7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny

Klasyczny oscylator harmoniczny

Prostym oscylatorem harmonicznym nazwiemy cząstkę lub układ, oscylujące harmonicznie wokół punktu równowagi, jak ciało na sprężynie. W tym podrozdziale będziemy się zajmować jedynie jednowymiarowymi oscylacjami. Rozważmy więc ciało oscylujące wokół pewnego punktu równowagi $x=0$. W mechanice klasycznej na cząstkę działa siła sprężystości dana wzorem $F_x=-kx$, gdzie $x$ jest przemieszczeniem cząstki względem punktu równowagi. Ruch odbywa się między dwoma maksymalnymi wychyleniami $x=\pm A$, gdzie $A$ oznacza amplitudę drgań. Położenie ciała zmienia się okresowo w czasie z prędkością kątową $\omega =\sqrt{k∕m}$, która zależy od masy $m$ oscylatora i stałej sprężystości $k$. Zależność opisującą przemieszczenie możemy zapisać jako

Całkowita energia $E$ oscylatora jest sumą jego energii kinetycznej $E_{\text{k}}=m{v}^2∕2$ i energii potencjalnej $V\left(x\right)=k{x}^2∕2$

W punktach maksymalnego wychylenia $x=\pm A$ prędkość oscylatora spada do zera, a więc energia oscylatora jest wtedy równa energii potencjalnej: $E=k{A}^2∕2$. Graficzną reprezentacją energii potencjalnej w funkcji położenia jest parabola (Ilustracja 7.14). Energia potencjalna jest funkcją kwadratową zależną od $x$, mierzoną w odniesieniu do punktu równowagi, w którym przyjmuje wartość równą zero. Na tym samym rysunku przerywaną linią zaznaczony jest przebieg całkowitej energii oscylatora. Możemy łatwo wydedukować, że energia kinetyczna będzie różnicą energii całkowitej i potencjalnej.

Ilustracja 7.14 Studnia potencjału klasycznego oscylatora harmonicznego. Ruch oscylatora jest ograniczony do punktów przecięcia wykresów energii całkowitej i potencjalnej $x=-A$ i $x=+A$. Energia oscylacji wynosi $E=k{A}^2∕2$.

Ruch klasycznego oscylatora harmonicznego jest ograniczony do przedziału, w którym energia kinetyczna przyjmuje wartości dodatnie. Oznacza to, że oscylator harmoniczny nigdy nie wychyli się dalej niż wynosi jego amplituda, od której zależy też jego maksymalna energia. Najmniejsza możliwa energia klasycznego oscylatora harmonicznego wynosi zero i odpowiada sytuacji, gdy ciało spoczywa w punkcie równowagi. Gdy ciało oscyluje, niezależnie od tego, czy są to duże, czy małe oscylacje, najdłużej znajduje się w punktach maksymalnego wychylenia, gdzie jego prędkość spada do zera, a następnie zmienia zwrot. Prawdopodobieństwo znalezienia ciała w tych punktach jest więc największe, a najmniejsze w punkcie równowagi, gdzie ciało ma największą prędkość (zauważmy, że to stwierdzenie nie odnosi się do minimalizacji energii, a do prędkości samego ciała).

Kwantowy oscylator harmoniczny

Model klasycznego oscylatora, choć prosty, nie jest uniwersalny. Nie możemy go wykorzystać np. do opisania drgań cząstek dwuatomowych, gdzie efekty kwantowe mają duże znaczenie. Pierwszym krokiem do formalizmu kwantowego jest wykorzystanie klasycznego wyrażenia $k=m{\omega }^2$, aby uniknąć sformułowania stałej sprężystości między atomami. Dzięki temu energia potencjalna może zostać zapisana jako

Łącząc to wyrażenie z zależnym od czasu równaniem Schrödingera, otrzymujemy

Do rozwiązania tego równania, a więc do znalezienia dozwolonych poziomów energetycznych $E$ i odpowiadających im funkcji falowych $\psi \left(x\right)$, wymagamy symetrii funkcji falowych wokół $x=0$ (dno studni potencjału) oraz aby były one możliwe do znormalizowania. Te warunki zapewniają skończoność gęstości prawdopodobieństwa ${\left|\psi \left(x\right)\right|}^2$ po scałkowaniu na przedziale od $-\infty$ do $+\infty$. Rozwiązanie tego równania wykracza poza program niniejszego podręcznika, przejdziemy więc od razu do gotowych rozwiązań

Funkcje falowe odpowiadające tym energiom (stany stacjonarne lub stany o określonej energii) wynoszą

gdzie $\beta =\sqrt{m\omega ∕\hslash }$, $N_n$ jest stałą normalizacji, a $H_n\left(y\right)$ to wielomian stopnia $n$; wielomiany te nazywane są też wielomianami Hermite’a. Pierwsze wielomiany Hermite’a mają postać

Kilka przykładowych funkcji zostało zamieszczonych na Ilustracji 7.15. Wraz ze wzrostem głównej liczby kwantowej rozwiązania oscylują między parzystymi i nieparzystymi funkcjami wokół $x=0$.

