Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 37.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać, w jaki sposób cząstka kwantowa może tunelować przez bariery potencjału;
  • określać parametry fizyczne, które wpływają na prawdopodobieństwo tunelowania;
  • rozpoznawać zjawiska fizyczne, w których możemy zaobserwować tunelowanie;
  • wyjaśniać, w jaki sposób tunelowanie cząstek jest wykorzystywane w nowoczesnych technologiach.

Tunelowanie kwantowe (ang. quantum tunneling) jest zjawiskiem fizycznym, które opisuje cząstki przenikające bariery potencjału o wysokości znacznie przekraczającej energię tych cząstek, jak pokazano na Ilustracji 7.17. Zjawisko to jest niezwykle interesujące i ważne, ponieważ narusza zasady mechaniki klasycznej. Tunelowanie jest istotne w modelach Słońca i ma szeroki zakres zastosowań, jak skaningowy mikroskop tunelowy czy dioda tunelowa. W 1971 roku Nagrodę Nobla przyznano za empiryczne odkrycie zjawiska tunelowania w półprzewodnikach i nadprzewodnikach oraz za teoretyczne przewidzenie własności prądu nadprzewodnictwa płynącego przez barierę tunelową, w szczególności dla zjawisk, które są znane jako efekty Josephsona. Obecnie niektóre urządzenia elektroniczne, takie jak półprzewodnikowa dioda Esakiego, korzystają ze zjawisk tunelowania.

Tunelowanie a energia potencjalna

W celu zobrazowania zjawiska tunelowania rozważmy przypadek kulki toczącej się po powierzchni z energią 100J100J \SI{100}{\joule}. W pewnym momencie kulka napotyka wzniesienie. Energia potencjalna kulki na szczycie wzniesienia wynosi 10J10J \SI{10}{\joule}. A zatem kulka o energii kinetycznej równej 100J100J \SI{100}{\joule} z łatwością wtoczy się na szczyt wzniesienia i będzie kontynuowała swój ruch. W mechanice klasycznej prawdopodobieństwo pokonania wzniesienia przez kulkę wynosi dokładnie 11 \num{1}, co oznacza, że w każdym przypadku kulka mija wzniesienie. Jeżeli jednak napotkałaby przeszkodę o większej wysokości, taką, że do jej pokonania niezbędna byłaby energia 200J200J \SI{200}{\joule}, wówczas kulka podtoczyłaby się jedynie do pewnej wysokości, a następnie zatrzymała i stoczyła z powrotem. Energia bariery znacznie przewyższa jej energię całkowitą. Prawdopodobieństwo pokonania przeszkody wynosiłoby w tym przypadku 00 \num{0}. Istnienie kulki za barierą jest niemożliwe, bo jest energetycznie wzbronione. W świecie kwantowym nie ma jednak pełnego determinizmu wydarzeń, jakie nastąpią, istnieje jedynie wskazanie prawdopodobieństw ich nastąpienia. W przypadku fizyki kwantowej kulka (np. elektron) ma przypisaną sobie funkcję falową, zdefiniowaną na całej przestrzeni. Funkcja ta może być wysoce zlokalizowana (wtedy funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma jedno wyraźne maksimum w pewnym wąskim obszarze przestrzeni), ale zawsze będzie istniało niezerowe prawdopodobieństwo, że kulka napotykawszy przeszkodę, nagle znajdzie się po jej drugiej stronie. Co więcej, prawdopodobieństwo to jest znaczące, gdy paczka falowa kulki jest szersza od przeszkody.

Oprócz tunelowania przedstawionego na Ilustracji 7.17 w sytuacji kwantowo-mechanicznej zachodzi także inny proces, niespotykany w mechanice klasycznej. Jest nim niezerowe prawdopodobieństwo odbicia się cząstki poruszającej się od lewej do prawej, gdy przechodzi ona ponad barierą potencjału (mając energię większą niż wysokość bariery potencjału E>0JE>0J E>\SI{0}{\joule}). Takie odbicie spowoduje, że cząstka skieruje się ponownie w lewą stronę, co nie zajdzie w sytuacji klasycznej. Zatem cząstka kwantowa czuje niejednorodność energii potencjalnej VxVx E_{\text{p}}\apply(x). Nie można tego powiedzieć o cząstce klasycznej, która w sytuacji V<EV<E V<E porusza się po linii prostej i odbija się od bariery potencjału tylko wtedy, gdy V>EV>E V>E.

Materiały pomocnicze

Zobacz tę interaktywną symulację, aby dowiedzieć się więcej o zjawisku tunelowania.

W języku mechaniki kwantowej przeszkodę nazwiemy barierą potencjału (ang. potential barrier). Kwadratowa bariera potencjału o skończonej wysokości może być opisana jako

V x = 0 ,  dla  x < 0 , V 0 ,  dla  0 x L , 0 ,  dla  x > L . V x = 0 ,  dla  x < 0 , V 0 ,  dla  0 x L , 0 ,  dla  x > L . V\apply(x) = \left{ \begin{matrix*}[l] 0\text{,}&\text{ dla } x<0 \text{,} \\ V_0\text{,}&\text{ dla }0\leq x\leq L \text{,} \\ 0\text{,}&\text{ dla } x>L \text{.}\end{matrix*} \right\
7.79

Bariera potencjału przedstawiona jest na Ilustracji 7.17. Gdy wysokość bariery V0V0 V_0 jest nieskończona, wówczas paczka falowa odpowiadająca padającej cząstce kwantowej nie jest w stanie jej przeniknąć i odbija się od niej jak cząstka klasyczna. Gdy grubość bariery LL L jest nieskończona, a jej wysokość skończona, część paczki falowej może przejść do środka bariery, jednak ze względu na nieskończoną szerokość zanika w trakcie przejścia.

Potencjał U od x wyznaczony jest jako funkcja x. U wynosi zero dla x mniejszego niż 0 i dla x większego od L. Jest równy U ze znakiem 0 między x =0 i x=L. Stała energia E oznaczona jest kreskowaną linią horyzontu z wartością mniejszą niż U ze znakiem 0. Obszar x mniejszy niż 0 oznaczony jest jako obszar I i ma dwie fale, początkową i odbitą, zdążające odpowiednio w prawo i w lewo. Obszar między x=0 i x=L oznaczony jest jako obszar II. Obszar x większy niż L oznaczony jest jako obszar III i ma tylko jeden rodzaj fal przechodzących w prawo.
Ilustracja 7.17 Bariera potencjału o wysokości V 0 V 0 V_0 tworzy trzy różne obszary, w których funkcje falowe odmiennie się zachowują. W pierwszym obszarze (I), dla x < 0 x < 0 x<0 , padająca paczka falowa (cząstka padająca) porusza się w obszarze o zerowym potencjale razem z paczką odbitą (cząstką odbitą). W drugim obszarze (II) część paczki falowej, która nie została odbita w x = 0 x = 0 x=0 , porusza się w potencjale V x = + V 0 V x = + V 0 V\apply(x) = +V_0 i tuneluje do obszaru trzeciego (III) w x = L x = L x=L . W obszarze III, dla x > L x > L x>L , paczka falowa (cząstka przechodząca), która przeniknęła przez barierę potencjału, porusza się w obszarze o zerowym potencjale. Energia cząstki padającej jest przedstawiona w formie poziomej przerywanej linii.

