Δ p = m Δ v = 6 kg 10 -3 m s = 6 10 -3 kg m s , Δ p = m Δ v = 6 kg 10 -3 m s = 6 10 -3 kg m s , \prefop{\Delta}p = m \prefop{\Delta} v = \SI{6}{\kilo\gram} \cdot 10^{-3} \si{\metre\per\second} = \SI{6e-3}{\kilo\gram\metre\per\second} \text{,}
    Δ x = 2 Δ p = 8,8 10 -33 m . Δ x = 2 Δ p = 8,8 10 -33 m . \prefop{\Delta}x = \frac{\hbar}{2 \prefop{\Delta}p} = \SI{8,8e-33}{\metre} \text{.}

Znaczenie

W przeciwieństwie do elektronu niepewność położenia kuli do kręgli jest niezmiernie mała. Dzieje się tak ze względu na bardzo małą wartość stałej Plancka. Ograniczenia nakładane przez zasadę nieoznaczoności nie są więc zauważalne w przypadku układów makroskopowych, takich jak kula do kręgli.

Przykład 7.6

Zasada nieoznaczoności i atom wodoru

Oszacujmy energię stanu podstawowego atomu wodoru, wykorzystując zasadę nieoznaczoności Heisenberga. Wskazówka: Za rozmiar wodoru przyjmiemy 0,1 nm 0,1 nm \SI{0,1}{\nano\metre} .

Strategia rozwiązania

Cząstka umieszczona w jednowymiarowym pudełku o długości L = 0,1 nm L = 0,1 nm L = \SI{0,1}{\nano\metre} jest dobrym modelem elektronu związanego z atomem wodoru. Funkcja falowa stanu podstawowego tego układu jest falą połówkową, jak ta w Przykładzie 7.1. Jest to największa fala, jaka może się zmieścić w pudełku. Funkcja ta odpowiada stanowi o najniższej energii. Zauważmy, że ma ona kształt zbliżony do krzywej Gaussa (funkcji dzwonowej). Średnią energię E E E cząstki opisanej taką funkcją możemy przyjąć za dobre przybliżenie energii stanu podstawowego ( E 0 E 0 E_0 ). Średnia energia cząstki jest związana z kwadratem średniego pędu, który z kolei łączymy z niepewnością pędu.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zagadnienie, musimy dokładnie określić, co oznaczają niepewność położenia i niepewność pędu. Możemy przyrównać niepewność położenia ( Δ x Δ x \prefop{\Delta}x ) do odchylenia standardowego położenia ( σ x σ x \sigma_x ), a niepewność pędu ( Δ p Δ p \prefop{\Delta}p ) do odchylenia standardowego pędu ( σ p σ p \sigma_p ). Dla funkcji Gaussa iloczyn niepewności wynosi
σ x σ p = 2 , σ x σ p = 2 , \sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \text{,}

gdzie

σ x 2 = x 2 x 2  oraz  σ p 2 = p 2 p 2 . σ x 2 = x 2 x 2  oraz  σ p 2 = p 2 p 2 . \sigma^2_x = \overline{x^2}-\overline{x}^2 \text{ oraz } \sigma^2_p = \overline{p^2}-\overline{p}^2 \text{.}

Cząstka z równym prawdopodobieństwem może poruszać się w lewo i w prawo, a więc p = 0 p = 0 \overline{p} = 0 ( p p p to tutaj składowa x x x pędu, wobec czego p x = p p x = p p_x = p ). Co więcej, niepewność położenia jest porównywalna z rozmiarami pudełka, więc σ x = L σ x = L \sigma_x = L . Szacowana wartość energii stanu podstawowego wynosi zatem

E 0 = E Gaussian = p 2 m = σ p 2 2 m = 1 2 m 2 σ x 2 = 2 8 m L 2 . E 0 = E Gaussian = p 2 m = σ p 2 2 m = 1 2 m 2 σ x 2 = 2 8 m L 2 . E_0 = E_{\text{Gaussian}} = \frac{\overline{p^2}}{m} = \frac{\sigma^2_p}{2m} = \frac{1}{2m} \cdot (\frac{\hbar}{2\sigma_x})^2 = \frac{\hbar ^2}{8mL^2} \text{.}

Mnożąc uzyskany wynik przez c 2 c 2 c^2 , otrzymujemy

E 0 = c 2 8 m c 2 L 2 = 197,3 eV nm 2 8 0,511 10 6 eV 0,1 nm 2 = 0,952 eV 1 eV . E 0 = c 2 8 m c 2 L 2 = 197,3 eV nm 2 8 0,511 10 6 eV 0,1 nm 2 = 0,952 eV 1 eV . E_0 = \frac{(\hbar c)^2}{8mc^2L^2} = \frac{(\SI{197,3}{\electronvolt\metre\nano})^2}{8\cdot \SI{0,511e6}{\electronvolt} \cdot (\SI{0,1}{\nano\metre})^2} = \SI{0,952}{\electronvolt} \approx 1 \si{\electronvolt} \text{.}

Znaczenie

Bazując na przyjętym rozmiarze atomu wodoru i zasadzie nieoznaczoności, można stwierdzić, że energia stanu podstawowego wodoru jest rzędu jedności eV eV \si{\electronvolt} . Energia jonizacji elektronu w stanie podstawowym wynosi ok. 10 eV 10 eV \SI{10}{\electronvolt} , a więc nasze szacunki możemy uznać za poprawne (zauważ, że iloczyn c c \hbar c jest bardzo użyteczny w obliczeniach z zakresu mechaniki kwantowej).