Ilustracja 7.15 Pierwsze pięć funkcji falowych kwantowego oscylatora harmonicznego. Klasyczne ograniczenia ruchu oscylatora oznaczone są pionowymi liniami odpowiadającymi maksymalnym wychyleniom klasycznego oscylatora $x=\pm A$ o takiej samej energii jak kwantowy oscylator o stanie oznaczonym na rysunku.

Z tego przykładu możemy wyciągnąć kilka ciekawych wniosków. W przeciwieństwie do klasycznego oscylatora zmierzone wartości energii oscylatora kwantowego mogą przyjmować jedynie określone wartości (Równanie 7.76). Co więcej, w przeciwieństwie do przypadku cząstki kwantowej w pudełku poziomy energetyczne są jednakowo od siebie oddalone

Gdy cząstka będąca częścią takiego układu przejdzie z wyższego poziomu energetycznego na niższy, najmniejsza porcja energii emitowanego fotonu wynosi $h\nu$. Podobnie gdy cząstka przechodzi z niższego na wyższy poziom energii, najmniejsza możliwa energia, jaką może ona zaabsorbować, jest równa $h\nu$. Kwantowy oscylator harmoniczny może absorbować i emitować jedynie wielokrotności tego kwantu energii. Jest to zgodne z przewidywaniami Plancka w związku z problemem promieniowania ciała doskonale czarnego.

Kwantowy oscylator różni się od klasycznego pod trzema względami:

Po pierwsze, stan podstawowy kwantowego oscylatora wynosi $E_0=\hslash \omega ∕2$ (w jednym wymiarze, podczas gdy w dwóch i trzech wymiarach wynosi odpowiednio $\hslash \omega$ i $3\hslash \omega ∕2$), a nie zero, jak w przypadku najniższej możliwej energii układu klasycznego. Energia sprężystości oscylatora dwu- i trójwymiarowego wynosi $1∕2\cdot k\left(x^2+y^2\right)$ i $1∕2\cdot k\left(x^2+y^2+z^2\right)$. Podobnie energie kinetyczne wynoszą odpowiednio $1∕2\cdot m\left(v_x^2+v_y^2\right)$ oraz $1∕2\cdot m\left(v_x^2+v_y^2+v_z^2\right)$.

Po drugie, cząstka w potencjale kwantowego oscylatora harmonicznego może być znaleziona z niezerowym prawdopodobieństwem poza przedziałem $-A\le x\le A$. W klasycznym przypadku jest to niemożliwe energetycznie. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki kwantowej w stanie podstawowym, znajdującej się w przedziale wzbronionym, wynosi około $16\mathrm{\%}$.

Po trzecie, rozkład gęstości prawdopodobieństwa kwantowego oscylatora w stanie podstawowym jest największy pośrodku studni ($x=0$). Oznacza to, że cząstka spędza najwięcej czasu pośrodku studni, co daje odwrotną sytuację niż w przypadku klasycznego oscylatora, dla którego największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki istnieje w punktach maksymalnego wychylenia.

Charakter rozkładów gęstości prawdopodobieństwa w układach kwantowych zmienia się dla stanów wzbudzonych, upodabniając się do rozkładów klasycznych wraz ze wzrostem liczby kwantowej. Zmiana ta jest widoczna już dla pierwszego stanu wzbudzonego kwantowego oscylatora, ponieważ jego rozkład rośnie w pobliżu punktów granicznych, a zanika w położeniu równowagi, jak widać na Ilustracji 7.14. Zgodnie z zasadą korespondencji Bohra, przy warunku dużych liczb kwantowych, kwantowy opis oscylatora harmonicznego zgadza się z klasycznym modelem, co zostało przedstawione na Ilustracji 7.16. Klasyczny rozkład gęstości prawdopodobieństwa odpowiadający energii układu o liczbie kwantowej $n=12$ jest dobrym przybliżeniem kwantowego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa oscylatora kwantowego w stanie wzbudzonym. Im bardziej wzbudzone stany, tym większa zgodność rozkładów.

Ilustracja 7.16 Rozkład gęstości prawdopodobieństwa znalezienia kwantowego oscylatora harmonicznego w stanie odpowiadającym $n=12$. Linia przerywana odpowiada rozkładowi gęstości prawdopodobieństwa klasycznego oscylatora harmonicznego o tej samej energii.