Gdy zarówno szerokość LL L, jak i wysokość V0V0 V_0 bariery są skończone, część paczki falowej padającej na jedną ze ścian bariery może przez nią przeniknąć i kontynuować swój ruch przez barierę, gdzie jest stopniowo osłabiana, aż do wyjścia z niej. O takiej cząstce powiemy, że dokonała tunelowania przez barierę potencjału. To, jaka część paczki falowej przedostanie się na drugą stronę bariery, zależy od szerokości LL L, wysokości V0V0 V_0 i energii EE E cząstki kwantowej padającej na barierę.

Pokonywanie bariery potencjału przez kwantową funkcję falową zostało zbadane po raz pierwszy przez Friedricha Hunda (1896–1997) w 1927 roku, krótko po tym, jak Schrödinger opublikował noszące jego nazwisko równanie. W następnym roku George Gamow (1904–1968) wykorzystał formalizm mechaniki kwantowej do wyjaśnienia rozpadu αα \alpha jądra atomowego jako zjawiska tunelowania. Wynalezienie diody tunelowej w 1957 r. udowodniło, że tunelowanie jest niezwykle istotne dla technologii półprzewodników. W 1962 roku wysunięto postulat złącza Josephsona jako układu nadprzewodnik–izolator–nadprzewodnik, w którym następuje tunelowanie z jednego do drugiego nadprzewodnika przez barierę izolatora. W 1963 roku doczekało się ono potwierdzenia eksperymentalnego i obecnie złącze Josephsona jest podstawowym elementem w elektronice nadprzewodzącej. We współczesnej nanotechnologii tunelowanie wykorzystywane jest także do manipulacji pojedynczymi atomami.

Tunelowanie i funkcja falowa

Załóżmy, że jednorodna i niezależna od czasu wiązka elektronów lub innych cząstek o energii EE E porusza się wzdłuż osi xx x (w kierunku dodatnim osi) i napotyka barierę potencjału opisaną Równaniem 7.79. Jakie jest prawdopodobieństwo tunelowania pojedynczej cząstki z wiązki przez barierę? Odpowiedź znajdziemy przez ustalenie warunków brzegowych występujących w niezależnym od czasu równaniu Schrödingera dla cząstki w wiązce. Ogólna postać tego równania dana jest wzorem

2 2 m d 2 ψ x d x 2 + V x ψ x = E ψ x < x < + , 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + V x ψ x = E ψ x < x < + , - \frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\d^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} + V\apply(x) \psi \apply(x) = E \psi \apply(x) \text{, } - \infty < x < + \infty \text{,}
7.80

gdzie potencjał VxVx V\apply(x) dany jest wzorem z Równania 7.79. Zakładamy, że energia wiązki EE E jest mniejsza od energii bariery (E<V0E<V0 E<V_0). Znając energię padających cząstek, musimy rozwiązać równanie Schrödingera, szukając funkcji ψxψx \psi\apply(x), która jest ciągła i ma pierwsze pochodne ciągłe dla każdego xx x, co zapewnia gładkość przebiegu funkcji.

Dzielimy oś xx x na trzy obszary o granicach określonych funkcją potencjału VxVx V(x) (przedstawioną na Ilustracji 7.17) i przepisujemy Równanie 7.80 dla każdego z tych obszarów. Rozwiązania dla obszaru pierwszego x<0x<0 x<0 oznaczamy jako ψIxψIx \psi_{\text{I}}\apply(x), dla obszaru drugiego 0xL0xLψIIxψIIx \psi_{\text{II}}\apply(x) i dla trzeciego x>Lx>L jako ψIIIxψIIIx \psi_{\text{III}}\apply(x).

2 2 m d 2 ψ I x d x 2 = E ψ I x , w obszarze I:  < x < 0 , 2 2 m d 2 ψ I x d x 2 = E ψ I x , w obszarze I:  < x < 0 , -\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\d^2 \psi_{\text{I}}\apply(x)}{\d x^2}=E\psi_{\text{I}}\apply(x) \text{, w obszarze I: } -\infty < x < 0\text{,}
7.81
2 2 m d 2 ψ II x d x 2 + V 0 ψ II x = E ψ II x , w obszarze II:  0 x L , 2 2 m d 2 ψ II x d x 2 + V 0 ψ II x = E ψ II x , w obszarze II:  0 x L , -\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\d^2 \psi_{\text{II}}\apply(x)}{\d x^2} + V_0\psi_{\text{II}}\apply(x) =E\psi_{\text{II}}\apply(x) \text{, w obszarze II: } 0 \leq x \leq L\text{,}
7.82
2 2 m d 2 ψ III x d x 2 = E ψ III x , w obszarze III:  L < x < + . 2 2 m d 2 ψ III x d x 2 = E ψ III x , w obszarze III:  L < x < + . -\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\d^2 \psi_{\text{III}}\apply(x)}{\d x^2}=E\psi_{\text{III}}\apply(x) \text{, w obszarze III: } L < x < +\infty \text{.}
7.83

Warunek ciągłości na granicy obszarów wymaga, aby

ψ I 0 = ψ II 0 , na granicy obszarów I i II, ψ I 0 = ψ II 0 , na granicy obszarów I i II, \psi_{\text{I}}\apply(0) = \psi_{\text{II}}\apply(0) \text{, na granicy obszarów I i II,}
7.84

oraz

ψ II L = ψ III L , na granicy obszarów II i III. ψ II L = ψ III L , na granicy obszarów II i III. \psi_{\text{II}}\apply(L) = \psi_{\text{III}}\apply(L) \text{, na granicy obszarów II i III.}
7.85

Do spełnienia warunku gładkości niezbędna jest ciągłość pierwszych pochodnych rozwiązania na granicach obszaru

d ψ I ( x ) d x | x = 0 = d ψ II ( x ) d x | x = 0 , na granicy obszarów I i II, d ψ I ( x ) d x | x = 0 = d ψ II ( x ) d x | x = 0 , na granicy obszarów I i II,
7.86

oraz

d ψ II ( x ) d x | x = L = d ψ III ( x ) d x | x = L , na granicy obszarów II i III. d ψ II ( x ) d x | x = L = d ψ III ( x ) d x | x = L , na granicy obszarów II i III.
7.87

Następnie musimy znaleźć funkcje ψIxψIx \psi_{\text{I}}\apply(x), ψIIxψIIx \psi_{\text{II}}\apply(x) i ψIIIxψIIIx \psi_{\text{III}}\apply(x).