Energia i czas

Druga zasada nieoznaczoności Heisenberga (ang. energy-time uncertainty principle) dotyczy niepewności jednoczesnego pomiaru energii stanu kwantowego i czasu jego życia

Δ E Δ t 2 , Δ E Δ t 2 , \prefop{\Delta}E \prefop{\Delta} t \geq \frac{\hbar}{2} \text{,}
7.22

gdzie Δ E Δ E \prefop{\Delta}E jest niepewnością pomiaru energii ( Δ E Δ E \prefop{\Delta}E – odchylenie standardowe przy pomiarze energii), a Δ t Δ t \prefop{\Delta}t – analogicznie – niepewnością pomiaru czasu ( Δ t Δ t \prefop{\Delta}t – odchylenie standardowe w pomiarze czasu). Ogólne znaczenie tej zasady przypomina relację pędu i położenia. Cząstka w pewnym stanie kwantowym i o krótkim czasie życia nie może mieć dokładnie określonej wartości energii. Dzieje się tak, ponieważ częstotliwość danego stanu jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, a energia stanu kwantowego zależy bezpośrednio od częstotliwości, przez co, aby dokładnie zmierzyć energię danego stanu, niezbędna jest obserwacja wielu cykli cząstki.

Aby zobrazować to zagadnienie, rozważmy stany wzbudzone pewnego atomu. Skończony czas istnienia tych stanów może być oszacowany na podstawie linii spektralnych promieniowania atomów. Za każdym razem, gdy stan wzbudzony ulega rozpadowi, rejestrowana energia emitowana z atomu trochę się zmienia. Analizując statystycznie te zmiany, możemy przyporządkować energię i częstości pewnym charakterystycznym szerokościom spektralnym. Średnia energia emitowanego fotonu odpowiada teoretycznej wartości energii stanu wzbudzonego i dostarcza informacji o pozycji piku na widmie. Stany o krótkim czasie istnienia mają duże szerokości widmowe, a te o dłuższym czasie życia – mniejsze.

Przykład 7.7

Przejścia atomowe

Atom znajduje się w stanie wzbudzonym średnio przez Δ t = 10 -8 s Δ t = 10 -8 s \prefop{\Delta}t = 10^{-8} \si{\second} . Oszacujmy niepewność Δ ν Δ ν \prefop{\Delta} \nu częstotliwości emitowanych fotonów, gdy atom przechodzi ze stanu wzbudzonego w stan podstawowy z jednoczesną emisją fotonu ze średnią częstotliwością ν = 7,1 10 14 Hz ν = 7,1 10 14 Hz \nu = \SI{7,1e14}{\hertz} . Czy emitowana fala jest monochromatyczna?

Strategia rozwiązania

Przekształcamy Równanie 7.22, aby otrzymać wyrażenie na niepewność energii Δ E 2 Δ t Δ E 2 Δ t \prefop{\Delta} E \approx \hbar / (2 \prefop{\Delta} t) , a następnie łączymy ze wzorem na energię fotonu E f = h ν E f = h ν E_{\text{f}} = h\nu , aby otrzymać Δ ν Δ ν \prefop{\Delta} \nu . W celu określenia, czy fala będzie monochromatyczna, musimy obliczyć Δ ν ν Δ ν ν \prefop{\Delta} \nu / \nu .

Rozwiązanie

Zakres energii fotonu wynosi Δ E f = h Δ ν Δ E f = h Δ ν \prefop{\Delta} E_{\text{f}} = h \prefop{\Delta}\nu . A zatem
Δ E f 2 Δ t h Δ ν 2 Δ t Δ ν 1 4 π Δ t = 1 4 π 10 -8 s = 8 10 6 Hz , Δ E f 2 Δ t h Δ ν 2 Δ t Δ ν 1 4 π Δ t = 1 4 π 10 -8 s = 8 10 6 Hz , \prefop{\Delta} E_{\text{f}} \approx \frac{\hbar}{2 \prefop{\Delta}t} \implies h \prefop{\Delta}\nu \approx \frac{\hbar}{2 \prefop{\Delta}t} \implies \prefop{\Delta}\nu \approx \frac{1}{4 \pi \prefop{\Delta}t} = \frac{1}{4 \pi \cdot 10^{-8} \si{\second}} = \SI{8e6}{\hertz} \text{,}
Δ ν ν = 8 10 6 Hz 7,1 10 14 Hz = 1,1 10 -8 . Δ ν ν = 8 10 6 Hz 7,1 10 14 Hz = 1,1 10 -8 . \frac{\prefop{\Delta}\nu}{\nu} = \frac{\SI{8e6}{\hertz}}{\SI{7,1e14}{\hertz}} = \num{1,1e-8} \text{.}

Znaczenie

Ponieważ emitowane fotony są zgodne co do 1,1 10 -8 1,1 10 -8 \num{1,1e-8} części średniej częstotliwości, emitowane promieniowanie będzie można uznać za monochromatyczne.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.4

Atom sodu przechodzi z pierwszego stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, emitując foton o długości fali 589 nm 589 nm \SI{589}{\nano\metre} i energii 2,105 eV 2,105 eV \SI{2,105}{\electronvolt} . Wiedząc, że czas, jaki atom spędza w stanie wzbudzonym, wynosi 1,6 10 -8 s 1,6 10 -8 s \SI{1,6e-8}{\second} , określ, jaka jest niepewność energii w tym stanie.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.