W przypadku obszarów I i III możemy łatwo stwierdzić, że rozwiązania będą miały formę ogólną

ψ I x = A e + i k x + B e i k x , ψ I x = A e + i k x + B e i k x , \psi_{\text{I}}\apply(x)=Ae^{+ikx}+Be^{-ikx}\text{,}
7.88
ψ III x = F e + i k x + G e i k x , ψ III x = F e + i k x + G e i k x , \psi_{\text{III}}\apply(x)=Fe^{+ikx}+Ge^{-ikx}\text{,}
7.89

gdzie k=2mEk=2mE k=\sqrt{2mE}/\hbar jest liczbą falową, a urojony wykładnik opisuje oscylacje

e ± i k x = cos k x ± i sin k x . e ± i k x = cos k x ± i sin k x . e^{\text{}\pm ikx} = \cos(kx) \pm i\sin (kx) \text{.}
7.90

Stałe AA, BB, FF i GG mogą być liczbami zespolonymi. Rozwiązania te zostały przedstawione na Ilustracji 7.17. W obszarze I występują dwie fale – jedna padająca (poruszająca się w prawo) i jedna odbita (poruszająca się w lewo), a więc stałe AA i BB nie mogą zaniknąć. W obszarze III jest tylko jedna fala (poruszająca się w prawo), która jest falą przechodzącą, a więc stała GG musi być równa zero. Fali padającej możemy explicite przypisać funkcję ψpadx=Ae+ikxψpadx=Ae+ikx \psi_{\text{pad}}\apply(x)=Ae^{+ikx}, fali odbitej funkcję ψodbx=Beikxψodbx=Beikx \psi_{\text{odb}}\apply(x)=Be^{-ikx}, a fali przechodzącej funkcję ψprzex=Fe+ikxψprzex=Fe+ikx \psi_{\text{prze}}\apply(x)=Fe^{+ikx}. Amplituda fali padającej wynosi

ψ pad x 2 = ψ pad * x ψ pad x = A e + i k x * A e + i k x = A * e i k x A e + i k x = A * A = A 2 . ψ pad x 2 = ψ pad * x ψ pad x = A e + i k x * A e + i k x = A * e i k x A e + i k x = A * A = A 2 . \abs{\psi_{\text{pad}}\apply(x)}^2 = \psi_{\text{pad}}^{\text{*}} \apply(x) \psi_{\text{pad}}\apply(x) = (Ae^{+ikx})^{\text{*}} Ae^{+ikx} = A^{\text{*}} e^{-ikx} Ae^{+ikx} = A^{\text{*}} A = \abs{A}^2 \text{.}

Podobnie amplituda fali odbitej będzie równa ψodbx2=B2ψodbx2=B2 \abs{\psi_{\text{odb}}\apply(x)}^2 = \abs{B}^2, a amplituda fali przechodzącej: ψprzex2=F2ψprzex2=F2 \abs{\psi_{\text{prze}}\apply(x)}^2 = \abs{F}^2. Wiemy z teorii fal, że kwadrat amplitudy fali jest wprost proporcjonalny do natężenia fali. Jeżeli chcemy wiedzieć, jak duża część fali przetuneluje przez barierę potencjału, musimy obliczyć kwadrat amplitudy fali przechodzącej. Prawdopodobieństwo transmisji (ang. transmission probability) lub inaczej prawdopodobieństwo tunelowania (ang. tunneling probability) cząstki jest stosunkiem natężenia fali przechodzącej do natężenia fali padającej

T L E = ψ prze x 2 ψ pad x 2 = F 2 A 2 = F A 2 , T L E = ψ prze x 2 ψ pad x 2 = F 2 A 2 = F A 2 , T\apply(L, E) = \frac{\abs{\psi_{\text{prze}}\apply(x)}^2}{\abs{\psi_{\text{pad}}\apply(x)}^2} = \frac{\abs{F}^2}{\abs{A}^2} = \abs{\frac{F}{A}}^2 \text{,}
7.91

gdzie LL jest szerokością bariery, a EE energią całkowitą cząstki. Jest to prawdopodobieństwo przetunelowania pojedynczej cząstki z wiązki. Intuicyjnie rozumiemy, że prawdopodobieństwo musi zależeć od wysokości bariery V0V0 V_0.

W obszarze II równanie Schrödingera możemy zapisać jako

d 2 ψ II x d x 2 = β 2 ψ II x , d 2 ψ II x d x 2 = β 2 ψ II x , \frac{\d^2\psi_{\text{II}}\apply(x)}{\d x^2} = \beta^2 \psi_{\text{II}}\apply(x) \text{,}
7.92

gdzie β2β2 \beta^2 jest dodatnie, ponieważ V0>EV0>E V_0>E, a parametr ββ \beta to liczba rzeczywista

β 2 = 2 m 2 V 0 E . β 2 = 2 m 2 V 0 E . \beta^2 = \frac{2m}{\hbar^2}(V_0 - E) \text{.}
7.93

Rozwiązanie równania Schrödingera w obszarze II nie jest oscylacyjne (jak w przypadku innych obszarów) i przedstawiamy je wzorem

ψ II x = C e β x + D e + β x . ψ II x = C e β x + D e + β x . \psi_{\text{II}}\apply(x) = Ce^{-\beta x}+De^{+\beta x} \text{.}
7.94

Rozwiązania dla wszystkich trzech obszarów pokazane zostały na Ilustracji 7.18.

Wykres przedstawia rozwiązanie dal bariery potencjału U od x jako funkcję x. U jest równe zero dla x mniejszego niż 0 and dla x większego niż L. Jest równe U ze znakiem 0 pomiędzy x =0 i x=L. Funkcja falowa oscyluje w obszarze x mniejszym od zera. W tym obszarze funkcja falowa oznaczona jest psi ze znakiem I I. Przebiega ona ekspotencjalnie w obszarze między x=0 i x=L, i w tym obszarze oznaczona jest jako psi za znakiem I. Oscyluje ponownie w x większym niż obszar L region, gdzie oznaczona jest jako psi ze znakiem I I I. Amplituda jej derywatów oscyluje mniej w obszarze I I I niż w obszarze I ale długość fali jest taka sama. Funkcja falowa i jej derywaty jest kontynuowana dla x=0 i x=L.
Ilustracja 7.18 Trzy rodzaje rozwiązania stacjonarnego równania Schrödingera dla zagadnienia tunelującej cząstki: o charakterze oscylującym w obszarze I i III, gdzie cząstka porusza się swobodnie, i zanikającym wykładniczo w obszarze II (bariery), gdzie cząstka porusza się w potencjale V 0 V 0 V_0 .

Wykorzystamy teraz warunki brzegowe do obliczenia nieznanych stałych. Podstawiając Równanie 7.88 i Równanie 7.94 do Równania 7.84, otrzymamy

A + B = C + D . A + B = C + D .
7.95

Podstawiając Równanie 7.94 i Równanie 7.89 do Równania 7.85, dostajemy

C e β L + D e + β L = F e + i k L . C e β L + D e + β L = F e + i k L .
7.96

Podobnie podstawiamy Równanie 7.88 i Równanie 7.94 do Równania 7.86, różniczkujemy i otrzymujemy

i k ( A B ) = β ( D C ) . i k ( A B ) = β ( D C ) .
7.97

Następnie podchodzimy do warunku brzegowego z Równania 7.87

β ( D e + β L C e β L ) = i k F e + i k L . β ( D e + β L C e β L ) = i k F e + i k L .
7.98

Mamy więc cztery równania z pięcioma nieznanymi stałymi. Ponieważ szukamy współczynnika transmisji F/AF/A, możemy każdą z szukanych stałych podzielić przez AA, otrzymując w ten sposób jedynie cztery niewiadome: B/AB/A, C/AC/A, D/AD/A i F/AF/A, z których trzy możemy wykorzystać do obliczenia F/AF/A. Obliczenia prowadzące do ostatecznego wyniku są długie, ale możemy wykonać je ręcznie lub za pomocą komputera. Współczynnik transmisji wynosi więc

F A = e i k L cosh ( β L ) + i ( γ / 2 ) sinh ( β L ) . F A = e i k L cosh ( β L ) + i ( γ / 2 ) sinh ( β L ) .
7.99

Dla ułatwienia wykorzystujemy podstawienia γβ/kk/βγβ/kk/β, coshy=ey+ey2coshy=ey+ey2 \cosh y = (e^y+e^{-y})/2, sinhy=eyey2sinhy=eyey2 \sinh y = (e^y-e^{-y})/2. Podstawiamy równanie na współczynnik transmisji do wzoru opisującego prawdopodobieństwo tunelowania i otrzymujemy

T L , E = F A * F A = e + i k L cosh ( β L ) i ( γ / 2 ) sinh ( β L ) · e i k L cosh ( β L ) + i ( γ / 2 ) sinh ( β L ) T L , E = F A * F A = e + i k L cosh ( β L ) i ( γ / 2 ) sinh ( β L ) · e i k L cosh ( β L ) + i ( γ / 2 ) sinh ( β L )

lub inaczej

T L , E = 1 cosh 2 ( β L ) + ( γ / 2 ) 2 sinh 2 ( β L ) , T L , E = 1 cosh 2 ( β L ) + ( γ / 2 ) 2 sinh 2 ( β L ) ,
7.100

gdzie

γ 2 2 = 1 4 1 E V 0 E V 0 + E V 0 1 E V 0 2 . γ 2 2 = 1 4 1 E V 0 E V 0 + E V 0 1 E V 0 2 . (\frac{\gamma}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1-E/V_0}{E/V_0} + \frac{E/V_0}{1-E/V_0} -2) \text{.}

Dla przypadku szerokiej bariery można tę zależność przybliżyć jako

T L E = 16 E V 0 1 E V 0 e 2 β L . T L E = 16 E V 0 1 E V 0 e 2 β L . T\apply(L,E) = 16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\beta L} \text{.}
7.101

Czy skorzystamy z pełnego, czy z uproszczonego wzoru, łatwo możemy zauważyć, że tunelowanie wyraźnie zależy od szerokości bariery LL. W warunkach laboratoryjnych jesteśmy w stanie dopasować zarówno wysokość bariery potencjału V0V0 V_0, jak i jej szerokość LL do projektowania nanourządzeń z wybranym współczynnikiem transmisji.

Przykład 7.12

Współczynnik transmisji

Dwa miedziane nanodruty są izolowane nanodrutem wykonanym z tlenku miedzi, co powoduje powstanie bariery potencjału o wysokości 10eV10eV \SI{10}{\electronvolt}. Oszacuj prawdopodobieństwo tunelowania elektronów o energii 7eV7eV \SI{7}{\electronvolt} przez nanodrut z tlenku miedzi o szerokości 5nm5nm \SI{5}{\nano\metre}. Ile wyniosłoby ono, gdyby szerokość zmniejszono do 1nm1nm \SI{1}{\nano\metre}? Ile, jeśli energia elektronów wzrosłaby do 9eV9eV \SI{9}{\electronvolt}?

Strategia rozwiązania

Traktujemy izolującą warstwę tlenków jako barierę potencjału o skończonej wysokości, dlatego używamy Równania 7.101. Wtedy V0=10eVV0=10eV V_0=\SI{10}{\electronvolt}, E1=7eVE1=7eV E_1=\SI{7}{\electronvolt}, E2=9eVE2=9eV E_2=\SI{9}{\electronvolt}, L1=5nmL1=5nm L_1=\SI{5}{\nano\metre}, L2=1nmL2=1nm L_2=\SI{1}{\nano\metre}. Stosujemy Równanie 7.93 do wyliczenia wykładnika, podstawiając masę spoczynkową elektronu jako me=511keVc2me=511keVc2 m_{\text{e}} = \SI{511}{\kilo\electronvolt}/c^2 i stałą Plancka jako =0,1973keVnmc=0,1973keVnmc \hbar=\SI{0,1973}{\kilo\electronvolt\metre\nano}/c. Nie jest niczym niezwykłym przy takiego rodzaju przybliżeniach, że liczone wielkości są za małe nawet dla kalkulatorów podręcznych. Aby właściwie przybliżyć rząd wielkości, stosujemy podstawienie ey=10y/ln10ey=10y/ln10.

Rozwiązanie

Wartości stałych wynoszą
2 m 2 = 2 511 keV c 2 0,1973 keV nm c 2 = 26 254 keV -1 nm -2 = 26,254 eV -1 nm -2 , 2 m 2 = 2 511 keV c 2 0,1973 keV nm c 2 = 26 254 keV -1 nm -2 = 26,254 eV -1 nm -2 , \frac{2m}{\hbar^2} = \frac{2\cdot\SI{511}{\kilo\electronvolt}/c^2}{(\SI{0,1973}{\kilo\electronvolt\metre\nano}/c)^2}=\SI[per-mode=reciprocal]{26254}{\per\kilo\electronvolt\per\nano\metre\squared} = \SI[per-mode=reciprocal]{26,254}{\per\electronvolt\per\nano\metre\squared} \text{,}
β = 2 m 2 V 0 E = 26,254 eV -1 nm -2 10 eV E . β = 2 m 2 V 0 E = 26,254 eV -1 nm -2 10 eV E . \beta = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)} = \sqrt{\SI[per-mode=reciprocal]{26,254}{\per\electronvolt\per\nano\metre\squared}\cdot(\SI{10}{\electronvolt}-E)} \text{.}

Dla elektronów o niższej energii E1=7eVE1=7eV E_1=\SI{7}{\electronvolt}

β 1 = 26,254 eV -1 nm -2 10 eV E 1 = 26,254 nm -2 10 7 = 8,875 nm -1 , β 1 = 26,254 eV -1 nm -2 10 eV E 1 = 26,254 nm -2 10 7 = 8,875 nm -1 , \beta_1 = \sqrt{\SI[per-mode=reciprocal]{26,254}{\per\electronvolt\per\nano\metre\squared}\cdot(\SI{10}{\electronvolt}-E_1)} = \sqrt{\SI[per-mode=reciprocal]{26,254}{\per\nano\metre\squared}\cdot(\num{10}-\num{7})} = \SI[per-mode=reciprocal]{8,875}{\per\nano\metre} \text{,}
T L E 1 = 16 E 1 V 0 1 E 1 V 0 e 2 β 1 L = 16 7 10 1 7 10 e 17,75 nm -1 L = 3,36 e 17,75 nm -1 L . T L E 1 = 16 E 1 V 0 1 E 1 V 0 e 2 β 1 L = 16 7 10 1 7 10 e 17,75 nm -1 L = 3,36 e 17,75 nm -1 L . T\apply(L,E_1)=16\frac{E_1}{V_0}(1-\frac{E_1}{V_0})e^{-2\beta_1 L} = 16\frac{7}{10}(1-\frac{7}{10})e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{17,75}{\per\nano\metre} L} = \num{3,36}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{17,75}{\per\nano\metre} L} \text{.}

Dla elektronów o wyższej energii E2=9eVE2=9eV E_2=\SI{9}{\electronvolt}

β 2 = 26,254 eV -1 nm -2 10 eV E 2 = 26,254 nm -2 10 9 = 5,124 nm -1 , β 2 = 26,254 eV -1 nm -2 10 eV E 2 = 26,254 nm -2 10 9 = 5,124 nm -1 , \beta_2 = \sqrt{\SI[per-mode=reciprocal]{26,254}{\per\electronvolt\per\nano\metre\squared}\cdot(\SI{10}{\electronvolt}-E_2)} = \sqrt{\SI[per-mode=reciprocal]{26,254}{\per\nano\metre\squared}\cdot(\num{10}-\num{9})} = \SI[per-mode=reciprocal]{5,124}{\per\nano\metre} \text{,}
T L E 2 = 16 E 2 V 0 1 E 2 V 0 e 2 β 2 L = 16 9 10 1 9 10 e 5,12 nm -1 L = 1,44 e 5,12 nm -1 L . T L E 2 = 16 E 2 V 0 1 E 2 V 0 e 2 β 2 L = 16 9 10 1 9 10 e 5,12 nm -1 L = 1,44 e 5,12 nm -1 L . T\apply(L,E_2)=16\frac{E_2}{V_0}(1-\frac{E_2}{V_0})e^{-2\beta_2 L} = 16\frac{9}{10}(1-\frac{9}{10})e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5,12}{\per\nano\metre} L} = \num{1,44}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5,12}{\per\nano\metre} L} \text{.}

Dla bariery o większej szerokości L1=5nmL1=5nm L_1=\SI{5}{\nano\metre}

T L 1 E 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 L 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 5 nm = 3,36 e 88 = 3,36 6,2 10 -39 T L 1 E 1 = 2,1 % 10 -36 , T L 1 E 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 L 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 5 nm = 3,36 e 88 = 3,36 6,2 10 -39 T L 1 E 1 = 2,1 % 10 -36 , \begin{multiline} T\apply(L_1,E_1)&=\num{3,36}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{17,75}{\per\nano\metre} L_1} = \num{3,36}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{17,75}{\per\nano\metre}\cdot\SI{5}{\nano\metre}} = \num{3,36}e^{-\num{88}}=\num{3,36}\cdot\num{6,2e-39} \\ &= \SI{2,1}{\percent}\cdot 10^{-36} \text{,} \end{multiline} T L 1 E 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 L 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 5 nm = 3,36 e 88 = 3,36 6,2 10 -39 = 2,1 % 10 -36 ,
T L 1 E 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 L 1 = 1,44 e 5,12 nm -1 5 nm = 1,44 e 25,6 = 1,44 7,62 10 -12 T L 1 E 2 = 1,1 % 10 -9 . T L 1 E 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 L 1 = 1,44 e 5,12 nm -1 5 nm = 1,44 e 25,6 = 1,44 7,62 10 -12 T L 1 E 2 = 1,1 % 10 -9 . \begin{multiline} T\apply(L_1,E_2)&=\num{1,44}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5,12}{\per\nano\metre} L_1} = \num{1,44}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5,12}{\per\nano\metre}\cdot\SI{5}{\nano\metre}} = \num{1,44}e^{-\num{25,6}}=\num{1,44}\cdot\num{7,62e-12} \\ &= \SI{1,1}{\percent}\cdot 10^{-9} \text{.} \end{multiline} T L 1 E 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 L 1 = 1,44 e 5,12 nm -1 5 nm = 1,44 e 25,6 = 1,44 7,62 10 -12 = 1,1 % 10 -9 .

Dla bariery o mniejszej szerokości L2=1nmL2=1nm L_2=\SI{1}{\nano\metre}

T L 2 E 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 L 2 = 3,36 e 17,75 nm -1 1 nm = 3,36 e 17,75 = 3,36 5,1 10 -7 T L 2 E 1 = 1,7 % 10 -4 , T L 2 E 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 L 2 = 3,36 e 17,75 nm -1 1 nm = 3,36 e 17,75 = 3,36 5,1 10 -7 T L 2 E 1 = 1,7 % 10 -4 , \begin{multiline} T\apply(L_2,E_1)&=\num{3,36}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{17,75}{\per\nano\metre} L_2} = \num{3,36}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{17,75}{\per\nano\metre}\cdot\SI{1}{\nano\metre}} = \num{3,36}e^{-\num{17,75}}=\num{3,36}\cdot\num{5,1e-7} \\ &= \SI{1,7}{\percent}\cdot 10^{-4} \text{,} \end{multiline} T L 2 E 1 = 3,36 e 17,75 nm -1 L 2 = 3,36 e 17,75 nm -1 1 nm = 3,36 e 17,75 = 3,36 5,1 10 -7 = 1,7 % 10 -4 ,
T L 2 E 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 L 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 1 nm = 1,44 e 5,12 = 1,44 5,98 10 -3 T L 2 E 2 = 0,86 % . T L 2 E 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 L 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 1 nm = 1,44 e 5,12 = 1,44 5,98 10 -3 T L 2 E 2 = 0,86 % . \begin{multiline} T\apply(L_2,E_2)&=\num{1,44}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5,12}{\per\nano\metre} L_2} = \num{1,44}e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5,12}{\per\nano\metre}\cdot\SI{1}{\nano\metre}} = \num{1,44}e^{-\num{5,12}}=\num{1,44}\cdot\num{5,98e-3} \\ &= \SI{0,86}{\percent} \text{.} \end{multiline} T L 2 E 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 L 2 = 1,44 e 5,12 nm -1 1 nm = 1,44 e 5,12 = 1,44 5,98 10 -3 = 0,86 % .

Znaczenie

Na podstawie powyższych wyników możemy łatwo wywnioskować, że na prawdopodobieństwo tunelowania znacznie bardziej wpływa szerokość bariery niż energia tunelujących cząstek. We współczesnych zastosowaniach mamy możliwość manipulacji pojedynczymi atomami na podłożach metalicznych w celu stworzenia barier potencjału o szerokości ułamka nanometra i tym samym osiągania mierzalnych prądów tunelowych. Jednym z zastosowań dla tej technologii jest omawiany później skaningowy mikroskop tunelowy.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.10

Proton o energii kinetycznej 1eV1eV \SI{1}{\electronvolt} pada na kwadratową barierę potencjału o wysokości 10eV10eV \SI{10}{\electronvolt}. Jeżeli dla protonu istniałoby takie samo prawdopodobieństwo transmisji co dla elektronu o identycznej energii, to jaki musiałby być stosunek szerokości barier napotykanych przez te cząstki?

Rozpad promieniotwórczy

W 1928 roku Gamow stwierdził, że tunelowanie kwantowe jest odpowiedzialne za rozpad promieniotwórczy jąder atomowych. Zaobserwował on, że niektóre izotopy toru, uranu i bizmutu ulegają rozpadowi z emisją cząstek αα (które są zjonizowanymi atomami helu lub prościej – jądrami helu). Podczas emitowania cząstek αα jądro atomowe zmienia się w inne jądro, o liczbach neutronów i protonów mniejszych o dwa. Cząstki αα emitowane przez ten sam izotop mają w przybliżeniu takie same energie kinetyczne. Jeśli chodzi o energie cząstek αα różnych izotopów, to wahają się one od 4MeV4MeV \SI{4}{\mega\electronvolt} do 9MeV9MeV \SI{9}{\mega\electronvolt}, a więc są one tego samego rzędu wielkości. Jednak na tym kończą się podobieństwa izotopów.

Gdy przyjrzymy się okresom półtrwania (jest to czas, w którym radioaktywna cząstka traci połowę liczby jąder atomowych) różnych izotopów, bardzo się one od siebie różnią. Jako przykład weźmy okres półtrwania polonu-214, który wynosi 160µs160µs \SI{160}{\micro\second}, i uranu, wynoszący 4,54,5 \num{4,5} miliarda lat. Gamow wyjaśniał istnienie tych różnic przez wprowadzenie modelu jądra atomowego jako sferycznego pudełka, w którym cząstki αα mogą odbijać się między ścianami jak cząstki swobodne. Pudełko tworzy niezwykle silna sferyczna bariera potencjału. Jednak grubość bariery nie jest nieskończona, a więc istnieje niezerowe prawdopodobieństwo przeniknięcia cząstek przez ściany pudełka. Gdy cząstka opuści jądro, zaczyna działać na nią odpychająca siła elektrostatyczna Coulomba i cząstka oddala się od jądra. To zagadnienie przedstawiono na Ilustracji 7.19. Szerokość bariery potencjału zależy od energii kinetycznej EE cząstki i jest odległością między promieniem jądra oznaczonym jako EE a punktem R0R0, w którym cząstka αα przechodzi przez barierę, wobec czego L=R0RL=R0R L= R_0 - R. W odległości R0R0 energia kinetyczna musi przynajmniej równoważyć elektrostatyczną energię odpychania E=e24πε0ZR0E=e24πε0ZR0 E = e^2/(4\pi\epsilon_0) \cdot Z/R_0, gdzie +Ze+Ze jest ładunkiem jądra atomowego. W ten sposób możemy oszacować szerokość bariery

L = e 2 4 π ε 0 Z E R . L = e 2 4 π ε 0 Z E R . L = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Z}{E} - R \text{.}

Łatwo zauważyć, że im większa jest energia cząstki αα, tym węższa jest bariera, przez którą musi przetunelować. Wiemy też, że szerokość bariery jest najważniejszym czynnikiem wpływającym na prawdopodobieństwo tunelowania. A zatem cząstki αα o znacznej energii kinetycznej mają dużą szansę na opuszczenie jądra atomowego, a co za tym idzie, okres ich połowicznego rozpadu jest krótszy. Zauważmy, że proces ten nie jest liniowy, co oznacza, że mała zmiana w energii cząstki αα znacząco wpływa na prawdopodobieństwo jej tunelowania i skrócenie okresu półtrwania. To tłumaczy, dlaczego okres półtrwania polonu o energii 8MeV8MeV \SI{8}{\mega\electronvolt} jest diametralnie krótszy niż w przypadku uranu, który emituje cząstki o energii 4MeV4MeV \SI{4}{\mega\electronvolt}.

Wykres potencjału U od r jako funkcja r. Dla r mniejszego niż R, U od r jest stała i ujemna. Gdy r = R, potencjał rośnie pionowo do pewnej maksymalnej dodatniej wartości, a następnie opada w kierunku zera. Obszar pod krzywą jest zacieniowany. U od r jest równe E jako r równe R ze znakiem 0. Pokazane są linia pozioma E=E i pionowa r=R ze znakiem 0.
Ilustracja 7.19 Bariera potencjału dla cząstki α α \alpha związanej w jądrze atomowym. Aby wydostać się z jądra, cząstka α α \alpha o energii E E musi przetunelować przez barierę potencjału z punktu odległego o R R do punktu odległego o R 0 R 0 od środka jądra.

Emisja polowa

Emisja polowa (ang. field emission) jest procesem związanym z emisją elektronów z przewodzących powierzchni, w obecności silnych zewnętrznych pól elektrycznych przyłożonych w kierunku normalnym do powierzchni (Ilustracja 7.20). Jak wiemy z wcześniejszych rozdziałów o polach elektrycznych, pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego elektrony w przewodniku poruszają się w kierunku jego powierzchni i zostają tam, dopóki przykładane pole elektryczne nie jest zbyt silne. W takim przypadku mówimy, że elektron w przewodniku cechuje pewien stały potencjał Vx=V0Vx=V0 V\apply(x)=-V_0, gdzie xx odnosi się do wnętrza przewodnika. W sytuacji przedstawionej na Ilustracji 7.20, gdzie zewnętrzne pole elektryczne jest jednorodne i wynosi EgEg, jeśli elektron znalazłby się poza przewodnikiem w odległości xx od jego powierzchni, jego energia potencjalna będzie wynosiła Vx=eEgxVx=eEgx V\apply(x)=-eE_g x; w tym przypadku xx opisuje odległość od powierzchni przewodnika. Przyjmując dla powierzchni przewodnika wartość zero (x=0x=0), możemy przedstawić energię potencjalną elektronów przewodnictwa w metalu jako barierę potencjału pokazaną na Ilustracji 7.21. Przy braku zewnętrznego pola elektrycznego energia potencjalna zamienia się w barierę schodkową opisaną przez Vx0=V0Vx0=V0 V\apply(x\leq 0)=-V_0 i Vx>0=0VVx>0=0V V\apply(x>0)=\SI{0}{\volt}.

Narysowany jest potencjał U od r jako funkcja r. Dla r mniejszego niż R, U od r jest stałe i ujemne. Dla r = R, potencjał rośnie pionowo do pewnej maksymalnej wartości, a następnie opada w kierunku zera. Obszar pod krzywą jest zacieniowany. U od r równe E od r równe R ze znakiem 0. Pokazane są linia ciągła pozioma E=E i linia pionowa dla r=R ze znakiem 0.
Ilustracja 7.20 Zewnętrzne pole elektryczne przyłożone w kierunku normalnym do powierzchni przewodnika. Przy silnym polu zewnętrznym elektrony z przewodnika mogą się od niego oddzielić i zacząć się oddalać.
Narysowany jest potencjał U od x jako funkcja x. Dla x mniejszego niż zero, U od x ma stałą wartość minus U ze znakiem zero. Dla x=0, U od x skacze do wartości zero. Dla x większego niż zero, U od x równe minus e razy E ze znakiem g razy x. Obszar pod krzywą jest zacieniowany. Energia ujemna stała pokazana jest jako linia ciągła o wartości minus fi. U od x wynosi E od x równe fi podzielone przez ilość e razy E ze znakiem g.
Ilustracja 7.21 Bariera potencjału przy powierzchni metalicznego przewodnika, w obecności jednorodnego zewnętrznego pola elektrycznego E g E g przyłożonego w kierunku prostopadłym do powierzchni przewodnika. Energia potencjalna zamienia się w barierę schodkową, gdy zewnętrzne pole zostaje usunięte. Pracę wyjścia dla metalu oznaczamy jako ϕ ϕ \phi .

Gdy zewnętrzne pole elektryczne jest silne, elektrony przy powierzchni przewodnika mogą się od niego odłączyć i zacząć przyspieszać wzdłuż linii pola elektrycznego, w kierunku przeciwnym do działającego pola, oddalając się od przewodnika. Mówiąc krótko, elektrony przewodnictwa mogą uciec z powierzchni przewodnika. Emisja polowa może być rozumiana jako tunelowanie elektronów z pasma przewodnictwa przez barierę potencjału na powierzchni przewodnika. Mechanizm zjawiska jest bardzo podobny do emisji cząstek αα \alpha.

Rozważmy przykład elektronu przewodnictwa o energii kinetycznej EE (średnia energia kinetyczna elektronu w metalu odpowiada pracy wyjścia ϕϕ metalu i możemy ją zmierzyć dzięki omówionemu wcześniej efektowi fotoelektrycznemu (Fotony i fale materii), natomiast zewnętrzne pole elektryczne można przybliżyć jako jednorodne pole elektryczne EgEg. Szerokość LL bariery potencjału, którą musi pokonać elektron na Ilustracji 7.21, przedstawiono poziomą, przerywaną linią Vx=EVx=E V\apply(x)=E, przebiegającą od x=0x=0 do przecięcia z Vx=eEgxVx=eEgx V\apply(x)=-eE_g x, a więc szerokość tę możemy przedstawić jako

L = E e E g = ϕ e E g . L = E e E g = ϕ e E g . L=\frac{E}{e E_g} =\frac{\phi}{eE_g} \text{.}

Łatwo zauważyć, że szerokość bariery jest odwrotnie proporcjonalna do natężenia zewnętrznego pola elektrycznego. Gdy zwiększamy natężenie pola, bariera potencjału staje się bardziej stroma, a jej grubość maleje, tymczasem prawdopodobieństwo tunelowania rośnie wykładniczo. Elektrony, które przeniknęły przez barierę potencjału, tworzą prąd (prąd tunelowy), który można zmierzyć ponad powierzchnią przewodnika. Natężenie prądu tunelowego jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa tunelowania, to zaś zależy nieliniowo od grubości bariery LL, której wartość może być zmieniona przez odpowiednie dopasowanie EgEg. A zatem prąd tunelowy da się modulować za pomocą zmiany zewnętrznego pola EgEg. Gdy natężenie pola jest stałe, natężenie prądu zmienia się w zależności od wartości LL.

Opisane powyżej tunelowanie elektronów przy powierzchni metali jest podstawą fizyczną działania skaningowego mikroskopu tunelowego (ang. scanning tunneling microscope, STM), wynalezionego w 1981 roku przez Gerda Binniga (ur. 1947) i Heinricha Rohrera (1933–2013). STM składa się najczęściej z sondy skanującej (jest to zwykle igła wykonana z wolframu, platyny z irydem lub złota), stolika piezoelektrycznego, odpowiedzialnego za pozycjonowanie sondy (zazwyczaj od 0,4nm0,4nm \SI{0,4}{\nano\meter} do 0,7nm0,7nm \SI{0,7}{\nano\metre} ponad powierzchnią próbki; jej ruch odbywa się w płaszczyźnie XYXY XY), i komputera, na którym można oglądać otrzymany obraz. Do badanej próbki przyłożone jest stałe napięcie, a podczas ruchu sondy nad powierzchnią próbki (Ilustracja 7.22) rejestrowany jest prąd tunelowy dla kolejnych położeń igły względem próbki. Natężenie prądu zależy od prawdopodobieństwa tunelowania elektronów z powierzchni próbki do igły, co z kolei jest uwarunkowane wysokością sondy nad próbką. Badając prąd tunelowy, możemy określić wysokość sondy nad powierzchnią próbki. Badania prowadzone przy użyciu mikroskopu tunelowego mają bardzo dużą rozdzielczość: 0,001nm0,001nm \SI{0,001}{\nano\metre}, co stanowi 1%1% \SI{1}{\percent} średniego promienia atomu. W ten sposób możemy obserwować pojedyncze atomy na powierzchni próbki, jak w przypadku nanorurki węglowej przedstawionej na Ilustracji 7.23.

Ilustracja skanowania tunelowego przez mikroskop. Atomy na górze reprezentowane są jako sfery, pomarańczowe dla S T M i purpurowe dla sondy. Atomy na powierzchni skanowanych atomów przedstawione są jako grupa czterech atomów na pięć atomów. Wskazówka znajduje się nad jednym z atomów, a jeden z elektronów tuneluje między wskazówką a powierzchnią atomu. Wyobrażony monitor komputera pokazuje grupę 4 na 5 kropek.
Ilustracja 7.22 W mikroskopie STM próbkę, do której przyłożone jest stałe napięcie, skanuje sonda poruszająca się nad jej powierzchnią. Gdy koniec sondy zbliża się do atomów powierzchniowych, elektrony mogą tunelować z powierzchni próbki do sondy. Natężenie prądu w konkretnym punkcie x y x y (x,y) dostarcza informacji na temat chwilowej wysokości sondy nad próbką. W ten sposób może powstać niezwykle dokładna mapa powierzchni próbki. Obrazy otrzymane za pomocą STM są przetwarzane i wyświetlane na ekranie komputera. Obraz STM pozwala wyznaczyć topografię powierzchni próbek różnych materiałów i wskazać, na ile jest płaska, a na ile pagórkowata.
Obraz w STM nanorurki węglowej ukazujący atomy w postaci czerwonych punktów ulokowanych w sieci.
Ilustracja 7.23 Obraz nanorurki węglowej otrzymany za pomocą STM. Rozdzielczość rzędu pojedynczych atomów pozwala na niezwykle dokładne badanie topografii materiałów. Obrazy otrzymane za pomocą STM są w skali odcieni szarości, kolor dodaje się podczas obróbki.

Tunelowanie rezonansowe

Tunelowanie kwantowe ma wiele zastosowań w urządzeniach półprzewodnikowych, takich jak elementy obwodów elektronicznych czy układów scalonych projektowanych w skali nano, stąd też termin nanotechnologia (ang. nanotechnology). Jako przykład rozważmy diodę (element elektroniczny, który sprawia, że płynący przez nią prąd będzie się różnie zachowywał w zależności od jego kierunku), która może być zbudowana za pomocą złącza pomiędzy dwoma różnymi półprzewodnikami. W takiej diodzie tunelowej (ang. tunnel diode) elektrony tunelują przez pojedynczą barierę potencjału na granicy dwóch półprzewodników. Na obszarze złącza prąd tunelowy zmienia się nieliniowo razem z przyłożonym potencjałem i może szybko zmaleć dla wysokiego napięcia, co jest odmienne od tradycyjnego podejścia zgodnego z prawem Ohma. Takie zachowanie (spowodowane tunelowaniem) jest niezwykle pożądane w superszybkich urządzeniach elektronicznych.

Istnieją nanourządzenia wykorzystujące tunelowanie rezonansowe (ang. resonant tunneling) elektronów przez bariery potencjału w kropkach kwantowych (ang. quantum dot). Kropka kwantowa jest małym obszarem nanokryształu półprzewodnikowego, który jest hodowany np. na krysztale krzemu lub arsenku glinu. Ilustracja 7.24 (a) przedstawia kropkę kwantową arsenku galu wkomponowaną w strukturę wafla arsenku glinu. Kropka kwantowa zachowuje się jak studnia potencjału o skończonej wysokości (przedstawiona na Ilustracji 7.24 (b)), która ma dwie bariery potencjału na granicy obszaru kropki. Podobnie jak w przypadku cząstki w pudełku (czyli nieskończonej studni potencjału) niższe stany energetyczne cząstki kwantowej zamkniętej w skończonej studni potencjału są skwantowane. Różnica między cząstką zamkniętą w pudełku a przypadkami studni potencjału leży w nieskończonej liczbie stanów energetycznych i związaniu cząstki z wnętrzem pudełka, gdy cząstka w studni potencjału posiada skończoną liczbę stanów energetycznych i może przetunelować przez bariery potencjału na brzegach studni. A zatem kropka kwantowa jest studnią potencjału, jak przedstawiono na rysunku poniżej, gdzie energia elektronu jest skwantowana i oznaczona jako EkropkiEkropki E_{\text{kropki}}. Gdy energia elektronu EelektronuEelektronu E_{\text{elektronu}} znajdującego się poza studnią nie zgadza się z energią EkropkiEkropki E_{\text{kropki}} dostępną na obszarze kropki kwantowej, nie może on przetunelować przez obszar kropki i prąd nie przepływa przez taki element elektroniczny, nawet po przyłożeniu napięcia. Jednak gdy napięcie jest zmienione w taki sposób, że jedna z barier potencjału się obniża, tak że energie elektronu i obszaru kropki są zgodne, jak przedstawiono w części (c), elektron może przepłynąć przez kropkę. Zwiększając napięcie, możemy przerwać przepływ prądu przez ponowne rozdzielenie poziomów energetycznych. Słowo rezonans wskazuje, że w rezonansowej diodzie tunelowej (ang. resonant-tunneling diode) tunelowanie (a więc i przepływ prądu) zachodzi jedynie, gdy energia elektronu odpowiada energii na obszarze kropki, co może być osiągnięte przez modulację przyłożonego potencjału. Diody takie stosowane są jako ultraszybkie nanoprzełączniki.

Rysunek a jest ilustracją tunelowania diody. Kropka kwantowa jest małym obszarem arsenku galu osadzonym w arsenku glinu. Dodatkowo małe obszary arsenku galu są również osadzone na stronie kropki kwantowej, oddzielonej małą barierą arsenku galu. Na lewym końcu struktury przyłączona jest elektroda ujemna, a na prawej elektroda dodatnia. Rysunek b jest grafem potencjału U w funkcji x. Potencjał jest stały z wyjątkiem dwóch wąskich obszarów gdzie ma większą wartość stałą. Energia elektronu reprezentowana przez linię przerywaną mieści się pomiędzy najniższą i najwyższą wartością U, zamkniętą w najniższej z nich. Pokazane są dwa dwa dozwolone poziomy energetyczne oznaczone jako E kropki. Obydwa są wyższe od energii elektronu i niższe od maksymalnej wartości U. Rysunek c pokazuje potencjał U od x z napięciem wybranej strony urządzenia. Potencjał ma taką samą stałą wartość jak w lewej barierze na rysunku a, ale opada liniowo między przeszkodami. U jest ponownie stały w prawej przeszkodzie barier, ale ma niszą wartość niż przedtem. Dozwolone energie również ciągną w dół, ale teraz niższa wchodzi w koincydencję z energią elektronu.
Ilustracja 7.24 Rezonansowa dioda tunelowa. (a) Kropka kwantowa arsenku galu osadzona w arsenku glinu. (b) Studnia potencjału składająca się z dwóch barier potencjału, bez przyłożonego napięcia. Energie elektronu i kropki nie są zgodne, a więc prąd nie płynie. (c) Studnia potencjału kropki kwantowej z przyłożonym napięciem. Odpowiednie modulowanie napięcia zmienia poziom bariery potencjału, dzięki czemu energie elektronu i kropki są zgodne, co powoduje tunelowanie elektronów.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.